多组分精馏简述

在化工原理课程中，对双组分精馏和单组分吸收等简单传质过程进行过较详尽的讨论。然而，在化工生产实际中，遇到更多的是含有较多组分或复杂物系的分离与提纯问题。

在设计多组分多级分离问题时，必须用联立或迭代法严格地解数目较多的方程，这就是说必须规定足够多的设计变量，使得未知变量的数目正好等于独立方程数，因此在各种设计的分离过程中，首先就涉及过程条件或独立变量的规定问题。

多组分多级分离问题，由于组分数增多而增加了过程的复杂性。解这类问题，严格的该用精确的计算机算法，但简捷计算常用于过程设计的初始阶段，是对操作进行粗略分析的常用算法。

§3-1分离系统的变量分析

设计分离装置就是要求确定各个物理量的数值，但设计的第一步还不是选择变量的具体数值，而是要知道在设计时所需要指定的独立变量的数目，即设计变量。 一、设计变量 1.设计变量 NiNvNcNx:固定设计变量Na：可调设计变量

Nv：描述系统所需的独立变量总数。

Nc：各独立变量之间可以列出的方程式数和给定的条件，为约束关系数。 要确定Ni，需正确确定Nv和Nc，一般采用郭慕孙发表在AIchE J（美国化学工程师学会），1956（2）：240-248的方法，该法的特点是简单、方便，不易出错，因而一直沿用至今。

郭氏法的基本原则是将一个装置分解为若干进行简单过程的单元，由每一单元的独立变量数Nve和约束数Nce求出每一单元的设计变量数Nie，然后再由单元的设计变量数计算出装置的设计变量数NiE。在设计变量Ni中，又被分为固定设计变量Nx和可调设计变量Na，Nx是指确定进料物流的那些变量（进料组成和流量）以及系统的压力，这些变量常常是由单元在整个装置中的地位，或装置在整个流程中的地位所决定，也就是说，

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实际上不要由设计者来指定，而Na才是真正要由设计者来确定的，因此郭氏法的目的是确定正确的Na值。 2.独立变量与约束数 ①独立变量数

系统的独立变量数可由出入系统的各物流的独立变量数以及系统与环境进行能量交换情况来决定。

单相物流：由相律 fC2C1

相律所指的独立变量是指强度性质。即温度、压力和浓度，与系统的量无关的性质，而要描述流动系统，必须加上物流的数量。

即独立变量数C2

相平衡物流：由于要加上各相的流率，则 独立变量数f2C222C2 其余情况可以类推。

如果所讨论的系统除物流外，尚有热量和功的进出，那么相应在Nv中加入说明热量和功的变量数。 ②约束数

约束数可以依靠热力学第一定律和第二定律来计算，即由物料衡算，热量衡算和平衡关系写出变量之间的关系式。

⑴物料平衡式：C个组分有C个（组分：C-1，总物：1） ⑵能量平衡式：一个系统一个，不能对每个组分分别写。 ⑶相平衡关系式：C(1)个，:相数。

相平衡关系是指处于平衡的各相温度相等，压力相等以及组分i在各相中的逸度相等，我们仅考虑无化学反应的分离系统，故不考虑化学平衡约束数。

⑷内在关系：约定的关系，如已知的等量、比例关系。 二、单元的设计变量 1.无浓度变化的单元

如分配器，泵，加热器，冷却器，换热器，全凝器，全蒸发器，因为这些单元中无浓度变化，故每一物流均可看成单相物流。如加热器。

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eNv2(C2)12C5

约束数：物料平衡式 C个 能量平衡式 1个 NceC1；NieNveNceC4

eC3（进料C+2个，压力1个） 其中：Nxe1，为系统换热量或出换热器的温度，从而可计算。 Na 对冷却器、泵的情况类似。 2.有浓度变化的单元

混合器、分相器、部分蒸发器、全凝器（凝液为两相），简单的平衡级等。在这些单元中，描述一个单相物料的独立变量数是C+2，一个互成平衡的两相物料的独立变量数也是C+2。如果有两个物流是互成平衡的，如离开分相器的两个物料，也可以把它们看成是一个两相物流，因为互成平衡的两个物流间可列出C+2个等式（压力相等，温度相等，C个组分的化学位相等），因此和算成一个两相物流时的Ni值是一样的。计算Nc时，物料平衡式对各种情况都是C个，即对每一组分可写出一个衡算式。其他情况与无浓度变化相同。如绝热操作的简单平衡级。

