高要区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

高要区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 下列满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函数是（ ） A．f（x）=﹣xe|x| B．f（x）=x+sinx C．f（x）=

D．f（x）=x2|x|

2． 为了得到函数y=A．向右平移C．向左平移

sin3x的图象，可以将函数y=

个单位 个单位

sin（3x+）的图象（ ）

个单位 B．向右平移个单位 D．向左平移

3． 若实数x，y满足不等式组A．6

B．﹣6 C．4

D．2

则2x+4y的最小值是（ ）

4． 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I（A∩B）等于（ ） A．{3，4} B．{1，2，5，6} C．{1，2，3，4，5，6} D．∅

5． 如果对定义在R上的函数f(x)，对任意mn，均有mf(m)nf(n)mf(n)nf(m)0成立，则称 函数f(x)为“H函数”.给出下列函数： ①

f(x)ln2x5；②f(x)x34x3；③f(x)22x2(sinxcosx)；④

ln|x|,x0．其中函数是“H函数”的个数为（ ） f(x)0,x0A．1 B．2 C．3 D． 4

【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大． 6． lgx，lgy，lgz成等差数列是由y2=zx成立的（ ） A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7． 直线2x+y+7=0的倾斜角为（ ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在

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精选高中模拟试卷

8． 观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（ ） A．28

B．76

C．123 D．199

9． 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ） A．232

B．252

C．472

|=

，则

D．484 •

=（ ）

10．已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且|A．﹣1 B．1

C．﹣

D．

，则

的值是（ ）

11．已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且A．

B．

C．

D．0

12．奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）

二、填空题

13．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h__________.

14．不等式

的解为 ．

15．设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+…+a99的值为 ． 16．

如图，P是直线x＋y－5＝0上的动点，过P作圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的两切线、切点分别为A、B，当四边形PACB的周长最小时，△ABC的面积为________．

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17．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单 位：小时）间的关系为PP0ekt（P0，k均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了

消除27.1%的污染物，则需要___________小时.

【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用.

18．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是 ．

三、解答题

19．已知数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，且2a1，a1+a2+2a3，a1+2a2成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式 （Ⅱ）若数列{bn}满足an+1=（）

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，

（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；

（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为

，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

，Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn．

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21．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角C,AC边长为BC边长的aa1倍，三角形ABC的面积为S（千米2）. 试用和a表示S；

（2）若恰好当60时，S取得最大值，求a的值.

22．已知函数

．

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；

1

（Ⅲ）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e﹣，e]上有两个零点，求实数b的取

值范围．

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23．选修4﹣5：不等式选讲

已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若

24．已知二次函数f（x）=x2+bx+c，其中常数b，c∈R．

（Ⅰ）若任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，试求实数c的取值范围；

恒成立，求k的取值范围．

（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，试求实数b的取值范围．

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高要区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：满足“∀x∈R，f（x）+f（﹣x）=0，且f′（x）≤0”的函数为奇函数，且在R上为减函数， A中函数f（x）=﹣xe|x|，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数， 且f′（x）=

≤0恒成立，故在R上为减函数，

B中函数f（x）=x+sinx，满足f（﹣x）=﹣f（x），即函数为奇函数，但f′（x）=1+cosx≥0，在R上是增函数， C中函数f（x）=

，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；

D中函数f（x）=x2|x|，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数， 故选：A．

2． 【答案】A

【解析】解：由于函数y=即可得到y=故选：A．

sin[3（x+

sin（3x+﹣

）]=

）=sin[3（x+）]的图象向右平移

个单位，

sin3x的图象，

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题． 3． 【答案】B

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设z=2x+4y得y=﹣

x+，

x+经过点C时，

平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣直线y=﹣由

x+的截距最小，此时z最小， ，解得

，

即C（3，﹣3），

此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6． 故选：B

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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．

4． 【答案】B 【解析】解：∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}， ∴A∩B={3，4}，

