河南省2020年中考数学试题(备用卷) 解析版

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（3分）﹣2020的相反数是（ ） A．

B．

C．2020

D．﹣2020

2．（3分）如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．

3．（3分）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝124°，则∠4的度数为（ ）

A．56°

B．46°

C．66°

D．124°

4．（3分）十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从万亿元增长到80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（ ） A．8×1012

B．8×1013

C．8×1014

D．0.8×1013

5．（3分）在“交通安全”主题教育活动中，为了了解全省中学生对于交通安全知识的掌握情况，省教育部门计划开展调查，对于该调查的一些建议中，较为合理的是（ ） A．应该采取全面调查

B．随机抽取某市部分中学生进行调查 C．随机抽取全省部分初一学生进行调查 D．在全省范围内随机抽取部分中学生进行调查

6．（3分）若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，1）在反比例函数y＝的图象上，则（ ） A．y1＜1＜y2

B．y1＜y2＜1

C．1＜y2＜y1

D．y2＜y1＜1

7．（3分）对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝a2﹣ab，例如：3*2＝32﹣3×2＝3，则方程（x+1）*3＝﹣2的根的情况是（ ） A．没有实数根 C．有两个相等的实数根

B．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根

8．（3分）我省某市即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（ ） A．C．

﹣﹣

＝15 ＝20

B．D．

﹣﹣

＝15 ＝20

9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（3，3），点D是边BC的中点，现将正方形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则第2019秒时，点D的坐标为（ ）

A．（

，﹣3

） B．（﹣3

，﹣

）

C．（﹣，﹣）

D．（，）

10．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则四边形ECDF的周长为（ ）

A．14

B．12

C．8

D．6

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）请你写出一个大于1，且小于3的无理数是 ． 12．（3分）已知关于x的不等式组的点A，则不等式组的解集为 ．

13．（3分）如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等．现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率是 ．

其中实数a在数轴上对应的点是如图表示

14．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为 ．

15．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 ．

三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）先化简，再求值：

÷（1+

），其中a＝

+3．

17．（9分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下： 收集数据：

从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：

七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82 八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50 整理数据：

年级 七年级 八年级

x＜60 0 1

60≤x＜80

10 5

80≤x＜90

4 8

90≤x≤100

1 1

（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格） 分析数据：

年级 七年级 八年级

得出结论：

（1）根据上述数据，将表格补充完整；

（2）可以推断出 年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由； （3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数． 18．（9分）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨

平均数 77.5

中位数 75 80

众数 75

所B南偏东37°的方向上．

（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；

（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）

19．（9分）学校“科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品．试销发现：该电子产品的销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知销售60件电子产品所得利润为1680元．

（1）根据以上信息，填空：销售量为60件时的销售价格是 元/件，该产品的成本价格是 元/件；

（2）求销售利润w（元）关于销售量x（件）的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？

（3）该社团继续开展科技创新，降低产品成本价格，预估当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，则科技创新后该产品的成本价格应低于多少？

20．（9分）如图，AB是半圆O的直径，AC是半圆内一条弦，点D是

的中点，DB交AC

于点G．过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M，连接AD．点E是AB上的一动点，DE与AC相交于点F． （1）求证：MD＝GD；

（2）填空：①当∠DEA＝ 时，AF＝FG；

②若∠AGB的度数为120°，当∠DEA＝ 时，四边形DEBC是菱形．

21．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E． （1）求抛物线的函数表达式

（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．

22．（10分）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

[数学理解]

（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ ．

②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是 ．

（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．则该函数的图象上 点C（填是否存在），使d（O，C）＝3．

（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，则d（O，D）的最小值是 ，此时对应的点D的坐标是 ． [问题解决]

（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

23．（11分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现 ①当α＝0°时，②当α＝180°时，（2）拓展探究

试判断当0°＜α＜360°时，（3）问题解决

当△CDE绕点C逆时针旋转至A，B，E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．

的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

＝ ； ＝ ；

参与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（3分）﹣2020的相反数是（ ） A．

B．

C．2020

D．﹣2020

【分析】直接利用相反数的定义得出答案． 【解答】解：﹣2020的相反数是：2020． 故选：C．

2．（3分）如图，该几何体是由4个大小相同的正方体组成，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：D．

3．（3分）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝124°，则∠4的度数为（ ）

A．56°

B．46°

C．66°

D．124°

【分析】先求出∠1＝∠5，根据平行线的判定求出a∥b，根据平行线的性质求出∠4＝∠6，再求出∠6即可．

【解答】解：

∵∠2+∠5＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝∠5， ∴a∥b， ∴∠4＝∠6， ∵∠3＝124°，