共有四个物流，但因Vn与Ln为互为平衡的物流，所以可以把它们看成是一个两相物流，故Nve3(C2)个，因为可列出C个物料衡算式和一个热量衡算式。

eNcC1,Nie3(C2)(C1)2C5

e2C5，因为有两股进料，且进料之间以及进料与其中：Nxe0 n板上的压力不相等，Na无论是有浓度变化或无浓度变化的单元，可调设计变量均与组分的数目C无关，组

e分数只在固定设计变量中出现。而且Na都是一个很小的整数，即0、1。因此，计算整

个装置的Na是比较方便的。 三、装置的设计变量

分离装置是由若干单元所组成的，如单个平衡级、换热器和其他与分离装置有关的单元综合而得，即装置的Niu是否等于Nie。

①在装置中某一单元以串联的形式被重复使用，则用Nr以区别于一个这种单元于其他

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种单元的联结情况，每一个重复单元增加一个变量。

②各个单元是依靠单元之间的物流而联结成一个装置，因此必须从总变量中减去那些多余的相互关联的物流变量数，或者是每一单元间物流附加（C+2）个等式。

eeNcNrn(C2) NiuNv n：单元间物流的数目。

eeNaNrn(C2) NiuNieNrn(C2)Nxu因为装置的Nx固定，是指进入该装置的各进料物流（而不是装置内各单元的进料e物流）的变量数以及装置中不同压力的等级数，因此它应比Nx少n(C2)。

ueNxNxn(C2)

uuueNiuNxNaNxNrNa ueNaNrNa

如进料板单元可以看成是一个分相器和两个混合器的组合，此时Nr0，且分相器

eu0，侧线采出板是理论板与分配器的组合。和混合器的Na均为零，故进料板单元的Naeeu1，理论板的Na0,Na1。 Nr0，分配器：Na由若干（N）理论板串级而成的串级单元是最重要的一种组合单元，Nr1,而理论

eu0,Na1。 板的Na由N个绝热操作的简单平衡级串联构成的简单吸收塔，得出：

uuNa1,Niu2CN5,Nx2CN4。

求精馏塔的设计变量，先将塔划分为各种不同的单元，求出Nie，再求出Nie，由于进出各单元（联结各单元）共有9股物流，n9，而整个精馏装置的Nr0。

NiuNieNrn(C2)

ueuu5因为除进料级的Na0外，其余均为1，则NxNiuNa其中：Na很易求出。

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§3-2多组分简单精馏塔的计算

多次单级分离的串联，简称精馏。精馏是分离液体混合物的单元操作，它利用混合物中各组分的挥发度不同，采用液体多次部分汽化，蒸汽多次部分冷凝等汽液间的传质过程，使汽液相间浓度发生变化，并结合应用回流手段，使各组分分离。 一、多组分精馏过程分析 1.模型塔

仅有一股进料且无侧线出料和中间换热设备。 有N块理论板，塔顶为分凝器（或全凝器，即馏出物D以液体状态采出），塔釜有再沸器，塔板序号从塔顶向下数，分凝器序号为1，再沸器序号N+1，加料板序号为n+2，n为精馏段塔板数，F为加料流率，

zF为进料组成，C为组分数，p为操作压力，D为馏

出物的流率，B为釜底残液流率，R为回流比。

除加料板外，每快板上均有上升汽相流率Vj，汽相组成yji，汽相混合物的分子热焓Hj，下降的液相流率Lj，液相组成xji，液相混合物的分子热焓hj及各块板的温度Tj。 2.名词解释 ①关键组分

在设计或操作控制中，有一定分离要求，且在塔顶、塔釜都有一定数量的组分称为关键组分。它是进

料中按分离要求选取的两个组分，它们对于物系的分离起着控制的作用。

轻关键组分，指在塔釜液中该组分的浓度有严格限制，并在进料液中比该组分轻的组分及该组分的绝大部分应从塔顶采出。

重关键组分，指在塔顶馏出液中该组分的浓度有严格限制，并在进料液中比该组分重的组分及该组分的绝大部分应在塔釜液中采出。

关键组分确定后，还需规定轻重关键组分的回收率（分离度）。回收率指轻（重）关键组分在塔顶（釜）产品中的量占进料量的百分数。

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塔顶回收率：E顶塔釜回收率：E釜DxDL100% FxFLWxBH100% FxFH一对轻重关键组分的挥发度一般是相邻的，也可不相邻，比轻关键组分还轻的组分从塔顶蒸出的百分率和比重关键组分还重的组分从塔釜排出百分率分别比轻重关键组分要高。若相邻的轻重关键组分之一含量太少，可选与它邻近的某一组分为关键组分。 ②非关键组分

关键组分以外的组分称为非关键组分。

轻非关键组分，比轻关键组分挥发度更大或更轻的组分，简称轻组分。 重非关键组分，比重关键组分挥发度更小或更重的组分，简称重组分。 ③分配与非分配组分

塔顶、塔釜同时出现的组分为分配组分。只在塔顶或塔釜出现的祖父为非分配组分。关键组分必定是分配组分。非关键组分不一定是非分配组分。

一个精馏塔的任务是使轻关键组分尽量多的进入塔顶馏出液，重关键组分尽量多的进入釜液。

④清晰与不清晰分割

用于塔顶、塔釜物料预分布即物料衡算的两种情况。

清晰分割：轻组分在塔顶产品的收率为1。重组分在塔釜产品的收率为1。即轻组分全部从塔顶馏出液中采出，重组分全部从塔釜排出。一般非关键组分与关键组分间的相对挥发度相差很大。非关键组分为非分配组分。

非清晰分割：轻组分与轻关键组分，重组分与重关键组分的相对挥发度相差不大，或者有的非关键组分的相对挥发度处于轻、重关键组分的相对挥发度之间，这时非关键组分无论在馏出液或是釜液中都有一定数量，及非关键组分为分配组分。 3.多组分精馏过程的复杂性 ①求解方法

