一、选择题（共40分）
1．下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．点P（2，﹣5）关于原点的对称点的坐标是（ ） A．（﹣2，﹣5）
B．（2，5）
C．（﹣2，5）
D．（﹣5，2）3．已知⊙O的半径为3，点M在⊙O上，则OM的长可能是（ ） A．2
B．3 C．4
D．5
4．如图所示，在⊙O中
＝
，∠A＝30°，则∠B＝（ ）
A．150°
B．75°
C．60°
D．15°
5．平面上一点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，则⊙O的直径是（ A．6或10 B．3或5
C．6
D．5
）6．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
7．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（ ）
A．34° 8．下列说法：
①弧长相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弧相等；④垂直于半径的直线是圆的切线；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中不正确的有（ ）个． A．1
B．2
C．3
D．4
B．36°
C．38°
D．40°
9．某数学兴趣小组研究二次函数y＝x2+bx+c的图象时，得出如下四个结论： 甲：图象与x轴的一个交点为（1，0）； 乙：图象与x轴的一个交点为（3，0）； 丙：图象与x轴的交点在原点两侧；
丁：图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线； 若这四个结论中只有一个是不正确的，则该结论是（ ） A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
10．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个
动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
二、填空题（共24分）
11．已知关于x的方程x2﹣3x﹣m＝0的一个根是1，则m＝ ． 12．如图，若∠BOD＝140°，则∠BCD＝ ．
13．在半径为10cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为6cm，则弦AB的长是 cm． 14．如图，⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，⊙O的切线PA交OC延长线于点P，则PC的长为 ．
15．在等边△ABC中，AB＝5，点D是AB上的定点，点P是BC上的动点，DP绕点D逆时针旋转60°恰好落在AC上，已知BD＝2，则此时DP＝ ．
16．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P，若AB＝6，BC＝3
，则下列结论：①F是CD的中点：②⊙O的半径是2；③AE＝CE，
其中正确的是 ．（写序号）
三、解答题（共86分） 17．解方程：x2﹣2x﹣5＝0．
18．小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是 ；
（2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，且n+2m＝4，求n的取值范围．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC．求作⊙O，使得点O在边AB上，且⊙O经过B、D两点；并证明AC与⊙O相切．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
21．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，P是BC边上一点，将△ABP绕点A逆时针旋转50°，点P旋转后的对应点为P′． （1）画出旋转后的三角形；
（2）连接PP′，若∠BAP＝20°，求∠PP′C的度数；
22．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点A作AD平分∠CAB，交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E． （1）依据题意，补全图形；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系并证明； （3）若AB＝10，BC＝8，求CE的长．
24．如图，△ABC内接于⊙O，弦BD⊥AC，垂足为E，点D、点F关于AC对称，连结AF并延长交⊙O于点G．
（1）连结OB，求证：∠ABD＝∠OBC； （2）求证：点F、点G关于BC对称．
25．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B． （1）若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6）． ①求抛物线的解析式；
②若当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6，求m的取值范围； （2）若点P在第一象限，且PA＝PO，过点P作PD⊥x轴于D，将抛物线y＝x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，与x轴的另一个交点为C，试探究四边形OABC的形状，并说明理由．
参考答案
一、选择题（共40分）
