人教版2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题(附答案)

2022-2023学年第一学期九年级数学第三次月考测试题（附答案）

一、单项选择题（共18分）

1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（ ） A．（2，1）

B．（﹣2，1）

C．（﹣1，2）

D．（﹣2，﹣1）

3．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（ ） A．d＞3

B．d＝3

C．0＜d＜3

D．无法确定

4．将一元二次方程x2+6x+3＝0化为（x+h）2＝k的形式，则k的值为（ ） A．3

B．6

C．9

D．12

5．关于二次函数y＝﹣（x+1）2+3的图象，下列说法错误的是（ ） A．开口向下

B．对称轴为直线x＝﹣1

C．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大

D．当x＝﹣1时，函数有最小值，最小值为y＝3

6．如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D，若∠A＝22.5°，⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）

A．1

二、填空题（共18分）

7．已知x＝﹣1是方程x2﹣ax+1＝0的一个根，则a的值为 ．

8．一个不透明的盒子里，装有除颜色外无其他差别的白珠子2颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.2左右，则盒子中黑珠子可能有颗 ．

9．一个圆锥的母线长为5，侧面展开图的面积是20π，则该圆锥的底面半径为 ．

B．2

C．2

﹣2

D．3﹣2

10．如图，紫荆花图案旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度至少为 °．

11．东汉时期的数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图1，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与短直角边之比为2：1，现连接四条线段得到图2的新的图案．若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图2中阴影区域的概率为 ．

12．如图，已知点A从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着x轴的正方向运动，经过t（t≥1.5）秒后，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C都在第一象限内，且∠AOC＝60°．若以点P（0，2

）为圆心，PC为半径的圆恰好与菱形OABC某一条边

所在的直线相切，则t的值为 ．

三、解答题（共84分） 13．（1）解方程：x2﹣4x+1＝0．

（2）如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A旋转一定角度后与△ABF重合．若四边形AECF的面积为16，求AD的长．

14．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1．求抛物 线的解析式．

15．已知AB是⊙O的直径，DE与⊙O相切于点D，且DE⊥BE，设BE交⊙O于点C，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作∠ABC的平分线． （2）在图2中，找出BC边上的中点G．

16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根．

（2）设方程的两根均为等腰△ABC的边长，且△ABC的周长为5，求m的值． 17．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连接BD． （1）若∠BAD＝20°，求∠ACB的度数． （2）若BC平分∠ABD，AD＝2，求AC的长．

18．江西可谓物华天宝，山清水秀．寒假期间小尹打算去领略江西四大名山的风采，分别为A．明月山；B．武功山；C．庐山；D．三清山．由于时间原因，只能选择其中两个景点，于是小尹决定通过抽签的方式选择，将四张小纸条分别写上四个景点的名字，做出四个签（外表完全相同），然后从中随机抽出两张，每张签抽到的机会均等．

（1）抽到“明月山”是 事件，抽到“井冈山”是 事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）．

（2）请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求“小尹抽到明月山和庐山”的概率．

19．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣4，2），C（2，3）． （1）画出△ABC关于点O中心对称的△A1B1C1．

（2）画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的△A2B2C，当点A旋转到A2时，求点A所经过的路径长．

20．桑葚被称为“民间圣果”，其营养价值是苹果的5～6倍，是葡萄的4倍，具有降压降脂，健脾养胃等功效．今年某采摘园喜获丰收，经市场调研发现，当桑葚的售价为30元/千克时，每天可销售200千克，若单价每降价1元，销售量可增加50千克．已知该品种的桑葚成本价为15元/千克．

（1）若该采摘园每天获利3500元，且尽量增加销售量，桑葚售价应降低多少元？ （2）设桑葚售价降低a元，当a为何值时，该采摘园每天的利润最大．

21．如图，以△ABC的边BC上一点O为圆心，OB为半径的圆，经过点A，且与边BC交于点E，D为⊙O上一点，连接AE，AD，其中∠CAE＝∠ABC． （1）求证：AC是⊙O的切线．

（2）若∠ADB＝60°，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

22．函数图象在探究函数的性质时有非常重要的作用，某同学根据学习函数的经验，探究了函数y＝x2﹣2|x|+1的图形和性质． （1）如表给出了部分x，y的取值： x y

… …

﹣3 m

﹣2 1

﹣1 0

0 n

1 0

2 1

3 4

… …

则m＝ ，n＝ ．

（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y＝x2﹣2|x|+1的图象． （3）根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质．

（4）若点M（m，y1）在图象上，且y1≤1，若点N（m+k，y2）也在图象上，且满足y2≥4恒成立，请直接写出k的取值范围．

23．【操作发现】如图1，在等边△ABC中，点B，C在直线MN上，E为BC边上的一点，连接AE，并把线段AE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接CF，则线段CF与BE的数量关系是 ，线段CF与直线MN所夹锐角的度数是 ．