二组分精馏，设计变量值被确定后，就很容易用物料衡算式、汽液平衡式和热量衡算式从塔的任何一端出发逐板计算，无需试差。而多组分精馏，由于不同指定馏出液和

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釜液的全部组成，要进行逐板计算，必须先假设一端的组成，然后通过反复试差求解。 ②摩尔流率

二元精馏除了在进料板处液体组成有突变外，各板的摩尔流率基本为常数。而多组分精馏，液、汽流量有一定的变化，但液汽比LV却接近于常数。原因是各组分的摩尔汽化潜热相差较大。 ③温度分布

温度分布无论几元总是从再沸器到冷凝器单调下降。二元精馏在精馏段和提馏段中段温度变化最明显，而多元精馏在接近塔顶和接近塔底处及进料点附近，温度变化最快，这是因为在这些区域中祖产变化最快，而泡点和组成是密切相关。 ④组成分布（浓度）

二组元的组成分布与温度分布一样，在精馏段和提馏段中段组成变化明显，而多组分精馏，在进料板处各个组分都有显著的数量，而在塔的其余部分由组分性质决定，见下表。

塔内组分的分布情况

组分 邻近进料板邻近进料板邻近塔釜的邻近塔顶的上部几块板 下部几块板 轻组分 轻关键组分 有恒浓区 / 0 总趋势 几块板 0 几块板 迅速上升 由塔釜往上汽相出现最大值 汽相有波动 / 有恒浓区 / 出现最大值 迅速增浓 而上升 由塔顶往下而上升 重关键组分 液相有波动 重组分 0 / 0 重组分在塔底产品中占有相当大的分率，由塔釜往上，由于分馏的结果，汽、液相中重组分的摩尔分率迅速下降，但在到达加料板之前，汽液相中重组分的摩尔分率不会降到某一极限值，因为加料中有重组分存在，这一数值在到达加料板前基本保持恒定（恒浓区）。轻组分在塔顶占有很大分率，由于分馏作用，由塔顶往下汽、液相轻组分急剧下降到一个恒定的极限值，直到加料板为止。

关键组分摩尔分率的变化不仅与关键组分本身有关，同时还受非关键组分浓度变化的影响。总的趋势是轻关键组分的摩尔分率沿塔釜往上不断增大，而重关键组分则不断下降（这和双组分精馏的情况类似）。但在邻近塔釜处，由于重组分的摩尔分率迅速上

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升，结果使两个关键组分的摩尔分率下降。即重关键组分在加料板以下摩尔分率出现一个最大值的原因。在邻近塔顶处，由于轻组分的迅速增浓，使两个关键组分的摩尔分率下降，这是轻关键组分在汽相中的摩尔分率在加料板以上出现最大值的原因。

在加料板往上邻近的几块板处，重组分由加料板下面的极限值很快降到微量，这一分馏作用对轻的组分产生影响，在这几块板的摩尔分率上升较快，液相中重关键组分的摩尔分率在加料板以上不是单调下降而有一波动，同理在加料板以下，汽相中轻关键组分的摩尔分率在该处有所上升。

二、多级精馏过程的简捷法（群法）计算

简捷法计算只解决分离过程中级数、进料与产品组成间的关系，而不涉及级间的温度与组成的分布。该计算将多组分溶液简化为一对关键组分的分离，物料衡算按清晰分割计算，求得塔顶和塔釜的流量和组成，用芬斯克公式计算最少理论板数Nm，用恩德伍德公式计算最小回流比Rm，再按实际情况确定回流比R，用吉利兰关联图求得理论板数N。

“理论塔板数的简捷算法”，化学工程，1992，（1）：70

“简捷法求算多组分精馏过程的理论板”，化工设计，1993，3（5）：27 “一种新的理论板数简捷算法”，化学世界，1991，（6）：272 “估算精馏理论塔板数的新方法”，大学化学，1997，（2）：55 1.清晰分割的物料衡算

