雅安市一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

雅安市一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如果函数f（x）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f（x）在区间上是（ ） A．增函数且最小值为3

B．增函数且最大值为3

C．减函数且最小值为﹣3 D．减函数且最大值为﹣3

2． “互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40

x1yi，其中x,y是实数，是虚数单位，则xyi的共轭复数为 1iA、12i B、12i C、2i D、2i

3． 已知

4． 若曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

=1的一个焦点与抛物线y2=4

5． 已知双曲线﹣x的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=±x，则

该双曲线的方程为（ ） A．

﹣

=1

B．

22﹣y=1 C．x﹣

=1 D．﹣=1

6． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知A,B,C三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）

A．48 B．36 C．24 D．18

【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 7． 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）

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精选高中模拟试卷

A． B．4 C． D．2

x2y28． F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF 1PF20，

ab31若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）

2A.2 B.3 C. 21 D. 31

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．

9． 高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）

A．34种 B．35种 C．120种 D．140种

10．函数f（x）=x2﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A．R

B．[1，+∞） C．（﹣∞，1]

D．[2，+∞）

11．等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前和等于（ ）

A．6 B．5 C．3 D．4

12．某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ） A．36种 B．18种 C．27种 D．24种

二、填空题

13．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期为T的周期数列．已知数列{an}满足：a1＞=m （m＞a ），an+1=①若 m=，则a5=2；

②若 a3=3，则m可以取3个不同的值；

，现给出以下三个命题：

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③若 m=，则数列{an}是周期为5的周期数列．

其中正确命题的序号是 ．

14．集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜1}，则A∩B= ．

15．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm） ．

16．已知圆C的方程为xy2y30，过点P1,2的直线与圆C交于A,B两点，若使AB

22最小则直线的方程是 ．

17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）＝lnx－最小值4，则m＝________．

18．已知fx12x8x11,则函数fx的解析式为_________.

2m （m∈R）在区间[1，e]上取得x三、解答题

19．已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx，a∈R （1）当a=1，求f（x）的单调区间；（4分）

（2）a＞1时，求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（5分） （3）g（x）=（1﹣a）x，若

使得f（x0）≥g（x0）成立，求a的范围.

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20．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中实数a的值；

（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；

（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．

21．如图，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起至△ACP位置，并使平面PAC⊥平面

ABC．

（Ⅰ）求证：AC⊥PB；

（Ⅱ）在菱形ABCD中，若∠ABC=60°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值； （Ⅲ）求四面体PABC体积的最大值．

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22．已知双曲线C：

与点P（1，2）．

（1）求过点P（1，2）且与曲线C只有一个交点的直线方程； 理由．

23．已知矩阵A＝

24．已知数列{an}和{bn}满足a1•a2•a3…an=2（1）求an和bn； （2）设cn=

，向量＝

.求向量

，使得A2＝.

（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P，若存在，求出弦AB所在的直线方程，若不存在，请说明

（n∈N），若{an}为等比数列，且a1=2，b3=3+b2．

*

*

（n∈N），记数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn．

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雅安市一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间上是减函数，且最小值3， 则那么f（x）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3， 故选：D

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．

2． 【答案】B 【解析】

试题分析：设从青年人抽取的人数为x,考点：分层抽样． 3． 【答案】D

【解析】

x800,x20，故选B． 50600600800x1(xxi)1yi,x2,y1,故选D 1i24． 【答案】A

2

【解析】解：∵f（x）=acosx，g（x）=x+bx+1，

∴f′（x）=﹣asinx，g′（x）=2x+b，

2

∵曲线f（x）=acosx与曲线g（x）=x+bx+1在交点（0，m）处有公切线，

∴f（0）=a=g（0）=1，且f′（0）=0=g′（0）=b， 即a=1，b=0． ∴a+b=1． 故选：A．

【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线上过该点的切线的斜率，是中档题．

5． 【答案】B

2

【解析】解：已知抛物线y=4

x的焦点和双曲线的焦点重合，

则双曲线的焦点坐标为（即c=

，

，0），

又因为双曲线的渐近线方程为y=±x，

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222

则有a+b=c=10和=，

解得a=3，b=1． 所以双曲线的方程为：故选B．

【点评】本题主要考查的知识要点：双曲线方程的求法，渐近线的应用．属于基础题．

6． 【答案】C

【解析】根据分层抽样的要求可知在C社区抽取户数为1087． 【答案】C

【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥

由图可知，底面两条对角线的长分别为2故底面棱形的面积为侧棱为2故V=

，则棱锥的高h=

=2

=2

=3

，2，底面边长为2

2

﹣y=1．

180210824．

3602701809故选C

8． 【答案】D

2222【解析】∵PF，∴，即为直角三角形，∴，PFPFPFFPF0PFPFFF4c1212121212|PF1PF2|2a，则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2)， (PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径

