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分数阶微积分的定义

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分数阶微积分的定义

分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分,分数阶微积分定义是整合和统一分数阶微分和分数阶积分得到的。首先介绍常用的三种分数阶微分定义,具体为:

(1)Grünwald-Letnikov分数阶微分定义

m至少取到[],若f(t)函数在区间[a,t]存在m1阶连续导数,当0时,

则其次数为(mm1)的分数阶微分定义为:

aDtf(t)limhh0[(ta)/h]i0if(tih)

(2.1)

其中,表示阶次,h为采样步长,a表示初始时间,[]表示取整,

(1)(2)i= (-1)i是多项式系数,=iii!递推公式直接求出该系数:

(i1),我们可以用以下

+101,i1i1,i1,2,...,n

i进一步对式(2.1)求极限,可得到其详细定义:

(2.2)

limhf(tih)aDtf(t)h0,nhtai iimtf(a)(ta)1(t)fm()d(i1)(i1)ai00(2.3)

其中,(•)为欧拉gamma函数,(z)ettz1dt,当R,上述定义也称为Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义。

若:fi(t)=0,q,pR,则微分算子D满足式(2.4):

aDtq(aDtpf(t))aDtq+pf(t)

(2.4)

(2)Riemann-Liouville分数阶微分定义 对于m1m,mN,有

1dmaDtf(t)(m)dtmf()a(t)m1d

t(2.5)

其中,当R,上述定义也称为Riemann-Liouville分数阶微积分定义。 通常情况下,为了方便使用Riemann-Liouville分数阶微积分定义,要对其取拉普拉斯变换,假设F(s)表示f(s)的原函数,则式(2.5)经过拉普拉斯变换

后的结果如下:

LaDf(t)sF(s)aDtk1f(t)|t0

tk0m1(2.6)

在零初始条件下,上式的结果变为:

L0Dtf(t)sF(s)

进一步由式(2.7)得到阶微积分算子的传递函数表示为:

(2.7)

(3)Caputo分数阶微分定义

H(s)1 s(2.8)

在工程实际中,不能用物理含义诠释的数学概念是不能应用于实际的,所以,在针对实际问题研究分数阶微积分时,我们需要着重关注它能与实际应用相接轨的部分,这正是分数阶Riemann-Liouville微分定义的不足。如式(2.5)尽管在初始条件下具备数学理论层面的可解释性,但不具备实际工程上的物理意义可解释性[65],正因为如此,于是就有了Caputo分数阶微分定义,其形式为:

t1fm()d,(m1m) aDtf(t)(m)a(t)1m(2.9)

同理,当R,上述定义也称为Caputo分数阶微积分定义,该定义也有对应的拉普拉斯变换,其形式为:

LaDtf(t)sF(s)sk0m1k1dkf(t)[]t0 kdt(3.1)

其次,分数阶积分定义为:

tIa=aDt=1t1(t)f()d(R) ()a(3.2)

其中,I定义为积分符号。

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