导体棒运动问题

与力学结合的电磁感应问题

1．超导磁悬浮列车是利用超导体的抗磁作用使列车车体向上浮起，同时通过周期性地变换磁极方向而获得推进动力的新型交通工具。其推进原理可以简化为如图10－18所示的模型：在水平面上相距L的两根平行直导轨间，有竖直方向等距离分布的匀强磁场B1和B2，且B1＝B2＝B，每个磁场的宽都是l，相间排列，所有这些磁场都以速度v向右匀速运动。这时跨在两导轨间的长为L宽为l的金属框abcd(悬浮在导轨上方)在磁场力作用下也将会向右运动．设金属框的总电阻为R，运动中所受到的阻力恒为f，则金属框的最大速度可表示为( )

图10－18

A．vm＝(B2L2v－fR)/B2L2 B．vm＝(2B2L2v－fR)/2B2L2

C．vm＝(4B2L2v－fR)/4B2L2 D．vm＝(2B2L2v＋fR)/2B2L2

2．平行轨道PQ、MN两端各接一个阻值R1＝R2＝8的电热丝，轨道间距L＝1m，

轨道很长，本身电阻不计。轨道间磁场按如图10－19所示的规律分布，其中每段垂直纸面向里和向外的磁场区域宽度为2cm，磁感应强度的大小均为B＝1T，每段无磁场的区域宽度为1cm。导体棒ab本身电阻r＝1速度向右匀速运动。求：

，与轨道接触良好。现让ab以v＝10m/s的

图10－19

(1)当ab处在磁场区域时，ab中的电流为多大?ab两端的电压为多大?ab所受磁场力为多大?

(2)整个过程中，通过ab的电流是否是交变电流?若是，则其有效值为多大?并画出通过ab的电流随时间的变化图象。

3．如图10－20所示，质量为m的跨接杆ab可以无摩擦地沿水平的导轨滑行，两轨间距为L，导轨一端与电阻R连接，放在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B。杆从x轴原点O以大小为v0的水平初速度向右滑行，直到停下。已知杆在整个运动过程中速度vB2L2xvv0mR杆与导轨的电阻不计。 和位移x的函数关系是：

图10－20

(1)试求杆所受的安培力F随其位移x变化的函数式；

(2)分别求出杆开始运动和停止运动时所受的安培力F1和F2；

(3)证明杆在整个运动过程中动能的增量Ek等于安培力所做的功W；

(4)求出电阻R所增加的内能E。

4．如图10－21(甲)所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上。导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内。

图10－21

(1)求导体棒所达到的恒定速度v2；

(2)为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少?

(3)导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大?

(4)若t＝0时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其v－t关系如图10－21(乙)所示，已知在时刻t导体瞬时速度的大小为vt，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小。

5．如图10－22所示，平行且足够长的两条光滑金属导轨，相距0.5m，与水平面夹角为30°，不计电阻，广阔的匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度B＝0.4 T，垂直导轨放置两金属棒ab和cd，长度均为0.5m，电阻均为0.1

，质量分别为0.1kg和0.2kg，

两金属棒与金属导轨接触良好且可沿导轨自由滑动．现ab棒在外力作用下，以恒定速度v＝1.5m/s沿着导轨向上滑动，cd棒则由静止释放，试求：(取g＝10m/s2)

图10－22

(1)金属棒ab产生的感应电动势；

(2)闭合回路中的最小电流和最大电流；

(3)金属棒cd的最终速度。

6．如图23(甲)所示，一端封闭的两条平行光滑导轨相距L，距左端L处的中间一段被弯成半径为H的1/4圆弧，导轨左右两段处于高度相差H的水平面上。圆弧导轨所在区域无磁场，右段区域存在磁场B0，左段区域存在均匀分布但随时间线性变化的磁场B(t)，如图26(乙)所示，两磁场方向均竖直向上。在圆弧顶端，放置一质量为m的金属棒ab，与导轨左段形成闭合回路，从金属棒下滑开始计时，经过时间t0滑到圆弧底端。设金属棒所在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g。

图10－23

(1)问金属棒在圆弧内滑动时，回路中感应电流的大小和方向是否发生改变?为什么?

(2)求从0到时间t0内，回路中感应电流产生的焦耳热量。

(3)探讨在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B0的一瞬间，回路中感应电流的大小和方向。

7．如图10－31所示，在与水平面成角的矩形框架abcd范围内有垂直框架向上

的匀强磁场，磁感强度为B，框架ad和bc的电阻不计，ab和cd的电阻均为R，长度为

L。一根质量为m、电阻为2R的金属棒无摩擦地平行ab沿框架冲上框架，上升的最大高

度为h(未出框架)，在此过程中ab上共产生热量Q。求ab发热的最大功率。

图10－31

8．如图10－32所示，两根平行金属导轨固定在水平面上，每根导轨每米的电阻为0.1

/m，导轨的端点P、Q用电阻可以忽略的导线相连接，两导轨间的距离l＝0.20m，

有随时间变化的匀强磁场垂直于水平面，已知磁感应强度B与时间的关系为B＝kt，比例系数k＝0.02T/s，一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦的滑动，在滑动过程中保持与金属导轨垂直，在t＝0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t＝6.0s时金属杆所受的安培力。