rPF1PF2F1F2312c2a2c，外接圆半径Rc.由题意，得2c2a2cc，整理，得

22c()2423，∴双曲线的离心率e31，故选D. a9． 【答案】A

【解析】解：从7个人中选4人共=34种． 故选：A．

种选法，只有男生的选法有

种，所以既有男生又有女生的选法有

﹣

【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题

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10．【答案】C

【解析】解：由于f（x）=x﹣2ax的对称轴是直线x=a，图象开口向上，

2

故函数在区间（﹣∞，a]为减函数，在区间[a，+∞）上为增函数，

2

又由函数f（x）=x﹣2ax，x∈[1，+∞）是增函数，则a≤1．

故答案为：C

11．【答案】D

【解析】解：∵等比数列{an}中a4=2，a5=5， ∴a4•a5=2×5=10，

∴数列{lgan}的前和S=lga1+lga2+…+lga8 =lg（a1•a2…a8）=lg（a4•a5）4 =4lg（a4•a5）=4lg10=4 故选：D．

【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，基本知识的考查．

12．【答案】 C

【解析】

排列、组合及简单计数问题． 【专题】计算题；分类讨论．

【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：分4种情况讨论，

①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，

②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，

③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况， ④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况， 则共有6+12+6+3=27种乘船方法， 故选C．

【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、

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组合公式．

二、填空题

13．【答案】 ①② ．

【解析】解：对于①由an+1=所以，

＞1，

，

，且a1=m=＜1，

，∴a5=2 故①正确；

对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m． 若

，则

．

若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意． 所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个． 故②正确； 若a1=m=故在a1=

＞1，则a2=

，所a3=

＞1，a4=

时，数列{an}是周期为3的周期数列，③错；

故答案为：①②

【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目

14．【答案】 {x|﹣1＜x＜1} ．

【解析】解：∵A={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＜1}， ∴A∩B={x|﹣1＜x＜1}， 故答案为：{x|﹣1＜x＜1}

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

15．【答案】

cm3 ．

【解析】解：如图所示， 由三视图可知：

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该几何体为三棱锥P﹣ABC．

该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，

2

由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm，

由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm， 故几何体的体积V=×8×4=故答案为：

cm3

cm3，

【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．

16．【答案】xy30 【解析】

试题分析：由圆C的方程为xy2y30，表示圆心在C(0,1)，半径为的圆，点P1,2到圆心的距

22离等于2，小于圆的半径，所以点P1,2在圆内，所以当ABCP时，AB最小，此时

kCP1,k11，由点斜式方程可得，直线的方程为y2x1，即xy30.

考点：直线与圆的位置关系的应用. 17．【答案】－3e

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【解析】f′（x）＝减，

1mxm＋2＝，令f′（x）＝0，则x＝－m，且当x<－m时，f′（x）<0，f（x）单调递xxx2

当x>－m时，f′（x）>0，f（x）单调递增．若－m≤1，即m≥－1时，f（x）min＝f（1）＝－m≤1，不可能等于4；

若1<－m≤e，即－e≤m<－1时，f（x）min＝f（－m）＝ln（－m）＋1，令ln（－m）＋1＝4，得m＝－e3（－e，－

1）；若－m>e，即m<－e时，f（x）min＝f（e）＝1－m ＝－3e.

18．【答案】fx2x4x5

2mm，令1－＝4，得m＝－3e，符合题意．综上所述，ee【解析】

22试题分析：由题意得，令tx1，则xt1，则ft2(t1)8(t1)112t4t5，所以函数fx的解析式为fx2x24x5. 考点：函数的解析式.

