2017-2018学年高中物理 专题培优练(二)天体运动中的一条定律_两个思路_三种模型粤教版必修2

1．一物体静止在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )

A. C. 4π

B. 3Gρπ Gρ

34πGρ D. 3π Gρ

解析：选D 物体对天体表面压力恰好为零，说明天体对物体的万有引力提供向心力：

Mm4π2

G2＝m2R，解得T＝2π RT3π

。 Gρ

R3M3M ①，又因为密度ρ＝＝3 ②，①②两式联立GM434πRπR3

得T＝ 2．木星和地球绕太阳运行的轨道都可以看做是圆形，若木星的轨道半径是地球轨道半径的k倍，则木星与地球绕太阳运行的( )

1

A．线速度之比是

k B．角速度之比是

1

k3

C．周期之比是k

1

D．向心加速度之比是 k2

Mmv24π2

解析：选B 由G2＝m＝mωr＝m2r＝ma，得v＝

rrTGM，ω＝rGM，T＝2πr3r3 ，GMkGMa＝2，故线速度之比是r1

k，角速度之比是1

k13，周期之比是k，向心加速度之比是2，3

选项A、C、D错误，B正确。

3．宇宙中两个相距较近的星球可以看成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕二球心连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动。根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )

A．双星相互间的万有引力减小 B．双星做圆周运动的角速度增大 C．双星做圆周运动的周期减小 D．双星做圆周运动的半径减小

解析：选A 双星间的距离在不断缓慢增加，根据万有引力定律，双星相互间的万有引力减小，选项A正确。由G2＝MωR，双星做圆周运动的角速度减小，周期增大，半径增大，选项A正确，B、C、D错误。

4．随着世界航空事业的发展，深太空探测已逐渐成为各国关注的热点，假设深太空中

MmL2

1

有一颗外星球，其质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的，则下列判断正确的是( )

2

A．该外星球的同步卫星周期一定小于地球同步卫星的周期 B．某物体在该外星球表面所受的重力是在地球表面所受重力的4倍 C．该外星球上第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的2倍

D．绕该外星球的人造卫星和以相同轨道半径绕地球的人造卫星运行速度相同 解析：选C 同步卫星周期与该星球自转周期相同，而外星球自转周期未知，选项A错误；星球表面物体受到的重力mg＝G2，可知物体在该外星球表面所受的重力是在地球表面所受重力的8倍，选项B错误；第一宇宙速度v1＝gR＝

MmRGM，可知该外星球上第一宇宙RGM，所以绕该r速度是地球上第一宇宙速度的2倍，选项C正确；人造卫星运行速度v＝外星球的人造卫星和以相同轨道半径绕地球的人造卫星运行速度是不相同的，选项D错误。

5．(多选)设地球同步卫星的轨道半径为r，运行速率为v1，加速度大小为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则( )

a1R2

A.＝2 a2rv1R2C.＝2 v2r B.＝ D.＝

a1ra2Rv1v2

R r解析：选BD 设地球自转角速度为ω，因地球同步卫星和地球自转角速度相同，有：

a1rMmv12

a1＝ωr，a2＝ωR，所以＝。对绕地球做圆周运动的同步卫星有G2＝m，则v1＝a2Rrr2

2GM；r因第一宇宙速度大小等于近地卫星绕地球的运行速率，则v2＝选项为B、D。

GMv1

，所以＝Rv2R，正确r6．(多选)假设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，则( ) 1

A．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的倍

nB．同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的1倍

n1

C．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的倍

nD．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转速度的n倍

Mmv2

解析：选BD 由G2＝m得v＝

rrGM，故同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的r1

n倍，选项A错误，B正确；由G2＝ma得a＝2，故同步卫星的向心加速度是地球表面重力1

加速度的2倍，选项C错误；同步卫星运行的角速度与地球自转的角速度相同，由v＝ωrMmrGMrn可知同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转速度的n倍，选项D正确。

7．(多选)地球自转正在逐渐变慢，据推测10亿年后地球的自转周期约为31 h。若那时发射一颗地球的同步卫星W2，与目前地球的某颗同步卫星W1相比，以下说法正确的是(假设万有引力常量、地球的质量、半径均不变)( )

