2021-2022学年江苏省南京市玄武区九年级(上)期中数学试卷 (解析版)

卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．已知一组数据3，7，5，3，2，这组数据的众数为（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

2．用配方法解方程x2﹣4x＝1时，配方所得的方程为（ ） A．（x+2）2＝1

B．（x﹣2）2＝1

C．（x+2）2＝5

D．（x﹣2）2＝5

3．已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为10cm，直线l与圆O的位置关系为（ ） A．相交

B．相切

C．相离

D．无法确定

4．下列说法中错误的是（ ）

A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后“正面朝上”和“反面朝上”是等可能的

B．甲、乙两地之间质地均匀的电缆有一处断点，断点出现在电缆的各个位置是等可能的

C．抛掷一枚质地均匀的骰子，“朝上一面的点数是奇数”和“朝上一面的点数是偶数”是等可能的

D．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，“摸到白球”和“摸到红球”是等可能的

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝62°，E是BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接BD，则∠D的度数为（ ）

A．58° B．59° C．60° 、

D．61°

6．如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得则阴影部分的面积为（ ）

恰好都经过圆心O，折痕为AB、BC，

A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．一元二次方程x2＝x的解为 ．

8．某招聘考试分笔试和面试两项，笔试成绩和面试成绩按3：2计算平均成绩．若小明笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则他的平均成绩是 分．

9．如图，一个可以自由转动的圆形转盘，转盘按1：2：3：4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，指针的位置固定，任意转动转盘1次，则停止后指针恰好落在B区域的概率为 ．

10．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是 ． 11．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 °． 12．如图，在扇形OAB中，C为数为 °．

上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度

13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心．C是上的点，

OC⊥AB，垂足为M．若AB＝10m，CM＝1m，则⊙O的半径为 m．

14．AB是⊙O的弦，OC⊥OA，OC交AB于点D．如图，点C在过点B的切线上，若∠BDC＝68°，则∠ABC的度数为 °．

15．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，分别以点A、D为圆心，AE长为半径 作弧，在⊙O外交于点G，连接OG．若⊙O的半径为1，则OG的长度为 ．

三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解下列方程： （1）x2﹣6x﹣5＝0； （2）3x（x+2）＝2x+4．

18．一个不透明的袋子装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为 ． （2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求恰好摸出一个红球一个白球的概率．

19．为了从甲、乙两位同学中选拔一人参加知识竞赛，举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如图统计图． （1）填写下列表格：

甲 乙

平均数/分

90

中位数/分

①

众数/分 93 85

② 87.5

（2）分别求出甲、乙两位同学6次成绩的方差．

（3）你认为选择哪一位同学参加知识竞赛比较好？请说明理由．

20．如图，在一个长16m，宽12m的矩形花圃外围铺设等宽的小路，且铺设小路的面积为花圃面积的三分之二，求小路的宽度．

21．如图，点A、B、C在⊙O上，OB平分∠ABC． （1）求证：BA＝BC．

（2）连接AC，若AC＝6，AB＝5，求⊙O的半径．

22．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k﹣1＝0．

（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．

（2）若x1，x2为该方程的两个实数根，且满足x1（x2﹣2）＝2x2，求k的值． 23．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD＝BC，BA、CD延长线交于点E． （1）求证：∠EAD＝∠BAC； （2）若

的度数为°，则∠E的度数为 °．

24．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AD是⊙O的弦，AD∥OC，延长CD、BA相交于点E．

（1）求证CE是⊙O的切线；

（2）若A恰好是OE的中点，AD＝3，则阴影部分的面积为 ．

25．已知A、B、C、D四点在同一圆上，请仅用无刻度直尺完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）

（1）如图①，AB＝CD，在图①中作出该圆的一条直径；

（2）如图②，AB、BC、CD是圆内接正五边形的三条边，在图②中作出该圆的圆心．

26．某餐馆推出特色小吃，推出了“堂食”和“外卖”两种销售方式．当特色小吃以“外卖”方式售出时，餐馆需额外支付网络平台服务费，服务费为“外卖”销售额的20%．（注：收入＝销售额﹣服务费） 根据以上信息，解决下列问题：

（1）10月份，该餐馆需额外支付的服务费为 元，该月收入为 元； （2）经调研，该餐馆在10月份“堂食”600份销量的基础上，“堂食”价格每提高1元，“堂食”的销量就减少5份，但提高后的价格不能超过30元/份；“外卖”价格始

