同济大学朱慈勉 结构力学 第9章超静定结构的实用计算方法与概念分析习题答案.

同济大学朱慈勉 结构力学 第9章超静定结构的实用计算方法与概

念分析习题答案

9-1 试说出何为杆端转动刚度、弯矩分配系数和传递系数，为什么弯矩分配法一般只能用于无结点线位移的梁和刚架计算。

9-2 试用弯矩分配法计算图示梁和刚架，作出M图，并求刚结点B的转角φB。

(a)

20kN/m 40kN A EI B EI C

6m

2m 2m 解：设EI=6，则iAB1,iBC1.5 41BA4131.50.4731.5

BC4131.50.53结点 A B

杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 固端弯矩 -60 60 -30 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 最后弯矩

-67.05

45.9

-45.9

11B3iMBAmBA2MABmAB2EI45.9601267.0560

21.15EIKNm2逆时针方向67.5 45.9 9040

(b)

D m

40kN32EI A B Cm 3 EI mEI / 2EINm k6E0 2

9m 9m

解：设EI=9，则

C 绞支 0 0 0

9-1

2

iAB1,iBC1iBD3,iBE3

33BDBE333331410.3641BA333331410.16

31BC333331410.12结点 A B

杆端 AB BA BC BD 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 固端弯矩 0 0 0 45 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.2 最后弯矩

3.6

7.2

5.4

61.2

13iM1BBAmBA2MABmAB3EI7.20123.60

16.2EIKNm2顺时针方向 607.2 61.2 3.65.473.0

9-3 试用弯矩分配法计算图示刚架，并作出M图。

(a)

32kN 8kN/m 6kN A EI 100kNEI C ·m B

4m 4m 8m

2m 解：Ｂ为角位移节点

设EI=8,则iABiBC1，BABC0.5 固端弯矩MbBAPabl2l232441228248KNm MBC9l28126258KNm

结点力偶直接分配时不变号

结点 A B

杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩

0

48

-58

9-2

C BE 0.36 绞支 -90 0 16.2 0 -73.8

0

C 12

50 50 3

分配传递 0 5 5 最后弯矩

0

103

-3

103 312 12.5 56.5

(b)

60kN 60kN 40kN/m 40kN A B C D E EI=常数

2m 2m 2m 6m 6m 2m

解：存在B、C角位移结点 设EI=6，则iABiBCiCD1 41BABC41410.5414CB31417

3BC7固端弯矩：

MAB80KNmMBA80KNmMBCMCB0

M40628801CD2140KNm结点 A B

杆端 AB BA BC 分配系数 固结 0.5 0.5 固端弯矩

-80 80 0 -20 -40 -40

47.5 分配传递

-11.4 -22.8 -22.8 3.25 -0.82

-1.63

-1.63

最后弯矩

-112.22

15.57

-15.48

12 12

C

CB 4/7 0 -20 91.4 -11.4 6.5 -0.82 0.6 66.28

CD 3/7 -140 68.6 4.9 0.45 -66.05

9-3

112.2266.28 15.57 (c) 24kN/m

B EI C EI D m3 A EI 4m 5m 5m

解：B、C为角位移结点

1BA1415,44BC145CB41445,11

CD145固端弯矩：

M2442AB6KNmM2442BA3128KNmM2452BC1250KNm2 M245CB1250KNmM2452CD3200KNmM2452DC6100KNm结点 A B

杆端 AB BA BC 分配系数 滑动 0.2 0.8 固端弯矩

128 -50 15.6 -15.6 -62.4

72.48 分配传递

14.5 -14.5 -58 11.6 2.32

-2.32

-9.28

9-4

80

C

CB 0.8 50 -31.2 144.96 -29 23.2 -4. 3.7

4

D CD 滑动 0.2 -100

-200 36.24 -36.24 5.8 -5.8 0.93

-0.93

最后弯矩

96.42

95.58

5

-95.6

157.02

-157.03

-142.97

结点 杆端 分配系数固端弯矩分配传递最后弯矩 157.0295.58 147.9796.42

(d) 20kNm2kN/m C D E m4EI=常数 A B 4m 4m 解：

41CA4141CD0.541DC4141314DE11 DB31341413111固端弯矩：

M242DE1283KNmM8

ED3KNm

A C

AC CA CD DC 固结 0.5 0.5 4/11 0 0 0 0 -5

-10 -10 -5 46/33 92/33 -0.35 - 23/33

- 23/33

-0.35

0.127 -5.35

-10.7

-9.3

-2.44

9.32.094.120.25 10.72.44 5.35

(e)