1．解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：C．
2．解：因为点P（2，﹣5）关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数， 所以对称点的坐标是（﹣2，5）， 故选：C．
3．解：∵点M在⊙O上，⊙O的半径为3， ∴OM＝3， 故选：B． 4．解：∵
＝
，
∴AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠A＝30°，
∴∠B＝∠C＝×（180°﹣30°）＝75°． 故选：B．
5．解：当点P在圆内时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为10，
当点P在圆外时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为6． 故选：A．
6．解：当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连接OP，如图， 则OP⊥AP， ∵OB＝AB， ∴OA＝2OP， ∴∠PAO＝30°．
故选：D．
7．解：由题意得，∠AOD＝31°，∠BOC＝31°，又∠AOC＝100°， ∴∠DOB＝100°﹣31°﹣31°＝38°． 故选：C．
8．解：①弧长相等的弧是等弧，故该说法不正确；
②不在同一直线的三点可以确定一个圆，故该说法不正确； ③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该说法不正确； ④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该说法不正确；
⑤三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等，故该说法正确． 故选：D．
9．解：若甲、乙成立， （1+3）÷2＝1，
∴图象的对称轴为过点（1，0），且平行于y轴的直线，图象与x轴的交点在原点右侧，故丁结论正确；
图象与x轴的交点在原点右侧，故丙结论不正确，符合题意． 故选：C．
10．解：如图，连接OD，OC，
∵AD＝DP， ∴OD⊥PA， ∴∠ADO＝90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC， 当点D在CK的延长线上时，CD的值最大， ∵C为
的三等分点，
∴∠AOC＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴CK⊥OA，
在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1， ∴CK＝
∵DK＝OA＝1， ∴CD＝
+1，
+1， ＝
，
∴CD的最大值为故选：D．
二、填空题（共24分）
11．解：把x＝1代入方程可得：1﹣3﹣m＝0， 解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2．
12．解：由圆周角定理得，∠A＝∠BOD＝70°， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝110°， 故答案为：110°． 13．解：连接OB．
在Rt△ODB中，OD＝6cm，OB＝10cm． 由勾股定理得 BD＝
＝
＝8．
∴AB＝2BD＝2×8＝16cm．
14．解：连接OA，
∵AP是⊙O的切线， ∴OA⊥AP， ∵∠ABC＝30°，
∴∠AOP＝2∠ABC＝60°， ∴∠APO＝30°， ∵OA＝OC＝1， ∴OP＝2OA＝2， ∴PC＝OP﹣OC＝1． 故答案为：1．
15．解：如图，连接PP'，过点D作DE⊥BC，
∵DP绕点D逆时针旋转60°， ∴DP＝DP'，∠PDP'＝60°， ∴△DP'P是等边三角形， ∴DP＝PP'，∠DPP'＝60°， ∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPP'＝∠C+∠PP'C＝∠BPD+∠DPP'， ∴∠PP'C＝∠BPD，且DP＝PP'，∠B＝∠C，
∴△BDP≌△CPP'（AAS） ∴BD＝CP＝2， ∴BP＝3，
∵∠B＝60°，BD＝2，DE⊥BC， ∴BE＝1，DE＝∴PE＝2， ∴DP＝故答案为
．
＝
＝
，
BE＝
，
16．解：①∵AF是AB翻折而来， ∴AF＝AB＝6， ∵矩形ABCD，则∴
∴DF＝CF，
∴F是CD中点；故①正确； ②如图，连接OP，
，
，
∵⊙O与AD相切于点P， ∴OP⊥AD， ∵AD⊥DC， ∴OP∥CD， ∴△APO∽△ADF， ∴
，
，
设OP＝OF＝x，则 解得：x＝2，故②正确；
③∵Rt△ADF中，AF＝6，DF＝3， ∴
，
∴∠DAF＝30°，∠AFD＝60°， ∴∠EAF＝∠EAB＝30°， ∴AE＝2EF；
∵∠AFE＝∠B＝90°，
∴∠EFC＝90°﹣∠AFD＝30°， ∴EF＝2EC，
∴AE＝4CE，故③错误； 故答案为：①②． 三、解答题（共86分） 17．解：x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝6， （x﹣1）2＝6， x﹣1＝±所以x1＝1+
，
，x2＝1﹣
．
18．解：（1）∵小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，
∴小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：； （2）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况， ∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：＝． 19．解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞0， 解得m＞﹣1． ∵n+2m＝4，
