二次函数的最值问题举例(附练习、答案)

二次函数yax2bxc (a0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a0时，函数在

bb4acb2x处取得最小值，无最大值；当a0时，函数在x处取得最大值2a2a4a4acb2，无最小值． 4a本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

【例1】当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．

解：作出函数的图象．当x1时，ymin4，当x2时，ymax5．

2【例2】当1x2时，求函数yxx1的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当x1时，ymin1，当x2时，ymax5．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

【例3】当x0时，求函数yx(2x)的取值范围．

2解：作出函数yx(2x)x2x在x0内的图象．

可以看出：当x1时，ymin1，无最大值．所以，当x0时，函数的取值范围是y1． 【例4】当txt1时，求函数y125xx的最小值(其中t为常数)． 22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数y125xx的对称轴为x1．画出其草图． 22125tt； 22(1) 当对称轴在所给范围左侧．即t1时： 当xt时，ymin(2) 当对称轴在所给范围之间．即t1t10t1时：

125113； 22(3) 当对称轴在所给范围右侧．即t11t0时：

15122 当xt1时，ymin(t1)(t1)t3．

222

当x1时，ymin

122t3,t0综上所述：y3,0t1

15t2t,t122在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：

【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x．

(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；

(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(x30)元，

那么m件的销售利润为ym(x30)，又m1623x．

 y(x30)(1623x)3x2252x4860,30x

(2) 由(1)知对称轴为x42，位于x的范围内，另抛物线开口向下

当x42时，ymax3422252424860432

当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

A 组

1．抛物线yx2(m4)x2m3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点．

2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 3．求下列二次函数的最值：

(1) y2x24x5；

(2) y(1x)(x2)．

4．求二次函数y2x23x5在2x2上的最大值和最小值，并求对应的x的值． 5．对于函数y2x24x3，当x0时，求y的取值范围． 6．求函数y35x3x22的最大值和最小值．

7．已知关于x的函数yx2(2t1)xt21，当t取何值时，y的最小值为0？

B 组

1．已知关于x的函数yx22ax2在5x5上．

(1) 当a1时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a为实数时，求函数的最大值．

22．函数yx2x3在mx0上的最大值为3，最小值为2，求m的取值范围． 23．设a0，当1x1时，函数yxaxb1的最小值是4，最大值是0，求a,b的

值．

24．已知函数yx2ax1在1x2上的最大值为4，求a的值． 25．求关于x的二次函数yx2tx1在1x1上的最大值(t为常数)．

第五讲 二次函数的最值问题答案

A 组

1．4 14或2，

3 2l222．m

163．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值4．当x9，无最小值． 4331时，ymin；当x2时，ymax19． 485．y5

6．当x523时，ymin3；当x或1时，ymax3． 6367．当t

5时，ymin0． 4B 组

1．(1) 当x1时，ymin1；当x5时，ymax37．

(2) 当a0时，ymax2710a；当a0时，ymax2710a． 2．2m1． 3．a2,b2． 4．a1或a1． 45．当t0时，ymax22t，此时x1；当t0时，ymax22t，此时x1．