压轴题训练(四)(解析版)-2020-2021学年七年级数学下学期期中考试压轴题专练(北师大版)

2021年七下期中考试金牌压轴题训练（四）

（时间：60分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、单选题

9991191．若a99，b90，则下列结论正确是（ ）

99A．a＜b 【答案】B 【解析】

B．ab

C．a＞b

D．ab1

99991199119119a99909=990=90=b，

99999故选B.

【点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数. 2．已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则

9EPF的度数为（ ）

A．120 【答案】C 【分析】

根据题意画出示意图，延长FP交AB于点Q，根据折叠的性质和四边形的内角和进行分析解答． 【详解】

解：根据题意，延长FP交AB于点Q，可画图如下：

B．135

C．45或135

D．60或120

1

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∵AB∥CD ∵CFQPQE

∵将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠， ∵CFPPFM,MEPPEQ， ∵FPEPQEPEQ,EMFM，

如第一个图所示，在四边形FPEM中，PFMMEPFPE36090， 得：2FPE270， ∵FPE135．

如第二个图所示，在四边形FPEM中，

PFMMEPFPE360(36090)90，

得：2FPE90， ∵FPE45．

故选：C． 【点睛】

本题考查的知识点是平行线的性质、折叠的性质、三角形的外角、四边形的内角和等知识．关键是利用平行线的性质以及四边形内角和进行解答．

3．在2014，2015，2016，2017这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ）．

2

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A．2014 【答案】A 【解析】

B．2015

C．2016

D．2017

由于ab(ab)(ab)，所以20151008210072；201650525032；

20171009210082；因ab与ab的奇偶性相同，21007一奇一偶，故2014不能表示

22为两个整数的平方差． 故选A.

4．如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）

A．102° 【答案】A 【解析】 【分析】

B．108° C．124° D．128°

先由矩形的性质得出∵BFE=∵DEF=26°，再根据折叠的性质得出∵CFG=180°-2∵BFE，∵CFE=∵CFG-∵EFG即可． 【详解】

∵四边形ABCD是矩形， ∵AD∵BC，

∵∵BFE=∵DEF=26°，

∵∵CFE=∵CFG-∵EFG=180°-2∵BFE-∵EFG=180°-3×26°=102°， 故选：A． 【点睛】

本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．

二、填空题

5．已知m，n，p，q满足mnpq4，mpnq6，则(m2n2)pqmn(p2q2)

3

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__________． 【答案】60 【解析】 【分析】

先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解． 【详解】 ∵m+n=p+q=4

∵（m+n）（p+q）=4×4=16 ∵（m+n）（p+q）=mp+mq+np+nq ∵mp+mq+np+nq=16 ∵mp+nq=6 ∵mq+np=10

∵（m2+n2）pq+mn（p2+q2） =m2pq+n2pq+mnp2+mnq2 =mp•mq+np•nq+mp•np+nq•mq =mp•mq+mp•np+np•nq+nq•mq =mp（mq+np）+np（nq+mq） =（mp+nq）（np+mq） =6×10 =60

故答案为：60 【点睛】

本题需要综合运用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则，将式子通过变形后整体代入求解，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解，有一定难度．

6．如图，在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p,q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2,1)的点共有________个．

4

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【答案】4 【分析】

到l1的距离是2的点，在与l1平行且与l1的距离是2的两条直线上；同理，点M在与l2的距离是1的点，在与l2平行，且到l2的距离是1的两直线上，四条直线的距离有四个交点．因而满足条件的点有四个． 【详解】

解：到l1的距离是2的点，在与l1平行且与l1的距离是2的两条直线上； 到l2的距离是1的点，在与l2平行且与l2的距离是1的两条直线上； 以上四条直线有四个交点，故“距离坐标”是(2,1)的点共有4个． 故答案为：4． 【点睛】

本题主要考查了到直线的距离等于定长的点的集合．

7．已知n为正整数且n3100能被n10整除，则n的最大值为______． 【答案】890. 【解析】 【分析】

根据题意列出算式，变形后得到900能整除n10，即可确定最大整数n的值. 【详解】

n3100由题意得为整数，

n103n10n210n100900n100 且n10n10n210n100900， n105

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900能被n10整除，n的最大值为890.

故答案为：890 【点睛】

此题考查了数的整除性，将算式变形是解题关键，难度较大．

8．∠ABM如图，直线MN∠PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连结AB．的平分线BC交PQ于点C，连结AC，过点A作AD∠PQ交PQ于点D，作AF∠AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE=45°，∠ACB=度数是_____．

5∠DAE，则∠ACD的2

【答案】27°． 【分析】

延长FA与直线MN交于点K，通过角度的不断转换解得∵BCA=45°. 【详解】

解：延长FA与直线MN交于点K，

由图可知∵ACD=90°-∵CAD=90°-(45°+∵EAD)=45°-

111∵FAD=45°-(90°-∵AFD)= ∵AFD， 222因为MN∵PQ，所以∵AFD=∵BKA=90°-∵KBA=90°-(180°-∵ABM)=∵ABM-90°，

1(∵ABM-90°)=∵BCD-45°，即∵BCD-∵ACD=∵BCA=45°， 22所以∵ACD=90°-(45°+∵EAD)=45°-∵EAD=45°-∵BCA=45°-18°=27°.

