１５ 帕 瓤 卡 定 理 的 推 广 菱连之大 一 １峰 即学文 定理 笔者 甚 究 命 锴 刘 八 、 Ｃ、Ｄ．Ｅ、Ｆ，相应连线的交点为ｂ、相 嚣 山’ｎ√、Ｊ 格剖号譬 一． ，｝ ｐ ６舯＿叁 八 舛 勇 钢 ． 加 Ｅ ￡｝． 一 与吖 与 分别交于点 占 Ｍ．，Ｎ－，Ｏ， ＬＪ 司ｎ“’。＾。 点Ｄ 在△ ＦＫＥ 、△职Ｃ中，囱止 疋理 刖 八Ｂ日ｃ中，由正弦定理分别得Ｆ面Ｋ＝ ｓｉｎ￣ ＡＥＦＡ＝丽Ｆ， 。皿Ｂ丽Ｈ：曼ｓ ｉｎ￣ ＣＢＤ＝丝ＣＤ‘ ＦＫ堕．ＤＣ．望：１， ＫＥ。． 。ＡＦ ＣｆＩ ’ 收稿日期：２０１７一ｏ９—１１ 而ＦＫ．Ｎ Ｅ＝Ｍ丽Ｆ‘ ＫＥ① · 应用梅涅劳斯定理： 对直线ＢＬＦ截△ＤＮＫ得 · · ＝ｔ； ② 对直线ＣＩＥ截△Ａ删得 詈 ③ 对直线ＢＧＦ截△ＭＨＤ得 ． ．堕：１； ④ Ｇ——Ｍ—— ＦＤ ＢＨ 对直线ＣＪＥ截△Ａ胍得 学 ＡＣ ⑤ 联立式①一⑤得 对直线Ｌ戆 劳，（）’截△ＫＭ ，由ｊｌ母往’ 斯删 ＾匕 … · ‘ 将式⑥代入上式得 · ， ＝ｌ· 由梅涅劳斯定理的逆定理，知Ｇ、ｊ、０ 三 点共线． 从而，点０与０ 重合· 故Ｍ、０、Ｎ三点共线· １６ 由笛沙格定理的逆定理，知 、Ｌ／、ＨＫ 三线共点． 命题２如图２，对圆上任意六点 、 、 Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ，ＢＥ、ＡＤ与ＣＦ分别交于点Ｑ、Ｎ， ＱＤ与ＮＥ交于点Ｐ，ＡⅣ与ＢＱ交于点Ｈ，朋 与ＡＱ交于点Ｇ，ＢＮ与ＨＣ交于点 则 、 ＱＭ、ＧＮ三线共点． Ｉ． ｛ ＼． ／ ＼ ／ ２ 命题２的证明设ＮＧ与ＡＦ交于点，． 由塞瓦定理知 ＡＩ ＦＱ Ｎｉｌ 。 …●… ＩＦ ＱＮ ＨＡ ‘ 习—４ⅣｓｉＦＮｓｉｎ ｎ￣—ＡＮＧ ＱＮ ＨＡ ＧＮＦ ‘而 ｓｉｎ ＨＮＧ ＦＮ·ＮＱ·ＡＨ ｓｉｎ ＧＮＱ ＡＮ·ＨＮ·Ｑｒ‘ 类似地， ＝ ， ｓｉｎ ＱＨＰ ＤＨ·Ｎｉｌ·ＥＱ ｓｉｎ ＰＨＮ ＥＨ·ＱＨ·ＤＮ‘ 三式相乘，由角元塞瓦定理的逆定理，知 ＨＰ、ＧＮ、ＱＭ三线共点． 命题３ 如图３，对圆上六点 、日、Ｃ、Ｄ、 Ｅ、Ｆ，ＡＢ与 、ＣＤ分别交于点Ｇ、何， 与 ＣＤ交于点，，ＨＦ与ＧＣ交于点Ｋ，ＨＥ与ＧＤ 交于点Ｎ，ＧＣ与馏交于点Ｌ，ＨＥ与馏交于 点Ｍ，ＧＤ与ＡＪ『交于点０，日Ｆ与Ａ，交于点 则ＫＮ、ＪＭ、ＬＯ三线共点． 中等数学 Ｐ（Ｐ ）』ｉｌ １ Ｉ、 图３ 命题３的证明设ＫＭ与 交于点Ｐ， ＫＭ与 交于点Ｐ ． 由正弦定理知 Ｅ／ｓｉｎ ＥＤＣ ｓｉｎ ＣＦＥ ＣＩ —ＤＩ—ｓｉｎ ＦＥＤ ｓｉｎ ＦＣＤ—ＦＩ。 类似地，Ｈ丽Ｄ＝丽ＨＢＧＡＧＥ＝ ， ． ．