一、选择题（本题共12小题，共36分）
1．如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A．
B．ax2+bx+c＝0
D．3x2+2＝x2+2（x﹣1）2
C．（x﹣1）（x﹣2）＝0
3．下列说法中，正确的是（ ） A．不可能事件发生的概率为0 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生
D．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次 4．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面积为（ ） A．6π
B．8π
C．16π
D．32π
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）
A．（0，4）
B．（1，1）
C．（1，2）
D．（2，1）
6．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过点（x1，y1）和点（x2，y2），若|x1﹣h|＜|x2
﹣h|，则下列结论正确的是（ ） A．a（y1﹣y2）＜0
B．a（y2﹣y1）＜0
C．y1﹣y2＜0
D．y2﹣y1＜0
7．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c＞d
B．a＞b＞d＞c
C．b＞a＞c＞d
D．b＞a＞d＞c
8．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（ ）
A．6
B．8
C．5
D．5
9．已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ） A．相离
B．相交
C．相切
D．相交或相切
10．如图所示，已知⊙O中，弦AB的长为10cm，测得圆周角∠ACB＝45°，则直径AD为（ ）
A．5
cm
B．10
cm
C．15
cm
D．20
cm
11．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．15
12．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（ ）
A．（9，2）
B．（9，3）
C．（10，2）
D．（10，3）
二、填空题（本题共6小题，共18分。）
13．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m的值为 ． 14．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是 ．
15．如图，点A，B，C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为 ．
16．如图，在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是 ．
17．如图，⊙M的半径为2，圆心M（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
18．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是 ．
三、解答题（本题共8题，共66分。） 19．解关于x的方程： （1）x2+2x﹣15＝0；
（2）（x+8）2﹣5（x+8）+6＝0．
20．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．
21．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个20元，第一天以每个60元的价格售出20个，为
了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低2元，可多售出10个．
（1）当售价小于60元时，试求出第二天起每天的销售量y（个）与每个售价x（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）如果前两天共获利2240元，且降价幅度不超过10元，则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元？
22．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC交⊙O于点E，点E不与点A重合，
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？ （2）若∠B＝60°，BD＝3，求AB的长．
23．同学们都知道“石头、剪刀、布”的猜拳游戏吧！游戏规定：两人同时出手．“石头胜剪刀”，“剪刀胜布”，“布胜石头”；若手势相同，则不分胜负，小明和小丽正在做这种游戏．
（1）小明随机出手一次，出“石头”的概率为 ； （2）两人都随机出手一次，求小明获胜的概率．
24．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线交BA的延长线于点F，垂足为E． （1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若点C是弧BD的中点，求∠F的度数； （3）若直径AB＝13，BC＝5，求DF的长．
25．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，请回答下列问题： （1）若AB∥CD，求证：弧BD＝弧AC
（2）若AC⊥BD，CD＝4，圆O的半径为3，求AB的长； （3）在（2）的条件下求PA2+PB2+PC2+PD2的值．