终保持不变．该餐馆计划11月份只做800份特色小吃，预计全部售完．问“堂食”如何定价，11月份的收入是10760元？

27．【数学概念】

有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”． 【概念理解】

（1）关于“对分四边形”，下列说法正确的是 ．（填所有正确的序号） ①菱形是“对分四边形”

②“对分四边形”至少有两组邻边相等 ③“对分四边形”的对角线互相平分 【问题解决】

（2）如图①，PA为⊙O的切线，A为切点．在⊙O上是否存在点B、C，使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？

小明的作法：

①以P为圆心，PA长为半径作弧，与⊙O交于点B；

②连接PO并延长，交⊙O于点C；

③点B、C即为所求．

请根据小明的作法补全图形，并证明四边形PACB是“对分四边形”．

（3）如图②，已知线段AB和直线l，请在图②中利用无刻度的直尺和圆规，在直线l上作出点M、N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是“对分四边形”．（只要作出一

个即可，不写作法，保留作图痕迹）

（4）如图③，⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB＝8，点C是⊙O上的动点，若存在以A、B、C、D为顶点的四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是⊙O的切线，直接写出AC的长度．

参

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．已知一组数据3，7，5，3，2，这组数据的众数为（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

【分析】根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数据，叫这组数据的众数）得出即可．

解：在数据3，7，5，3，2中，3出现了2次，出现的次数最多， 则这组数据的众数为3． 故选：B．

2．用配方法解方程x2﹣4x＝1时，配方所得的方程为（ ） A．（x+2）2＝1

B．（x﹣2）2＝1

C．（x+2）2＝5

D．（x﹣2）2＝5

【分析】根据配方法即可求出答案． 解：∵x2﹣4x＝1， ∴x2﹣4x+4＝1+4， ∴（x﹣2）2＝5， 故选：D．

3．已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为10cm，直线l与圆O的位置关系为（ ） A．相交

B．相切

C．相离

D．无法确定

【分析】由⊙O的直径为10cm，点O到直线l的距离为10cm，可得点O到直线l的距离大于⊙O的半径．即可求得答案． 解：∵⊙O的直径为10cm， ∵点O到直线l的距离为10cm， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离． 故选：C．

4．下列说法中错误的是（ ）

A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后“正面朝上”和“反面朝上”是等可能的

B．甲、乙两地之间质地均匀的电缆有一处断点，断点出现在电缆的各个位置是等可能的

C．抛掷一枚质地均匀的骰子，“朝上一面的点数是奇数”和“朝上一面的点数是偶数”是等可能的

D．一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，“摸到白球”和“摸到红球”是等可能的 【分析】根据概率公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．

解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后“正面朝上”和“反面朝上”是等可能的，正确，不符合题意；

B、甲、乙两地之间质地均匀的电缆有一处断点，断点出现在电缆的各个位置是等可能的，正确，不符合题意；

C、抛掷一枚质地均匀的骰子，“朝上一面的点数是奇数”和“朝上一面的点数是偶数”是等可能的，正确，不符合题意；

D、一只不透明的袋子中装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，“摸到白球”的概率大于“摸到红球”的概率，故本选项错误，符合题意； 故选：D．

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝62°，E是BC的中点，连接OE并延长交⊙O于点D，连接BD，则∠D的度数为（ ）

A．58° B．59° C．60° D．61°

【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠BDC＝180°﹣∠A＝118°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠ODC＝∠BDC，即可求出∠ODB的度数． 解：连接CD，

∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝62°， ∴∠CDB+∠A＝180°，

∴∠BDC＝180°﹣∠A＝118°， ∵E是边BC的中点， ∴OD⊥BC， ∴BD＝CD，

∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝59°， 故选：B．

6．如图，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得则阴影部分的面积为（ ）

、恰好都经过圆心O，折痕为AB、BC，

A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm2

【分析】作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD＝30°，得到∠AOB＝2∠AOD＝120°，进而求得∠AOC＝120°，再利用阴影部分的面积＝S扇形AOC得出阴影部分的面积是⊙O面积的，即可得出结果．

解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示： ∵OD＝AO ∴∠OAD＝30°，

∴∠AOB＝2∠AOD＝120°， 同理∠BOC＝120°，

∴∠AOC＝120°，

∴阴影部分的面积＝S扇形BOC＝×⊙O面积＝×π×22＝π（cm2）； 故选：C．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．一元二次方程x2＝x的解为 x1＝0，x2＝1 ．