ＥＩ ＨＤ ＦＩ ＨＣ ＧＡ ＧＢ ． ｔ＾，一ＤＩ ＨＡ ＣＩ ＨＢ ＧＦ ＧＥ—ｈ ●一●一一 ｌ应用梅涅劳斯定理： 对直线４ 截△ＧＨＦ得 ＧＡ ＨＪ ＦＩ １ Ａ—Ｈ’ 。 ； 对直线ＧＮＤ截△脚得 ＥＮ ＨＤ ＩＧ ． 一●…● ＮＨ ＤＩ ＧＥ ’ 对直线ＢＭＩ截△ＧＨＥ得 ＧＢ ＨＭ Ｅ１ ． 一●一● ＢＨ ＭＥ ＩＧ 对直线ＧＫＣ截△脚得 ＦＫ ＨＣ ＩＧ ． 一●一● ＫＨ ＣＩ ＧＦ ’ 对直线Ｐ ＫＭ截△ＨＦＥ得 ＦＫ ＨＭ ＥＰ ． ＫＨ ＭＥ Ｐｆ ｃ一 联立以上六式即得 ·而ＨＮ· ＿２－１．ＥＰ 由梅涅劳斯定理的逆定理，知Ｐ 、．，、Ⅳ三 点共线． ２０１８年第２期 从而，点Ｐ 与Ｐ重合． 故Ｐ、Ｇ、Ｉ三点共线． 由笛沙格定理的逆定理，知 、ＫＮ、ＬＯ 三线共点． 以上三个命题可以推广到圆锥曲线的情 形中． 命题４（卡诺定理）如图４，给出△ＡＢＣ， 点Ｄ、 在边ＡＢ上，点Ｆ、Ｇ在边ＢＣ上，点 、，在边ＣＡ上．若 、 、 、Ｇ、日满足 ＡＤ ＢＧ Ｃｌ ＢＥ ＡＨ ｃＦ ＤＢ Ｇｃ ＩＡ—ＥＡ ＨＣ ＦＢ 则Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ在一条圆锥曲线上． ，４ ：二 Ｌ 命题４的证明 设ＩＤ与ＢＣ交于点Ｊ， ＥＦ与ＡＣ交于点Ｌ，ＧＨ与ＪＬ交于点Ｋ． 则 ： Ｓ￣，ＥＦＡ， ① ： ＪＢ ｓ ＩＢ ５ 肼： Ｆ＝ ·Ｂ Ｆ Ｂｃ， ② ．ｓ伽＝ ＤＢ．ｓ ＤＢＡＩ．ｓ ＝ · 鼢 ③ 于是工 日ｓ ＦＡ ＡＥ·ＢＦ·ＡＣ ， ＤＢ·ＡＩ·ＢＣ‘ 由三角形内接三角形面积公式得 ＥＡ · ＨＣ· ＦＢ ＋－ 。△ＥＦＨ—ＡＢ·ＢＣ－ＡＣ’ ＥＡ·ＨＣ·ＦＢ ＡＤ Ｇ ＣＩ ＤＢ ＧＣ ＩＡ一 △Ｄ Ｇ— ＡＢ ＢＣ ＡＣ。 ＤＢ ＧＣ ＡＩ １７ 因为ＡＤ · · ＝筹· · 所以， ｓ ＥＡ·ＨＣ·ＦＢ Ｓ ＩＧ—ＤＢ·ＧＣ·ＡＩ 联立式①一④得 ＩＤ ＬＡ ＧＪ ＨＣ １ ＤＪ Ａ ’ Ｉ ＣＧ ＬＨ …一＝ｌ·～ 对直线ＨＧＫ截△ＣＪＬ，由梅涅劳斯定理得 ＣＧ ＪＫ ＬＨ ＧＪ ＫＬ ＨＣ ‘ 代人式⑤得 ·Ｊ瓦Ｋ·Ｌ Ａ＝１． 由梅涅劳斯定理的逆定理，知 、Ｄ、 三 点共线．由笛沙格定理的逆定理，知ＥＨ、ＡＫ、 ＤＧ、ＦＩ三线共点．由帕斯卡定理的逆定理，知 点Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、日、，在一条二次曲线上． 推论１ 若点Ｄ和Ｅ、Ｆ和Ｇ、日和，分别 两两关于△ＡＢＣ等角共轭，则 ＡＥ ＢＦ ＣＨ ＢＤ ＧＣ·ｉＡ ＥＢ ＦＣ ＨＡ ＡＤ ＢＧ·ＣＩ’ 点Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、 、，在一条圆锥曲线上． 