三、解答题

19．【答案】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞）， ∴

…（2分）

，解得x=1或x=，x∈

（，1），

函数是减函数．…（4分） （2）∴当1＜a＜e时，

，∴

，

，（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈

∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）

当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数， ∴综上

…（9分）

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（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在∵当

时，lnx≤0＜x，

上有解，

上有解

当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0， ∴令∵

，∴x+2＞2≥2lnx∴在区间

上有解．

…（10分）

时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，

x∈（1，e]，h（x）是增函数， ∴∴

时，

…（14分）

， ，∴

∴a的取值范围为20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，得： 10×（0.005+0.01+0.025+a+0.01）=1， 解得a=0.03．

（Ⅱ）由频率分布直方图得到平均分：

=0.05×45+0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95=74（分）．

（Ⅲ）由频率分布直方图，得数学成绩在[40，50）内的学生人数为40×0.05=2，这两人分别记为A，B， 数学成绩在[90，100）内的学生人数为40×0.1=4，这4人分别记为C，D，E，F， 若从数学成绩在[40，50）与[90，100）两个分数段内的学生中随机选取2名学生， 则所有的基本事件有：

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E）， （B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共15个， 如果这两名学生的数学成绩都在[40，50）或都在[90，100）内， 则这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10，

记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，

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则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共7个，

所以这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率P=图和列举法的合理运用．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连接PO，BO，由于四边形ABCD为菱形，∴PA=PC，BA=BC，∴PO⊥AC，BO⊥AC，又PO∩BO=O，

∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB．

（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC， PO⊥AC，∴PO⊥面ABC，∴OB，OC，OP两两垂直， 故以O为原点，以的边长为2， ∴

，

设平面PBC的法向量∴∴

（Ⅲ）法一：

设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴又PO⊥平面ABC，∴（∴

），

，

=

，

，取x=1，则

，直线AB与平面PBC成角为θ，

，于是

，

．

，

y，z轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，方向分别为x，菱形ABCD

．

【点评】本题考查频率和概率的求法，二查平均分的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方

，∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为

，

∴

，当且仅当

．

，即

时取等号，

∴四面体PABC体积的最大值为

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法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π）， ∴∴设∴∴当∴当

，则

，

时，V'PABC＞0，当时，VPABC取得最大值

时，V'PABC＜0，

，∴四面体PABC体积的最大值为

，（0＜x＜2）

．

，且0＜t＜1，

，

，又PO⊥平面ABC， =

（

），

法三：设PO=x，则BO=x，又PO⊥平面ABC， ∴∵

22

当且仅当x=8﹣2x，即

，

，

时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为

．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．

22．【答案】

【解析】解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线C有一个交点．… 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，

2222*

并整理得（2﹣k）x+2（k﹣2k）x﹣k+4k﹣6=0 （） 2

（ⅰ）当2﹣k=0，即k=±

…

*

时，方程（）有一个根，l与C有一个交点

所以l的方程为

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2

（ⅱ）当2﹣k≠0，即k≠±

时

2222

△=[2（k﹣2k）]﹣4（2﹣k）（﹣k+4k﹣6）=16（3﹣2k），

①当△=0，即3﹣2k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与C有一个交点． 所以l的方程为3x﹣2y+1=0… 综上知：l的方程为x=1或

2222

则2x1﹣y1=2，2x2﹣y2=2，

或3x﹣2y+1=0…

（2）假设以P为中点的弦存在，设为AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），

两式相减得2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）… 又∵x1+x2=2，y1+y2=4， ∴2（x1﹣x2）=4（y1﹣y2） 即kAB=

=，…

∴直线AB的方程为y﹣2=（x﹣1），…

222

代入双曲线方程2x﹣y=2，可得，15y﹣48y+34=0， 2

由于判别式为48﹣4×15×34＞0，则该直线AB存在． …

【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题，考查直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．

23．【答案】＝【解析】A2＝设

＝

.由A2＝，得

（n∈N），a1=2，

*

.

，从而

解得x＝-1，y＝2，所以＝24．【答案】

【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵数列{an}和{bn}满足a1•a2•a3…an=2

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∴，，

， ∴b1=1，

=2q＞0，

=2q2，

又b3=3+b2．∴23=2q2

，解得q=2． ∴an=2n

．

∴=a1•a2•a3…an=2×22×…×2n=

，

∴． （2）cn=

==

﹣

=

，

∴数列{cn}的前n项和为Sn=

﹣+…+

=﹣2

=﹣2+

=

﹣

﹣1．

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、了推理能力与计算能力，属于中档题．

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裂项求和”，考查“