2011年武汉科技大学考研试题高等代数

考试科目及代码： 高等代数 820 适用专业： 应用数学 概率论与数理统计

答题内容写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效考完后试题随答题纸交回。 考试时间3小时，总分值 150 分。

：码号证考准 题 写 要 不 内 线 封 ：密业专、科学考报 ：名姓注意：以下试题中： A*表示A的伴随矩阵，AT表示A的转置，tr(A)表示A的对角元素的和，R(A)表示A的秩。 一、填空（共5小题30分） 1．A为mn阶实矩阵，已知齐次线性方程组Ax0有非零解， 则：m n。 2．x0,x1,x2,x3为互不相同的实数， lx1)(xx2)(xx3)(xx0)(xx2)(x0(x)(x(x，l(x)x3)1x 0x1)(x0x2)(x0x3)(x1x0)(x12)(x1x3)l(xx0)(xx1)(xx3)(xx0)(xx1)(x2(x)(xx，lx)x2)3( 20)(x2x1)(x2x3)(x3x0)(x3x1)(x3x2)3则x2klk(x) 。 k03．n1个n维向量必定 。 4．V{(x1,x2,0)|x1,x2R}，则V的正交补V 。 5．已知由基1,2,,n到基1,2,,n的过渡阵为C，在两个基下的坐标分别为列矩阵x、y，则x,y之间的关系为 。 第 1 页 共 4 页

二、单项选择题（共5小题30分） 1．设A为3阶方阵，则A的伴随阵A*不可能为 100A） 010； B） 001100000C） ； D） 000100010； 000000000。 000 a11b1a12a1naaa21222nb22．1，2，n，b。已知线性方程组 abaan1nn2nna11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2无解，则 an1x1an2x2annxnbnA） 1,2,,n线性无关 ； B）1,2,,n,b线性无关 ； C） 秩（1,2,,n）n； D）秩（1,2,,n,b）n 。 3．已知A为n维线性空间V上的线性变换，则存在一个基使得A在此基下的矩阵为对角形的必要条件是 。 A） A有n个线性无关的特征向量； B） A有n个互不相同的特征值； C） A的特征值全部非0 ； D） A的特征值至少有一个0。 第 2 页 共 4 页

4．A、B为n阶对称阵，下述命题正确的是 A）若A、B都正定，则AB正定； B）若A、B都可逆，则AB可逆； C）若A、B都为正交阵，则AB为正交阵； D）若A、B行列式都不为0，则AB0。 5．A为n阶对称阵，12n为其特征值，则以下矩阵中为半正定阵的是 。 A）1EA； B）nEA； C）1EA； D）nEA。 三、（10分） 21计算行列式d03 四、（10分） 1205。 151672141010114给定欧氏空间R中的向量1，2，， 110120求WL(1,2){k11k22|k1,k2R}使得W 。 五、（15分） V{(x1,x2,x3)|x1x2x30} 对任何(x1,x2,x3)V，令T(x2x3,x3x1,x1x2) 1．求V的维数和一个基， 第 3 页 共 4 页

2．求T在上述基下的矩阵， 3．求T的核。。 六、（15分） 22判定二次型f(x)99x1212x1x248x1x3130x2是否正定 60x2x371x3 七、（40分） 1． 已知1,2,,m线性相关，而其中的任意m1个向量都线性无关。 求证：若数k1,,km，l1,,lm满足：k11k22kmm0， l11l22lmm0，则(k1,k2,,km)与(l1,l2,,lm)线性相关。 0201122．设B002011，证明XB无解，这里X为三阶未知复方阵 000 3．已知向量组A：1,2,,m可被向量组B：1,2,,s线性表出，且它们有相同的秩，求证：向量组A与向量组B等价。 4．求证：正交的正定阵必为单位阵。

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