∴m＝＞﹣1，
解得n＜6，
即n的取值范围为n＜6． 20．解：如图，⊙O为所作．
证明：连接OD，如图， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠CBD＝∠ODB， ∴OD∥BC， ∴∠ODA＝∠ACB， 又∠ACB＝90°， ∴∠ODA＝90°， 即OD⊥AC，
∵点D是半径OD的外端点， ∴AC与⊙O相切．
21．解：（1）旋转后的三角形ACP'如图所示：
（2）由旋转可得，∠PAP'＝∠BAC＝50°，AP＝AP'，△ABP≌△ACP'，
∴∠APP'＝∠AP'P＝65°，∠AP'C＝∠APB， ∵∠BAC＝50°，AB＝AC， ∴∠B＝65°， 又∵∠BAP＝20°， ∴∠APB＝95°＝∠AP'C，
∴∠PP'C＝∠AP'C﹣∠AP'P＝95°﹣65°＝30°． 22．解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b， 将点（1，110）、（3，130）代入一次函数关系式得：解得：
，
，
故函数的关系式为：y＝10x+100（0＜x＜20）； （2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760， 整理，得x2﹣10x﹣24＝0． 解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）． 所以55﹣x＝43．
答：这种消毒液每桶实际售价43元． 23．解：（1）如图1即为补全的图形．
（2）直线DE是⊙O的切线． 理由如下：
证明：如图2，连接OD，交BC于F． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∴
．
∴OD⊥BC于F． ∵DE∥BC， ∴OD⊥DE于D． ∴直线DE是⊙O的切线． （3）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∵AB＝10，BC＝8， ∴AC＝6．
∵∠BFO＝∠ACB＝90°， ∴OD∥AC． ∵O是AB中点， ∴OF＝∵OD＝∴DF＝2．
∵DE∥BC，OD∥AC， ∴四边形CFDE是平行四边形． ∵∠ODE＝90°，
∴平行四边形CFDE是矩形． ∴CE＝DF＝2． 答：CE的长为2． 24．证明：（1）连接OC，
＝3． ＝5，
∵BD⊥AC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB+∠ABE＝90°， ∵
，
∴∠BOC＝2∠BAC， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°， ∴2∠OBC+2∠BAC＝180°， ∴∠OBC+∠BAC＝90°， ∴∠OBC＝∠ABE， 即∠OBC＝∠ABD，
（2）连接BG，AD，GC，AG交BC于点H，
∵点D，F关于AC对称， ∴EF＝ED， ∵BD⊥AC，
∴∠AEF＝∠AED＝90°， 又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴∠EAF＝∠EAD，∠AFE＝∠ADE，即∠GAC＝∠DAC， ∵
，
∴∠DAC＝∠DBC， ∵
，
∴∠GAC＝∠GBC， ∴∠DBC＝∠GBC， ∵
∴∠ADB＝∠BGA， ∵∠AFD＝∠BFG， ∴∠BFG＝∠AGB， ∴△BHF≌△BHG（AAS），
∴FH＝GH，∠BHF＝∠BHG＝90°， ∴点F，点G关于BC对称．
25．解：（1）①∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点P的横坐标为1， ∴﹣
＝1，
解得：b＝﹣2． ∴y＝x2﹣2x+c，
∵抛物线y＝x2﹣2x+c经过点B（3，6）， ∴6＝32﹣2×3+c， 解得：c＝3．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+3；
②由y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2知，P（1，2）．
∴点（3，6）关于对称轴x＝1的对称点B′的坐标为（﹣1，6），如图1， ∵当m≤x≤3时，y＝x2+bx+c的最小值为2，最大值为6， ∴﹣1≤m≤1；
（2）如图2，由 PA＝PO，OA＝c，可得PD＝．
∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为 P（﹣，
），
∴＝．
∴b2＝2c．
∴抛物线y＝x2+bx+b2，A（0，b2），P（﹣b，b2），D（﹣b，0）． 可得直线OP的解析式为y＝﹣bx．
∵点B是抛物线y＝x2+bx+b2与直线y＝﹣bx的图象的交点， 令﹣bx＝x2+bx+b2． 解得x1＝﹣b，x2＝﹣． 可得点B的坐标为（﹣b，b2）．
由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y＝x2+mx+b2． 将点D（﹣b，0）的坐标代入y＝x2+mx+b2，得m＝b． 则平移后的抛物线解析式为y＝x2+bx+b2． 令y＝0，即x2+bx+b2＝0． 解得x1＝﹣b，x2＝﹣b． 依题意，点C的坐标为（﹣b，0）． 则BC＝b2． 则BC＝OA． 又∵BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形． ∵∠AOC＝90°， ∴四边形OABC是矩形．
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