3kN/m EI1=∞ C D 2EI E k  EI16m 3 EI EI m4A B D DB DE 3/11 4/11 0 -2.67 69/33 92/33 0.096 0.127 2.19

0.25

E ED 固结

2.67 46/33 0.0 4.12

9-5

解：当D发生单位转角时：YCK41则MDCEI2m 46

EI 4EIm1(假设12）4SDC12,SDA9,SDE16,SEB12,SDE16DC12913 ,DA,DE,ED,EB37373777结点 杆端 分配系数固端弯矩分配传递最后弯矩9-6

D DC DA DE 12/37 9/37 16/37 0 0 -9

-2.57 3.75 2.81 5 -0.72 0.23

0.18 0.31 3.98

2.99

-6.98

6.983.98 5 2.99 2.47

(f) 2kN/m A 1.5EI A′

EI m 4EI 2kN/m B 1.5EIB′

6m

解：截取对称结构为研究对象。

SAA0.5EISAB4EI4EI1/2 AA12/33AB23同理可得：21BA3,BB3

另

E

ED EB 4/7 3/7 9 0 -5.14 -3.86 -2.5 -1.43 -1.07 0.16 5

-5

B BE 固结 0 -1.93 -0. -2.47

7

CAACBB1CABCBAA1 2AA-3-2-0.440.05-4.51-3-1.33-0.15-0.02-4.50ABAA2/31/30-21.33-0.-0.440.15-0.10-0.0.49-4.49 B 2/31/3BABBBB0-622.671.33-0.440.290.15-0.050.030.024.50-4.50

4.494.514.50 4.504.50M图

9-4 试用弯矩分配法计算图示梁，并作出M图。设图a梁含无限刚性段；图b梁B支座处含转动弹簧，刚度系数为kθ=4i。

(a)

M EI1=∞ B A EI EI C 解：

4iB16i33l 4

l 4 l 4 3l 4 B B B C4i6i

28i3

9-7

8

1EIiMBC3i33l4i(其中i4l43)4lMCB0M16iBC3SBC16i3,CMBCBCM0CBM11

BA4i6i3l6i4l4M11AB2i6i3l4i4l4S28BAMBA3iCMAB3BAMBA7结点 A B

杆端 AB BA BC 分配系数 固结 7/11 4/11 固端弯矩 0 分配传递 3M/11 7M/11 4M/11 最后弯矩

3M/11

7M/11

4M/11

711M 34M 11M11M图

(b) kθ 32kN A i B i C

4m 2m 2m 解：首先在B点偏右作用一力矩，如图所示。

kθ M A i B i C

根据杆BC端，可得M4iBCkBCBA ① 根据杆BA端，可得kBCBA4iBA ② 由②式得： θ4ikθBCkθθBA ③ 将②式代入①式得：M4iθBC4iθBA ④

9-8

C CB 铰结 0 0 0

θBC4ik4iBC4iθBC4iθθ4i2

BC4iθBAθBCBA4i2k4i8i3μBA1μ1BCk4i2k3

9-5 试用弯矩分配法计算图示剪力静定刚架，并作出M图。

(a) EI 1= ∞ C E 2EI l qD EI B 2EI l A

l

l 解：作出M图（在B处加刚臂）

SBD3i,SBA0,SBC2iBD0.6,BA0,BC0.4

结点 A B 杆端 AB BD BA BC 分配系数 铰结 0.6 0 0.4 固端弯矩 0 -2ql2

-ql2

/3

分配传递 0 21 ql2

/15 0 14ql2/15 最后弯矩

0

21 ql2/15

-2ql2

3ql2/5

(b)

10kN 10kN E F G H m3A B C D EI=常数 4m

4m 4m 解：提取左半部分分析

10kN 5kN5kN E F G =A BC 10kN 5kN5kN (a)9

C

CB CE -ql2

/6 0 -14ql2/15 -33ql2/30

0

5kN5kN + 5kN 5kN (b)

9-9

E

EC 铰结0 0 0

（a）图中结构不产生弯矩，（b）图中结构为反对称结构，因此可以取下半部分分析得： SAE3Ei/1.52EI1EI4111AB24498AE1AB91SBASABEI4SBFSAE2EISABEI/4SBCEI/21EI210

