天全县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

天全县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（ ）

A． B． C． D．

2． 已知定义在R上的可导函数y=f′x）（x）是偶函数，且满足xf（＜0，的x的范围为（ ）

=0，则满足

A．（﹣∞，）∪（2，+∞） B．（，1）∪（1，2） C．（，1）∪（2，+∞） D．+∞） ∪（0，）（2，

3． 若方程C：x2+

=1（a是常数）则下列结论正确的是（ ）

B．∀a∈R﹣，方程C表示双曲线

A．∀a∈R+，方程C表示椭圆 4． 在△ABC中，b=A．

B．2

C．

C．∃a∈R﹣，方程C表示椭圆 D．∃a∈R，方程C表示抛物线

，c=3，B=30°，则a=（ ） 或2

D．2

，且满足（t+1）x+（t+2）y+t=0，则参数t的取值范围为（ ）

5． 若变量x，y满足：

A．﹣2＜t＜﹣ B．﹣2＜t≤﹣ C．﹣2≤t≤﹣ D．﹣2≤t＜﹣

6． 如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（ ） A．

B．|a|＞|b|

C．a2＞b2

D．a3＞b3

7． 已知{an}是等比数列，a22，a5A．1，则公比q（ ） 411 B．-2 C．2 D． 22第 1 页，共 17 页

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8． 若 A．

，

B．5，2

C．

，且

，则λ与μ的值分别为（ ） D．﹣5，﹣2

9． 已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ ） A．{0}∈M B．{0}M C．0∈M 10．已知函数f（x）=A．

B．

C．﹣2 D．3

x的焦点相同，且双曲线C过点P（﹣2，0），则双曲线C的D．0M ，则

的值为（ ）

11．已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y2=8渐近线方程是（ ） A．y=±

x B．y=±

C．xy=±2

x

D．y=±x

12．已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（x）|的图象可能是（ ）

A． B．C．

D．

二、填空题

13．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为 ． 14．已知等差数列{an}中，a3=

，则cos（a1+a2+a6）= ．

15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为 ． 16．如图，在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧

AEF,则线段A1P长度的取值范围是_________. 面BCC1B1内一点，若AP1平行于平面

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17．已知函数f（x）=围是 ．

18．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小； ③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数； ④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数； 以上命题中真命题的序号为 ．

，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范

三、解答题

19．（本题满分15分）

如图AB是圆O的直径，C是弧AB上一点，VC垂直圆O所在平面，D，E分别为VA，VC的中点. （1）求证：DE平面VBC；

（2）若VCCA6，圆O的半径为5，求BE与平面BCD所成角的正弦值.

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【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．

20．已知矩阵A＝

21．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，B={x|x＜4}，C={x|x≥a}． （Ⅰ）求A∩（∁UB）； （Ⅱ）若A⊆C，求a的取值范围．

，向量＝

.求向量

，使得A2＝.

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22．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4（1）求椭圆E的标准方程；

（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆E相交于A、B两点，且在x轴上存在点M，使得关，试求点M的坐标．

23．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．

与k的取值无

x的焦点，离心率是

．

（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；

（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；

（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．

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24．中国高铁的某个通讯器材中配置有9个相同的元件，各自工作，每个元件正常工作的概率为p（0＜p＜1），若通讯器械中有超过一半的元件正常工作，则通讯器械正常工作，通讯器械正常工作的概率为通讯器械的有效率

（Ⅰ）设通讯器械上正常工作的元件个数为X，求X的数学期望，并求该通讯器械正常工作的概率P′（列代数式表示）

（Ⅱ）现为改善通讯器械的性能，拟增加2个元件，试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率．

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天全县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，

