1．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）若a=3，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．
（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 解：（1）y＝a（x+3）（x﹣1），令y＝0，则x＝1或﹣3， 故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）； （2）抛物线的表达式为：y=（x+3）（x﹣1）…①，
当∠MAO＝45°时，如图所示，则直线AM的表达式为：y＝x…②，
1
31
联立①②并解得：m＝x＝4或﹣3（舍去﹣3），故点M（4，7）； ②∠M′AO＝45°时
同理可得：点M（﹣2，﹣1）； 故：﹣2≤m≤4；
（3）①当BD是矩形的对角线时，如图2所示，
第 1 页 共 9 页
过点Q作x轴的平行线EF，过点B作BE⊥EF，过点D作DF⊥EF， 抛物线的表达式为：y＝ax2+2ax﹣3a，函数的对称轴为：x＝﹣1，
抛物线点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），则点P的横坐标为：﹣1，OB＝1， 而CD＝4BC，则点D的横坐标为：﹣4，故点D（﹣4，5a），即HD＝5a， 线段BD的中点K的横坐标为：﹣3a），则HF＝BE＝3a，
∵∠DQF+∠BQE＝90°，∠BQE+∠QBE＝90°，∴∠QBE＝∠DQF， ∴△DFQ∽△QEB，则
𝐷𝐹𝑄𝐸
−4+12
=−，则点Q的横坐标为：﹣2，则点Q（﹣2，
2
3
=
𝐹𝑄𝐵𝐸
，8𝑎3
=
23𝑎
，解得：a=±（舍去负值），
1
2同理△PGB≌△DFQ（AAS），
∴PG＝DF＝8a＝4，故点P（﹣1，4）； ②如图3，当BD是矩形的边时，
作DI⊥x轴，QN⊥x轴，过点P作PL⊥DI于点L， 同理△PLD≌△BNQ（AAS），∴BN＝PL＝3， ∴点Q的横坐标为4，则点Q（4，21a）， 则QN＝DL＝21a，同理△PLD∽△DIB，
第 2 页 共 9 页
∴
𝑃𝐿𝐷𝐼
=
𝐿𝐷𝐵𝐼
，即
3
5𝑎
=
21𝑎5
，解得：a=±
√77（舍去负值），
LI＝26a=
26√726√7，故点P（﹣1，），； 77
26√77
综上，点P的坐标为：P（﹣1，4）或（﹣1，
1
2）．
2．如图，已知抛物线y=−𝑥2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）和点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0，），当点P在x轴正半轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF
23
是平行四边形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
112−（1）将点A（﹣1，0）和点C（0，2）代入𝑦=−2𝑥+𝑏𝑥+𝑐中，得{2−𝑏+𝑐=0． 3
𝑏=解得{2．
𝑐=2
𝑐=2
则该抛物线解析式为：𝑦=−𝑥2+𝑥+2；
（2）由题意知点D坐标为（0，﹣2）， 设直线BD解析式为y＝kx+b，
4𝑘+𝑏=0将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：{，
𝑏=−2解得：{𝑘=2，
𝑏=−2
第 3 页 共 9 页
12321
∴直线BD解析式为y=x﹣2， 当点P在线段AB上时，
∵QM⊥x轴，P（m，0）（m＞0），
∴Q（m，−2m2+2m+2）、M（m，m﹣2），
2
1
3
1
1
2则QM=−2m2+2m+2﹣（m﹣2）=−2m2+m+4，
2
13
1
1
∵F（0，），D（0，﹣2），
2
3
∴DF=， ∵QM∥DF，
∴当−2m2+m+4=2时，四边形DMQF是平行四边形， 解得：m＝1−√2（舍去）或m＝1+√2，
即当m＝1+√2时，四边形DMQF是平行四边形；
（3）如图所示：
1
7
7
2
∵QM∥DF， ∴∠ODB＝∠QMB， 分以下两种情况：
①当∠DOB＝∠MBQ＝90°时，△DOB∽△MBQ， 则
𝐷𝑂𝑂𝐵
=
𝑀𝐵𝐵𝑄
=
24
=，
2
1
∵∠MBQ＝90°， ∴∠MBP+∠PBQ＝90°，
第 4 页 共 9 页
∵∠MPB＝∠BPQ＝90°， ∴∠MBP+∠BMP＝90°， ∴∠BMP＝∠PBQ， ∴△MBQ∽△BPQ， ∴
𝐵𝑀𝐵𝑄
=
𝐵𝑃𝑃𝑄
，即=
2
14−𝑚−𝑚2+𝑚+21232，
解得：m1＝3、m2＝4，
