四川省成都市树德中学高一末考试数学

四川省成都市立德中学

2015-2016 学年高一放学期期末考试数

学

一、选择题：共 12 题

1． 设 a,b∈R,若 b-|a|>0,则以下不等式中正确的选项是

A.a-b>0 【答案】 B

B.a+b>0

C.a2-b2>0

D.a3+b3<0

【分析】由 b>|a|,可得 -b0,因此选项 B 正确 .由 b>|a|,两边平方得 b2>a2,则 a2-b2<0, 因此选项 C 错误 .由 -b0, 因此选项 D 错误 .应选 B.

2． 已知，，则

A.

【答案】 D

B. C. D.

【分析】此题考察平面向量的数目积 【备注】若 ,，则 .

.由题意知 ,===.选 D.

3． 已知数列知足， , 则

A.1

【答案】 C

B.2 C. D.

【分析】此题考察递推公式 选 C.

.由题意知 , ,,因此 , , , , ,因此该数列是以 6 为周期的周期数列 ,因此 .

四川省成都市树德中学高一末考试数学

4． 给出以下对于互不重合的三条直线、、和两个平面、的四个命题：

①若，，点，则与不共面；

②若、是异面直线，，，且，，则；

③若，，，则；

④若，，，，，则，

此中为真命题的是

A. ①③④

B. ②③④

C.①②④ D.①②③

【答案】 C

【分析】此题考察点线面之间的地点关系

.对① ,若，，点，则与不共面 , ① 正确 ；对② ,若、是异面直线，

，，且，，则 ,② 正确

；对③ ,若，，，则或与订交或与异面 ,③错 ；对④，若，，，，，则,④正确 .因此真命题有①②④

.选 C.

5． 规定记号 “”表示一种运算，定义：为正实数 )，若，则的取值范围是

A.

B. C. D.

【答案】 A

【分析】此题考察新定义问题

.由于 ,因此可化为 ,即 ,因此 .选 A.

6． 棱长为的正方体被一平面截得的几何体的三视图如下图，那么被截去的几何体的体积

是

四川省成都市树德中学高一末考试数学

A.

【答案】 B

B. C. D.

【分析】此题考察三视图、空间几何体的体积 .复原出空间几何体 (如下图 );被截去的与剩

.选 B.

下的几何体体积同样 ;因此被截去的几何体的体积

7． 如图 ,已知 ,,且 ,随意点对于点的对称点为 ,点对于点的对称点为 ,则

A.

【答案】 A

B. C. D.

四川省成都市树德中学高一末考试数学

【分析】此题考察平面向量的线性运算与数目积

.由于为的中点 ,因此 =; 因此 ====6. 选 A.

8． 已知是内一点，且，，若、、的面积分别为、、，则的最小值是

A.18

【答案】 A

B.16 C.9 D.4

【分析】此题考察平面向量的数目积，基本不等式，三角形的面积公式

.，可得；而 ++=, 即

+=；因此 +.即的最小值是 18.选 A. 【备注】 ; 三角形的面积公式：

.

9． 在中，内角的对边分别为 ,若的面积为 ,且 , 则等于

C.

D.

A.

【答案】 C

B.

【分析】此题考察正弦定理和余弦定理 ,三角形的面积公式 .由三角形的面积公式知 ,,由于 ,因此；由余弦定理知 ,因此 ,整理得 ,因此 ,因此 ,因此 ,解得 .选 C.

10． 如图，正四周体的极点分别在两两垂直的三条射线上，则在以下命题中，错误的为

A. 是正三棱锥 (底面为正三角形，极点在底面的投影为底面的中心 B.直线∥平面 .

)

四川省成都市树德中学高一末考试数学

C.平面 .

D.直线与平面所成的角的正弦值为 【答案】 B

.

【分析】此题考察线面平行与垂直 .两两垂直且相等 ,因此是正三棱锥 ,A 正确 ;将正四周体放入正方体中 (如下图 ),明显 ,而与平面订交 ,因此直线与平面订交 ,B 错误 ,选 B.

11． 已知对于的不等式的解集为空集，则的最小值为

A.

【答案】 D

B.2 C. D.4

【分析】此题考察一元二次不等式

,基本不等式 .由于的解集为空集 ,因此恒建立 ,即 ,即 ;因此

===4( 当且仅当时等号建立 ).即的最小值为 4.选 D.

12．设等差数列知足，公差，当且仅当时，数列的前项和获得最大值，求该数列首项的取值

范围

A.

【答案】 C

B. C. D.

四川省成都市树德中学高一末考试数学

【分析】此题考察等差数列 ,和角差角公式 .由于为等差数列 ,因此 ,即 =,;=====1, 而 ,因此 ;因此=;由题意得对称轴知足 ,解得 .选 C.

【备注】等差数列中，

.

二、填空题：共 4 题

13． 已知的极点坐标分别为 ,,,则

【答案】

【分析】此题考察空间中两点间的距离公式和余弦定理 以.

.由题意知 ,,,,因此 ,由余弦定理知 ,.所

14． 如下图，四边形是上底为 2，下底为 6，底角为的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形

的直观图，在直观图中梯形的高为

【答案】

【分析】此题考察直观图

.由题意得 ;而 ,因此 =,解得 .即在直观图中梯形的高为 .

【备注】 .

15． 设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为 .

【答案】

【分析】此题考察等比数列和均值不等式 .由于为等比数列 ,因此亦为等比数列 ,即 =,因此 ; 而,

因此 ;因此 (当且仅当时等号建立 ).即的最小值为 20.