A．离地面的高度h2>h1 B．向心加速度a2>a1 C．线速度v2v1

23GMT2

Mm4π

解析：选AC 由万有引力提供向心力可知，G(R＋h)，h＝2＝m2－R，

(R＋h)T24π

由于周期增大，则h增大，选项A正确；由G2＝ma可知，向心加速度减小，选项B(R＋h)

MmMmv2

错误；由线速度公式G可知，线速度减小，选项C正确，选项D错误。 2＝m(R＋h)R＋h8．(多选)假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似为匀速圆周运动，则下列物理量变化正确的是( )

A．地球的向心力变为缩小前的一半 1

B．地球的向心力变为缩小前的 16C．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同 D．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半

1

解析：选BC 密度不变，天体直径缩小到原来的一半，质量变为原来的，根据万有引

8

2

88GMmFGMmGMm4π

力定律F＝2知向心力变为F′＝＝2＝，选项B正确；由2＝mr·2得Trr16r16rT2

MmG××2

＝2π

r，知T′＝2πGM3r32

G×M/8

＝T，选项C正确。

9．(多选)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，各国不断的发射火星探测器。假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G。仅利用以上数据，

可以计算出( )

A．火星的质量 C．火星对探测器的引力

B．探测器的质量 D．火星表面的重力加速度

Mm2π2(R解析：选AD 由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有G＝mT12(R＋h1)

2323

2π2M m4π(R＋h1)4π(R＋h2)＋h1)；G＝和火星(R＋h2)，可求得火星的质量M＝2＝m(R＋h2)GT12GT22T2

3

h2

的半径R＝1－

T12－hT21

3

。在火星表面的物体有G2＝mg，可得火星表面的重力加速度g＝2，

T12

T2

MmRGMR故选项A、D正确。因为不知也求不出探测器的质量，所以也计算不出火星对探测器的引力，选项B、C错误。

10．我们银河系的恒星中大约有四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间万有引力的作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动(如图1所示)。由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S1的质量为( )

图1

4πr(r－r1)A. 2

22

23

GT3

4πr B.2 GTC.

4πr1

2

GT2

4πrr1 D. 222

GT2

m1m24π

解析：选A 双星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，对S2有G2＝m22

rT4πr(r－r1)

(r－r1)，解得m1＝。A对。 222

GT11．中国探月工程“嫦娥三号”的主要科学任务是月球表面地形地貌探测、月球土壤综合探测、月球动力学研究和空间天气探测。

(1)若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为T，求月球绕地球运动的轨道半径r。

(2)若宇航员随登月飞船到达月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点，已知月球半径为R月，引力常量为G，请求出月球的质量M月。

(3)若“嫦娥三号”开始在离月球表面高h处绕月球做匀速圆周运动，试求“嫦娥三号”绕月球运行的周期T。

解析：(1)根据万有引力定律和牛顿第二定律得：G质量为m的物体在地球表面时有mg＝G2 3gR2T2联立得r＝2。

4π

MM月2π2r

＝M月r2T

MmR(2)设月球表面处的重力加速度为g月，根据竖直上抛运动的规律有：v0＝根据万有引力等于重力得GM月＝g月R月 2v0R月

联立得M月＝

2

2

g月t2

Gt(3)“嫦娥三号”绕月运行的轨道半径为r1＝R月＋h，由万有引力提供向心力得GM月m＝r12m

2π2r

1

T′

所以“嫦娥三号”绕月球运行的周期

3T′＝2π

(R月＋h)t。 2

2v0R月

(R月＋h)t 2

2v0R月

323gR2T22v0R月

答案：(1) (3)2π2 (2)

4πGt12．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到的稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种形式是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕星在同一半径为R的圆轨道上运动；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m。

(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

(2)假设两种形式下星体的运动周期相同，则第二种形式下星体之间的距离应为多少？ 解析：(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，受力分析如图甲所示，根据牛顿第二定律和万有引力定律有

Gm2Gm2

F1＝2，F2＝2

R(2R)mv2

F1＋F2＝ ①

R运动星体的线速度v＝5GmR ② 2R2πR设周期为T，则有T＝ ③

vT＝4π

R3。 ④ 5Gm

(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为

rR′＝2

⑤

cos 30°

由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，受力分析如图乙所示，由力的合成和牛顿运动定律有

Gm2

F合＝22cos 30° ⑥

rF合＝m4π

2

T2R′ ⑦

121由④⑤⑥⑦式得r＝3R。 55GmR答案：(1) 4π

2R121R3 (2)3R 5Gm5