波的图像

【学习目标】

1．理解波的图像的意义．知道波的图像的横、纵坐标各表示什么物理量，知道什么是简谐波． 2．能在简谐波的图像中指出波长和质点的振动的振幅．

3．已知某一时刻某简谐波的图像和波的传播方向，能画出下一时刻的波的图像。并能指出图像中各个质点在该时刻的振动方向．

【要点梳理】 要点一、波的图像 1．图像的建立

用横坐标x表示在波的传播方向上介质中各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，并规定横波中位移方向向某一个方向时为正值，位移方向向相反的方向时为负值．在xOy平面上，描出各个质点平衡位置x与对应的各质点偏离平衡位置的位移y的坐标点（x，y），用平滑的曲线把各点连接起来就得到了横波的波形图像（如图所示）．

2．图像的特点 （1）横波的图像形状与波在传播过程中介质中各质点某时刻的分布相似，波形中的波峰即为图像中的位移正向的最大值，波谷即为图像中位移负向的最大值，波形中通过平衡位置的质点在图像中也恰处于平衡位置．

（2）波形图像是正弦或余弦曲线的波称为简谐波．简谐波是最简单的波． （3）波的图像的重复性：相隔时间为周期整数倍的两个时刻的波形相同．

（4）波的传播方向的双向性：不指定波的传播方向时，图像中波可能向x轴正方向或z轴负方向传播．

波动图像的意义：描述在波的传播方向上的介质中的各质点在某一时刻离开平衡位置的位移． 3．由波的图像可以获得的信息

知道了一列波在某时刻的波形图像，如图所示，能从这列波的图像中了解到波的传播情况主要有以下几点：

（1）可以直接看出在该时刻沿传播方向上各质点的位移．

图线上各点的纵坐标表示的是各质点在该时刻的位移．如图中的M点的位移是2 cm．

（2）可以直接看出在波的传播过程中各质点的振幅A，即波动图线上纵坐标最大值的绝对值，即A4 cm．

（3）可以判断出沿传播方向上各质点在该时刻的运动方向．

如要确定图线上N点的振动方向，可以根据波的传播方向和波的形成过程，知道质点N开始振动的时刻比它左侧相邻质点M要滞后一些，所以质点M在此时刻的位移值是质点N在下一时刻的位移值，由此判断出质点N此时刻的速度方向应沿y轴正方向，即向上振动．如果这列波的传播方向改为自右向左，则质点M开始振动的时刻比它右侧相邻质点N要滞后一些，所以质点N此时刻的位移值将是质点M在晚些时刻的位移值，由此判断出质点M此时刻的速度方向应沿-y方向，即向下振动．总之，利用波的传播方向确定质点运动方向的方法是要抓住波动的成因，即先振动的质点（即相邻两点中离波源比较近的质点）总是要带动后面的质点（即相邻两点中离波源比较远的质点）运动．

要点二、波的传播方向与质点振动方向的关系

已知质点的运动方向来判断波的传播方向或已知波的传播方向来判断质点的运动方向时，判断依据的基本规律是波形成与传播的特点，常用的方法有： 方法一（上下坡法）：沿波的传播方向看去，“上坡”处的质点向下振动；“下坡”处的质点向上振动，简称“上坡下，下坡上”（如图甲所示）． 方法二（同侧法）：在波的图像上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头表示质点运动方向，并设想在同一点沿水平方向画一个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧（如图乙所示）．

方法三[头头（尾尾）相对法]：在波形图的波峰（或波谷）上画出一个箭头表示波的传播方向，并在波峰（或波谷）两边波形上分别画出两个箭头表示质点运动方向，那么这三个箭头总是头头相对，尾尾相对（如图丙所示）． 方法四（微平移法）：如图丁所示，实线为t时刻的波形图，作出微小时间ttT后的波形4＇如虚线所示．由图可见t时刻的质点由P（或P2＇）处，这样就可以判1（或P12）位置经t后运动到P断质点的运动方向了．