∴∠6＝180°﹣∠3＝56°， ∴∠4＝56°， 故选：A．

4．（3分）十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从万亿元增长到80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（ ） A．8×1012

B．8×1013

C．8×1014

D．0.8×1013

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×1013． 故选：B．

5．（3分）在“交通安全”主题教育活动中，为了了解全省中学生对于交通安全知识的掌握情况，省教育部门计划开展调查，对于该调查的一些建议中，较为合理的是（ ） A．应该采取全面调查

B．随机抽取某市部分中学生进行调查 C．随机抽取全省部分初一学生进行调查 D．在全省范围内随机抽取部分中学生进行调查 【分析】根据抽取的样本要有代表性进行判断．

【解答】解：在“交通安全”主题教育活动中，为了了解全省中学生对于生命安全知识

的掌握情况，省教育部门计划开展调查，

较为合理的是在全省范围内随机抽取部分中学生进行调查， 故选：D．

6．（3分）若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，1）在反比例函数y＝的图象上，则（ ） A．y1＜1＜y2

B．y1＜y2＜1

C．1＜y2＜y1

D．y2＜y1＜1

【分析】先根据C（2，1）求得k，即可判断出函数图象所在的象限，再根据点A、B、C横坐标的大小进行解答即可．

【解答】解：∵C（2，1）在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝2×1＝2，

∴反比例函数的图象的两个分支分别位于一三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小． ∵﹣2＜0，

∴A（﹣2，y1）在第三象限， ∴y1＜0． ∵2＞1＞0，

∴点B（1，y2），C（2，1）在第一象限． ∴y2＞1， ∴y1＜1＜y2． 故选：A．

7．（3分）对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝a2﹣ab，例如：3*2＝32﹣3×2＝3，则方程（x+1）*3＝﹣2的根的情况是（ ） A．没有实数根 C．有两个相等的实数根

B．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根

【分析】根据运算“*”的定义将方程（x+1）*3＝﹣2转化为一般式，由根的判别式△＝1＞0，即可得出该方程有两个不相等的实数根． 【解答】解：∵（x+1）*3＝﹣2，

∴（x+1）2﹣3（x+1）＝﹣2，即x2﹣x＝0， ∴△＝（﹣1）2﹣4×1×0＝1＞0，

∴方程（x+1）*3＝﹣2有两个不相等的实数根．

故选：D．

8．（3分）我省某市即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米，则根据题意所列的方程是（ ） A．C．

﹣﹣

＝15 ＝20

B．D．

﹣﹣

＝15 ＝20

【分析】设原计划每天铺设钢轨x米，则实际每天铺设钢轨（x+20）米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前15天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【解答】解：设原计划每天铺设钢轨x米，则实际每天铺设钢轨（x+20）米， 依题意，得：故选：A．

9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（3，3），点D是边BC的中点，现将正方形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则第2019秒时，点D的坐标为（ ）

﹣

＝15．

A．（

，﹣3

） B．（﹣3

，﹣

）

C．（﹣，﹣）

D．（，）

【分析】根据正方形的性质，中点坐标公式分别求出前9秒时，D点的坐标，再根据规律求得结果．

【解答】解：∵A（3，3）， ∴OA＝3

，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAO＝90°，OA＝AB＝BC＝OC＝3∴OB＝∴B（6，0），

∵A点与C点关于OB对称， ∴C（3，﹣3）， ∵D是BC的中点， ∴D（，﹣），

将正方形OABC绕点O顺时针旋转，每秒旋转45°，旋转1秒后，如图1，

，

，

则∴同理，

，

，， ，

，

，

，

，

…

，

，

由上可知，点D的坐标每8个为一组依次循环着， ∵2019÷8＝252…3， ∴D2019与D3的坐标相同为故选：B．

10．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP

，

并延长交BC于点E，连接EF，则四边形ECDF的周长为（ ）

A．14

B．12

C．8

D．6

【分析】根据作图过程可得AB＝AF，AE平分∠BAD，可以证明▱ABEF是菱形，进而可得四边形ECDF的周长． 【解答】解：根据作图过程可知： AB＝AF，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAF， 在▱ABCD中，BC∥AD， ∴∠BEA＝∠EAF， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴BE＝AF， ∵BC＝AD， ∴EC＝FD， ∵BC∥AD，