由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项． 故选：C．

【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．

2． 【答案】D

【解析】解：当x＞0时，由xf′（x）＜0，得f′（x）＜0，即此时函数单调递减， ∵函数f（x）是偶函数， ∴不等式即|

|＞，即

等价为f（|＞或

|）＜＜﹣，

，

解得0＜x＜或x＞2，

故x的取值范围是（0，）∪（2，+∞） 故选：D

【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．

3． 【答案】 B

【解析】解：∵当a=1时，方程C：

+

22

即x+y=1，表示单位圆

∴∃a∈R，使方程C不表示椭圆．故A项不正确； ∵当a＜0时，方程C：

表示焦点在x轴上的双曲线

∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确 ∵不论a取何值，方程C：

中没有一次项

∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确 综上所述，可得B为正确答案 故选：B

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4． 【答案】C 【解析】解：∵b=∴解得：a=

或2

，c=3，B=30°，

2

，整理可得：a﹣3

2222

∴由余弦定理b=a+c﹣2accosB，可得：3=9+a﹣3

a+6=0，

．

故选：C．

5． 【答案】C

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由（t+1）x+（t+2）y+t=0得t（x+y+1）+x+2y=0， 由

，得

，即（t+1）x+（t+2）y+t=0过定点M（﹣2，1），

则由图象知A，B两点在直线两侧和在直线上即可， 即[2（t+2）+t][﹣2（t+1）+3（t+2）+t]≤0， 即（3t+4）（2t+4）≤0， 解得﹣2≤t≤﹣，

即实数t的取值范围为是[﹣2，﹣]， 故选：C．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．

6． 【答案】D

【解析】解：若a＞0＞b，则

，故A错误；

若a＞0＞b且a，b互为相反数，则|a|=|b|，故B错误； 若a＞0＞b且a，b互为相反数，则a2＞b2，故C错误；

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函数y=x3在R上为增函数，若a＞b，则a3＞b3，故D正确； 故选：D

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．

7． 【答案】D 【解析】

试题分析：∵在等比数列{an}中，a22,a5考点：等比数列的性质. 8． 【答案】A

【解析】解：由又∴故选：A．

，得

，，解得

．

．

，

a1113,q5,q. 4a282【点评】本题考查了平行向量与共线向量，考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化，该题是基础题．

9． 【答案】C

【解析】解：对于A、B，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确； 对于C，0是集合中的一个元素，表述正确．

对于D，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确． 故选C

【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用

10．【答案】A

【解析】解：∵函数f（x）=∴f（）=

=﹣2， =f（﹣2）=3﹣2=．

，

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故选：A．

11．【答案】A

2

【解析】解：抛物线y=8

x的焦点（2，0），

，

．

2

双曲线C 的一个焦点与抛物线y=8

x的焦点相同，c=2

双曲线C过点P（﹣2，0），可得a=2，所以b=2双曲线C的渐近线方程是y=±故选：A．

x．

【点评】本题考查双曲线方程的应用，抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．

12．【答案】B

x

【解析】解：先做出y=2的图象，在向下平移两个单位，得到y=f（x）的图象， 再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象． 故选B

【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．

二、填空题

13．【答案】 3x﹣y﹣11=0 ．

【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点 为A（x1，y1），B（x2，y2），

22

即有y1=6x1，y2=6x2，

相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2）， 即有kAB=

=

==3，

则直线方程为y﹣1=3（x﹣4）， 即为3x﹣y﹣11=0．

将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得 9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0， 故所求直线为3x﹣y﹣11=0． 故答案为：3x﹣y﹣11=0．

14．【答案】

．

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【解析】解：∵数列{an}为等差数列，且a3=∴a1+a2+a6=3a1+6d=3（a1+2d）=3a3=3×∴cos（a1+a2+a6）=cos故答案是：

．

=

．

=

， ，

15．【答案】 ．

【解析】解：∵PF1⊥PF2，

222

∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|． 22

∵双曲线方程为x﹣y=1， 22222

∴a=b=1，c=a+b=2，可得F1F2=2

222

∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|=8

22

又∵P为双曲线x﹣y=1上一点，

2

∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）=4

2222

因此（|PF1|+|PF2|）=2（|PF1|+|PF2|）﹣（|PF1|﹣|PF2|）=12

∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：

【点评】本题根据已知双曲线上对两个焦点的张角为直角的两条焦半径，求它们长度的和，着重考查了双曲线的基本概念与简单性质，属于基础题．

16．【答案】【解析】

32,5， 42第 11 页，共 17 页

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考点：点、线、面的距离问题.

