离散系统的Z域分析

实验名：离散系统的Z域分析

一、实验目的

1、掌握离散序列z变换的计算方法。

2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。

3、掌握利用MATLAB进行z反变换的计算方法。

二、实验原理与计算方法

1、z变换

离散序列x(n)的z变换定义为：X(Z)nx(n)zn。

在MATLAB中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z变换。其命令格式为： syms n;

f=(1/2)^n+(1/3)^n; ztrans(f)

2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件

一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h(n)来表示其输入与输出关系，即

y(n)= x(n)* h(n)

对该式两边取z变换，得： Y(z)= X(z)· H(z)

Y(z)则： H(z)

X(z)将H(z)定义为系统函数，它是单位抽样响应h(n)的z变换，即

H(z)Z[h(n)]

nh(n)zn

对于线性移不变系统，若n<0时，h(n)=0，则系统为因果系统；若

n|h(n)|，则

系统稳定。由于h(n)为因果序列，所以H(z)的收敛域为收敛圆外部区域，因此H(z)的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。因为H(z)nh(n)zn，若z=1时H(z)收敛，即

H(z)|z1n|h(n)|，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。

因此因果稳定系统应满足的条件为：|z|,1，即系统函数H(z)的所有极点全部落在z平面的单位圆之内。

3、MATLAB中系统函数零极点的求法及零极点图的绘制方法

MATLAB中系统函数的零点和极点可以用多项式求根函数roots ()来实现，调用该函数的命令格式为：p=roots(A)。其中A为待求根多项式的系数构成的行向量，返回向量p是包含该多项式所有根位置的列向量。

31如：求多项式A(z)z2z的根的MATLAB命令为：

48A=[1 3/4 1/8]; p=roots(A) 运行结果为： p=

-0.5000 -0.2500 也可以用[z,p,k]=tf2zp(B,A)函数求得。其中z为由系统的零点构成的向量，p为由系统的极点构成的向量，k表示系统的增益；B、A分别为系统函数中分子分母多项式的系数向

量。

离散系统的系统函数可能有两种形式，一种是分子和分母多项式均按z的正次幂降幂排

3z2z列，如H1(z)4，另一种是分子分母多项式均按z的负次幂升幂排32z3z2z2z11z1列，如H2(z)，在构造多项式系数向量时，分子和分母多项式系数向量

111z1z224的维数一定要相同，缺项用0补齐。对于H1(z)其分子多项式的系数向量应为：B=[0 1 0 2 0]；分母多项式的系数向量应为：A=[1 3 2 2 1]。对于H2(z)其分子多项式的系数向量应为：B=[1 1 0]；分母多项式的系数向量应为：A=[1 1/2 1/4]。

绘制系统函数的零极点图可由MATLAB中的zplane函数实现。该函数的调用方法为：zplane(B,A)或者zplane(z,p,k)，其中B，A，z，p，k的含义与tf2zp函数相同。若调用zplane(B,A)绘图，则首先将系统函数中分子分母多项式变换成按z的正次幂降幂排列的系数向量，再求零极点。

4、z反变换的计算方法

zz反变换可由部分分式展开法求得。由于指数序列anu(n)的z变换为，因此求反变

zaX(z)换时，通常对进行展开：

zAkA1A2X(z) zzz1zz2zzkX(z)X(z)其中Ai(zzi)称为有理函数的留数。 zzi(i1,2,k)zz 分两种情况进行讨论：

（1）X(z)的所有极点均为单实极点

AzA1zAz此时X(z)2k，则X(z)的z反变换为：

zz1zz2zzkx(n)A0Ai(zi)n

i1k（2）X(z)有共轭极点

Azr1zr2zAz1k，

zp1zp2zz1zzkX(z)j其中留数的计算方法与单极点相同，即r1(zp1)，r2=r1 *

zp1|r1|ezX(z)因此，只要求出部分分式展开的系数（留数），就可以直接求出X(z)的z反变换

zX(z)x(n)。在MATLAB中可利用函数residue()求解。令B和A分别是的分子和分母多项

zX(z)式构成的系数向量，则函数[r,p,k]=residue (B,A)将产生三个向量r、p、k，其中r为包含

zX(z)部分分式展开系数ri(i=1,2,…,N)的列向量，p为包含所有极点的行向量，k为包含

zX(z)部分分式展开的多项式项的系数cj(j=1,2,…,M-N)的列向量，若M≤N，则k为空阵。 zX(z)用residue()函数求出部分分式展开的系数后，便可根据其极点位置分布情况直接

z求出X(z)的反变换x(n)。

设X(z)有一对共轭极点p1,2ej，则X(z)

z2如：已知X(z)2，求其z反变换x(n)。

z3z2X(z)z首先利用residue()函数求出的部分分式展开的系数和极点，相应的2zz3z2MATLAB命令为： B=[0 1 0]; A=[1 3 2];