∵全集I={1，2，3，4，5，6}， ∴∁I（A∩B）={1，2，5，6}， 故选B． 转化．

5． 【答案】B

【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价

第

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6． 【答案】A

2

【解析】解：lgx，lgy，lgz成等差数列，∴2lgy=lgx•lgz，即y=zx，∴充分性成立，

2

因为y=zx，但是x，z可能同时为负数，所以必要性不成立，

故选：A．

【点评】本题主要考查了等差数列和函数的基本性质，以及充分必要行得证明，是高考的常考类型，同学们要加强练习，属于基础题．

7． 【答案】C

【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，即可判断出结论． 【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ， 则tanθ=﹣2， 则θ为钝角． 故选：C． 8． 【答案】C

【解析】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．

1010

继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a+b=123，．

故选C．

9． 【答案】 C

【解析】【专题】排列组合． 【分析】不考虑特殊情况，共有

种取法，由此可得结论．

【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有色卡片，共有故所求的取法共有故选C． 10．【答案】B

种取法， ﹣

﹣

种取法，两种红色卡片，共有

种取法，两种红

种取法，其中每一种卡片各取三张，有

种取法，其中每一种卡片各取三张，有

=560﹣16﹣72=472

【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题． 【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且|即有|

|2+|

|2=|

|2，

可得△OAB为等腰直角三角形，

|=

，

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则即有

，•

的夹角为45°， =|

|•|

|•cos45°=1×

×

=1．

故选：B．

【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．

11．【答案】A

【解析】解：取AB的中点C，连接OC，∴sin

=sin∠AOC=

=

，则AC=

，OA=1

所以：∠AOB=120° 则

•

=1×1×cos120°=

．

故选A．

12．【答案】A

【解析】解：根据题意，可作出函数图象：

∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1） 故选A．

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二、填空题

13．【答案】 【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA底面ABC，且ABC为直角三角形，且

11AB5,VAh,AC6，所以三棱锥的体积为V56h5h20，解得h4.

32

考点：几何体的三视图与体积. 14．【答案】 {x|x＞1或x＜0} ．

【解析】解：

即

即x（x﹣1）＞0 解得x＞1或x＜0

故答案为{x|x＞1或x＜0} 以解集形式写出

【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解

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15．【答案】 ﹣2 ．

n+1*

【解析】解：∵曲线y=x（n∈N），

n

∴y′=（n+1）x，∴f′（1）=n+1，

∴曲线y=x

n+1

*

（n∈N）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），

该切线与x轴的交点的横坐标为xn=∵an=lgxn，

∴an=lgn﹣lg（n+1）， ∴a1+a2+…+a99

，

=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100） =lg1﹣lg100=﹣2． 故答案为：﹣2．

16．【答案】

【解析】解析：圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9. 圆心C（1，－2），半径为3，连接PC，

∴四边形PACB的周长为2（PA＋AC） ＝2PC2－AC2＋2AC＝2

PC2－9＋6.

当PC最小时，四边形PACB的周长最小． 此时PC⊥l.

∴直线PC的斜率为1，即x－y－3＝0，

x＋y－5＝0由，解得点P的坐标为（4，1）， x－y－3＝0

由于圆C的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线PA，PB分别与x轴平行和y轴平行， 即∠ACB＝90°，

119

∴S△ABC＝AC·BC＝×3×3＝. 222

9

即△ABC的面积为. 2

9答案： 2

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17．【答案】15

5k5k【解析】由条件知0.9P0P0e，所以e0.9.消除了27.1%的污染物后，废气中的污染物数量为0.729P0，ktkt315k于是0.729P0P0e，∴e0.7290.9e，所以t15小时.