【分析】首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案． 解：x2＝x， 移项得：x2﹣x＝0， ∴x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝0，x2＝1． 故答案为：x1＝0，x2＝1．

8．某招聘考试分笔试和面试两项，笔试成绩和面试成绩按3：2计算平均成绩．若小明笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则他的平均成绩是 87 分．

【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 解：小明的平均成绩是：故答案为：87．

9．如图，一个可以自由转动的圆形转盘，转盘按1：2：3：4的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，指针的位置固定，任意转动转盘1次，则停止后指针恰好落在B区域的概率为 0.2 ．

＝87（分）．

【分析】首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出

指针指向B区域的概率．

解：∵一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域， ∴圆被等分成10份，其中B区域占2份， ∴落在B区域的概率＝故答案为：0.2．

10．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣1 ． 【分析】根据方程有实数根得出△≥0，据此列出不等式求解即可求出k的取值范围． 解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根， ∴Δ＝22﹣4×1×（﹣k）≥0， 解得k≥﹣1， 故答案为：k≥﹣1．

11．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 120 °． 【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．

解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm）， 设圆心角的度数是n度．则解得：n＝120． 故答案为120．

12．如图，在扇形OAB中，C为数为 72 °．

上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度＝4π，

＝0.2；

【分析】连接OC，由等腰三角形的性质得出∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，由四边形内角和为360°可得出∠AOB＝72°． 解：连接OC，

∵AO＝OC，OC＝OB，

∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC， ∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝∠OAC+∠OBC， ∵∠AOB+∠OAC+∠OBC+∠ACB＝360°， ∴∠AOB+2∠ACB＝360°， 又∵∠ACB＝2∠AOB， ∴5∠AOB＝360°， ∴∠AOB＝72°， 故答案为：72．

13．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧

，点O是这段弧所在圆的圆心．C是

上的点，

OC⊥AB，垂足为M．若AB＝10m，CM＝1m，则⊙O的半径为 13 m．

【分析】设⊙O的半径为rm，由垂径定理得AM＝BM＝AB＝5（m），在Rt△AOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 解：连接OA，如图所示： 设⊙O的半径为rm， ∵OC⊥AB，AB＝10m， ∴AM＝BM＝AB＝5（m），

在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝OM2+AM2， 即：r2＝（r﹣1）2+52， 解得：r＝13，

即⊙O的半径为13m． 故答案为：13．

14．AB是⊙O的弦，OC⊥OA，OC交AB于点D．如图，点C在过点B的切线上，若∠BDC＝68°，则∠ABC的度数为 68 °．

【分析】根据切线的性质得∠OBC＝90°，则利用OC⊥OA得到∠AOC＝90°，则可计算出∠OAD＝22°，由于∠DBA＝∠DAB＝22°，则可利用互余计算出∠ABC的度数． 解：连接OB， ∵BC为切线， ∴OB⊥OB， ∴∠OBC＝90°， ∵OC⊥OA， ∴∠AOC＝90°， ∵∠ODA＝∠BCC＝68°， ∴∠OAD＝90°﹣68°＝22°， ∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB＝22°，

∴∠ABC＝90°﹣∠OBA＝90°﹣22°＝68°． 故答案为：68．

15．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，分别以点A、D为圆心，AE长为半径作弧，在⊙O外交于点G，连接OG．若⊙O的半径为1，则OG的长度为

．

【分析】如图，连接AG，AD，AE，OE，过点O作OH⊥AE于点H．解直角三角形求出AE，再利用勾股定理求出OG即可．

解：如图，连接AG，AD，AE，OE，过点O作OH⊥AE于点H． ∵OH⊥AE， ∴∠AH＝EH， ∵∠AOE＝120°， ∴∠OAE＝∠OEA＝30°， ∴AE＝2AH＝2×1×cos30°＝∴AG＝AC＝∵OG⊥AD， ∴OG＝故答案为：

．

＝

＝

，

，

，

三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解下列方程：

（1）x2﹣6x﹣5＝0； （2）3x（x+2）＝2x+4．

【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；

（2）移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 解：（1）∵x2﹣6x﹣5＝0， ∴x2﹣6x＝5，