[r,p,k]=residue (B,A) 运行结果为： r = 2 -1 p = -2 -1 k =

[ ]

21由以上结果可得：X(z)；即X(z)只有两个单极点，其z反变换为：z2z1x(n)2(2)n(1)nu(n)。

z2z 已知X(z)3，求其z反变换x(n)。 2z2z2z1X(z)z1 利用residue()函数求出的部分分式展开的系数和极点，可3zz2z22z1得：

B=[0 0 1 1]; A=[1 -2 2 -1];

[r,p,k]=residue (B,A) r =

2.0000 -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i p =

1.0000 0.5000 + 0.8660i 0.5000 - 0.8660i k =

[ ]

X(z)可见，包含一对共轭极点，用abs()和angle()函数即可求出共轭极点的模和相位，相

z应命令为： p1=abs(p') p1 =

1.0000 1.0000 1.0000 a1=angle(p')/pi a1 =

0 -0.3333 0.3333

即共轭极点为：p1,2ej3，则X(z)zzej3zzej32z，其z反变换为：z1x(n)2cosn2u(n)

3

三、实验内容

（1）求下列序列的z变换：

2-nu(n)；-(1/2)n u(n)；(1/2)n+(1/3)n u(n)

①2-nu(n)的Z变换程序如下：

syms n; f=(1./2)^(n) ztrans(f)

结果为：

f = (1/2)^n ans =

2*z/(2*z-1) n

②-(1/2) u(n)的Z变换程序为：

syms n; f=-(1./2)^(n) ztrans(f)

结果为：

f = -(1/2)^n ans =

-2*z/(2*z-1) n

③(1/2)+(1/3)n u(n)因为是非因果系统，所以

3z 3z1n（2）已知两个离散因果系统的系统函数分别为：

123z2z2zzz；H2(z) H1(z)3121z2z24z11zz2分别求出各系统的零极点，绘制零极点图，分析系统的稳定性；求出各系统单位抽样响应。 ① 程序为：

Z[(1/2)n+(1/3)n u(n)]=

2n3nunzn=

A=[1 2 -4 1] B=[0 1 1 0]

[z,p,k]=tf2zp(B,A)%求零极点

[r,p,k]=residue (B,A)%部分分式展开的系数和极点 zplane(B,A)

零极点为 ：

z = 0 -1 p =

-3.3028 1.0000 0.3028

零极图为：

稳定性：由上图看出收敛域不包括单位圆，即不是稳定系统 系统抽样响应： 由下得

r =

0.4902 0.6667 -0.1569 p =

-3.3028 1.0000 0.3028 k = []

0.49020.66670.1569 H1(z)z3.3028z1z0.3028系统抽样响应为：

h（n）=h(n)0.4902(3.3028)n0.66670.15690.3028u(n)

② 程序为：

nA=[1 1 1/2 0] B=[0 2 -1 1]

[z,p,k]=tf2zp(B,A)%求零极点

[r,p,k]=residue (B,A)%部分分式展开的系数和极点 p1=abs(p') a1=angle(p')/pi zplane(B,A)

零极点为 ：

z =

0.2500 + 0.6614i 0.2500 - 0.6614i p =

0 -0.5000 + 0.5000i -0.5000 - 0.5000i k = 2 零极图为：

稳定性：由上图看出收敛域包括单位圆，所以系统稳定 系统抽样响应： 由r =

-0.0000 + 3.0000i -0.0000 - 3.0000i 2.0000 p =

-0.5000 + 0.5000i -0.5000 - 0.5000i 0

含一对共轭极点，用abs()和angle()函数即可求出共轭极点的模和相位 p1 =

0.7071 0.7071 0 a1 =

-0.7500 0.7500 0 即共轭极点为：p1,2ej34

，则X(z)zzej34zzej342z，其z反变换为：z13x(n)2cosn2u(n)及为系统的抽样响应

4