要点三、已知一个时刻的波形画出另一个时刻的波形

（1）描点法：先利用波的传播方向判断出各质点的振动方向，再描出各质点经时间t后（或前）的位置，然后用平滑曲线连接各点即可得到经时间t后（或前）某时刻的波形．

（2）平移法：波由介质中的某一点传播到另一点需要一定的时间，即机械波在介质中是以一定的速率v（通常称波速）传播．在时间出内某一波峰或波谷（密部或疏部）沿波的传播方向移动的距离等于vt．如果已知一列简谐波在t时刻的波形图像及波的传播方向，又知波速，就可以画出经t后的波形图像． 具体方法是：

①在已知的某一时刻的波形图像上将波的图像沿波的传播方向移动一段距离xvt，即得到tt时刻的波形图像．

②若要画出tt时刻的波形图像，则需将波形图像逆着波的传播方向移动一段距离xvt，即得到tt时刻的波形图像．

要点四、纵波图像的建立

波的图像是一种数学的表示方法，只是在横波的情况下能直观地表示出波形．在纵波中，如果规定质点的位移方向向右时取正值，位移方向向左时取负值，可以同样地画出如图丙所示的纵波的图像，可以看出纵波的图像与纵波的“形状”并无相同之处．实际上，在横波中如果规定位移方向向下时取正值（一般不这样规定，但这样规定未尝不可），则作出的波的图像与横波的形状恰好相反．

图甲表示各个质点所在的平衡位置，图乙表示各个质点发生的位移，图丙表示纵波的图像，其中横坐标表示各个质点的平衡位置，纵坐标表示各个质点的位移，如x2表示质点2向右的位移，x5表示质点5向左的位移．

上图中，金属球振动起来之后，依次带动后面的质点振动，只是后一质点比前一质点迟一些开始振动。与绳子上的波不同的是，这里的质点是沿着波的传播方向前后振动的。由于各质点振动的情况不同，它们在同一时刻相对于各自平衡位置的位移不同，因而质元间的距离有的地方比平衡时的距离

小，有的地方比平衡时的距离大。右图中画出了1、、23诸质元在不同时刻的位置，可以看出弹簧从

整体上形成疏密相间(而不是峰谷相间)的波动，而且密部和疏部沿弹簧向右传播。

要点诠释：空气和液体中的声波就是一种纵波。

要点五、振动图像和波动图像的比较 相 同 点 特点 图线形状 纵坐标y 纵坐标最大值 描述对象 物理意义 横坐标 振动图像 正（余）弦曲线 不同时刻某一质点的位移 振幅 某一个振动质点 振动位移y随时间t的变化关系 表示时间t 表示周期T 波动图像 正（余）弦曲线 某一时刻介质中所有质点的位移 振幅 一群质点（x轴上各个点） x轴上所有质点在某一时刻振动的位移y 表示介质中各点的平衡位置离原点的距离x 表示波长（见下节） 不 同 点 横轴上相邻两个步调总一致的点之间的距离的含义 图像变化 频率和周期 其 他 随时间延伸 在图中直接识读周期T 随时间推移 已知波速v时，根据图中可求出T/v（见下节） 波动是由许多质点振动所组成的，但从图像上波形的变化无法直接看出，若知波的传播方向和某时刻的波形图，则可以讨论波动中各质点的振动情况 两者联系 质点的振动是组成波动的基本要素之一

【典型例题】

类型一、根据波的图像判断质点速度、加速度

例1．如图所示是一列沿x轴正方向传播的横波某时刻的波形图，则：

（1）波形图上a、b、c三点的加速度哪个最大？加速度的大小与波的传播方向是否有关？ （2）a、b、c三个质点下一时刻做什么运动？

【思路点拨】波源和介质中各质点都在各自的平衡位置附近做简谐运动．

【答案】见解析。

【解析】该题考查波动图像上各质点的运动情况．

（1）a、b、c三个质点都做简谐运动，在质量一定的情况下，加速度大小与位移成正比，方向与位移方向相反，故知b点的加速度最大．质点加速度的大小与波的传播方向无关。

（2）此时刻b质点速度为零，下一时刻一定向平衡位置做加速运动；若波沿x轴正方向传播，则下一时刻a质点向下运动，c质点向上运动，而a、c质点的加速度都是沿y轴负方向，故a质点做加速运动，c质点做减速运动．