根据进料量和组成，按工艺要求选好一对关键组分，建立全塔物料衡算式，然后分别得精馏段和提馏段操作线方程。

全塔总物料衡算： FDB 组分i： FziDxDiBxBi

（3-6） （3-5）

在清晰分割条件下，轻组分在塔釜不出现，重组分在馏出物中不出现。可根据轻、重关键组分在塔釜和塔顶馏出物中的摩尔分数xLKB,xHKD求出塔顶、釜组成。

DFnLKzzi1nLKi1i(FD)xLKBDxHKD xLKBF

iD1xHKDxLKB （3-7）

BFD

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馏出物中轻关键及非轻关键组分的摩尔分数分别为

xLKDFzFzLKBxLKB,xLNKDLNK

DDFzFzHKDxHKD,xHNKBHNK

BB （3-8，9）

釜液中重关键组分及重非关键组分的摩尔分数分别为

xHKB （3-10，11）

假定为恒摩尔流，则操作线方程 精馏段：yni提馏段：ymiLDR1xn1,ixDixn1,ixDi LDDLR1R1LqFLBVxm1,ixWixm1,ixBi

LqFBLqFBLBLBq定义为每公斤分子进料汽化成饱和蒸气时需要的热量与进料的分子汽化潜热之

比。

qHhF饱和蒸气的焓进料的焓饱和蒸气的焓饱和液体的焓Hh

P53例3-1，一般由物料衡算方程求出关键组分在塔顶、塔釜的量，再由S方程求出塔顶釜的组成。

2.芬斯克（Fenske）法计算最少理论板数Nm

与双组分精馏一样，全回流时，R为无穷大，此时所需塔板数少，且F0,D0,B0 精馏段操作线方程：ynixn1,i 提馏段操作线方程：ymixm1,i

即不论是精馏段或提馏段，对任一板，来自下面塔板的上升蒸汽与该板溢流下去的液体组成相同，结合相对挥发度的概念，对各板进行推导可得（P57）：

yxlg(L)D(H)ByxL塔顶为分凝器时： NmH

lg(LH)avxxlg(L)D(H)BxLxH1 塔顶为全凝器时： Nmlg(LH)av （3-18）

（3-20）

讨论：①上两式是对组分L,H推导的结果，即能用于双组分，也能用于多组分精馏。对多组分精馏，用一对关键组分来求，其它组分对它们分离的影响反映在LH上。所以关键组分选取不同，Nm不同，只有按一对关键组分所计算的Nm值，才能符合产品的分离要求。

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②Nm与进料组成无关，也与组成的表示方法无关。

NmlgDLDHBHBL

lg(LH)av③ (LH)avN(LH)1(LH)2(LH)Nm3(LH)D(LH)F(LH)B(LH)D(LH)B 当塔顶塔釜相对挥发度比值小于2时，可取算术平均。

④随分离要求的提高，轻关键组分的分配比加大，重关键组分的分配比减小，LH下降，

Nm增加。

⑤全回流下的物料分布（非清晰分割，Hangsteback法）

在实际生产中，比轻关键组分还轻的组分，在釜内仍有微量存在，重组分在塔顶馏出液中有微量存在。不清晰分割物料分布假定在一定回流比操作时，各组分在塔内的分布与在全回流操作时的分布相同，这样就可以采用Fenske公式去反算非关键组分在塔顶塔釜的浓度。

Fenske方程：NmlgDLDHBHBL

lg(LH)avDDLNmDHNmDHLH 或： iiH BLBHBiBH根据给出的关键组分的分离要求由简捷法可求得Nm，然后可以任意组分i的DiBi取代式中的DLBL或DHBH来求算出DiBi，有了DiBi再联立DiBiFi即能求出个组分在塔顶、塔釜的分配情况。

计算组分分布，必须先计算平均相对挥发度。为此，必须知道塔顶与塔釜的温度，但是确定这些温度，又必须有组成数据，因此只能用试差法反复试算，直到结果合理为止。

先按清晰分割得到的组成分布来试算塔顶与塔釜的温度，即泡点、露点温度，再计算其相对挥发度，平均相对挥发度，计算Nm以及计算新的组成分布，反复试差至组成不变为止。

xDi,xBiTD,TBLHNm 已知条件设为清晰分割 xDi,xBiTD,TBLHNmxDi,xBi

比较 10

另还可采用图解法。

lgDLDNmlgLHlgH （3-15） BLBHlgDLBL其斜率lgLH为一直线关系，

为Nm，只要找出代表关键组分的两个点，a

(lgDLBL,LH)与b(lgDHBH,HH)，便可以

绘制直线，延长直线ab，可在直线上找到其

他组分的代表点，轻组分在a点上方，重组 图3-6 组分在塔顶和塔釜的分布 分在b点下方，根据iH查图得DiBi，再由DiBiFi求Di,Bi。

计算机求解见：宁英男，多元精馏中组分在塔顶塔底预分配关系的计算机计算，化工设计通讯，1995，21（1）：53-56。 3.恩德伍德法计算最小回流比Rm

当轻重关键组分的分离度一经确定，在指定的进料状态下，用无穷的板数来达到规定的分离要求时，所需的回流比称为最小回流比Rm。

对双组分精馏在Rm下操作，将在进料板上下出现恒浓区，即加料板处两根操作线与平衡线相交，由精馏段操作线的斜率可求Rm。

对多组分精馏，由于非关键组分的存在，最小回流比下有上下两个恒浓区，使出现恒浓区的部位较双组分复杂。Underwood根据物料平衡和相平衡关系，利用两段恒浓区的概念，导出了两个求取Rm的公式。

xixFi1q；RmiDi1 ii （3-21，22）

讨论①上式推导假定为恒摩尔流率，i为常数。

②iiH或i组分对进料中最重组分的相对挥发度。按前述方法计算平均值，也可计算平均温度下的相对挥发度代之。tDtDWtW。 F③是方程的根，有C个，只取HH1LH，求解可用N-R法。