5所以∵ACD= ∵AFD=

12故∵ACD的度数是：27°. 【点睛】

本题利用平行线、垂直、角平分线综合考查了角度的求解.

6

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三、解答题 9．阅读下列材料：

数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、穷举法，是暴力策略的具体体现，又称为蛮力法．用枚举法解题时应该注意： 1、常常需要将对象进行恰当分类．

2、使其确定范围尽可能最小，逐个试验寻求答案．

正整数N的末尾为5称为“威武数”，那么N的平方数为M称为“平武数”． 例：152225 (212)，

252625

(623)， (1234)，

3521225

4522025 (2045)，

5523025 (3056)，

……

由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点是： ∠“平武数”的末两位数字是25；

∠去掉末两位数字25后，剩下部分组成的数字等于“平武数”去掉个位数字5后剩部分组成的数字与比此数大1的数之积．（如例中的括号内容）

（1）根据以上特点我们能够很快的推出一个四位数的“平武数”M一共有___________个．（2）同学们用学过的完全平方公式求证：当“威武数”N为任意二位数时“平武数”M都满足以上特点．

（3）已知“平武数”M的首位数是2且小于六位，又满足N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，求出“平武数”M的值． 【答案】（1）7；（2）见解析；（3）2025或21025 【分析】

（1）根据“平武数”的特点得出即可

（2）根据“威武数”N为任意二位数，设出两位数的十位数字为n，再利用完全平方公式即可证明；

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（3）分M为三位数、四位数、五位数三种情况讨论 【详解】

解：（1）根据平武数”M特点，且“平武数”M式四位数得， M=3521225；4522025；5523025；6524225；7525625；

8527225；9529025；所以共7个

（2）设威武数”N的十位数字为n，则N=10n+5； M=(10n5)2100n2100n25100n(n1)25 满足∵∵“平武数”的特点

（3）∵当M是三位数时，“平武数”M的首位数是2， 只有N=15， M=225，且1+5=62+2+5=9 ∵当M是四位数时，“平武数”M的首位数是2， 由（1）可知，N=45，M=2025，且4+5=2+0+2+5=9 ∵当M是五位数时，“平武数”M的首位数是2，

N=145，M=21025或N=155， M=24025或N=165， M=27225 当N=145，M=21025时，1+4+5=2+1+0+2+5=10 当N=155， M=24025时，1+5+5=11 2+4+0+2+5=13 当N=165， M=27225时，1+6+5=122+7+2+2+5=18 综上所述平武数”M的值为：2025或21025 【点睛】

本题考查数的规律和完全平方公式；能够读懂材料，将所求转化为材料内容是解题的关键．10． 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8=32-12，16=52-32，24=72-52，因此，8，16，24这三个数都是“和谐数”． （1）在32，75，80这三个数中，是和谐数的是______；

（2）若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为______；

（3）小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n-1和2n+1（其中n取正整数），请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否正确． 【答案】（1）32，80；（2）100；（3）“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的，证明详见解

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析 【分析】

（1）根据“和谐数”的定义，设出一般的情况，看和谐数应满足什么条件，以此条件判断32，75，80这三个数中，哪些数是和谐数；

（2）用字母表示两个连续奇数与和谐数，由和谐数是200，列出方程，解出即得到这两个连续的奇数，从而可以求得这两个连续奇数的和；

（3）用字母表示两个连续奇数与和谐数，通过化简，可以证明结论成立． 【详解】

解：（1）由“和谐数”的定义，设这两个连续的奇数分别为2n1，2n1，

(2n1)2(2n1)2(2n12n1)[2n1(2n1)]8n，则和谐数可表示为：（其中n表示正整数）

∵“和谐数”就是8的正整数倍，

∵32，80是和谐数，75不是和谐数，且32=92-72，80=212-192， 故答案为：32；80.

22（2）∵(2n1)(2n1)200，即8n200，

∵n25，

∵2n1=51，2n1=49， ∵49+51=100，

∵这两个连续奇数的和为100， 故答案为：100.

22（3）证明：∵(2n1)(2n1)(2n12n1)[2n1(2n1)]8n,

∵“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的． 【点睛】

本题考查乘法公式的应用，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的基础，明确题意、将两个连续奇数用字母表示，是解题的关键． 11．如图，点O在直线AB上，COD90．

（1）如图∠，当COD的一边射线OC在直线AB上（即OC与OA重合），另一边射线OD在直线AB上方时，OF是BOD的平分线，则COF的度数为_______．

（2）在图∠的基础上，将COD绕着点O顺时针方向旋转（旋转角度小于360），OE是

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AOC的平分线，OF是BOD的平分线，试探究EOF的大小．