26．如图，抛物线y1＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），点B，点D是抛物线y1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（﹣1，0）． （1）求抛物线y1所对应的函数解析式；
（2）如图1，点M是抛物线y1上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接MC， 若∠MCB＝∠DAC，求m的值；
（3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2．点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，共36分）
1．解：A、看起来像轴对称图形但不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B．
2．解：A、是分式方程．故A错误；
B、当a＝0时不是一元二次方程，故B错误； C、是，一元二次方程，故C正确； D、是一元一次方程．故D错误； 故选：C．
3．解：A、不可能事件发生的概率为0，所以A选项正确； B、随机事件发生的概率在0与1之间，所以B选项错误；
C、概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C选项错误； D、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D选项错误． 故选：A．
4．解：圆锥的侧面积＝2π×2×4÷2＝8π， 故选：B．
5．解：由图知，旋转中心P的坐标为（1，2），
故选：C．
6．解：①当a＜0时，
∵|x1﹣h|＜|x2﹣h|，
∴点（x2，y2）离对称轴x＝h远， ∴y1＞y2， ∴a（y1﹣y2）＜0．
②当a＞0时，点（x2，y2）离对称轴x＝h远， ∴y1＜y2， ∴a（y1﹣y2）＜0． 综上所述，a（y1﹣y2）＜0， 故选：A．
7．解：由二次函数y＝ax2的性质知， （1）抛物线y＝ax2的开口大小由|a|决定． |a|越大，抛物线的开口越窄； |a|越小，抛物线的开口越宽．
（2）抛物线y＝ax2的开口方向由a决定．
当a＞0时，开口向上，抛物线（除顶点外）都在x轴上方； 当a＜0时，开口向下，抛物线（除顶点外）都在x轴下方． 根据以上结论知：a＞b＞0，0＞c＞d． 故选：A．
8．解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE＝180°， 又∵∠AOB+∠COD＝180°， ∴∠BOE＝∠COD， ∴BE＝CD＝6， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°，
∴AB＝＝＝8，故选：B．
9．解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D． 10．解：连接BD，如图，
∵AD为直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠ADB＝∠ACB＝45°， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴AD＝
AB，
∵AB的长为10cm， ∴AD＝10
（cm），故选：B．
11．解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边， ∴∠AOD＝
＝90°，∠AOF＝
＝120°，
∴∠DOF＝∠AOF﹣∠AOD＝30°， ∴n＝
＝12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边． 故选：C．
12．解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD
交于点G，
则PE⊥y轴，PF⊥x轴， ∵∠EOF＝90°， ∴四边形PEOF是矩形， ∵PE＝PF，PE∥OF， ∴四边形PEOF为正方形， ∴OE＝PF＝PE＝OF＝5， ∵A（0，8）， ∴OA＝8， ∴AE＝8﹣5＝3， ∵四边形OACB为矩形，
∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB， ∴EG∥AC，
∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形， ∴CG＝AE＝3，EG＝OB， ∵PE⊥AO，AO∥CB， ∴PG⊥CD， ∴CD＝2CG＝6，
∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2， ∵PD＝5，DG＝CG＝3， ∴PG＝4，
∴OB＝EG＝5+4＝9， ∴D（9，2）． 故选：A．
二、填空题（本题共6小题，共18分。）
13．解：有题意，得
m2﹣3m+2＝0且m﹣1≠0， 解得m＝2， 故答案为：2．
14．解：∵抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1， ∴﹣
＝1，得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是2≤y＜11， 当y＝t时，t＝x2﹣2x+3，即x2+bx+3﹣t＝0，
∵关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根， ∴t的取值范围是2≤t＜11， 故答案为：2≤t＜11． 15．解：作
所作的圆周角∠APB，如图，
∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣∠DCE＝180°﹣40°＝140°， ∴∠APB＝∠DOE＝70°， ∵∠ACB+∠APB＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°． 故答案为：110°．