【总结升华】形成简谐波时，波源和介质中各质点都在各自的平衡位置附近做简谐运动．

举一反三:

【变式1】如图所示，在xy平面内有一沿x轴正方向传播的简谐横波，波速为lm/s，振幅为4cm，频率为2.5Hz，在t0时刻，P点位于其平衡位置上方最大位移处，则距P为0.2m的Q点（ ）．

A．在0.1s时的位移是4cm； B．在0.1s时的速度最大； C．在0.1s时的速度向下；

D．在0到0.1s时间内的路程是4cm．

【答案】BD

【变式2】 一列简谐横波沿x轴正方向传播，频率为5 Hz，某时刻的波形如图所示，介质中质元A在距原点8 cm处，质元B在距原点16 cm处．从图象对应时刻算起，要使质元A的运动状态与图示时刻质元B的运动状态相同，所需的最短时间为（ ）．

A．0.08 s B．0.12 s C．0.14 s

【答案】B

D．0.16 s

例2．一列横波沿绳子向右传播，某时刻形成如图所示的凸凹形状，对此时绳上A、B、C、D、E、F六个质点（ ）．

A．它们的振幅相同

B．其中D、E速度方向相同 C．其中A、G速度方向相同

D．从此时算起，B比C先回到平衡位置

【答案】A、D

【解析】波源振动，绳上各质点都做受迫振动，不计传播中的能量损耗，各质点的振幅相同，则A项正确；波向右传播，则波源在左侧，离波源远的质点落后并重复波源近的质点的振动，由此可知此时质点A正向下振动，C点随质点B向上振，D点随C点向上振，F点随E点向下振，则A与C、D与E的振动方向均相反，则B、C两项错误；而质点B、C都向上振。都要先到最大位移处再回到平衡位置，但C落后于B，则B比C先回到平衡位置，故A、D两项正确．

【总结升华】波的图像表示在某一时刻介质中各个质点相对平衡位置的位移．波有三个要素：即某一时刻的波形图，质点的振动方向和波的传播方向．两个特性：即双向性——在不注明波的传播方向时，波的传播有沿x正、负两种方向．而周期性是波形成多解的另一重要原因．（方向有两种可能性）

举一反三:

【变式】一列横波沿x轴的正方向传播，t0时刻的波形如图所示，再经过0.36s，位于x6m处的质点刚好第二次到达波峰位置，由此可知（ ）．

A．这列波的频率是6.25Hz B．这列波的速度是25m/s

C．x5m处的质点刚好第一次到达波谷位置的时间是0.16s D．波由x3m处的质点传到x7m处的质点需时间0.16s

【答案】ABD

类型二、根据波的图像判断质点振动

例3．一列简谐横波沿x轴负方向传播，图（a）是t1 s时的波形图像，图（b）是波中某振动质点位移随时间变化的振动图像（两图用同一时间起点）．

（1）图（b）可能是图（a）中哪个质点的振动图像？（ ）．

（2）若波沿x轴正方向传播，则图（b）可能是图（a）中哪个质点的振动图像？（ ）． A．x0处的质点 B．x1 m处的质点 C．x2 m处的质点 D．x3 m处的质点

（3）设波沿x轴负方向传播，画出x3 m处的质点的振动图像．

【思路点拨】看清是哪一时刻的波形图像，然后再看振动图像中这一时刻质点正在向哪一个方向

振动，再由振动方向与波的传播方向的关系来确定是哪一质点的振动图像．

【答案】（1）A （2）C （3）如图所示． 【解析】（1）选A．当t1 s时，由图（b）振动图像可知，质点x在t1 ss时在平衡位置，正要沿y轴负方向运动，由图（a）波动图像向x轴负方向传播及题中所给选项可判断0点在平衡位置，正沿y轴负方向运动．

