高考数学数列大题训练答案版

1. 已知等比数列{an}中,a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且

a164,公比q1

（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设bnlog2an，求数列{|bn|}的前n项和Tn. 解析：

(1)设该等差数列为{cn}，则a2c5，a3c3，a4c2Qc5c32d2(c3c2)

(a2a3)2(a3a4)即：a1qa1q22a1q22a1q3 1q2q(1q)，Qq1， 2q1,1(2)bnlog2[64g(2n1q11，a64g()n1 22n(13n) 2)]6(n1)7n，{bn}的前n项和Sn当1n7时，bn0，TnSnn(13n) （8分） 2当n8时，bn0，Tnb1b2Lb7b8b9Lbn

S7(b8b9Lbn)S7(SnS7)2S7Sn42n(13n) 2n(13n)*(1n7,nN)2 Tnn(13n)42(n8,nN*)2

2.已知数列{an}满足递推式an2an11(n2)，其中a415. （Ⅰ）求a1,a2,a3；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）求数列{an}的前n项和Sn

解：（1）由an2an11及a415知a42a31, 解得：a37,同理得a23,a11.

（2）由an2an11知an12an12

an12(an11)an1构成以a112为首项以2为公比的等比数列； an1(a11)2n1；an12n, an2n1.为所求通项公式

n （3）an21

Sna1a2a3......an

(211)(221)(231)......(2n1)

2(12n)(222......2)nn2n12n.

12123n

3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且有a12，3Sn5anan13Sn1(n2) （1）求数列an的通项公式；

（2）若bn(2n1)an，求数列an的前n项的和Tn。

解：由3Sn3Sn15anan1(n2)，2anan1，又Qa12，

an1， an12{an}是以2为首项，

11n11n22n为公比的等比数列，an2()()2 222bn(2n1)22n，Tn121320521LL(2n1)22n （1）

1Tn120321LL(2n3)22n(2n1)21n （2） 2（1）—（2）得Tn22(22LL212012n)(2n1)21n

12[1(21)n1]Tn12(2n3)22n (2n1)21n6(2n3)21n ，即：Tn21212

n*4.已知数列{an}满足a11，且an2an12(n2,且nN)．

（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明数列{

an}是等差数列； 2n（Ⅲ）求数列{an}的前n项之和Sn

32解：（Ⅰ）a22a126，a32a2220．

（Ⅱ）an2an12(n2,且nN)， ∴

n*anan1anan1**， 即1(n2,且nN)1(n2,且nN)． nn1nn12222ana11是首项为}，公差为d1的等差数列．

2122nan1111n∴． (n1)d(n1)1n,a(n)2nn22222∴数列{（Ⅲ）由（Ⅱ）得

Sn1132531222(n)2n(1)2222135112Sn222324(n1)2n(n)2n1(2)22222 2222(n)2n123n(1)(2)得1Sn1222(n)2223n12n11

2(12n)1(n)2n11(32n)2n3． ∴Sn(2n3)2n3 ．

122

5.已知数列an满足a13，anan12an11. （1）求a2，a3，a4； （2）求证：数列解： （1）a21是等差数列，并写出an的一个通项。

an1579,a3,a4 357（2）证明：由题设可知an0且an1,nN anan12an11

an11an1an11an1 111 an1an11 11是以为首项，1为公差的等差数列

2an1 故

11122n1n1n an 1an1222n12n1*6.数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN)

（Ⅰ）求数列an的通项an； （Ⅱ）求数列nan的前n项和Tn

解：（Ⅰ）Qan12Sn，Sn1Sn2Sn，Sn13 Snn1*又QS1a11，数列Sn是首项为1，公比为3的等比数列，Sn3(nN)

3n2(n≥2)， 当n≥2时，an2Sn12g1， n1， ann23，n≥2．g（Ⅱ）Tna12a23a3Lnan， 当n1时，T11；

306g31L2ng3n2，…………① 当n≥2时，Tn14g3Tn34g316g32L2ng3n1，………………………②

①②得：2Tn242(33L31(12n)g3n1

12n2)2ng3n13(13n2)22g2ng3n1

13Tn11n3n1(n≥2) 又QT1a11也满足上式， 2211n3n1(n≥2) 22Tn

7.a12,a24,bnan1an,bn12bn2. 求证： ⑴数列{bn+2}是公比为2的等比数列；

n1⑵an22n；

n2n(n1)4. ⑶a1a2an2bn122

bn2 b1a2a12 b22b226

解： ⑴ bn122(bn2) 数列{bn+2}是首项为4公比为2的等比数列；

n12n1 ⑵由⑴知 bn242bn2n12 an1an2n12

a2a1222 a3a2232

……

anan12n2

23n上列（n-1）式子累加：an2(222)2n

an2n12n

⑶a1a2an(22223n1)2n(n1). 2a1a2an2n2n(n1)4

8.已知各项都不相等的等差数列{an}的前六项和为60，且a6为a1和a21 的等比中项. （1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn；

（2）若数列{bn}满足bn1bnan(nN),且b13,求数列{解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则

1}的前n项和Tn. bn6a115d60,d2,解得 2a5.a(a20d)(a5d)1111an2n3.

Snn(52n3)n(n4)

2 （2）由bn1bnan,bnbn1an1(n2,nN).

当n2时,bn(bnbn1)(bn1bn2)L(b2b1)b1

an1an2La1b1(n1)(n14)3n(n2).对b13也适合,

bnn(n2)(nN)11111(). bnn(n2)2nn2Tn1111111311(1)() 2324nn222n1n2

3n25n 

4(n1)(n2)

9.已知Sn是数列an的前n项和，a1,a22，且Sn13Sn2Sn110，其中

32n2,nN*.

① 求证数列an1是等比数列； ② 求数列an的前n项和Sn.

解：①QSn13Sn2Sn110Sn1Sn2(SnSn1)1 an12an1(n2)

又a1,a22也满足上式，an12an1(nN*)

an112(an1)（nN*）

32数列an1是公比为2，首项为a11（2）由①，an11的等比数列 21n122n2an2n21 2于是Sna1a2...an211201211...2n21

222...2101n22n1n2n

10.已知Sn是数列{an}的前n项和，并且a1=1，对任意正整数n，Sn14an2；设

bnan12an(n1,2,3,）.

（I）证明数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式； （II）设Cnbn1,Tn为数列{}的前n项和，求Tn. 3log2Cn1log2Cn2解析：（I）Sn14an2,Sn4an12(n2),

两式相减：an14an4an1(n2),

an14(anan1)(n2),bnan12an,bn1an22an14(an1an)2an1,bn12(an12an)2bn(nN*),

bn12, {bn}是以2为公比的等比数列， bnb1a22a1,而a1a24a12,a23a125,b1523,bn32n1(nN*)

（II）Cn

而

bn111, 2n1,nn1log2Cn1log2Cn2log22log22n(n1)311111111111,Tn(1)()()()1.

n(n1)nn122334nn1n1