立体几何小题：10年19考，一般考三视图和球，主要计算体积和表面积．其中，“点线面”也有可能出现在小题．
1．（2019年）已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为 ． 【答案】2
【解析】∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，过点P作
PD⊥AC，交AC于D，作PE⊥BC，交BC于E，过P作PO⊥平面ABC，交平面ABC于O，连结OD，OC，则PD2＝PE＝3，∴CD＝CE＝OD＝OE＝232＝1，∴PO＝D2D2＝31＝2．∴P到平面ABC的距离为2．
2．（2018年）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A．122π 【答案】B
【解析】设圆柱的底面直径为2R，则高为2R，圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：4R＝8，解得R＝
2
B．12π
C．82π
D．10π
2，则该圆柱的表面积为
2222222＝12π．故选B．
1
3．（2018年）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为
A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度
为（ ）
A．217 【答案】B
【解析】由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为2，直观图以及侧面展开图如图：
B．25 C．3
D．2
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
224225．故选B．
4．（2018年）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（ ） A．8 【答案】C
【解析】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，即∠AC1B＝30°，可得
B．62
C．82 D．83 BC1＝
＝23．可得BB1＝tan302322＝22．所以该长方体的体积为2×222＝82．故2选C．
5．（2017年）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这
2
四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A． B．
C．【答案】A
D．
【解析】对于选项B，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知B不满足题意；对于选项C，由于AB∥MQ，结合线面平行判定定理可知C不满足题意；对于选项D，由于AB∥NQ，结合线面平行判定定理可知D不满足题意；所以选项A满足题意．故选A．
6．（2017年）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，
SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，则球O的表面积为 ．
【答案】36
【解析】三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，
SB＝BC，三棱锥S﹣ABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，
可得2rrr9，解得r＝3．球O的表面积为4πr＝36π．
2
1132
7．（2016年）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
28，则它的表面积是（ ） 3 3
A．17π 【答案】A
【解析】由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉＝2．它的表面积是
B．18π
C．20π
D．28π
174283后的几何体，如图，可得：R，R88337342222＝17π．故选A． 84
8．（2016年）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（ ） A．
3 2B．
2 2C．
3 3D．
1 3【答案】A
【解析】如图，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABA1B1＝n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1＝60°．则m、n所成角的正弦值为3．故选A． 2
9．（2015年）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的
4
四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A．14斛 【答案】B
B．22斛
C．36斛
D．66斛
163201116【解析】设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r＝，故米堆的体积为5≈，
9243∵1斛米的体积约为1.62立方，∴
2320÷1.62≈22，故选B． 910．（2015年）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r＝（ ）
A．1
【答案】126 【解析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：
B．2
C．4
D．8
111212222
×4πr+×πr2r×2πr+2r×2r+×πr＝5πr+4r，又∵该几22222
2
何体的表面积为16+20π，∴5πr+4r＝16+20π，解得r＝2，故选B．
5
11．（2014年）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱
C．四棱锥
D．四棱柱
【答案】D
【解析】根据几何体的三视图，可知几何体是三棱柱，如图．故选B．
12．（2013年）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
6
A．16+8π 【答案】A
B．8+8π C．16+16π D．8+16π
【解析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积＝4×2×2＝16，半个圆柱的体积＝
12
×2×π×4＝8π，所以这个几何体的体积是16+8π，故选A． 2
13．（2013年）已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB＝1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为 ． 【答案】
9 21R，∵α截球O所得截面的面积3119922222222
为π，∴d＝R时，r＝1，故由R＝r+d得R＝1+（R），∴R＝，∴球的表面积S＝4πR＝．
3382【解析】设球的半径为R，∵AH：HB＝1：2，∴平面α与球心的距离为
14．（2012年）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A．6 【答案】B
【解析】该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3，底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角
B．9
C．12
D．18
7
三角形，此几何体的体积为V＝
11××6×3×3＝9．故选B． 3215．（2012年）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ） A．6π 【答案】B
【解析】因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，所以球的半径为
B．43π
C．46π
D．63π
2241＝3．所以球的体积为33＝433π．故选B．
16．（2011年）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
A．【答案】D
B． C． D．
【解析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选D．
17．（2011年）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的【答案】
3，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ． 161 3【解析】不妨设球的半径为4，球的表面积为64π，圆锥的底面积为12π，圆锥的底面半径为23，由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形，由此可以求得球心到圆锥底面的距离是423222，所以圆锥体积较小者的高为4﹣2＝2，同理可得圆
1． 3锥体积较大者的高为4+2＝6，所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为
18．（2010年）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
8
A．3πa 【答案】B
2
B．6πa
2
C．12πa
2
D．24πa
2
【解析】根据题意球的半径R满足（2R）＝6a，所以S球＝4πR＝6πa．故选B．
19．（2010年）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱． 【答案】①②③⑤
【解析】一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形．
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