四川省成都市树德中学高一末考试数学

16． 已知是锐角的外接圆圆心，，是边上一点 (与不重合 )，且，若，则 .

【答案】

【分析】 此题考察平面向量的数目积 ,引诱公式 ,和角公式 ,正弦定理 .作 ,在直角三角形中 ,;在直角三角形中 ,; 而=; 即,即 ,即 ,因此 ,即为的中点 ,因此三角形为等腰三角形 ,而 ,可得 ; 取的中点 ,;代入等式得 ,等式两边同乘得 ,即,即 ;由正弦定理得 ======.

三、解答题：共 6 题

17． 已知对于的不等式的解集为 .

(1) 务实数的值；

(2) 解对于的不等式：为常数 ).

【答案】 (1)由题知为对于的方程的两根，即；

∴.

(2) 不等式等价于，因此：当时解集为； 当时解集为；当时解集为

.

【分析】此题考察一元二次不等式、分式不等式 转变为一元二次不等式 ,即可求得 .

18． 如图，在三棱柱中，侧棱与底面成角为，．

.(1)转变为方程的根 ,解得 .(2)将分式不等式

四川省成都市树德中学高一末考试数学

(1) 若，求证：；

(2) 若为的中点，问 :上能否存在点，使得∥平面？

若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明原因．

【答案】 (1)由于侧棱与底面成角

,即 ;

而在内 ,因此 ;

而=,, 因此 ;

因此 .

(2) 上存在点 (为上的中点 ),即 ,使得∥平面 . 由于为的中点，为上的中点

,因此为中位线 ,即 ;

而内 ,因此∥平面 ,此时 .

【分析】此题考察线面平行与垂直 .(1),因此 ,因此 ,因此 .(2),∥平面 ,为上的中点 .

四川省成都市树德中学高一末考试数学

19． 已知数列的前项和是，且 .

(1) 求数列的通项公式；

(2) 设，求合适方程的正整数的值 . 【答案】 (1)时， ,

时， ,，.

是认为首项，为公比的等比数列，

.

(2),. . .

由解得 .

【分析】此题考察数列的通项与乞降

.(1)由的关系得 .因此是等比数列，因此20． 如图，中， ,，点为线段上一点，过作垂直于与，作垂直于 BC 与.

(1) 若 ,则 ,求的长 .

(2) 在 (1)的结论下 ,若点为线段上运动，求面积的最大值. 【答案】 (1)由于 sin∠ ABC＝，因此

cos∠ ABC＝ 1－ 2×＝ .

△ABC 中，设 BC＝ a，AC＝ 3b，则由余弦定理可得

9b2 ＝a2 ＋4－①

裂项相消得 .

.(2)

四川省成都市树德中学高一末考试数学

在△ABD 和 △DBC 中，由余弦定理可得

cos∠ADB ＝， cos∠BDC ＝ .

3b2－ a2＝－ 6，②

由于 cos∠ ADB＝－ cos∠ BDC，因此有＝－，因此

由①②可得 a＝ 3， b＝ 1，即 BC＝3.

(2) 令，则 △ABC 的面积为 ×2×3×＝， 进而可得 . 而 △DEF 的面积为 (当且仅当时取等

)

即面积的最大值为 .

【分析】此题考察余弦定理 ,三角形的面积公式 ,基本不等式 .(1)由同角三角函数的基本关系及 余弦定理得 BC＝ 3.(2)由三角形的面积公式及基本不等式得

.即面积的最大值为 .

21． 在直角梯形中，， ,(如图 1)．把沿翻折，使得二面角的平面角为 (如图 2),、分别是和中

点.

(1) 若为线段上随意一点，求证： (2) 若，求与平面所成角的正弦值 .

(3) 、分别为线段与上一点，使得 .令与和所成的角分别为和 .求的取值范围 . 【答案】 (1)又 ? .

四川省成都市树德中学高一末考试数学

(2) 由 (1)知，进而为等边三角形，进而易得答案为 (3) 在 BN 线段取点 R使得. 进而易得且， .

另一方面，易证，进而

.

又,,因此 ,因此；

又有 PR//AN 且 RQ//BDA, 因此 .进而有

∴ . .

【分析】此题考察线面垂直与平行 ,三角恒等变换 .(1)线线垂直线面垂直线线垂直 .(2)为等边三角形，得答案为； (3)证得∴ .

22． 数列知足，，令 .

(1) 证明：数列为等比数列； (2) 设，求数列的前项和；

(3) 数列的前项和为．求证：对随意

的，．【答案】 (1)，，

又，数列是首项为，公比为的等比数列． (2) ，．

.

四川省成都市树德中学高一末考试数学

∴Sn＝ 1×2＋ 2×22 ＋3×23＋ ⋯ ＋n×2n，①

2Sn ＝1×22＋ 2×23＋ 3×24 ＋⋯ ＋ (n－ 1) ×2n＋ n×2n+1.②

＋＋＋＋

①－②，得 — Sn＝ 2＋ 22＋ 23＋⋯ ＋ 2n－ n·2n1＝－ n·2n 1＝ 2n1－ n·2n 1－ 2.

∴Sn＝ (n-1)2 n+1+2.

(3) 当 ， =．

， 随意的，．

【分析】本 考 等比数列 ,数列的通 与乞降 .(1)求得，数列是首Sn＝ (n-1)2n +1+2.(3) 放 法得．

的等比数列． 位相减得

，公比 (2),