【类比探究】如图2，在等边△ABC中，点B，C在直线MN上，若E为BC延长线上的一点，连接AE，并把线段AE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接CF，上述两个结论还成立吗？请说明理由．

【拓展应用】如图3，在正方形ABCD中，点B，C在直线MN上，E为直线MN上的任意一点，连接AE，并把线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接CF． （1）试探究线段BE与CF的数量关系及线段CF与直线MN所夹锐角的度数，并说明

理由．

（2）若正方形的边长为2，连接DF，当DF＝

时，求线段BE的长．

参

一、单项选择题（共18分）

1．解：A、不是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：A．

2．解：点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，1）， 故选：B．

3．解：∵点P在⊙O外， ∴d＞3． 故选：A．

4．解：方程x2+6x+3＝0， 移项得：x2+6x＝﹣3，

配方得：x2+6x+9＝6，即（x+3）2＝6， 则k＝6， 故选：B．

5．解：∵二次函数y＝﹣（x+1）2+3，

∴a＝﹣1＜0，函数的图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线x＝﹣1，故选项B正确，不符合题意；

当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项C正确，不符合题意； 当x＝﹣1时，函数有最大值y＝3，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 6．解：连接OC， ∵∠A＝22.5°， ∴∠COD＝2∠A＝45°， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD＝90°，

∴△OCD是等腰直角三角形， ∵OC＝2，

∴OD＝，

﹣2，

∴BD＝OD﹣OB＝2故选：C．

二、填空题（共18分） 7．解：由题意得：

把x＝﹣1代入方程x2﹣ax+1＝0中， 则（﹣1）2﹣a•（﹣1）+1＝0， ∴1+a+1＝0， ∴a＝﹣2， 故答案为：﹣2． 8．解：设有黑色珠子n颗， 由题意可得，解得n＝8．

故估计盒子中黑珠子大约有8个． 故答案为：8．

9．解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR， 圆锥的侧面展开图的面积＝×2πR×5＝20π， ∴R＝4．故答案为：4．

10．解：紫荆花图案可以被中心发出的射线分成5个全等的部分，则旋转的角度至少为360÷5＝72度，故答案为：72． 11．解：如图2，

，

设直角三角形的长直角边与短直角边分别为2x和x，

则AC＝x，BD＝x，AB＝CD，△ABD是直角三角形，

则大正方形面积＝AC2＝5x2， △ADC面积＝•x•x＝x2，

阴影部分的面积S＝5x2﹣4×x2＝3x2，

∴针尖落在阴影区域的概率为＝．

故答案为：．

12．解：∵已知A点从（0，0）点出发，以每秒2个单位长的速度沿着x轴的正方向运动， ∴经过t秒后， ∴OA＝2t，

∵四边形OABC是菱形， ∴OC＝2t，

当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC＝OP，过P作PE⊥OC，

∴OE＝CE＝OC， ∴OE＝t， ∵∠AOC＝60°， ∴∠POC＝30°， ∵A（0，2∴PE＝∴OE＝∴t＝6．

，

＝6， ），

故答案为：6． 三、解答题（共84分） 13．解：（1）∵x2﹣4x+1＝0， ∴（x﹣2）2＝3， ∴x﹣2＝±∴x1＝

，

+2；

+2，x2＝﹣

（2）∵把△ADE绕点A旋转一定角度后与△ABF重合， ∴△ADE≌△ABF， ∴S△ADE＝S△ABF，

∴四边形AECF的面积等于正方形的面积， ∴AD2＝16， ∴AD＝4． 14．解：由已知可得：

，

解得，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+． 15．解：（1）如图1，BD为所作； （2）如图2，点G为所作．

16．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+1），c＝m，

∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×m＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0， ∴无论m为何值，方程总有实数根；

（2）解：∵x2﹣（m+1）x+m＝0，即（x﹣1）（x﹣m）＝0， 解得：x1＝1，x2＝m．

当关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0有两个相等的实数根时，m＝1， ∴△ABC的三条边长分别为1，1，3， ∵1+1＝2＜3，

∴1，1，3不能组成三角形， ∴m＝1不符合题意，舍去；

当关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0有两个不相等的实数根时，m＝＝2，

∴△ABC的三条边长分别为1，2，2， ∵1+2＝3＞2，

∴1，2，2能组成三角形． ∴m的值为2．

17．解：（1）∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠BAD＝20°，

∴∠D＝90°﹣20°＝70°， ∴∠ACB＝∠D＝70°； （2）连接OC， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABC＝

ABD＝45°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝90°， ∵AD＝2， ∴AO＝1， ∴AC＝