对于推论１，笔者进一步思考其特殊情 形，便得到下面结论． 命题５ 如图５，Ｆ和，、Ｄ和．，、Ｅ和日分 别两两关于△ＡＢＣ等边共轭，△ＡＢＣ、△ＤＥＦ、 △ＪＨＩ的重心分别记为Ｇ、Ｇ 、Ｇ ．则Ｇ、Ｇ 、Ｇ２ 三点共线，且点Ｇ平分线段Ｇ Ｇ ． Ｃ 图５ 命题５的证明 由 ＧＡ＋ＧＢ＋ＧＣ＝０，ＧＢ＝ＧＡ＋ＡＢ， ＧＣ＝ＧＡ＋ＡＣ． ３ ＧＡ ＡＢ ＡＣ ０ 一得 ＋Ａ—Ｂ＋Ａｉ＇ＧＡ Ａ Ｂ＋ＡＣ＋ ＋ ：＝ ＝ ：＝一———＝＿一一．． ｌ８ 中等数学 第３３届中国数学奥林匹克 中图分类号：ｃ４２４．７９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００５—６４１６（２０１８）０２—００１８—０６ １．对正整数ｎ，定义 为具有如下性质 的所有素数Ｐ构成的集合：存在正整数。、ｂ， ３．设正整数ｇ不为完全立方数．证明：存 在正实数ｃ，使得对任意正整数ＩＩ，均有 １ ２ ｌ 使得 Ｐ 、 Ｐ 均为与Ｐ互素的整数．当 为有限集（包括空集）时，用ｆ（ｒｔ）表示／４ 的 元素个数．证明： （１）Ａ 是有限集的充分必要条件为 ≠２； （２）若ｋ、ｍ为正奇数，ｄ为ｋ与ｍ的最 大公约数，则 ｛ｎｑ了｝＋｛ｎｑ丁｝≥ｃ凡一丁， 其中，｛ ｝表示实数 的小数部分． （安金鹏供题） ４．如图１，圆内接四边形ＡＢＣＤ的对角 线交于点Ｐ，△ＡＰＤ的外接圆、△ＢＰＣ的外 接圆分别与线段ＡＢ交于另一点 、 ，，、ｔ，分 别为△ＡＤＥ、△ＢＣＦ的内心，线段 与ＡＣ 交于点 证明： 、，、 、Ｅ四点共圆． ｄ）≤厂（ｋ）＋＿厂（ｍ）－ｆ（ｋｍ）≤２厂（ｄ）．① （何忆捷２．设ｎ、 为正整数， 供题） Ｔ＝｛（ ，Ｙ， ）ｌ 、Ｙ、 ∈Ｚ，１≤ 、Ｙ、 ≤ｎ｝ 为空间直角坐标系中Ｆｔ。个整点构成的集合． 已知集合 中（３ 一３ｎ＋１）＋ｋ个点染成红 色，满足：若集合 中两点Ｐ、Ｑ均染成红色 且ＰＱ平行于坐标轴，则线段＿尸Ｑ上的所有整 点也均染成红色．证明：存在至少ｋ个互不相 同的立方体，它们的边长为１且每个顶点均 染成红色． 类似地， Ｇ１Ｆ：一下ＦＤ＋ＦＥＧｚＨ：一ＨＩ＋ｂｉｇＴ， ． 图１ （艾颖华供题） （熊斌供题） ｉ￣Ａ—ＧＩ： 业， 设ＡＦ＝ＩＢ：ｃ， ＝ＥＣ＝ｂ， ＢＤ＝ＧＣ＝ａ，ＦＩ＝ＯｔＣ，ＨＥ＝ ． ： 越． 由 １ １ ｌ＋ ２ ￣ＩＪ—ＡＧ： 一， ＝ 十ＦＡ＝一 ． ： ： ， 类似地，一Ｇ２Ａ＝一 主 知Ｇ、Ｇ 、 三点共线，目．点Ｇ平分线段Ｇ１Ｇ ． ．