∴四边形AFEB和四边形ECDF是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴▱ABEF是菱形， ∴AB＝AF＝EF＝BE＝3， ∴CE＝DF＝4﹣3＝1， CD＝EF＝3，

所以四边形ECDF的周长为：1+1+3+3＝8． 故选：C．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．（3分）请你写出一个大于1，且小于3的无理数是 ．

【分析】根据算术平方根的性质可以把1和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．

【解答】解：∵1＝，3＝，

．

∴写出一个大于1且小于3的无理数是故答案为

（本题答案不唯一）．

12．（3分）已知关于x的不等式组

的点A，则不等式组的解集为 a＜x＜1 ．

其中实数a在数轴上对应的点是如图表示

【分析】根据数轴可以得到a的正负情况，从而可以得到所求的不等式组的解集，本题得以解决．

【解答】解：由数轴可得， a＜0， 由不等式组

得，a＜x＜1，

故原不等式组的解集是a＜x＜1， 故答案为：a＜x＜1．

13．（3分）如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等．现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率是

．

【分析】先用列表法得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【解答】解：列表如下：

2 3

1 2 3

2 4 6

3 6 9

由表知，指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的有2种结果， ∴指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率为：＝，

故答案为：．

14．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为 4+2

．

【分析】根据折叠的性质得到∠DAF＝∠BAF＝45°，根据矩形的性质得到FC＝ED＝2，根据勾股定理求出GF，根据周长公式计算即可．

【解答】解：由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°， ∴AE＝AD＝6， ∴EB＝AB﹣AE＝2，

由题意得，四边形EFCB为矩形， ∴FC＝ED＝2， ∵AB∥FC，

∴∠GFC＝∠A＝45°， ∴GC＝FC＝2， 由勾股定理得，GF＝

＝2

， ，

则△GCF的周长＝GC+FC+GF＝4+2故答案为：4+2

．

15．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是

π ．

【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝45°，AB＝

AC＝2

，再根据旋

转的性质得∠BAB′＝∠CAC′＝45°，则点B′、C、A共线，然后根据扇形门口计算，

利用线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积＝S进行计算即可．

【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°，AB＝

AC＝2

，

扇形BAB′

﹣S

扇形CAC′

∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C， ∴∠BAB′＝∠CAC′＝45°， ∴点B′、C、A共线，

∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积＝S扇形BAB′+S△AB′C﹣S扇形

CAC′﹣S△ABC

＝S扇形BAB′﹣S扇形CAC′ ＝＝π． 故答案为π．

三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分）先化简，再求值：

÷（1+

），其中a＝

+3．

﹣

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝＝＝＝当a＝原式＝＝＝

． ， +3时，

֥

÷（

+

）

17．（9分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优

于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下： 收集数据：

从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：

七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82 八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50 整理数据：

年级 七年级 八年级

x＜60 0 1

60≤x＜80

10 5

80≤x＜90

4 8

90≤x≤100

1 1

（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格） 分析数据：

年级 七年级 八年级

得出结论：

（1）根据上述数据，将表格补充完整；

（2）可以推断出 八 年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由； （3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数． 【分析】（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；

（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；

（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果． 【

解

答

】

解

：（

1

）

七

年

级

的

平

均

数

为

平均数 76.8 77.5

中位数 75 80

众数 75 81

（74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82）＝76.8，

八年级的众数为81； 故答案为：76.8；81；

（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：

八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些； 故答案为：八；

（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×（人）．

18．（9分）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．

（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；

（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）

＝20

【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；

（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°． 在Rt△ABC中，sinB＝

，

∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．

答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；

（2）过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D、C、M在一条直线上． 在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12， AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9． 在Rt△AMD中，tan∠DAM＝

，

∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36， ∴AD＝

＝

＝9

，

CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24． 设缉私艇的速度为x海里/小时，则有解得x＝6经检验，x＝6

．

是原方程的解．

海里/小时时，恰好在D处成功拦截．

＝

，

答：当缉私艇的速度为6

19．（9分）学校“科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品．试销发现：该电子产品的销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．已知销售60件电子产品所得利润为1680元．

（1）根据以上信息，填空：销售量为60件时的销售价格是 68 元/件，该产品的成本价格是 40 元/件；

（2）求销售利润w（元）关于销售量x（件）的函数解析式，当销售量为多少时，销售利润最大？最大值是多少？

（3）该社团继续开展科技创新，降低产品成本价格，预估当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，则科技创新后该产品的成本价格应低于多少？