F()ixFiF(n)ixFi1q0；F()； n1n2iF()(i)n11

④适用范围为清晰分割。对非清晰分割，杨莹将Underwood法扩展，见计算机与应用化学，1995，12（2）：152-154，“精馏塔最小回流比求解方法”。

⑤Rm是实际回流比的下限，适宜回流比的数值在全回流与最小回流比之间，其选择是一个经济核算问题。 根据70座分离烃类的常压塔其

mRopRm如果平衡数据准确度较差，则Rm1.11.24倍，

的可靠性就差，则RR的倍数宜取大些。P59例3-2。 4.吉利兰（Gilliland）关联图求得理论板数N。

确定最小回流比和最少塔板数不仅有利于确定回流比和理论板数的容许范围，而且对于挑选设计计算中的特定操作条件也是很有用的指标，由于确定回流比与理论板数之间的确切关系需要很复杂的推导，Gilliland根据61个二组分和多组分精馏塔的逐板计算结果整理而得Rm,R,NmN四者的关联图，见P60图3-7。Erbar（耳波）Maddox（马多克斯）关联式对此进行了改进。P61图3-8，适用于非理想溶液，但q1（泡点进料）。

还有数学解析式便于计算机计算的李德公式。 当0x0.01,y1.018.5715x

0.01x0.9,y0.5458270.5914220.002743/x

0.9x1.0,y0.165950.16595x

x,y的定义同吉利兰图。P61例3-3。

5.进料板位置的确定

根据芬斯克公式计算最少理论板数，即能用于全塔，也能单独用于精馏段或提馏段，从而可求得适宜的进料位置。

精馏段最少理论板数：nlg(xLxH)D(xHxL)F

lgLHlg(xLxH)F(xH （3-23）

提馏段最少理论板数：mlgLH)BxL

（3-24）

xxlg(L)D(H)FxHxLn且 nmNm

xHmlg(xL)F()BxHxL

（3-25）

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柯克布兰德（Kirkbride）提出对泡点进料的经验式：

xnxHW()F(LW)2()mxLxHDD0.206

6.简捷法计算理论板数步骤

①根据工艺条件及工艺要求，找出一对关键组分。 ②由清晰分割估算塔顶、塔釜产物的量及组成。

③根据塔顶塔釜组成计算相应的温度、求出平均相对挥发度。 ④用Fenske公式计算Nm。

⑤用Underwood法计算Rm，并选适宜的操作回流比R。 ⑥确定适宜的进料位置。

⑦根据Rm,R,Nm，用Gilliland图求理论板数N。

P62例3-4。

§3-3多组分复杂精馏塔的计算

多组分精馏问题的图解法、经验法和近似算法，除了像二组分精馏那样的简单情况外，只适用于初步设计，对于完成多组分多级分离设备的最终设计，必须使用严格计算法，以便确定各级上的温度、压力、流率、汽液相组成和传热速率。严格计算法的核心是联立求解物料衡算、相平衡和热量衡算式。尽管对过程作了若干假设，使问题简化，但由于所涉及的过程是多组元，多级和两相流体的非理想性等原因，描述过程的数学模型仍是一组数量很大，高度非线性的方程，必须借助计算机求解。 一、多组分复杂精馏过程的模型

在建立精馏等分离过程的数学模型时需先给出明确的模型塔，以建立描述精馏等过程的物理模型。 1.复杂精馏塔物理模型

对于多于两股出料的精馏，称为复杂精馏。采用复杂精馏进行分离是为了节省能量和减少设备的数量。 ①复杂精馏塔类型 1） 多股进料

将不同组成的物料加在相应浓度的塔板上，从能耗看，单股进料更耗能，因为混合物的分离不是自发过程，必须外界供给能量。采

用三股进料，表明它们进塔前已有一定程度的分离，比它们混合成一股在塔内进行分离

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节省能量。如氯碱厂脱HCl塔，有三股不同组成的物料分别进入塔的相应浓度的板上。 2） 侧线采出

从塔身中部采出一个或一个以上物料，侧线采出口可在精馏段或提馏段，按工艺要求采出的物料可为液体或气体。采用侧线采出，可减少塔的数目，但操作要求更高，如裂解气分离中的乙烯塔，炼油中的常压、减压塔等。 3） 中间冷凝或中间再沸

中间再沸是在提馏段抽出一股料液，通过中间再沸器加入部分热量，以代替塔釜再沸器加入的部分热量，中间再沸器的温度低，所用加热介质温度要求低，甚至可用回收热，以节省能量。

中间冷凝在精馏段抽出一股料液（气相），通过中间冷凝加入部分冷量，以代替塔顶冷凝器的部分冷量。由于中间冷凝温度更高，可采用较高温度的冷剂，从而节约冷量。

使用中间再沸器或中间冷凝器的精馏，相当于多了一股侧线出料和一股进料及中间有热量引入的或取出的复杂塔。 ② 模型塔

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该模型塔有N块理论板，包括一个塔顶冷凝器和一个再沸器。理论板的顺序是从塔顶向塔釜数，冷凝器为第一块板，再沸器为第N块板，除冷凝器与再沸器外每一块板都有一个进料F；气相侧线出料G；液相侧线出料S和热量输入或输出，若计算的塔不包括其中的某些项目，则设该参数为零, 并假定每块板为一块理论板。 2.平衡级的理论模型 ①多级分离过程的平衡级

在多级分离塔中的每一级上进行的两相流体间的传质和传热现象是十分复杂的，受到很多因素的影响，把所有因素够考虑在内，获得的两相间传质和传热的关系式，进而求得这两相流体的温度，压力和组成等参数是不可能的，因此常对每一分离级做如下假设：