BABCBF1111244211111222421181BABC11 5kNAAB 1/98/9-101.118.-1.010.110.9-9.799.79AEE BA5kN1/11-10-1.111.01-0.110.01-10.2B2/118/11BCBF F

9-6 试回答：剪力分配法的适用范围如何？什么叫柱子的并联和串连？由并联和串连所构成的合成柱，其剪切刚度和剪切柔度应如何计算？

9-7 试用剪力分配法计算图示结构，并作出M图。

(a)

10kN/m EI A 10kN B EA=∞ 3EI C D EA=∞ F EA=∞ 3EI E EI G 6kN/m 10m H 解：AB、CD、EF、GA均为并联结构。 ①首先转化结间荷载

FQAB 2.028.080.020.082.048.165ql3qlFF62.5KN QBA37.5KN QAG22.5KN 88 C

9.79 8.162.0410.2M图9-10

11

F固端弯矩：MABql2125KNm 83EI9EI9EI3EI24ik并kABkCDkEFkGHl3l3l3l3l2 于是边柱和中柱的剪力分配系数为r1318,r28

转化后的荷载为：37.5+22.5+10=70KN 边柱和中柱的剪力分别为： F70Q1r1708KNF210 Q2r2708KN边柱柱脚弯矩为：70810125212.5KNm 中柱柱脚弯矩为：

210810262.5KNm 262.5 262.5 212.5 M图KNm

(b) EI1=∞ EI1=∞ EI1=∞ B

D 10kN F H EI3EI m83EIm EI 01 A C

E

G

解：同上题，边柱和中柱的剪力分配系数为r1318,r28转化结间荷载 2QF108104FE1038.96KN

边柱和中柱的剪力分别为：

F1r1.12KN,MFEF10822Q18.961003.2KNmFP822r.963.36KN,MF2Q28FE10012.8KNm 边柱柱脚弯矩为：1.1255.6KNm

中柱CD柱脚弯矩为：3.36516.8KNm 中柱EF柱脚弯矩为：3.216.820KNm

9-11

12

5.616.829.65.635.75.6 16.8 205.6 M图KNm

(c)

E H 30kN B

EI1=∞ EI1=∞

d EI EI e

30kN a 4EI D EI1=∞ G

b EI EI c

A C F 解：

R 4m 4m 15 d30kN 15 15eab15 30kN 15

c 15 (a)15当顶层横梁没有水平位移时，d、e、b、c并列 R=45KN

rbrcrerd14

FQbFQcFQdFQe7.5KN

45KN 60d15KN30 30e 60a 15KN 3015KN30b 15KN30 30 c15KN60 30 30 (b)单位：KNm

debc并串并并a

9-12

设k12EId431 则

kbkckdke1k4EIa12831

2kdekdke2kk1bcdebckbkc211122r1121bcde123 ra1rbcde3

FQa45/315KN FQdeFQbc30KNFQbFQcFQdFQe12FQde15KN 6015 15 60 6045 15 4515 6060 45 45 M图KNm

(d) A a C b E d G EI EI EI EI1=∞ EI1=∞ c e F B EI D EI 20kN 2m 2m 2m

解：结构分析：

bc并联与de 并联，经串联后的结合柱与a并联。

k3EI1并l31159EI13l3 12EI3EI112EIl3l3l312EIl3r39a159,r120159,r120241bcdebrc159392r12015915

3915,r1201de159395Qa4.97KN,QbQc4.KN,Qd1.16KN,Qe4.KN13

9-13

9.8214

9-8 图示刚架设各柱的侧移刚度如括号内所示，试用剪力分配法计算，并作出M图。 M图KNm

解：9-14

30kN F EI1=∞ J EI1=∞ M

g(1)

h(1)

i(1) m455kN E EI1=∞ I EI1=∞ L

d(2) e(2) m4B EI1=∞ D EI1=∞ H f(3)

ma(2)

b(3) c(3) 4A C G K 2030KN20 20 20g(1)h(1)i(1)20 20 20R (a)

g、h、i三杆并联rr1gnri3 FQgFQhFQi10KNR305585KN

15

18085KN1804020KN304010KNb15KNce20KN30 40d20a 15KN45KN 2030(b)30ab并cd串并并ef

kabc2338kde224k1abcde1183

848817abcde3338f11717F9Qf851745KNF8Qabcde851740KNF1QdFQe24020KN

F2Qa84010KNF3QbFQc84015KN将（a）、（b）两图叠加得：

9-15

180

16

20 202018040 40207030404030 40206020160 2030 30 160 M图KNm

9-9 试运用力学基本概念分析图示结构，并作出M图的形状。

(a)

q

l

EI=常数 l l 解：对于跨间均布荷载的等截面连续梁。其变形曲线如图所示。C点角位移应是顺时针方向。 C支座处承受负弯矩，数值应小于C端为固定端时的弯矩ql2/3 MCMB2MA 2