【分析】（1）由待定系数法可求销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间的函数关系式，将x＝60代入可求解，由利润＝（售价﹣成本价）×数量，可求解；

（2）由利润＝（售价﹣成本价）×数量，列出w与x的函数解析式，由二次函数的性质可求解；

（3）设科技创新后该产品的成本价格为a元，可得w＝（y﹣a）x＝﹣x2+（80﹣a）x，利用二次函数的性质列出不等式可求解．

【解答】解：（1）设销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间的函数关系式为：y＝kx+b， 由题意可得

，

解得：，

∴销售价格y（元/件）与销售量x（件）之间的函数关系式为：y＝﹣x+80， 当x＝60时，y＝﹣×60+80＝68（元）， ∴该产品的成本价格＝68﹣故答案为：68，40； （2）∵w＝（y﹣40）x，

∴w＝（﹣x+80﹣40）x＝﹣x2+40x＝﹣（x﹣100）2+2000， ∴当x＝100时，销售利润最大，最大值为2000元．

答：当销售量为100件时，销售利润最大，最大值是2000元； （3）设科技创新后该产品的成本价格为a元， ∵w＝（y﹣a）x＝﹣x2+（80﹣a）x，

∵当销售量在120件以上时，销售利润达到最大，

＝40（元），

∴﹣＞120，

∴a＜32，

答：科技创新后该产品的成本价格应低于32元．

20．（9分）如图，AB是半圆O的直径，AC是半圆内一条弦，点D是

的中点，DB交AC

于点G．过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M，连接AD．点E是AB上的一动点，DE与AC相交于点F． （1）求证：MD＝GD；

（2）填空：①当∠DEA＝ 90° 时，AF＝FG；

②若∠AGB的度数为120°，当∠DEA＝ 60° 时，四边形DEBC是菱形．

【分析】（1）由圆周角定理和切线的性质可得∠M+∠MAD＝∠MAD+∠BAD＝90°，可证AG＝AM，由等腰三角形的性质可得结论；

（2）①由直角三角形的性质可得AF＝FG＝DF，由等腰三角形的性质和余角的性质可求∠DEA＝90°；

②证得△AMG为等边三角形，得出∠ABM＝30°，由菱形的性质可得∠DBA＝∠DBC＝30°，DE∥BC，即可求解．

【解答】证明：（1）如图，连接BC，DC．

∵D是

的中点，

∴∠DAC＝∠ABD， ∵MA是半圆O的切线， ∴MA⊥AB，

∵AB是半圆O的直径，

∴AD⊥DB， ∴∠ADM＝90°，

∴∠M+∠MAD＝∠MAD+∠BAD＝90°，

∴∠M＝∠BAD＝∠DAC+∠BAG＝∠ABD+∠BAG＝∠AGD， ∴AG＝AM， ∵AD⊥MG， ∴MD＝GD；

（2）解：①若AF＝FG， ∵∠ADG＝90°， ∴AF＝FG＝DF， ∴∠DAF＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠ABD， ∵∠ADF+∠EDB＝90°， ∴∠ABD+∠EDB＝90°， ∴∠DEA＝90°， 故答案为：90°； ②∵∠AGB＝120°， ∴∠AGM＝60°， ∵AM＝AG，

∴△AMG为等边三角形， ∴∠M＝60°， ∴∠ABM＝30°， 若四边形DEBC是菱形，

∴∠DBA＝∠DBC＝30°，DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝30°+30°＝60°， 故答案为：60°．

21．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E．

（1）求抛物线的函数表达式

（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点．连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标．

【分析】（1）根据y＝﹣x+3，求出A，B的坐标，再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式；

（2）△BDE和△ACE相似，要分两种情况进行讨论：①△BDE∽△ACE，求得D（3）；②△DBE∽△ACE，求得D（

，

）；

），E

，

（3）由DEGF是平行四边形，可得DE∥FG，DE＝FG，设D（m，（m，

），F（n，

+

），G（n，

），根据平行四边形周长公式可

得：DEGF周长＝﹣2，由此可求得点G的坐标．

【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝4， ∴A（4，0），B（0，3），

将A（4，0），B（0，3）分别代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，得：

，解得：

，

∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+

x+3．

（2）存在．如图1，过点B作BH⊥CD于H，设C（t，0），则D（t，E（t，∴EC＝

），H（t，3）；

，AC＝4﹣t，BH＝t，DH＝﹣t2+

t，DE＝﹣t2+4t

），

∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC ∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE

①当△BDE∽△ACE时，∠BDE＝∠ACE＝90°， 此时BD∥AC，可得D（

，3）．

②当△DBE∽△ACE时，∠BDE＝∠CAE ∵BH⊥CD ∴∠BHD＝90°， ∴

＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝

）（﹣t2+

，即：BH•AC＝CE•DH

t），解得：t1＝0（舍），t2＝4（舍），t3＝

，

∴t（4﹣t）＝（∴D（

，

）；

综上所述，点D的坐标为（，3）或（，）；

（3）如图2，∵四边形DEGF是平行四边形 ∴DE∥FG，DE＝FG 设D（m，

），E（m，

），F（n，

），G（n，

），

则：DE＝﹣m2+4m，FG＝﹣n2+4n，

∴﹣m2+4m＝﹣n2+4n，即：（m﹣n）（m+n﹣4）＝0，∵m﹣n≠0 ∴m+n﹣4＝0，即：m+n＝4

过点G作GK⊥CD于K，则GK∥AC ∴∠EGK＝∠BAO ∴

＝cos∠EGK＝cos∠BAO＝

，即：GK•AB＝AO•EG

∴5（n﹣m）＝4EG，即：EG＝（n﹣m）

∴DEGF周长＝2（DE+EG）＝2[（﹣m2+4m）+（n﹣m）]＝﹣2∵﹣2＜0，

+

∴当m＝时，∴▱DEGF周长最大值＝∴G（

，

），

，

当E，G互换时，结论也成立，此时G（，）．

22．（10分）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

[数学理解]

（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝ 3 ．

②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是 （1，2） ．

（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．则该函数的图象上 不存在 点C（填是否存在），使d（O，C）＝3．

（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，则d（O，D）的最小值是 3 ，此时对应的点D的坐标是 （2，1） ． [问题解决]

（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

【分析】（1）①根据定义可求出d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②由两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|及点B是函数y＝﹣2x+4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B的坐标；

（2）由条件知x＞0，根据题意得x+＝3，整理得x2﹣3x+4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．

（3）根据条件可得|x|+|x2﹣5x+7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值； （4）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可由d（O，P）≥d（O，E）证明结论即可．

【解答】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3； ②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3， ∵0≤x≤2， ∴x+y＝3， ∴解得：

， ，

∴B（1，2），

故答案为：3，（1，2）；

（2）假设函数y＝（x＞0）的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，

根据题意，得|x﹣0|+|﹣0|＝3， ∵x＞0，

∴＞0，|x﹣0|+|﹣0|＝x+， ∴x+＝3， ∴x2+4＝3x， ∴x2﹣3x+4＝0， ∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0， ∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，

∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3． 故答案是：不存在；

（3）设D（x，y），

根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|， ∵x2﹣5x+7＝（x﹣）2+＞0， 又x≥0，

∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3， ∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）． 故答案是：3；（2，1）．

（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，

设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．

理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．

∵∠EFH＝45°，

∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF， 同理d（O，P）＝OG， ∵OG≥OF，

∴d（O，P）≥d（O，E）， ∴上述方案修建的道路最短．

23．（11分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现 ①当α＝0°时，②当α＝180°时，（2）拓展探究

试判断当0°＜α＜360°时，（3）问题解决

当△CDE绕点C逆时针旋转至A，B，E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．

的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

＝ ＝

； ；

【分析】（1）①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，可求AC的长；然后根据点

D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据 后由相似三角形的对应边成比例，可求解；

，可求＝

的值；

值；

，判断出△ECA∽△DCB，然

（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可． 【解答】解：（1）①当α＝0°时， ∵Rt△ABC中，∠B＝90°， ∴AC＝

＝

＝2

，

∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴AE＝AC＝∴

＝

； ；

，BD＝BC＝1，

故答案为：

②如图1﹣1中，

当α＝180°时， 可得AB∥DE， ∵∴

， ＝

． ；

故答案为：

（2）如图2，

当0°＜α＜360°时，∵∠ECD＝∠ACB， ∴∠ECA＝∠DCB， 又∵

＝

，

的大小没有变化，

∴△ECA∽△DCB， ∴

＝

，

（3）①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，

在Rt△BCE中，CE＝∴BE＝

＝

，BC＝2， ＝1，

∴AE＝AB+BE＝5， ∵

＝

， ＝

，

∴BD＝

②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，

在Rt△BCE中，CE＝

，BC＝2，

∴BE＝

∴AE＝4﹣1＝3， ∵

＝

， ，

＝＝1，

∴BD＝

综上所述，满足条件的BD的长为

或．