当m＝4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去， ∴m＝3，点Q的坐标为（3，2）；
②当∠BQM＝90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′， 此时m＝﹣1，点Q的坐标为（﹣1，0）；
综上，点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y=−x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM． （1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
1
213
（1）解：对于抛物线y=3x2﹣2x，令y＝0，得到x2﹣2x＝0，
3
1
1
解得x＝0或6，
第 5 页 共 9 页
∴A（6，0），
∵直线y=−2x+b经过点A， ∴0＝﹣3+b， ∴b＝3，
∵y=3x2﹣2x=3（x﹣3）2﹣3， ∴M（3，﹣3）．
（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式y=−2x+n．
1
1
11
∵平移后的直线经过M（3，﹣3）， ∴﹣3=−2+n， ∴n=−2，
∴平移后的直线的解析式为y=−x−， 过点D（2，0）作DH⊥MC于H， 则直线DH的解析式为y＝2x﹣4， 由{
𝑦=2𝑥−4
13，解得{𝑦=−2， 𝑦=−𝑥−
221
23233
𝑥=1
∴H（1，﹣2），
∵D（2，0），M（3，﹣3），
∴DH=√22+12=√5，HM=√12+22=√5， ∴DH＝HM． ∴∠DMC＝45°，
∵∠ADM＝∠DMC+∠ACM，
第 6 页 共 9 页
∴∠ADM﹣∠ACM＝45°．
（3）解：如图2中，过点G作GH⊥OA于H，过点E作EK⊥OA于K．
∵∠BEF＝2∠BAO，∠BEF＝∠BAO+∠EFA， ∴∠EFA＝∠BAO，
∵∠EFA＝∠GFH，tan∠BAO=∴tan∠GFH＝tan∠EFK=2， ∵GH∥EK， ∴
𝐺𝐹𝐸𝐹
1
𝑂𝐵31
==， 𝑂𝐴62=
𝐺𝐻𝐸𝐾
=，设GH＝4k，EK＝3k，
3
4
则OH＝HG＝4k，FH＝8k，FK＝AK＝6k， ∴OF＝AF＝12k＝3， ∴k=4，
∴OF＝3，FK＝AK=2，EK=4， ∴OK=2， ∴E（，）．
2
49
39
3
3
1
4．如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；
第 7 页 共 9 页
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝0，得到﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝﹣3或1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， 令x＝0，得到y1＝3， ∴C（0，3）．
（2）设平移后的抛物线的解析式为y2＝﹣（x﹣a）2+b， 如图1中，过点D′作D′H⊥OB′于H，连接BD′．
∵D′是抛物线的顶点，
∴D′B＝D′B′，D′（a，b）， ∵∠BD′B′＝90°，D′H⊥BB′， ∴BH＝HB′，
∴D′H＝BH＝HB′＝b， ∴a＝1+b，
又∵y2＝﹣（x﹣a）2+b，经过B（1，0），
第 8 页 共 9 页
∴b＝（1﹣a）2，
解得a＝2或1（不合题意舍弃），b＝1，
∴B′（3，0），y2＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．
（3）如图2中，
观察图象可知，当点P的纵坐标为3或﹣3时，存在满足条件的平行四边形． 对于y1＝﹣x2﹣2x+3，令y1＝3，x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，可得P1（﹣2，3）， 令y1＝﹣3，则x2+2x﹣6＝0，解得x＝﹣1±√7，可得P2（﹣1−√7，﹣3），P3（﹣1+√7，﹣3），
对于y2＝﹣x2+4x﹣3，令y2＝3，方程无解，
令y2＝﹣3，则x2﹣4x＝0，解得x＝0或4，可得P4（0，﹣3），P5（4，﹣3）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣1−√7，﹣3）或（﹣1+√7，﹣3）或（0，﹣3）或（4，﹣3）．
第 9 页 共 9 页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容