武汉大学06-10年(缺08-09)研究生数值分析考试试卷

2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题

（A卷）

科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：

注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。

一、（12分）设方程组Axb为

21x17 113 x2（1） 用Doolittle分解法求解方程组； （2） 求矩阵A的条件数Cond(A)

二、（12分）设A为n阶对称正定矩阵，A的n个特征值为12n，为求解方程组Axb，建立迭代格式 x(k1)x(k)(bAx(k))，求出常数的取值范围，使迭代格式收敛。

三、（12分）已知数据

xi yi -2 0 -1 1 0 2 1 1 2 0 试用二次多项式p(x)ax2bxc拟合这些数据。

四、（14分）已知 yf(x) 的数据如下：

xi f(xi) f(xi) 1 2 3 2 4 12 3

（1）求f(x)的Hermite插值多项式H3(x)；

（2）为求f(x)dx的值，采用算法：f(x)dxH3(x)dxR

111333 试导出截断误差R

1

五、（12分）确定常数 a，b 的值，使积分

I(a,b)(axbe)dx

01x2取得最小值。

六、（12）确定常数Ai，使求积公式

20f(x)dxA1f(0)A2f(1)A3f(2)

的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。

七、（12分）设(x)导数连续，迭代格式xk1(xk)一阶局部收敛到点x*。对于常数，构造新的迭代格式：

1(xk)

11 问如何选取，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。

xk1xkdyf(t,y)八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 dt 的单步法：

y(t0)y0yn1ynhk2 k1f(tn,yn)11k2f(tnh,ynhk1)22（1） 验证它是二阶方法；

（2） 确定此单步法的绝对稳定区域。

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武 汉 大 学

2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题

科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（15分）给定方程 f(x)(x1)ex10 (1) 分析该方程存在几个根；

(2) 用迭代法求出这些根，精确至2位有效数； (3) 说明所用的迭代格式是收敛的. 二、（15分）设线性方程组为

a11x1a12x2b1, a21x1a22x2b2,a11a220

(1)证明用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程组要么同时收敛,

要么同时发散. (2) 当同时收敛时比较其收敛速度.

三、（10分）设A为非奇异矩阵，方程组Axb的系数矩阵A有扰动A，受扰动后的方程组为(AA)(xx)b，若||A1||||A||1，试证：

||x||||A1||||A|| ||x||1||A1||||A||四、（15分）已知 yf(x) 的数据如下： xi f(xi) f(xi) 0 1 2 1 0 1 1 求f(x)的Hermite插值多项式H3(x)，并给出截断误差R(x)f(x)H3(x)。

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五、（10分）已知数据

i xi yi 20 1 2 3 0 1 2 3 3 2 4 7 3设f(x)axb(x1)，求常数a ,b, 使得 [f(xi)yi]2min

i0{1,x,x2}中求六、（15分）定义内积 (f,g)f(x)g(x)dx 在HSpan11f(x)|x|的最佳平方逼近元素.

七、（10分）给定求积公式

2h2hf(x)dxAf(h)Bf(0)Cf(h)

试确定A,B,C,使此求积公式的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss型公式.

八、（10分）给定微分方程初值问题

dy2ydxy(0)20x1

用一个二阶方法计算y(x)在0.1 , 0.2 处的近似值. 取 h0.1 计算结果保留5位有效数字。

回归试题

为了研究家庭收入与家庭食品支出的关系，随机抽取了10个家庭，得到数据，是根据这些

数据

（1） 建立家庭食品支出对家庭收入的样品回归直线。 （2） 预测家庭收入当家庭收入为4200元时，家庭的食品支出及其置信度为95%的预测区

间。

家庭收入 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 食品支出 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10

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