∴x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝4， ∴x﹣3＝±∴x1＝3+

， ，x2＝3﹣

；

（2）3x（x+2）＝2x+4， 3x（x+2）﹣2（x+2）， （3x﹣2）（x+2）＝0， 3x﹣2＝0或x+2＝0， ∴x1＝，x2＝﹣2．

18．一个不透明的袋子装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同． （1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为

．

（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求恰好摸出一个红球一个白球的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有9种等可能的结果，恰好摸出一个红球一个白球的结果有4种，再由概率公式求解即可．

解：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，恰好摸出一个红球一个白球的结果有4种， ∴恰好摸出一个红球一个白球的概率为．

19．为了从甲、乙两位同学中选拔一人参加知识竞赛，举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如图统计图． （1）填写下列表格：

甲 乙

平均数/分

90 ② 90

中位数/分 ① 91 87.5

众数/分 93 85

（2）分别求出甲、乙两位同学6次成绩的方差．

（3）你认为选择哪一位同学参加知识竞赛比较好？请说明理由．

【分析】（1）根据中位数的定义和平均数的计算公式进行解答即可； （2）根据方差公式进行计算即可； （3）根据方差的意义即可得出答案．

解：（1）把这些数从小到大排列为：82，85，，93，93，98， 则甲同学的中位数是

＝91（分），

乙同学的平均数是：×（95+85+90+85+100+85）＝90（分）， 故答案为：91，90；

（2）甲同学的方差是：[（85﹣90）2+（82﹣90）2+（﹣90）2+（98﹣90）2+（93﹣

90）2+（93﹣90）2]＝（分2），

乙同学的方差是：[（95﹣90）2+（85﹣90）2+（90﹣90）2+（85﹣90）2+（100﹣90）

2

+（85﹣90）2]＝（分2），

（3）选择甲同学．

因为两人的平均数相同，说明两人实力相当，但甲的方差小于乙的方差，说明甲同学发挥更稳定，因此甲同学成绩更优秀，可以选择甲同学参加竞赛．

20．如图，在一个长16m，宽12m的矩形花圃外围铺设等宽的小路，且铺设小路的面积为花圃面积的三分之二，求小路的宽度．

【分析】设小路的宽为xm，得出花园的长为（16+2x）m，花园的宽为（12+2x）m，再根据铺设小路的面积为花圃面积的三分之二，根据长方形的面积公式，即可列出方程，从而求出符合条件的解．

解：设小路的宽度是xm，根据题意得出： （16+2x）（12+2x）﹣16×12＝×16×12， 整理得：x2+14x﹣32＝0，

解得x1＝2，x2＝﹣16（不合题意，舍去）． 答：小路的宽度是2m．

21．如图，点A、B、C在⊙O上，OB平分∠ABC． （1）求证：BA＝BC．

（2）连接AC，若AC＝6，AB＝5，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OA，OC，根据三角形的内角和定理得到∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝180°﹣2∠OBA，同理，∠COB＝180°﹣2∠OBC，根据角平分线的定义得到∠OBC＝∠OBA，求得∠AOB＝∠COB，由等腰三角形的判定定理得到AB＝BC；

（2）延长BO与AC交于D，与⊙O交于E，根据等腰三角形的性质得到BE⊥AC，求得AD＝DC＝AC＝3，根据勾股定理即可得到答案． 【解答】（1）证明：连接OA，OC， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA，

∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝180°﹣2∠OBA， 同理，∠COB＝180°﹣2∠OBC， ∵OB平分∠ABC， ∴∠OBC＝∠OBA， ∴∠AOB＝∠COB， ∴AB＝BC；

（2）解：延长BO与AC交于D，与⊙O交于E， ∵AB＝BC，OB平分∠ABC， ∴BE⊥AC， ∵BE是⊙O的直径， ∴AD＝DC＝AC＝3， ∵∠ADB＝90°， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴52+BD2＝32， ∴BD＝4，

设AO＝BO＝x，则DO＝BD﹣BO＝4﹣x， ∵OD⊥AD， ∴AD2+OD2＝AO2， ∴32+（4﹣x）2＝x2， 解得：x＝

，

．

∴⊙O的半径为

22．已知关于x的一元二次方程x2+2kx+k﹣1＝0．

（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．

（2）若x1，x2为该方程的两个实数根，且满足x1（x2﹣2）＝2x2，求k的值．

【分析】（1）先计算判别式的值，再进行配方法得到△＝（2k﹣1）2+3，则根据非负数的性质可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论；