（2）选C．由图（a）波动图像向x轴正方向传播可判断x2 m处的质点在平衡位置，正沿y轴负方向运动．故选C．

（3）在t1 s时，x3 m处的质点正在正向最大位移处。可得振动图像如图所示．

【总结升华】解决这类问题关键是看清是哪一时刻的波形图像，然后再看振动图像中这一时刻质点正在向哪一个方向振动，再由振动方向与波的传播方向的关系来确定是哪一质点的振动图像．反之亦可根据振动图像，画出波形图像．

举一反三:

【变式1】一列简谐横波，在t0时刻的波形如图所示，自右向左传播，已知在t10.7s时，PQ点的坐标是(7，0)，点出现第二次波峰(0.7s内P点出现两次波峰)，则以下判断中正确的是（ ）．

A．质点A和质点B在t0时刻的位移是相等的；

B．在t0时刻，质点C向上运动； C．在t20.9s末，Q点第一次出现波峰； D．在t31.26s末，Q点第一次出现波峰．

【答案】BC

2v、3v和4v，a、b是【变式2】如图所示，有四列简谐波同时沿x轴正方向传播，波速分别是v、x轴上所给定的两点，且abl．在t时刻a、b两点间四列波的波形分别如图所示，则由该时刻起a点出现波峰的先后顺序依次是图________；频率由高到低的先后顺序依次是图___________。

【答案】D、B、C、A D、B、C、A 【解析】由该时刻起a点出现波峰应该是左边

１的振动到达点的时间： ４llllllltA；tB；tC；tD．

82v16v64v24v23v6v4v即tD＜tB＜tC＜tA． 由vf得f fAv，所以有

3vv2v4v4v6v；fB；fC；fD．

122llllll23即fD＞fB＞fC＞fA．

类型三、根据波的传播方向画波形图

例4．某一简谐横波在t0时刻的波形图如图中实线所示．若波向右传播，画出T/4后和T/4前两个时刻的波的图像．

【答案】见解析．

【解析】该题可以用不同方法解决． 解法一：特殊点法

根据t0时刻波的图像及传播方向，可知此时刻A、B、C、D、E、F各质点在该时刻的振动方向，由各个质点的振动方向可确定出经T/4后时刻各个质点所在的位置，将这些点所在位置用平滑曲线连接起来，便可得经T/4后时刻的波的图像．如图中的虚线（a）所示．

同样道理。据各个质点的振动方向可确定出T/4前时刻各个质点所在位置，于是便可得到T/4前时刻的波的图像．如图中虚线（b）所示． 解法二：波形平移法

由图我们可以知道，在质点振动的一个周期内，波向前传播一个完整的波形的距离，即传播的距离x12 m，因此在T/4内，波向前传播了3 m．根据波的传播过程和传播的实质，若波向右传播，把波的原有图形向右移动3 m的距离，就得到了T/4后时刻的波形图．

【总结升华】波传播质点振动形式和振动能量的同时，实际上也向前平移波形，且每经过一个周期，波形平移一个波长的长度，因此原位置的波形又回复到原来的波形．

举一反三:

、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位【变式】一列横波沿x轴正向传播，a、b、c置．某时刻的波形如图（1）所示，此后，若经过

3周期开始计时，则图（2）描述的是（ ）． 4

A．a处质点的振动图像 B．b处质点的振动图像 C．c处质点的振动图像 D．d处质点的振动图像

【答案】B

【解析】波向右传播，可以确定经过

3周期后，b质点处于平衡位置且向下运动，从此时开始计4时，b质点的振动图像如图（2）所示．故选B项．

类型四、波的传播方向和质点振动方向的关系

例5．如图所示为一列简谐横波在某一时刻的波形图，已知质点A在此时刻的振动方向如图中箭头所示，则以下说法中正确的是（ ）．

A．波向左传播，质点B向下振动，质点C向上振动 B．波向右传播，质点B向上振动，质点C向下振动 C．波向左传播，质点B向上振动，质点C向上振动 D．波向右传播，质点B向下振动，质点C向下振动

【思路点拨】可用“上下坡”法判断。

【答案】C

【解析】解决该题有许多方法，现用“上下坡”法判断，若波向右传播。则A质点处于下坡。应向上振动．由此可知波向左传播．同理可判断C向上振动，B向上振动。故C项正确．

【总结升华】该题利用了“上下坡”法来判断波的传播方向和质点的振动方向．“上下坡”法是在其他方法的基础上总结出来的．虽然找不到理论依据，但是它的确很实用．

举一反三:

【变式1】图中实线表示沿x轴正向传播的横波甲和横波乙在t0时刻的波形曲线，经过1s以后，甲乙的波形分别如两图中虚线所示。下列说法中正确的是（ ）．

A．质点A运动的速度是1m/s，经1s向x轴正向前进了1m B．质点A在t0时刻的速度是0

C．t0时刻，C、D两质点的位移相同 D．t1s时刻，质点E的运动方向向上

【答案】B

【变式2】如图是某一列简谐波在某一时刻的波形，已知此时A点向y轴负方向运动，则波的传播方向为________，若波速为0.5m/s，试在图上画出再过7s时的波形。

【答案】向左（沿x轴负方向） 波形如图中虚线所示．

【解析】由图可知

2m，

xvt0.573.5m1．

【变式3】如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，从波传到x5m处的M点开始计时（t0s），已知开始计时后，P点在t0.3s的时刻第一次到达波峰，下面说法中正确的是（ ）．

3434

A．这列波的周期是1.2s

B．这列波的传播速度大小是10m/s

C．质点Q（x9m）经过0.5s才第一次到达波峰 D．M点右侧各质点开始振动的方向都是沿着y轴的正方向

【答案】B

类型五、振动图像与波动图像的区别

例6．关于振动图像和波的图像，下列说法中正确的是（ ）．

A．振动图像研究的是一个质点在振动过程中位移随时间的变化，而波的图像研究的是某一时刻在波的传播方向上各个质点在空间的分布

B．振动图像的形状不随时间变化，而波的图像的形状随时间而变化 C．简谐运动图像和简谐波的图像其形状都是正弦（或余弦）曲线

D．简谐运动图像实质是振动质点所经过的路径形状，波的图像是同一时刻各个质点的连线形状

【答案】A、B、C

【解析】解题的关键是理解振动图像和波的图像的意义和区别．振动和波动图像都是用数学方法来描述物理现象，简谐运动图像和简谐波都是正弦（或余弦）曲线，故C项正确，D项错误；但它们各自表达的物理意义又不同。振动图像表示的是一个振动质点离开平衡位置的位移与时间的函数关系，而从波的图像（不论横波还是纵波）上能找出这一时刻各个质点所在的空间位置，即空间的分布，故A项正确．

因振动图像表示一个质点在各个时刻的位移情况，故不随时间变化，而波的图像表示的是某一时

刻各质点在空间的分布，不同时刻，这些质点因振动而使所处的位置会有所不同，故波动图像的形状会随时间而变化，B项正确．

【总结升华】本题考查振动图像和波动图像的物理意义，要知道它们都是借助数学的表示形式来描述物理问题，“形状”相同而物理意义不同．

举一反三:

【变式1】一列简谐波在t0时刻的波形图如图中的图(a)所示，图(b)表示该波传播的介质中某质点此后一段时间内的振动图像，则（ ）．

A．若波沿x轴正方向传播，(b)图应为a点的振动图像；

B．若波沿x轴正方向传播，(b)图应为b点的振动图像； C．若波沿x轴负方向传播，(b)图应为c点的振动图像； D．若波沿x轴负方向传播，(b)图应为d点的振动图像．

【答案】BD

【变式2】如图所示，（1）为某一波在t0时刻的波形图，（2）为参与该波动的P点的振动图象，则下列判断正确的是（ ）．

A．该列波的波速度为4m/s；

B．若P点的坐标为xP＝2m，则该列波沿x轴正方向传播 C．该列波的频率可能为 2Hz；

D．若P点的坐标为xP＝4m，则该列波沿x轴负方向传播。

【答案】A

【变式3】一列在x轴上传播的简谐波，在x110cm和x2110cm处的两个质点的振动图象如

_______s，这列简谐波的波长为____________cm． 图所示，则质点振动的周期为

【答案】4

400(n1,2,3, )

4n1