18．【答案】 ．

【解析】解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种， 事件“a+b为偶数”包含基本事件：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6）， （3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）

（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个， “在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件： （1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个， 故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P=故答案为：

【点评】本题主要考查概率的计算，以条件概率为载体，考查条件概率的计算，解题的关键是判断概率的类型，从而利用相应公式，分别求出对应的测度是解决本题的关键．

=

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（I）∵2a1，a1+a2+2a3，a1+2a2成等差数列． ∴2（a1+a2+2a3）=2a1+a1+2a2．

22

∴2（1+q+2q）=3+2q，化为4q=1，公比q＞0，解得q=．

∴an=

．

，∴

=

，

（II）∵数列{bn}满足an+1=（）∴

bn=n，∴bn=n•2n﹣1．

2n1

∴数列{bn}的前n项和Tn=1+2×2+3×2+…+n•2﹣．

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2Tn=2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，

2n1n

∴﹣Tn=1+2+2+…+2﹣﹣n•2=n

∴Tn=（n﹣1）•2+1．

20．【答案】

﹣n•2，

n

【解析】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA ∴PA⊥平面ABCD 结合AB⊥AD，可得

分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0）， P（0，0，λ） （λ＞0） ∴，，

得

，

，

∴DE⊥AC且DE⊥AP，

∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC． ∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC （Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是

设直线PE与平面PAC所成的角为θ， 则得λ=±2

∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2） 设平面PCD的一个法向量为

=（x0，y0，z0），

由

，

，得到，

令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）

∴cos＜

，

由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角， ∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为

．

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，解之

，

，精选高中模拟试卷

【点评】本题在四棱锥中证明面面垂直，并且在线面所成角的正弦情况下求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定定理和利用空间向量研究直线与平面所成角和二面角大小的方法，属于中档题．

21．【答案】（1）S1asin （2）a23 21a22acos【解析】解析：

（1）设边BCx，则ACax， 在三角形ABC中，由余弦定理得：

试题

1x2ax22ax2cos，

1所以x2，

1a22acos11asin所以Saxxsin， 2221a2acos21acos1a2acos2asinasin（2）因为S， 2221a2acos221acos1a2a， 2221a2acos2a, 21a2a且当0时，cos0，S0， 21a2a当0时，cos0，S0， 21a令S0，得cos0第 14 页，共 17 页

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0所以当0时，面积S最大，此时060，所以

2a1， 1a22解得a23， 因为a1，则a23. 点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复杂，则借助导数去求解最值。

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 因为所以，

，所以，，

，所以，a=1．

． 由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得 0＜x＜2．

．

所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）． （Ⅱ）

所以，f（x）在区间所以，当成立， 所以，

．

，则

上单调递增，在区间

，由f'（x）＞0解得

； 由f'（x）＜0解得

上单调递减．

时，函数f（x）取得最小值，

即可． 则

．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）

． 由

解得

．

所以，a的取值范围是 （Ⅲ） 依题得

．

由g'（x）＞0解得 x＞1； 由g'（x）＜0解得 0＜x＜1．

所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．

1

又因为函数g（x）在区间[e﹣，e]上有两个零点，所以

， ．

解得． 所以，b的取值范围是

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【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2 ∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}． ∴当a≤0时，不合题意； 当a＞0时，∴a=2； （Ⅱ）记

，

，

∴h（x）=

∴|h（x）|≤1 ∵∴k≥1．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）因为x∈[﹣1，1]，则2+x∈[1，3]， 由已知，有对任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0恒成立， 任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，

故f（1）=0，即1为函数函数f（x）的一个零点． 由韦达定理，可得函数f（x）的另一个零点， 又由任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立， ∴[1，3]⊆[1，c]， 即c≥3

恒成立，

2

（Ⅱ）函数f（x）=x+bx+c对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4恒成立，

即f（x）max﹣f（x）min≤4，

记f（x）max﹣f（x）min=M，则M≤4．

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当|当|﹣f（

|＞1，即|b|＞2时，M=|f（1）﹣f（﹣1）|=|2b|＞4，与M≤4矛盾； |≤1，即|b|≤2时，M=max{f（1），f（﹣1）}﹣f（）=（1+

2

）≤4，

）=

解得：|b|≤2， 即﹣2≤b≤2，

综上，b的取值范围为﹣2≤b≤2．

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．

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