分数阶微积分的定义

分数阶微积分的定义

分数阶微积分的研究对象是分数阶微分和分数阶积分，分数阶微积分定义是整合和统一分数阶微分和分数阶积分得到的。首先介绍常用的三种分数阶微分定义，具体为：

（1）Grünwald-Letnikov分数阶微分定义

m至少取到[]，若f(t)函数在区间[a,t]存在m1阶连续导数，当0时，

则其次数为(mm1)的分数阶微分定义为：

aDtf(t)limhh0[(ta)/h]i0if(tih)

（2.1）

其中，表示阶次，h为采样步长，a表示初始时间，[]表示取整，

(1)(2)i= (-1)i是多项式系数，=iii!递推公式直接求出该系数：

(i1)，我们可以用以下

+101,i1i1,i1,2,...,n

i进一步对式（2.1）求极限，可得到其详细定义：

（2.2）

limhf(tih)aDtf(t)h0,nhtai iimtf(a)(ta)1(t)fm()d(i1)(i1)ai00（2.3）

其中，(•)为欧拉gamma函数，(z)ettz1dt，当R，上述定义也称为Grünwald-Letnikov分数阶微积分定义。

若：fi(t)=0，q,pR，则微分算子D满足式（2.4）：

aDtq(aDtpf(t))aDtq+pf(t)

（2.4）

（2）Riemann-Liouville分数阶微分定义 对于m1m,mN，有

1dmaDtf(t)(m)dtmf()a(t)m1d

t（2.5）

其中，当R，上述定义也称为Riemann-Liouville分数阶微积分定义。 通常情况下，为了方便使用Riemann-Liouville分数阶微积分定义，要对其取拉普拉斯变换，假设F(s)表示f(s)的原函数，则式（2.5）经过拉普拉斯变换

后的结果如下：

LaDf(t)sF(s)aDtk1f(t)|t0

tk0m1（2.6）

在零初始条件下，上式的结果变为：

L0Dtf(t)sF(s)

进一步由式（2.7）得到阶微积分算子的传递函数表示为：

（2.7）

（3）Caputo分数阶微分定义

H(s)1 s（2.8）

在工程实际中，不能用物理含义诠释的数学概念是不能应用于实际的，所以，在针对实际问题研究分数阶微积分时，我们需要着重关注它能与实际应用相接轨的部分，这正是分数阶Riemann-Liouville微分定义的不足。如式（2.5）尽管在初始条件下具备数学理论层面的可解释性，但不具备实际工程上的物理意义可解释性[65]，正因为如此，于是就有了Caputo分数阶微分定义，其形式为：

t1fm()d,(m1m) aDtf(t)(m)a(t)1m（2.9）

同理，当R，上述定义也称为Caputo分数阶微积分定义，该定义也有对应的拉普拉斯变换，其形式为：

LaDtf(t)sF(s)sk0m1k1dkf(t)[]t0 kdt（3.1）

其次，分数阶积分定义为：

tIa=aDt=1t1(t)f()d（R） ()a（3.2）

其中，I定义为积分符号。