1) 在每一分离级上的每一相流体都是完全混合的，其温度、压力和组成在分离级上各

处都一致，且与离开分离级的该相流体相同。 2) 离开分离级的两相流体之间成相平衡。

具备这两个条件的分离级就是平衡级，在做了上面两个假设后，精馏、吸收、蒸出和萃取的多级分离过程就可以被认为是多级平衡过程。由平衡级假设引起的误差，可以进行修正，如引进级效率等。

对于应用填料塔作为分离设备的多级分离过程，可以用等板高度(HETP)的概念，把一定的填料高度折算成相应的平衡级数，仍按多级平衡过程进行计算。 ②多级分离过程的数学模型—MESH方程组

在平衡级的严格计算中，必须同时满足MESH方程，它描述多级分离过程每一级达汽液平衡时的数学模型。

1) 物料平衡式(每一级有C个,共NC个) Material Balance Equ。

Lj1xi,j1(VjGj)yij(LjSj)xijVj1yi,j1Fjzij

（3-59）

2) 相平衡关系式(每一级有C个,共NC个) Equilibrium Balance Equ。

yijkijxij

（3-60）

3) 摩尔分率加和式(每一级有一个,共有N个) Summary Equ。

xij1或yij1

（3-61）

4) 热量平衡式(每一级有一个,共有N个) Heat Balance Equ。

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Lj1hj1(VjGj)Hj(LjSj)hjVj1Hj1FjHFjQj

（3-62）

除MESH模型方程组外,kij,Hj,hj的关联式必须知道

kijkij(Tj,pj,xij,yij) NC个 hjhj(Tj,pj,xij) N个 HjHj(Tj,pj,yij) N个

将上述N个平衡级按逆流方式串联起来，有NcuN(2C3)个方程和

uNv[N(3C9)1]个变量。

设计变量总数NiuNC6N1个， 固定N(C3)，可调3N1 如 1）各级Fij,zij,TFj,pFj，N(C2)个

2）各级pj，N个

3）各级Gj(j2N)和Sj(j1N1)，2(N1)个 4）各级Qj，N个 5）各级N，1个

若要规定其他变量，则可以对以上的变量作相应替换，对不同类型分离，有不同典型的规定方法，可见化工分离过程P122表4-1。

在N(2C3)个MESH方程中，未知数为xij,yij,Lj,Vj,Tj，其总数也是N(2C3)个,故联立方程组的解是唯一的。 3、计算方法 ①开发前的准备

构成一个精馏塔模拟计算的算法。必须对下列三点作出选择和安排。

1）迭代变量的选择。即选择那些变量在迭代过程中逐步修正而趋近解的。其余变量择由这些迭代变量算得。

2）迭代变量的组织。决定是对整个方程组进行联列解，还是进行分块解，若为联列解，那么方程和迭代变量如何排列和对应必须决定。如果选定分块解，则需确定如何分块，那些（个）变量与那一块方程组相匹配，那一块在内层解算，那一块在外层解算等。

3）一些变量的圆整和归一的方法以及迭代的加速方法。

由于对这三种方法不同的选择和安排，产生了许多模拟计算方法，这些算法在收敛的稳定性，收敛的速度和所需的计算机内存的大小等方面存在显著的差异。所以需要选

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择比较合适的算法。 ②严格计算法的种类 1）逐板计算法

逐板计算法是运用试差的方法,逐级求解相平衡,物料平衡和热平衡方程式。该法由

Lewis-Mathesm于1933年首先导出数学模型，并于50年代计算机应用后,提出了逐板求解的方法，这类方法适合于清晰分割场合。对非清晰、非关键组分在塔顶、釜的组成较难估计，致使每轮计算产生较大的误差，计算不容易收敛。在计算机被广泛应用前，曾是主要的较严格的多级平衡过程的计算方法，但其受截断误差传递影响较大，对复杂塔稳定性较差。目前在电算中很少采用，但在吸收上仍有采用。 2）矩阵法

是将MESH方程按类别组合，对其中一类和几类方程组用矩阵法对各级同时求解,该法由Amundson于1953年提出，有三角矩阵法，矩阵求逆法，CMB矩阵法，2N牛顿法等。由于这些方程都是高度非线性的，因此必须用迭代的方法，逐次逼近方程组的解。所选用的迭代方法主要有直接迭代法，校正迭代法和牛顿—拉夫森迭代法。这些迭代法都是设法将非线性方程组简化为线性方程组，然后对此线性方程组求解。并将该解作为原方程的近似解，逐次逼近原方程组的解。 3）松弛法

松弛法是采用不稳定状态的物料平衡方程和热平衡方程，求解稳定状态下多级平衡过程。通常是只用不稳定状态的物料平衡方程，求解稳定状态下的组成。该法优点是“算法简单，只要选取了合适的松弛因子，一般都能收敛，且不受初值影响”，“迭代的中间结果具有物理意义”。如以进料组成为各级重流体相组成的初值时，中间结果可以被看成是由于开工不稳定状态趋向稳定状态的过程。 ③计算类型

多级平衡过程的计算，从其计算的目的和要解决的问题来划分，又可分为设计性计算和操作性计算。

1）设计性计算。其目的在于解决完成一预定的分离任务的新过程设计问题。即在给定的进料条件F,xF,T,p)，塔的操作压力和回流比外，还需知道轻、重关键组分的回收率，求解所需的理论板数，和最佳进料位置和侧线采出位置。

