光顺样条函数的再生核表示与计算

国 防 科 技 大 学 学 报

JOURNALOFNATIONALUNIVERSITYOFDEFENSETECHNOLOGY

Vol.32No.32010

文章编号:1001-2486(2010)03-0149-04

光顺样条函数的再生核表示与计算

张新建,杜新鹏

(国防科技大学理学院,湖南长沙 410073)

*

摘 要:光顺样条是散乱数据拟合的理想函数,是噪声数据最优平滑的重要工具。因此,光顺样条的数学表示和计算的研究具有重要的意义。本文在一般的线性微分算子和线性泛函的情况下讨论光顺样条函数的构造和计算,通过构造一个适当的再生核Hilbert空间,使得所讨论的微分算子光顺样条成为该空间中的最小范数问题,再利用投影理论建立了光顺样条函数的再生核表示方法,并得到了插值偏差表达式。作为特例,还给出了奇次多项式光顺样条函数新的简洁的计算方法。

关键词:线性微分算子;再生核;光顺样条函数;插值偏差中图分类号:O17513 文献标识码:A

ConstructionandComputationofSmoothingSplinesVia

ReproducingKernels

ZHANGXin-jian,DUXin-peng

(CollegeofScience,NationalUniv.ofDefenseTechnology,Changsha410073,China)

Abstract:Smoothingsplinesarewellknowntobetheidealfunctionsforfittingofdiscretedata,andalsotheeffectivemethodforsmoothingnoisydata.Therefore,itisveryimportanttostudytheconstructionandcomputationofsmoothingsplines.Inthispaper,theconstructionandcomputationofsmoothingsplinesassociatedwithgenerallineardifferentialoperatorsandlinearfunctionalswerediscussed.ByconstructinganappropriatereproducingkernelHilbertspaceframework,theproposedsplineswereexpressedasminimumnormproblems.Thustheexpressionandinterpolationerrorofthesmoothingsplinewereobtainedviareproducingkernel.Basedonthis,anewmethodforcomputingpolynomialsmoothingsplineswaspresented.

Keywords:lineardifferentialoperator;reproducingkernel;smoothingspline;interpolationerror

经典的样条理论表明多项式插值与光顺样条函数可以通过B-样条进行计算

[1]

,但由一般线性微

分算子确定的插值与光顺样条很难通过B-样条进行计算。上世纪70~80年代的研究表明,通过再生

核可以建立微分算子确定的插值与光顺样条函数的联系,这种联系不仅为这些样条函数建立了算法,而且使样条函数在概率统计中得到了重要应用

[2-3]

。从80年代末开始有学者用本质属于下述极小化问

[4]

题(2)式的模型研究一类机械零件的外形设计和性能分析,取得显著效果。我们曾直接利用再生核研

[5]

究一般线性微分算子确定的插值与光顺样条函数的构造和计算。本文利用再生核进一步研究光顺样条函数的构造和计算,并得到了插值偏差的表达式和多项式奇次光顺样条函数的一种新的简洁的计算方法。

1 一般光顺样条函数

设m为正整数,记W2[a,b]=f(t),tI[a,b]:f又设L为m阶微分算子

L=D+am-1(t)D

n

m

m-1

m

(m-1)

在[a,b]上绝对连续,f

(m)

IL[a,b]。

(1)

2

+am-2(t)D

m-2

+,+a1(t)D+a0(t)

n

n1

m

KQrii1(n\\m)是W2[a,b]上一组线性无关的线性泛函,i1,

为两组实数,其中Qi>0(1[i[

*

收稿日期:2009-09-30

基金项目:国家自然科学基金资助项目(10571178)作者简介:张新建(1956)),男,副教授,博士。 150 国防科技大学学报 2010年第3期

n),ai(t)IC[a,b]。

定义1

[1]

m

函数s(t)IW2[a,b]称为关于Qi1,ri

n

n

1

i

和Ki

n

1

的L光顺样条函数,如果s(t)是下

述极小化问题的解:

fIW[a,b]

2

minm

Qan

1

b

[Lf(t)]dt+

2

j=1

E

n

Qj(rj-Kjf)

-12

(2)

T

nn

1

为了将上述极小问题描述成极小范数问题,我们考虑新的空间

W+[a,b]=

+m

(f,e):fIW2[a,b],e=(e1,e2,,,en)IR

m

规定W+[a,b]上的线性无关泛函Ki

T

+

+

m

(3)

:

(4)

m

利用W2[a,b]上的线性无关泛函Ki

K,ni(f,e)=Ki(f,(e1,,,en))=Kif+ei, i=1,2,,

在W+[a,b]中定义内积和相应的范数:

3(f,e),(y,d)4+=

(f,e)

m

2+m

Q=

Q(Lf)dt+

a

b

2

a

b

(Lf)(Ly)dt+

n

i=1

EQed

-1ii-12ii

n

i

+

m

i=1+

i

E(Kf)(Ky)

+i

+i

2

m

(5)(6)

i=1

EQe

+

i=1

E(Kf)

可以证明W+[a,b]赋予内积(5)后成为Hilbert空间。

设Ui(t)的对Ki

m

1

m1

[6]

是kerL=

fIW2[a,b]:Lf(t)=0,tI[a,b]的对偶于Ki

LUi(t)=0, KiUj=Dij, 1[i,j[mLG(#,u)=D(u-#), KiG(#,u)=0,1[i[m

m

m

1

的基底,G(t,u)是L

(7)(8)

满足齐次条件的Green函数,即

再设

K(t,u)=

引理1

[6]

i=1

E(1+

m

Qi)Ui(t)Ui(u)+

T

m

G(t,S)G(u,S)dS

Q

a

b

(9)

n

设5(t)=(U1(t),,,Um(t),0,,,0)为n维列向量,Ei(1[i[n)为实欧氏空间R

(K(t,u),-Q5(u)),(-5(t)QEu,QEu),

T

mT

的标准单位列量组,Q=diag(Q1,,,Qn),则W+[a,b]空间具有再生核

K+(t,u)=

t,uI[a,b]tI[a,b],uI

tI[a,b]tI

1,2,,,n1,2,,,n

(10)

于是对任意(f,e)=(f,(e1,,,en))IW+[a,b],有

3(f(#),e),K+(#,t)4+=

m

+

f(t),et,

(11)

,n,则当(f,e)IU+(r)时,有ei=ri若记U+(r)=(f,e)IW+[a,b]:Ki(f,e)=ri,i=1,2,,-Kif(1[i[n),由范数(6)式知,极小化问题(2)式与下述极小范数问题等价:

min(f,e)IU

定理1 设K(t,u)如(9)式,

Ui(t)

mm

1

+

(r)

(f,e)

2+

(12)

如(7)式,则(12)式确定的L光顺样条函数s(t)为

n

jj

s(t)=

j=1

EcU(t)+E

cj[KjK(#,t)](13)

j=m+1

其中系数cj(1[j[n)由以下线性方程组确定:

ci+

m

j=m+1

E

i

n

(KjUi)cj=ri,

j

i=1,2,,,m

(14)

QiDji]cj=ri,

+n1j=1

E(KU)c

j+n1+

j=m+1

E[KKK(#,#)+

ij

n

i=m+1,m+2,,,n

,设hj=(hj,Hj),其中Hj=(Hj1,Hj2,,,

+证明 设泛函Kim在W+[a,b]空间的表示元为hi张新建,等:光顺样条函数的再生核表示与计算151

Hjn)IR,则由(11)式和(7)~(9)式知

hj(t)=3hj,K+(#,t)4+=KjK+(#,t)=

+

+

T

+

+

Tn

KjK(#,t)-QjUj(t)=Uj(t),KjK(#,t),

T

1[j[mj>m

(15)

HEk)=-KEk+Qjk=KjK+(#,k)=Kj(-5(#)QEk,Qj5(#)QkDjk

-QkKjUk(#)+QkDjk=0,

=-QkKjUk(#)+QkDjk=-QkKjUk(#),

QkDjk,

记H+=Spanh,h,,,h

+

1

+2

+n

1[j[m,1[k[nm+1[j[n,1[k[mm+1[j[n,m+1[k[n

(16)

,则由(12)式和Hilbert空间投影理论知极小范数问题(13)式的解(s,X)

n

=(s(t),(X1,X2,,,Xn))是U+(r)中任意元素在H+上的投影,于是可设

(s(t),X)=

即

s(t)=

+

j=1n

j=1

Ec(h(t),H),

j

j

j

Ech(t),

jj

X=

j=m+1

E

n

cjHj

再由Ki(s,X)=Kis+Xi=ri(1[i[n)及(15)和(16)式,并注意到

Kihj=KiKjK(#,#)=KjKiK(#,#)=Kj[QiUi+Ui], 1[i[m,m+1[j[n

即可得到(13)和(14)式。

定理2 由(13)和(14)式确定的光顺样条函数s(t)的插值偏差为

Kjs-rj=

-QjQj,

+

i

t

i=m+1

E

n

ci(KiUj),j=1,2,,,m

j=m+1,m+2,,,n

j=m+1

(17)

证明 因为K(s,X)=Kis+Xi=ri(1[i[n),而X=(X1,,,Xn)=再由(16)式即得到(17)式。

E

n

cjHj,即Xj=

i=m+1

E

n

ciHij,t

2 多项式奇次光顺样条函数

若取(1)式中的微分算子L=D,且设Ki(1[i[m)是初值插值泛函:Kif=fm),则易知满足(7)和(8)式的对偶基和Green函数分别为

1i-11m-1

(t-a)(i=1,2,,,m), gm(t,S)=(t-S)+

(i-1)!(m-1)!