AO＝

．

18．解：（1）抽到“明月山”是随机事件，抽到“井冈山”是不可能事件， 故答案为：随机，不可能； （2）画树状图如下：

这次抽签所有等可能的结果共有12种，其中“小尹抽到明月山和庐山”的结果有2种，即AC、CA，

∴“小尹抽到明月山和庐山”的概率为19．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C即为所求， ∵AC＝∴弧长AA2＝

＝

， ＝

．

＝．

20．解：设桑葚售价应降低x元，则每天可售出（200+50x）千克，由题意得， （30﹣15﹣x）（200+50x）＝3500， 解得x1＝1，x2＝10， ∵采摘园尽量增加销售量， ∴x＝10，

答：桑葚售价应降低10元； （2）设采摘园每天的利润为w元，

根据题意得：w＝（30﹣15﹣a）（200+50a）＝﹣50a2+550a+3000＝﹣50（a﹣， ∵﹣50＜0， ∴当a＝答：当a＝

时，w有最大值，最大值为4512.5， 时，该采摘园每天的利润最大．

）2+4512

21．（1）证明：如图，连接OA， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BAE＝90°， ∴∠OAB+∠OAE＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， ∵∠CAE＝∠ABC， ∴∠CAE＝∠OAB， ∴∠CAE+∠OAE＝90°， ∴OA⊥AC， ∵OA是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵∠ADB＝60°， ∴∠AEB＝∠ADB＝60°， ∵OA＝OE，

∴△OAE为等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴AC＝

OA＝3

，

﹣

＝

﹣π．

∴S阴影部分＝S△OAC﹣S扇形AOE＝×3×3

22．解：（1）将x＝﹣3，x＝0分别代入函数y＝x2﹣2|x|+1， 得m＝9﹣6+1＝4，n＝1， 故答案为：4，1； （2）画出函数图象如图：

（3）该函数的一条性质：函数图象关于y轴对称； （4）由图象得，

若点M（m，y1）在图象上，且y1≤1，则﹣1≤m≤1，

若点N（m+k，y2）也在图象上，且满足y2≥4恒成立，则m+k≤﹣3或m+k≥3， ∴k≤﹣3﹣m或k≥3﹣m， ∴k的取值范围为k≤﹣4或k≥4．

23．解：【操作发现】如图1中，过点E作EK∥AC交AB于点K．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝∠CAB＝∠ABC＝60°，AB＝BC， ∵EK∥AC，

∴∠BEK＝∠ACB＝60°，∠BKE＝∠CAB＝60°， ∴△BEK是等边三角形， ∴BK＝BE， ∴AK＝EC，

∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠ABC+∠EAK，∠AEF＝∠ABC＝60°， ∴∠EAK＝∠FEC， 在△EAK和△FEC中，

，

∴△EAK≌△FEC（SAS），

∴EK＝CF，∠AKE＝∠ECF＝120°， ∵BE＝EK，

∴CF＝BE，∠FCN＝60°， 故答案为：CF＝BE，60°； 【类比探究】如图2中，结论成立．

理由：过点E作EK∥AC交BA的延长线于点K．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝∠CAB＝∠ABC＝60°，AB＝BC， ∵EK∥AC，

∴∠BEK＝∠ACB＝60°，∠BKE＝∠CAB＝60°， ∴△BEK是等边三角形， ∴BK＝BE，

∴AK＝EC，

∵∠AEN＝∠AEF+∠FEN＝∠ABC+∠EAK，∠AEF＝∠ABC＝60°， ∴∠EAB＝∠FEN， ∴∠EAK＝∠FEC， 在△EAK和△FEC中，

，

∴△EAK≌△FEC（SAS），

∴EK＝CF，∠AKE＝∠FCE＝60°， ∵BE＝EK， ∴CF＝BE；

【拓展应用】（1）结论：CF＝BE，线段CF与直线MN所夹锐角的度数为45°． 理由：在BA上取一点K，使得BK＝BE．

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， ∵BK＝BE，

∴∠BKE＝∠BEK＝45°， ∴∠AKE＝135°，

∵∠AEN＝∠AEF+∠FEC＝∠ABC+∠EAK，∠AEF＝∠ABC＝90°， ∴∠EAB＝∠FEN， 在△EAK和△FEC中，

，

∴△EAK≌△FEC（SAS），

∴EK＝CF，∠AKE＝∠FCE＝135°， ∴∠FCN＝180°﹣135°＝45°；

（2）如图4﹣1中，过点D作DH⊥CF于点H．

当点F在点H上方时，∵△DCH是等腰直角三角形，CD＝2， ∴CH＝DH＝∵DF＝∴FH＝∴CF＝BE＝3

．

，

，

＝

＝2

，

，

如图4﹣2中，当点F在点H的下方时，同法可得FH＝2∴CF＝BE＝FH﹣CH＝

，

综上所述，BE的长为

或3

．