(b)

解：若D点固定，则MDCPlql2 22ql2 2 q EI ql EI l 2 l l 实际结点的转动受到弹性约束MDC若DE段两端固结，则MDEql2 12但MDEMDC，D结点左侧下缘将受拉

9-16

l 2 2EI 2EI MEDMDE

MDB2MMBD,BA2MAB

(c) EI 1=∞aEI FP EI

EI aEI EI

2a

a

解：对于仅有结点线位移的刚架

B端若为固定端

则A、B两点固端弯矩为Fpa/4 B端若为自由端，则B端弯矩为Fpa/4 B端实际弯矩应介于两者之间。

根据柱的侧移刚度，B端弯矩为左边受拉。且

MBD2MDB2MCD

(d) F F l P 34 l EI=常数 l l

（a）

解：

17

9-17

18

FP 1Fpl8 3Fpl8FP

1Fpl2

（b）

（c）

B点没有线位移，于是考虑两种极端情况，如（b）、（c）所示。

可以看出M18F1ABpl,2Fpl

且MABMBA12Fpl 我们还应注意BD杆没有剪力。

M图

(e)

+t

EI=常数，正六边形 (f) M

a2 EI=常数 a a

解：

M 11 2M2M = 反对称9-18

1M122M + 正对称

19

反对称：可知AB杆和ED杆没有剪力，因为如果有，则剪力方向相同，结构水平方向的里无法平衡。所以AB杆与ED杆的弯矩与杆平行。

1B 2MC 317M14M A

S3EIBCaSEIBA2a 6BC71BA7317M1 2M 2M317M114M14M (a)

对称：C铰只能提供水平力，忽略轴向变形。

1 12M2M1M 4

1112M2M2M 12M14M 14M（b）（a）、（b）两图叠加，得9-19

337M7M4 37M7M9 528M28MM图

(g) F P

2EI EI EI h FP 2EI EI EI h

l 解：忽略轴向变形，则竖直方向的Fp不产生弯矩，可略去。

F11P =2Fp2Fp 反对称

对称结构不产生弯矩。 反对称：

DE 1F M1M12p M B 1 CM A1(a)(b)

M114Fph b图中因BC杆的BC比较大，所以MBC接近于M1。

9-20

20

1F12pFp+2 对称

F21

D B G AM图H

其中MABMBA，所以反弯点偏上，这是考虑节点转动的原因。 (h) 力矩：

M M EI1=∞ q EI1=∞ EI EI

EI EI

l 解：单独考虑力矩和竖向荷载。

h h h 2 q M2 M2 M2 M 2 = + 反对称对称

反对称：

M 2M2 B DEC A(a)

9-21

22

AB，BD杆中无剪力，又因为MAB0，所以AB杆中无弯矩，又因为DE杆的EI1，D

点无转角，对于剪力静定杆而言，无转角则无弯矩，所以DB杆中无弯矩。

对称：

M 2M2 B DE C A(b)

这是结点无线位移结构，又因为DE杆与BC杆的EI1，所以结点又无转角，所以AB杆、BD杆、BC杆无弯矩。

（a）、（b）图叠加：

M M (c)

E竖向荷载：

D 12ql8 B C 12ql8 A(d)

本结构无线位移，D、B两结点又无转角，DB杆、BA杆上又无荷载，所以DB杆、BA杆无弯矩。 (c)(d)两图叠加得：

9-22

23

12ql8 12ql8 M图

9-10 试用静力法求图a所示超静定梁B支座反力FyB的影响线方程，并绘制它的影响线。设取基本结构如图b所示。

(a) A x FP＝1 EI l

B Px22llxPx2x3l解：由力法求出：FyB 2l32l3故影响线为：

(b)

x A FP＝1

+1

B FyB

LR9-11 试用机动法绘制图示等截面连续梁FyB、FQB、FQB、M2和MC的影响线形状。

解： ①FyB

l A 1 B FP=1 2 C 3 l

D l 2 E EI=常数 l

9-23

24

+ - +

FyB1②FQB

L

-1

③FQB

R

④M2

1 1

⑤MC

11

9-24