给定区间[a,b]的一个分划$:a=t1ui(t)=

m

m

(i-1)

(a)(i=1,2,,,

(18)

L=D, Kif=f

(i-1)

(a)(i=1,2,,,m), Km+if=f(ti+1)(i=1,2,,,n-m)

[1]

则所确定的光顺样条函数s(t)就是通常的奇次(2m-1次)光顺样条函数,记为sm(t)。

定理3 在上述假设下,由(2)或(12)式确定的奇次光顺样条函数为

sm(t)=

其中

Em(t,S)=

Qm=diag

Am(t)=

(t-a)am(t)QmBm(S),(S-a)am(S)QmBm(t),

mm

i=1

E[c

mn-m

i

+(1+Qi)

k=1

Ec

n-m

m+k

ui(tk+1)]ui(t)+

k=1

Ec

m+k

Em(tk+1,t)(19)

t[St>S

m-1

(20)

0!1!2!(-1)(m-1)!,-,,,,

m!(m+1)!(m+2)!(2m-1)!

um(t),um-1(t),,,u1(t)c

u1(t),u2(t),,,um(t), Bm(t)=

系数cj(1[j[n)由(14)式确定。 152 国防科技大学学报 2010年第3期

证明 在定理的条件下,类似于文献[7]的方法,可以求得

Em(t,S)>

Q

a

b

gm(t,N)gm(S,N)dN=

(t-a)am(t)QmBm(S),(S-a)am(S)QmBm(t),

T

m

m

t[St>S

(21)

由(9)式确定的K(t,S)此时成为

Km(t,S)=A1,1+Q2,,,1+Qm#[Am(t)#diag1+Qm(S)]+Em(t,S)

再由(3)~(5)式,知定理结论成立。

例1 在定理3中令m=2便得到三次光顺样条函数。此时

102111Q2=, a2(t)Q2B2(S)=-t+S-a

622-106

(t-a)(-E2(t,S)=

22

111t+S-a),622

t[S

(22)

t>S

(S-a)(-1S+1t-1a),622

(1)

取[a,b]=[0,2],ti=i-1(i=1,2,3),则n=4,且

K1f=f(0),K2f=f

(0),K3f=f(1),K4f=f(2)

(23)

由(19)和(20)式算得三次光顺样条函数

c1+(c3+c4)(1+Q1)+[c2+(c3+2c4)(1+Q2)]t+

(

s2(t)=

1213

c3+c4)t-(c3+c4)t, 0[t<1,26

(24)

1c+(c+2c)(1+Q)]t+c1-1c3+(c3+c4)(1+Q1)+[c2+342

623c4t-2

13

c4t, 1[t[26

此时(19)式中的u1(t)=1,u2(t)=t,由(22)式知K3u1(t)=K4u1(t)=1,K3u2(t)=1,K4u2(t)=2。再由(22)和(23)式算得K3K3K(#,#)=

723+Q1+Q2,K3K4K(#,#)=K4K3K(#,#)=+Q1+2Q2,K4K4K(#,#)=36

23+Q1+4Q2。代入(14)式知(24)式中的系数cj(1[j[4)由下述方程组确定:3

c1+c3+c4=r1c2+c3+2c4=r2

23+Q+2Q)c=rc1+c2+(7+Q1+Q2+Q3)c3+(1243

36c1+2c2+(

由定理2得s2(t)的插值偏差为

s2(a)-r1=-Q1(c3+c4),s2(a)-r2=-Q2(c3+2c4)

(1)

2323+Q1+2Q2)c3+(+Q1+4Q2+Q4)c4=r463

参考文献:

[1] 程正兴,数据拟合[M].西安:西安交通大学出版社,1986.

[2] KohnR,AnsleyCF.ANewAlgorithmforSplineSmoothingBasedonSmoothingaStochasticProcess[J].SIAMJ.SCI.STAT.COMPUT.,1987

(1):33-48.

[3] RamsayJO,SilvermanBW,FunctionalDataAnalysis[M].北京:科学出版社,2006.[4] 张可村.高阶光滑逼近曲线的一种有效算法[J].工程数学学报,19,2(2):99-108.[5] 张新建.龙汉.样条函数与再生核[M].长沙:国防科技大学出版社,2008.

[6] 张新建.Lg光顺样条函数的递推建立法[J].国防科技大学学报,1990,12(3):32-38.

[7] 张新建,姜悦.再生核的一种新的计算法及其递推性[J].国防科技大学学报,2007,29(1):122-125.