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2）操作性计算。是已知操作条件下，分析和考察已有的分离设备的性能。如精馏计算是在给定操作压力，进料情况，进料位置，塔中具有的板数和回流比下，计算塔顶，塔底产品和量和组成，以及侧线抽出的组成和塔中的温度分布等。

前面提到的算法除了逐级计算法中的 Lewis-Matheson法适用于设计性计算外。其他方法只适用于操作型计算，若用其进行设计型计算，需先设平衡级数（板数），进料位置和出料速度与位置，然后进行试算。根据每次试算的结果对所设变量进行修正，直至计算结果满足设计要求。 ④发展动态

开发新的方法，动态模拟与调优，特定过程模拟。

A精馏塔MESH方程组求解的一种双重迭代法，化工学报，1992，（6）：705

B模拟复杂精馏过程的新算法，石油化工，1997，（12）：817，将松弛法与N-R法结合。 C模拟复杂精馏过程的新算法，化学工程，1996，（3）：13，三维非平衡混合池模型。 D面向方程联立求解的精馏塔模拟与优化一体化算法，化工学报，1997，（1）：46 E非均相催化精馏过程模拟，华东理工大学学报，1998，（3）：279 F精馏过程动态模拟与仿真的研究，1998级杨霞研究生论文。

二、三对角矩阵法 1、计算原理

此法用于分块解法，分块求解就是将MESH模型方程作适当分组，每小组方程与一定迭代变量相匹配，那些不是与此组方程相匹配的迭代变量当作常量。解这小组方程得到相应的迭代变量值，他们在解另一组方程时也作为常量。当一组方程求解后再解另一组方程。当全部方程求解后，全部迭代变量值均得到了修正，如此反复迭代计算，直至各迭代变量的新值和旧值几乎相等，也即修正值很小时，才得到了收敛解。

矩阵法计算原理在初步假定的沿塔高温度T、汽、液流量V,L的情况下，逐板地用物料平衡（M）和汽液平衡（E）方程联立求得一组方程，并用矩阵求解各板上组成xij。用S方程求各板上新的温度T。用H方程求各板上新的汽液流量V,L。如此循环计算直到稳定为止。 2、ME方程

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将E方程带入M方程消去yij。

Lj1xi,j1Vj1ki,j1xi,j1Fzij(VjGj)kijxij(LjSj)xij0 Lj1xi,j1[(VjGj)kij(LjSj)]xijVj1kj1xi,j1Fjzij 令AjLj1 Bj[(VjGj)kij(LjSj)] CjVj1ki,j1 DjFjzij

∴Ajxi,j1BjxijCjxi,j1Dj

当j1时，即塔顶冷凝器，由于没有上一板来的液体

∴A1L00 ；B1(V1ki1L1S1)；CjV2Ki2 ；D10 ∴B1xi1C1xi2D1

当jN时，即塔釜，由于没有下一板上来的蒸汽

ANLN1；BN(VNkiNB)；CNVN10；DN0

∴ANxi,N1BNxi,NDN ME线性方程组和矩阵为：

B1xi1C1xi2D1 j1 Ajxi,j1BjxijCjxi,j1Dj 2jN1 ANxi,N1BNxi,NDN jN

B1A2C1B2C2AjBjCjAN1BN1ANxi1D1xDi22xDijj CN1xi,N1DN1BNxi,NDN （3-63）

（3-68）

（3-69）

或简写为[A,B,C]{xij}={Dj}。其中{xij}未知量的列向量；{Dj}常数项的列向量； [A,B,C]三对角矩阵；A,B,C矩阵元素。若Vj,Lj,Tj(Fj,Gj,Sj)等值先固定，则

Aj,Bj,Cj,Dj为常数。所以其中只有N个未知量xij，故能求解。

3、初值的确定

①Tj。根据塔顶、塔釜的温度线性分布。

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Tj初TD(TBTD)(j1) N1②Vj。设为恒摩尔流。

j 板平衡： FjVj1Lj1VjGjLjSj

Vj1VjGjLjSjLj1Fj

液相平衡：Lj1qFjLjSj

Vj1VjGjFj(1qj)

2jN1

其中：V2(R1)DDL1

（L1RD）

③Lj。由Vj求

由j板与塔顶作物料平衡

Vj1jjjFk2kLjjkSGkk2k2kD

LjVj1(Fk2GkSk)D

Aj,Bj,Cj,Dj常数中如果某些物料没有可以用零

代入。 4、求解方法

①三对角矩阵中求解{xji}的方法（Gauss消去，托马司法，追赶法）

利用矩阵的初等变换将矩阵中一对角线元素Aj变为零，另一对角线元素Bj变为1，然后将Cj与Dj引用两个辅助参量Pj和qj。

1P1xi1q101Pxq2i2201Pjxijqj xq01PN1i,N1N101xiNqN增广矩阵

其中PjCjBjAjPj1 qjDjAjqj1BjAjPj11

当j1,A10。∴P1C1B,q1D1B1

由此求出各Pj和qj，并可以求出某一组分在各块板上的液相组成。

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xiNqNxi,N1pN1xiNqN1xijpjxi,j1qjxi1p1xi2q1