（2）利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k﹣1，再利用2（x1+x2）﹣x1x2＝0得到2×（﹣2k）﹣（k﹣1）＝0，然后解一次方程即可． 【解答】（1）证明： ∵△＝（2k）2﹣4（k﹣1） ＝4k2﹣4k+4 ＝（2k﹣1）2+3， ∵（2k﹣1）2≥0， ∴Δ＞0，

∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣2k，x1x2＝k﹣1， ∵x1（x2﹣2）＝2x2， ∴2（x1+x2）﹣x1x2＝0， ∴2×（﹣2k）﹣（k﹣1）＝0， ∴k＝．

23．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD＝BC，BA、CD延长线交于点E． （1）求证：∠EAD＝∠BAC； （2）若

的度数为°，则∠E的度数为 32 °．

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠BAD+∠BCD＝180°，进而得到∠EAD＝∠BCD，再根据圆周角定理、等腰三角形的性质证明即可；

（2）先求出∠ACB＝32°，再根据三角形内角和定理计算，求出∠E． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∵∠BAD+∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠BCD， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD，

由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC， ∴∠EAD＝∠BAC； （2）解：∵

的度数为°，

∴∠ACB＝32°，

∵∠EAD＝∠BAC，∠EDA＝∠ABC， ∴∠E＝∠ACB＝32°， 故答案为：32．

24．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AD是⊙O的弦，AD∥OC，延长CD、BA相交于点E．

（1）求证CE是⊙O的切线；

（2）若A恰好是OE的中点，AD＝3，则阴影部分的面积为

．

【分析】（1）连接DO，利用平行线的性质和等腰三角形的性质证明∠COD＝∠COB．则根据“SAS”可判断△COD≌△COB，所以∠CDO＝∠CBO．再根据切线的性质得∠CBO＝90°，则∠CDO＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）根据直角三角形斜边中线的性质得：OA＝3，由勾股定理可求解DE的长，证明△OAD是等边三角形，最后根据面积差可得结论． 【解答】（1）证明：连接DO，如图1，

∵OC∥AD，

∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD， 又∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB， 在△COD和△COB中，

，

∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO． ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO＝90°，

∴∠CDO＝90°， ∴OD⊥CE， 又∵点D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠ODE＝90°，A是OE的中点， ∴AD＝OE＝3＝OA， ∵OA＝OD＝3，

∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°， 由勾股定理得：DE＝

＝3

，

﹣

＝

．

∴阴影部分的面积＝S△ODE﹣S扇形OAD＝故答案为：

．

25．已知A、B、C、D四点在同一圆上，请仅用无刻度直尺完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）

（1）如图①，AB＝CD，在图①中作出该圆的一条直径；

（2）如图②，AB、BC、CD是圆内接正五边形的三条边，在图②中作出该圆的圆心．

【分析】（1）连接AD，BC交于点K，延长BA交DC的延长线于G，作直线KG交圆与E，F，线段EF即为这个圆的一条直径；

（2）连接AC，BD交于点K，延长DC、AB交于点G，连接GK交圆于点P，连接BP与AC交于点Q，连接DQ交GP于点O，点O即为这个圆的圆心． 解：（1）如图，EF即为所求；

（2）如图，点O即为所求．

26．某餐馆推出特色小吃，推出了“堂食”和“外卖”两种销售方式．当特色小吃以“外卖”方式售出时，餐馆需额外支付网络平台服务费，服务费为“外卖”销售额的20%．（注：收入＝销售额﹣服务费） 根据以上信息，解决下列问题：

（1）10月份，该餐馆需额外支付的服务费为 900 元，该月收入为 9600 元； （2）经调研，该餐馆在10月份“堂食”600份销量的基础上，“堂食”价格每提高1元，“堂食”的销量就减少5份，但提高后的价格不能超过30元/份；“外卖”价格始终保持不变．该餐馆计划11月份只做800份特色小吃，预计全部售完．问“堂食”如何定价，11月份的收入是10760元？

【分析】（1）根据“服务费为“外卖”销售额的20%”和收入＝销售额﹣服务费进行计算；

（2）设11月份“堂食”价格提高x元，则11月份的“堂食”的价格为（10+x）元，销量为（600﹣5x）份，根据“11月份的收入是10760元”列出方程并解答． 解：（1）根据题意，得 300×15×20%＝900（元）．