【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题. 17．【答案】 （0，1） ．

【解析】解：画出函数f（x）的图象，如图示：

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令y=k，由图象可以读出：0＜k＜1时，y=k和f（x）有3个交点， 即方程f（x）=k有三个不同的实根， 故答案为（0，1）．

【点评】本题考查根的存在性问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．

18．【答案】 ①②④ ．

【解析】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．

②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．

③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．

④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确． 故答案为：①②④．

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【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．

三、解答题

3146. 146【解析】（1）∵D，E分别为VA，VC的中点，∴DE//AC，…………2分

19．【答案】（1）详见解析；（2）

∵AB为圆O的直径，∴ACBC，…………4分 又∵VC圆O，∴VCAC，…………6分 ∴DEBC，DEVC，又∵VCBCC，∴DE面VBC；…………7分

11（2）设点E平面BCD的距离为d，由VDBCEVEBCD得DESBCEdSBCD，解得

3332，…………12分 设BE与平面BCD所成角为，∵BCAB2AC28， d2d3146.…………15分 BEBC2CE273，则sinBE14620．【答案】＝【解析】A2＝设

＝

.由A2＝，得

.

，从而

解得x＝-1，y＝2，所以＝21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵全集U=R，B={x|x＜4}， ∴∁UB={x|x≥4}，

2

又∵A={x|x﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5}，

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∴A∩（∁UB）={x|4≤x≤5}； ∴a的范围为a≤﹣1． 题的关键．

22．【答案】

，…1分

（Ⅱ）∵A={x|﹣1≤x≤5}，C={x|x≥a}，且A⊆C，

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本

【解析】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=c=e•a=故b=

×

==

，

=

，…4分

，即x2+3y2=5…6分

所以，椭圆E的方程为

（2）将y=k（x+1）代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；…7分 设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则 x1+x2=﹣∴∴

，x1x2=

；…8分

=（x2﹣m，y2）=（x2﹣m，k（x2+1））；

=（x1﹣m，y1）=（x1﹣m，k（x1+1）），

=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2

，

=m2+2m﹣﹣

要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣； ∴存在点M（﹣，0）满足题意…13分

【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08， 由茎叶图知：

分数在[50，60）之间的频数为2， ∴全班人数为

．

（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；

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频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：

．

（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，

（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，

其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个， 故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意可知：X～B（9，p），故EX=9p． 在通讯器械配置的9个元件中，恰有5个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有6个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有7个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有8个元件正常工作的概率为：在通讯器械配置的9个元件中，恰有9个元件正常工作的概率为：通讯器械正常工作的概率P′=

（Ⅱ）当电路板上有11个元件时，考虑前9个元件，

为使通讯器械正常工作，前9个元件中至少有4个元件正常工作． ①若前9个元素有4个正常工作，则它的概率为：此时后两个元件都必须正常工作，它的概率为：②若前9个元素有5个正常工作，则它的概率为：此时后两个元件至少有一个正常工作，它的概率为：③若前9个元素至少有6个正常工作，则它的概率为：此时通讯器械正常工作，故它的概率为： P″=

可得P″﹣P′=

，

=

=

．

p2+

p2+

+

﹣

，

；

． p2； ．

；

；

． ． ． ． ．

．

故当p=时，P″=P′，即增加2个元件，不改变通讯器械的有效率；

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当0＜p当p

时，P″＜P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率降低； 时，P″＞P′，即增加2个元件，通讯器械的有效率提高．

【点评】本题考查二项分布，考查了相互事件及其概率，关键是对题意的理解，属概率统计部分难度较大的题目．

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