16．解：∵在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有12种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有2种情况， ∴使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是：2÷12＝． 故答案为：．
17．解：点P在以O为圆心OA为半径的圆上， ∴P是两个圆的交点，
当⊙O与⊙M外切时，AB最小， ∵⊙M的半径为2，圆心M（3，4）， ∴PM＝2，OM＝5， ∴OA＝OP＝OM﹣PM＝3， ∴AB＝6， 故答案为6．
18．解：过点D作DG⊥BC于点G，过点E作EF⊥直线AD于F，
∵将CD以D为中心逆时针旋转90°至ED， ∴DE＝DC，∠EDC＝90°， ∵AD∥BC，DG⊥BC， ∴∠GDF＝90°＝∠EDC，
∵∠EDF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠CDG＝90°， ∴∠EDF＝∠CDG， 在△EDF和△CDG中，
，
∴△EDF≌△CDG（AAS）， ∴EF＝CG，
∴CG＝BC﹣BG＝2， ∴EF＝2，
∴S△ADE＝×AD•EF＝×3×2＝3， 故答案为：3．
三、解答题（本题共8题，共66分。） 19．解：（1）x2+2x﹣15＝0， （x+5）（x﹣3）＝0， x+5＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝﹣5，x2＝3；
（2）（x+8）2﹣5（x+8）+6＝0． （x+8﹣2）（x+8﹣3）＝0， x+8﹣2＝0或x+8﹣3＝0， 所以x1＝﹣6，x2＝﹣5．
20．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．
21．解：（1）依题意得：y＝20+10×
＝﹣5x+320（20≤x＜60）．
（2）依题意得：（60﹣20）×20+（x﹣20）（﹣5x+320）＝2240， 整理得：x2﹣84x+1568＝0， 解得：x1＝56，x2＝28， ∵降价幅度不超过10元， ∴x＝56．
答：第二天每个“冰墩墩”的销售价格为56元．
22．解：（1）AB＝AC．理由如下： 连接AD，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵BD＝CD， ∴AB＝AC；
（2）在Rt△ABD中，∵∠B＝60°， ∴AB＝2BD＝2×3＝6．
23．解：（1）小明随机出手一次，出“石头”的概率为； 故答案为：； （2）画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中小明获胜的结果数为3， 所以小明获胜的概率＝＝． 24．（1）证明：如图，连接OD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠EBD， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD， ∴∠EBD＝∠ODB， ∴OD∥BE，
∵DE⊥BE， ∴OD⊥DE， ∵OD是半径， ∴DE与⊙O相切； （2）解：∵点C是∴
，
的中点，
∵∠ABD＝∠EBD， ∴∴
，
，
∴∠ABD＝30°，
∴∠FBE＝2∠ABD＝60°， ∴∠F＝90°﹣60°＝30°． （3）解：连接AC， ∵∠ABD＝∠EBD， ∴
，
∴OD垂直平分AC， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∴
∵OD∥BE， ∴△ABC∽△FOD， ∴即
＝＝
， ，
，
解得DF＝15.6．
25．（1）证明：∵AB//CD， ∴∠BAC＝∠ACD， ∴∴
，
，
∴弧BD＝弧AC；
（2）解：过点O作OE⊥CD于点E，作直径CF，连接FA，FD，如图：
∵OE⊥CD于点E，
∴E为CD中点，CE＝DE＝CD×4＝2， ∵圆O的半径为3， ∴OE＝
＝
＝
，
∵O为CF中点，E为CD中点， ∴DF＝2OE＝2
，
∵CF是⊙O直径，
∴∠CAF＝90°，即AC⊥AF， ∵AC⊥BD， ∴BD∥AF． ∴∠ADB＝∠FAD， ∴
＝
，
；
∴AB＝DF＝2
（3）解：∵AC⊥BD于点P， ∴AB2＝PA2+PB2，CD2＝PC2+PD2， ∴PA2+PB2+PC2+PD2＝AB2+CD2， 由（2）知AB＝2∴AB2+CD2＝（2
，CD＝4， ）2+42＝36，
∴PA2+PB2+PC2+PD2＝36．
26．解：（1）由题意得：，
解得．
抛物线y1所对应的函数解析式为（2）当x＝﹣1时，∴D（﹣1，1），
设直线AD的解析式为y＝kx+b， ∴
，
，
；
解得，
∴直线AD的解析式为，
如答图1，当M点在x轴上方时，
∵∠M1CB＝∠DAC， ∴DA∥CM1， 设直线CM1的解析式为∵直线经过点C， ∴解得：
， ，
， ，
∴直线CM1的解析式为
∴，
解得：∴
，
，（舍去），
综合以上可得m的值为；
（3）∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0）， ∴即设∴
， ．
，则，
，
①如答图2，当P在Q点上方时，
PQ＝1﹣m，QR＝2﹣2m， ∵△PQR与△ACD全等，
∴当PQ＝DC且QR＝AC时，m＝0， ∴
，
，
当PQ＝AC且QR＝DC时，无解； ②如答图3，当点P在Q点下方时，
同理：PQ＝m﹣1，QR＝2m﹣2，m﹣1＝1， ∴m＝2， 则
，
． 或
．
综合可得P点坐标为
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