高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)

圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程

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/*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/

圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】

【1-0】公式小结：x2换成xx0，y2换成yy0，x换成(x+x0)/2,y换成(y+y0)/2.

【1-1】 椭圆的切线方程 ：

22xxyyxy①椭圆 221上一点P(x0,y0)处的切线方程是 20201。

abab22②过椭圆 x2y21外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abxx0yy021。 2ab③椭圆

x2y21a2b2与直线AxBxC0相切的条件是

A2a2B2b2C20

(也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程：

22xxyyxy①双曲线221上一点P(x0,y0)处的切线方程是 20201。

abab22②过椭圆 x2y21外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

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xx0yy021。 2ab③椭圆

x2y21a2b2与直线AxBxC0相切的条件是

A2a2B2b2C20

【1-3】抛物线的切线方程：

物线 y22px

上一点P(x0,y0)处的切线方程是

yy02p(xx0)

②过抛物线y2③抛物线

2px外一点

处所引两条切线是yy02p(xx0)

y22px与直线AxBxC0相切的条件是pB22AC

【1-4】 基础知识的证明：

【公式一：曲线C上切点公式证明】

1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C上某一点处

yy0k(xx0),

P(x0,y0)的

切 线 方 程 为

联立方程，令0,得到k的表达式，再代入原

xx0yy0(x0)2(y0)2始式，最后得切线方程式22221

abab（注:k的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下）

2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为(x1,y1)、

(x2,y2)，中点

P(x0,y0)

x12y12221,(1)2222x1x2y1y2ab0. 则有2(1)(2)，得222abx2y21.(2)b2a2y2y1y2y1b22 x2x1x2x1ay0b2kMN2x0a 又kMNy2y1y1y22y0y0,.

x2x1x1x22x0x0 (弦中点公式的椭圆基本表达式。双曲线则是

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kMNy0b2) x0a2b2x0上。即得切线斜率k2

ay0当M、N无限趋近时，P在椭圆C

3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分

证明：由2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。

附言：第1种证明思路中，抛物线证明过程中稍微有些不同。③

①切线斜率可用导数表示。

②得到式子后，要利用y022px把y02消去。

【公式二：曲线外一点引切线，过切点作直线的通式证明】(称为极线方程)

证明思路：过P(x0,y0)作两条曲线C的切线，切点为A(x1,y1)，B(x2,y2)。

Ax1By1C0Ax2By2C0。所以过A、B两点直线lAB方程为

AxBxC0

证明(就举椭圆为例)

解：过P(x0,y0)作两条曲线C的切线，切点为A(x1,y1)，B(x2,y2)。 过A点切线:

过A、B

xx1yy121，过a2bB点切线：xx22yy221。

abxx0yy021 2ab两点直线lAB方程为

【公式三：由公式一的思路可得】

【基础知识2：焦半径与准线】(具体关系与内容省略，详情看圆锥曲线知识表格)

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【1-1】焦半径公式(具体推导用“两点间距离公式”也可解决，之后类似“求长度”的题型，求长度式子写“两点间举例公式”，结果可以直接靠背。对于焦半径PF， 口诀：椭圆F左加右减。aex(记忆：a大则在前)

双曲线F左加右减，双曲线上点P左减右加。exa

a2焦半径与点到准线距离关系如下。即(aex)/e=x准线距离

c推广应用:

通过m,n比例e的值cos的值tank的值

巧用公式cosmn1(注：双曲线交于同侧、抛物线类似)

mne不过需要注意的是，双曲线交于异侧时，公式就变为

cosmn1，具体自己推导吧 mne【基础知识3：弦中点公式及系列类似结论拓展】(坐标变幻只能用于证明部分内容) 【结论一：弦中点公式】

【证明】：设某直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为(x1,y1)、

(x2,y2)，中点

P(x0,y0)

x12y12221,(1)2222x1x2y1y2ab0. 则有2(1)(2)，得222abx2y21.(2)b2a2y2y1y2y1b22 x2x1x2x1a即kMN 又kMN(常用)

y2y1y1y22y0y0,.

x2x1x1x22x0x0y0b2kMNkOP2x0a结论：斜率不变的直线与椭圆交于两点，所得两点中点的轨迹

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是一条过原点的直线。 【抽象理解型证明】

具体理解，可以用“坐标系变幻理解”

证明：设某斜率为定值k的直线与曲线C交于M、N两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，中点P(x0,y0)

x2y221，令xax',y=by'(x')2+ (y')21。 2ab∵变幻后，x轴缩短a倍，y轴缩短b倍，得到中点轨迹方程始终与MN垂直

【结论二：顶点连线斜率乘积公式】(用坐标变幻好理解)(部分设元会用它比较方便)

kAPkBPb22a,具体证明见下面的“拓展性证明”,若要抽象理解

的话坐标变幻后两个垂直，证明方法和上面一样。至于双曲线，则是kAPkBPb22a。结论可以直接背，不过引用的时候还得按照下

面的方法老实推导。

【结论三：（上一结论的延伸）对称点连线斜率乘积公式】(没法用坐标变幻)

证明：不建议设直线，直接设两个元最后消元即可(此处只列椭圆的，双曲线的证明类似)

A(m,n)、B(m,n)在椭圆上，且关于原点对称。

x12y1221,(1)y2n2b2a2b2 则有22(1)(2)，得22xmamn1.(2)a2b2令狐采学创作