∠如图∠，当COD的两边射线OC、OD都在直线AB的上方时，求EOF的度数． 小红、小英对该问题进行了讨论：

小红：先求出AOC与BOD的和，从而求出EOC与FOD的和，就能求出EOF的度数．

小英：可设AOC为x度，用含x的代数式表示EOC、也能求出EOFFOD的度数，的度数．请你根据她们的讨论内容，求出EOF的度数．

∠如图∠，当COD的一边射线OC在直线AB的上方，另一边射线OD在直线AB的下方时，小红和小英认为也能求出EOF的度数．你同意她们的看法吗?若同意，请求出EOF的度数；若不同意，请说明理由．

∠如图∠，OD都在直线AB的下方时，当COD的两边射线OC、能否求出EOF的度数?若不能求出，请说明理由；若能求出，请直接写出EOF的度数．

∵EOF135；∵同意，EOF=135；∵能求出，EOF45 【答案】（1）（2）135；【分析】

（1）由COD90得BOD90，再由角平分线的性质求出∠DOF的度数，由

COFCODDOF即可求出结果；

（2）∵根据小红和小英的方法，利用角的互补关系和角平分线的性质去求解角度； ∵用同上的方法去求出结果；

∵设AOCx，则BOC180x，由角平分线的性质表示出AOE和BOF，根据EOF180AOEBOF即可求出结果． 【详解】

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解：（1）∵COD90， ∵BOD1809090， ∵OF平分BOD， ∵DOF1BOD45， 2∵COFCODDOF135， 故答案是：135 ；

（2）∵方法1：∵COD90，

∵AOCBOD180COD90 ∵OE平分AOC，OF平分BOD， ∵EOC11AOC，FODBOD， 221AOCBOD45， 2∵EOCFOD∵EOFEOCFODCOD135， 方法2：设AOC为x度， ∵OE平分AOC， ∵EOC11AOCx， 22∵COD90，

∵BOD180CODAOC90x， ∵OF平分BOD， ∵FOD111BOD90x45x， 22211x9045x135； 22∵EOFEOCCODFOD∵同意，

方法1：∵AOCBOC180，OE平分AOC， ∵EOC111AOC180BOC90BOC， 222 11

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∵COD90，

∵BOD90BOC， ∵OF平分BOD， ∵BOF111BOD90BOC45BOC， 222∵EOFEOCBOCBOF1190BOC45BOCBOC135，

22方法2：设AOC为x度， ∵OE平分AOC， ∵EOC11AOCx， 22∵BOC180AOC180x， ∵COD90，

∵BOD90BOCx90， ∵OF平分BOD， ∵BOF111BODx90x45， 22211x180xx45135， 22∵EOFEOCBOCBOF∵能求出，EOF45，理由： 设AOCx，则BOC180x，

∵BODBOCCOD270x， ∵OE平分AOC，OF平分BOD， ∵AOE11111AOCx，BOFBOD270x135x， 2222211x135x45． 22∵EOF180AOEBOF180【点睛】

本题考查角度求解，解题的关键是掌握角平分线的性质，角度互补和互余的性质．

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12．如图，直线MN∠GH，直线l1分别交直线MN、GH于A、B两点，直线l2分别交直线MN、GH于C、D两点，且直线l1、l2交于点E，点P是直线l2上不同于C、D、E点的动点．

（1）如图∠，当点P在线段CE上时，请直写出∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系： ；

（2）如图∠，当点P在线段DE上时，（1）中的∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明成立的理由；如果不成立，请写出这三个角之间的数量关系，并说明理由．

D两点外侧运动时，（3）如果点P在直线l2上且在C、其他条件不变，请直接写出∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系 ．

【答案】（1）∵APB＝∵NAP+∵HBP；（2）见解析；（3）∵HBP＝∵NAP+∵APB 【分析】

（1）过P点作PQ∵GH，根据平行线的性质即可求解； （2）过P点作PQ∵GH，根据平行线的性质即可求解； （3）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解. 【详解】

解：（1）如图∵，过P点作PQ∵GH， ∵MN∵GH， ∵MN∵PQ∵GH，

∵∵APQ＝∵NAP，∵BPQ＝∵HBP， ∵∵APB＝∵APQ+∵BPQ， ∵∵APB＝∵NAP+∵HBP，

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故答案为：∵APB＝∵NAP+∵HBP； （2）如图∵，过P点作PQ∵GH， ∵MN∵GH， ∵MN∵PQ∵GH，

∵∵APQ+∵NAP＝180°，∵BPQ+∵HBP＝180°， ∵∵APB＝∵APQ+∵BPQ，

∵∵APB＝（180°﹣∵NAP）+（180°﹣∵HBP）＝360°﹣（∵NAP+∵HBP）； （3）如备用图， ∵MN∵GH， ∵∵PEN＝∵HBP， ∵∵PEN＝∵NAP+∵APB， ∵∵HBP＝∵NAP+∵APB.

故答案为：∵HBP＝∵NAP+∵APB.

【点睛】

此题考查了平行公理的推论：平行于同一条直线的两直线平行，以及平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟记定理是解题的关键.

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