图10－32

9．t＝0时，磁场在xOy平面内的分布如图10－33所示。其磁感应强度的大小均为

B0，方向垂直于xOy平面，相邻磁场区域的磁场方向相反。每个同向磁场区域的宽度均为l0。整个磁场以速度v沿x轴正方向匀速运动。

若在磁场所在区间的xOy平面内放置一由n匝线圈串联而成的矩形导线框abcd，线框的bc边平行于x轴。bc＝l0、ab＝L，总电阻为R，线框始终保持静止。求

图10－33

(1)线框中产生的感应电流。

(2)线框所受安培力的大小和方向。

(3)该运动的磁场可视为沿x轴传播的波，设垂直于纸面向外的磁场方向为正，画出t＝0时磁感应强度的波形图，并求波长

和频率f。

10．如图10－34所示，竖直平面内有一半径为r、电阻为R1、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在M、N处与相距为2r、电阻不计的平行光滑金属轨道ME、NF相接，EF之间接有电阻R2，已知R1＝12R，R2＝4R。在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场I和Ⅱ，磁感应强度大小均为B。现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从半圆环的最高点A处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，设平行轨道足够长。已知导体棒ab下落r/2时的速度大小为v1，下落到MN处的速度大小为v2。

图10－34

(1)求导体棒ab从A下落r/2时的加速度大小。

(2)若导体棒ab进入磁场Ⅱ后棒中电流大小始终不变，求磁场I和Ⅱ之间的距离h和

R2上的电功率P2。

(3)若将磁场Ⅱ的CD边界略微下移，导体棒ab刚进入磁场Ⅱ时速度大小为v3，要使其在外力F作用下做匀加速直线运动，加速度大小为a，求所加外力F随时间变化的关系式。

11．图10－52中MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为0.40m，电阻不计。导轨所在平面与磁感应强度B为0.50T的匀强磁场垂直。质量m为6.0×10－

3kg。电阻为

1.0的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触。导轨两端分别

的电阻R1。当杆ab达到稳定状态时以速率v匀速下滑，

接有滑动变阻器和阻值为3.0

整个电路消耗的电功率P为0.27W，重力加速度取10m/s2，试求速率v和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2。

图10－52

12．如图10－53所示，宽为l、光滑的导电轨道的弧形部分处于磁场外，轨道的水平部分处于垂直轨道平面向上、磁感强度为B的匀强磁场中，质量为2m的金属杆cd静止在水平轨道上，另一质量为m的金属杆ab，从弧形轨道上h高处由静止开始下滑。设ab杆和cd杆始终与轨道垂直，且接触良好，ab杆与cd杆不会相碰，ab和cd杆的电阻均为R，轨道电阻不计，重力加速度为g。求：(1)回路abcd内电流的最大值。(2)在ab杆运动的整个过程中可产生的热量。

图10－53

与力学结合的电磁感应问题答案

1．C

26A2．(1)2A；8V；2N，方向向左。(2)是交变电流；I有效=3；电流随时间的变化图

象如答图10－1所示。

图10－1

22B2L2vB2L2v0B4L4xBLv0FF2RRmR，成线性关系。(2)开始运动瞬间x＝0，0R 3.(1)

停止运动时v′＝0，F′＝0；(3)安培力与位移成线性关系，所以安培力做的功与平均力做的功相等，即

WF0FFxm0xm22，

1B2L2v0mRV012B2L2xmmRV0Wmv0Ekvv00xm222L2RB22mRBL，所以由，得，命题得证；

(4)根据能量守恒

EEk12mv02

4．(1)

v2v1fRB2L2v1;B2L2(2)fmR;(3)P导体棒=

Fv2f(v1fR)22BL，P电路=E2/R B2L2(v1v2)2f2RB2L2vtfR22a22RBL；(4)BLtmR

5．(1)Eab＝0.3V；(2)Imin＝1.5A，Imax＝5A；(3)vcd＝3.5m/s

6．(1)感应电流的大小和方向均不发生改变。因为金属棒滑到圆弧任意位置时，回路

LLL4B022gH2gHQt0时，I＝0；当t0时，t0R；(3)当中磁通量的变化率相同。(2)IB0LLLBLL(2gH)2gHI0(2gH)Rt0，方向为b→a；当t0时，Rt0，方向为a→b。

B2L220Q(2gh)25Rm 7.

8．F＝1.44×10－3N。提示：在t时间内，杆的运动距离

L12at2，此时杆的速度v＝

at。，回路的面积S＝Ll。

BBk(tt)ktBlvkBkttt，而,t回路总电阻R＝2Lr0，

回路中的感应电动势回路中的感应电流

iESER，作用于杆的安培力F＝Bli。

3k2l2Ftr02解得：。

v4n2B02L2v2nB0LV2l,f0F2nB0LII2l0磁RR9．(1)；(2)方向始终沿x轴正方向；(3)

感应强度的波形图如答图10－2。

答图10－2

29m2gr2v29m2g2R3B2r2v1h,P2;ag44222g32Br16Br 4mR；(2)10．(1)

4B2r2(v3at)Fmamg3R(3)。

11．v＝4.5m/s；R2＝6.0

2Bl2ghmgh12．(1)2R；(2)3