（600×10+300×15）﹣900＝9600（元）． 故答案是：900；9600；

（2）设11月份“堂食”价格提高x元，则11月份的“堂食”的价格为（10+x）元，销量为（600﹣5x）份，

由题意知：（600﹣5x）（10+x）+15×[800﹣（600﹣5x）]＝10860． 整理，得x2﹣122x+472＝0． 解得x1＝4，x2＝118． ∵x2＝118＞30， ∴不合题意，舍去． ∴10+x＝14．

答：“堂食”价格定为14元时，11月份的收入是10760元． 27．【数学概念】

有一条对角线平分一组对角的四边形叫“对分四边形”． 【概念理解】

（1）关于“对分四边形”，下列说法正确的是 ①② ．（填所有正确的序号） ①菱形是“对分四边形”

②“对分四边形”至少有两组邻边相等 ③“对分四边形”的对角线互相平分 【问题解决】

（2）如图①，PA为⊙O的切线，A为切点．在⊙O上是否存在点B、C，使以P、A、B、C为顶点的四边形是“对分四边形”？

小明的作法：

①以P为圆心，PA长为半径作弧，与⊙O交于点B；

②连接PO并延长，交⊙O于点C；

③点B、C即为所求．

请根据小明的作法补全图形，并证明四边形PACB是“对分四边形”．

（3）如图②，已知线段AB和直线l，请在图②中利用无刻度的直尺和圆规，在直线l上作出点M、N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是“对分四边形”．（只要作出一个即可，不写作法，保留作图痕迹）

（4）如图③，⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB＝8，点C是⊙O上的动点，若存在以A、B、C、D为顶点的四边形是“对分四边形”，且有一条边所在的直线是⊙O的切线，直接写出AC的长度．

【分析】（1）根据定义的判断和推理得出①②；

（2）根据画法画出图形，证明△POA≌△POB，再证△APC≌△PBC

（3）分为AB＝AC，AB＝BC，AB＝BD三种情形，当AB＝BC时，设OE＝x，根据AE2＝OA2﹣OE2＝AB2﹣BE2列出方程求得，当AB＝BD时，可推出∠AEB＝2∠EBC，从而只需求出tan

，进而求得AC的长．

解：（1）因为菱形的对角线平分每组对角， 所以菱形是“对分四边形”，

因为“对分四边形”的被平分对角的对角线分成的两个三角形全等， 所以至少两组邻边相等， 故答案是①②； （2）如图1，

证明：连接OAB，OB， ∵OA＝OB， PA＝PB， PO＝PO，

∴△POA≌△POB（SAS）， ∴∠APC＝∠BPC， ∵PC＝PC，

∴△PAC≌△BPC（SAS）， ∴AC＝BC，

∴四边形APBC是“对分四边形”； （3）如图②，

（4）如图③，

当AC＝AB＝8时，过点B和点C作⊙O的切线，交于点D； 如图④，

当BC＝AB＝8时，作过点A和点C作⊙O的切线交于点D； 连接BO并延长交AC于E，连接OA，

根据对称性得， BE⊥AC， ∴AC＝2AE， 设OE＝x，

∵AE2＝OA2﹣OE2＝AB2﹣BE2， ∴52﹣x2＝82﹣（5+x）2， ∴x＝， ∴AE＝∴AC＝如图⑤，

，

＝

，

过点B作⊙O的切线，截取BD＝AB＝8，作∠ABD的平分线交⊙O于点C， 则四边形ABDC是“对分四边形”， 作直径BE，作∠AEB的平分线， 设∠AEB＝α，

∴∠BEF＝α，∠ABE＝90°﹣α， ∴∠ABD＝∠ABE+∠DBE ＝90°﹣α+90° ＝180°﹣α， ∴∠ABC＝

＝90°﹣

，

∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE ＝90°﹣＝

，

﹣（90°﹣α）

∴∠BCE＝∠BEF＝∠AEF，

作FH⊥BE于H， ∴AF＝FH，

∵S△ABE＝S△AEF+S△BEF， ∴

＝

+

，

∴6×8＝6AF+10AF， ∴AF＝3，

∴tan∠CBE＝tan∠AEF＝在△BOG中，OB＝5， ∴BG＝2

，

，

或4

． ＝，

∴AC＝2BG＝4

综上所述：AC＝8或