若对C个组分的矩阵进行求解后，即得各块板上所有组分的液相组成。 ②用S方程计算新的温度分布，在未收敛前xij1，在0.3～15的范围内。 1）圆整.xijxijxij

2）用泡点法求Tj，并同时得yij。 ③用H方程计算各块板的Vj和Lj。

H方程：Lj1hj1Vj1Hj1FjHFj(VjGj)Hj(LjSj)hjQj 任一板总物料衡算

LjSjLj1Vj1Fj(VjGj)

代入上式并整理。

Vj1(Hjhj)(VjGj)(hjhj1)Lj1(HFjhj)FjQjHj1hj

由假定的初始值V1即可求得Vj1，计算顺序从冷凝器开始，然后随着j的递增而求得VN为止。

V1DS1,L1RD,V2DL1(R1)D 而LjVj1(FKGKSK)D

K2j也可将各板的H方程写出，并把他们集合在一起，也可得到一个二对角线矩阵方程。通过计算α，β，γ计算出各板的V,L。 5、计算步骤

①确定必要条件和基础数据。

②按塔顶、塔釜的温度假定在塔内温度为线性分布的温度初始值Tj，按恒摩尔流假定一组初始的蒸汽量分布Vj。

③由假设的Tj计算kij，然后计算ME矩阵方程中的Aj,Bj,Cj,Dj,Pj,qj。

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④用高斯消去法解矩阵得xij，若xij1，则圆整。

⑤由计算出的xij，用S方程试差迭代出新的温度Tj，同时计算yij。 ⑥由xij、yij、Tj计算Hj,hj。

⑦用H方程从冷凝器开始向下计算出各板的新的汽液相流量Vj,Lj。 ⑧判断是否满足收敛条件

T[(Tj)k(Tj)k1]20.01N H(Vj)k(Vj)k10.01

(Vj)k若计算结果不能满足此收敛条件，得到的Tj、Vj,Lj值作为初值，重复③以下的步骤。计算框图见P78图3-13。P78例3-6。 6、流量加和法（SR法）

三对角矩阵的另一形式，即在解ME三对角矩阵方程求出组分流率lij或vij，组分流率加和得到Lj和Vj，再用H方程校正温度Tj。用这一顺序为计算方便，独立变量取用各板之组分流率lij代替xij，相应的衡算式的形式也要有所改变。见81-83页。 7、讨论

①由子程序求解ME三对角矩阵的xij，若为负值均置为零。

②对接近理想溶液的物系，采用大循环，计算速度快，对非理想溶液物系，采用T循环有利收敛。

③对接近理想溶液体系，对Tj,Vj初值要求不苛刻，Tj按线性内插，Vj按恒摩尔流能够达到收敛解。对非理想物系，Tj,Vj初值会影响到是否收敛和收敛速度。 ④收敛判据不唯一。

⑤BP法与SR法比较

BP法是以求得的浓度来决定下一循环所用的温度。即适用于塔板温度主要决定于浓度，而流率主要决定于热平衡。即热衡算中潜热影响大于显热影响的情况。对组分沸点相近的系统（即窄沸程物系），由于其精馏时，汽液相的总流率是由潜热差通过热平衡确定，且塔板温度受组成的影响较大，适用于该法。即适用于TDB55℃。 SR法可以用在组成对流率的影响大于焓平衡对流率的影响，温度主要是决定于热

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量平衡而不是组成，以及热平衡中显热的影响较为显著的情况，沸点差较大（宽沸程）的混合物的精馏计算宜用SR法，此时全塔温差大，在热量平衡中显热的影响较为显著，即适用于TDB55℃的情况。但郭天民提出SR法用于精馏稳定性差，仅适合于吸收，萃取，谁是谁非，难以定夺。 ⑥BP法的缺陷

BP法用于非理想性较强的物系，往往不收敛，除对初值有要求外，最主要是由M方程得到的液相组成xij在没有收敛前，不满足的xij1关系式，如果将这些组成直接返回第二步运算，结果会发散。如果将得到的这些xij值圆整，则xij已不再满足M方程，将这些不满足物料衡算的xij值作为下次迭代的初值，对非理想物系必然不收敛。仲，高松提出用物料衡算来校正圆整后的液相组成，使之不仅满足S方程，也尽量符合M方程。该法称为CMB法。丁惠华对此进行了修正，在三对角矩阵基础上，引进组分的物料衡算，对塔两端产品的组成及塔内各板组成进行校正，使计算适用于非理想物系的精馏计算。他用文献上8组三对角矩阵不收敛的物系，用改进CMB计算全部收敛。

见“改进的CMB矩阵法”，石油化工，1984，（2）：121。

丁惠华，三对角矩阵法在计算非理想系统精馏塔时的局限性，化学工程，1981（1）：7 多组分吸收计算—SR法，化学工程，1984，（6）：30

三对角矩阵的精馏过程新算法，扬子石油化工，1990，5（3）：34（用于吸收，扬子乙烯装置C3绿油吸收塔）。

三对角与二对角矩阵法应用于非理想溶液精馏计算的收敛性，化工学报，1999，（1）：70

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