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河南省2020年中考数学试题(备用卷) 解析版

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河南省2020年中考数学试题(备用卷)

一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1.(3分)﹣2020的相反数是( ) A.

B.

C.2020

D.﹣2020

2.(3分)如图,该几何体是由4个大小相同的正方体组成,它的左视图是( )

A. B. C. D.

3.(3分)如图,∠1+∠2=180°,∠3=124°,则∠4的度数为( )

A.56°

B.46°

C.66°

D.124°

4.(3分)十九大报告指出,我国目前经济保持了中高速增长,在世界主要国家中名列前茅,国内生产总值从万亿元增长到80万亿元,稳居世界第二,其中80万亿用科学记数法表示为( ) A.8×1012

B.8×1013

C.8×1014

D.0.8×1013

5.(3分)在“交通安全”主题教育活动中,为了了解全省中学生对于交通安全知识的掌握情况,省教育部门计划开展调查,对于该调查的一些建议中,较为合理的是( ) A.应该采取全面调查

B.随机抽取某市部分中学生进行调查 C.随机抽取全省部分初一学生进行调查 D.在全省范围内随机抽取部分中学生进行调查

6.(3分)若点A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,1)在反比例函数y=的图象上,则( ) A.y1<1<y2

B.y1<y2<1

C.1<y2<y1

D.y2<y1<1

7.(3分)对于实数a,b,定义运算“*”如下:a*b=a2﹣ab,例如:3*2=32﹣3×2=3,则方程(x+1)*3=﹣2的根的情况是( ) A.没有实数根 C.有两个相等的实数根

B.只有一个实数根 D.有两个不相等的实数根

8.(3分)我省某市即将跨入高铁时代,钢轨铺设任务也将完成.现还有6000米的钢轨需要铺设,为确保年底通车,如果实际施工时每天比原计划多铺设20米,就能提前15天完成任务.设原计划每天铺设钢轨x米,则根据题意所列的方程是( ) A.C.

﹣﹣

=15 =20

B.D.

﹣﹣

=15 =20

9.(3分)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A的坐标为(3,3),点D是边BC的中点,现将正方形OABC绕点O顺时针旋转,每秒旋转45°,则第2019秒时,点D的坐标为( )

A.(

,﹣3

) B.(﹣3

,﹣

C.(﹣,﹣)

D.(,)

10.(3分)如图,在▱ABCD中,AB=3,AD=4,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心,大于BF的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则四边形ECDF的周长为( )

A.14

B.12

C.8

D.6

二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 11.(3分)请你写出一个大于1,且小于3的无理数是 . 12.(3分)已知关于x的不等式组的点A,则不等式组的解集为 .

13.(3分)如图,两个转盘中指针落在每个数字的机会均等.现在同时自由转动甲、乙两个转盘,转盘停止后,指针各自指向一个数字,用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率是 .

其中实数a在数轴上对应的点是如图表示

14.(3分)如图,有一张矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落在边AB上,点D落在点E处,折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折,AF与BC相交于点G,则△GCF的周长为 .

15.(3分)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=2,把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′,则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是 .

三、解答题(本大题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(8分)先化简,再求值:

÷(1+

),其中a=

+3.

17.(9分)良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用,荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食,而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食,只有荤食与素食适当搭配,才能强化初中生的身体素质.某校为了了解学生的体质健康状况,以便食堂为学生提供合理膳食,对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查,过程如下: 收集数据:

从七、八年级两个年级中各抽取15名学生,进行了体质健康测试,测试成绩(百分制)如下:

七年级:74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82 八年级:81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50 整理数据:

年级 七年级 八年级

x<60 0 1

60≤x<80

10 5

80≤x<90

4 8

90≤x≤100

1 1

(说明:90分及以上为优秀,80~90分(不含90分)为良好,60~80分(不含80分)为及格,60分以下为不及格) 分析数据:

年级 七年级 八年级

得出结论:

(1)根据上述数据,将表格补充完整;

(2)可以推断出 年级学生的体质健康状况更好一些,并说明理由; (3)若七年级共有300名学生,请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数. 18.(9分)如图,海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向,距离为25海里.在某时刻,哨所A与哨所B同时发现一走私船,其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上,位于哨

平均数 77.5

中位数 75 80

众数 75

所B南偏东37°的方向上.

(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离;

(2)若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截,求缉私艇的速度为多少时,恰好在D处成功拦截.(结果保留根号)

(参考数据:sin37°=cos53°≈,cos37°=sin53°≈,tan37°≈,tan76°≈4)

19.(9分)学校“科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品.试销发现:该电子产品的销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.已知销售60件电子产品所得利润为1680元.

(1)根据以上信息,填空:销售量为60件时的销售价格是 元/件,该产品的成本价格是 元/件;

(2)求销售利润w(元)关于销售量x(件)的函数解析式,当销售量为多少时,销售利润最大?最大值是多少?

(3)该社团继续开展科技创新,降低产品成本价格,预估当销售量在120件以上时,销售利润达到最大,则科技创新后该产品的成本价格应低于多少?

20.(9分)如图,AB是半圆O的直径,AC是半圆内一条弦,点D是

的中点,DB交AC

于点G.过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M,连接AD.点E是AB上的一动点,DE与AC相交于点F. (1)求证:MD=GD;

(2)填空:①当∠DEA= 时,AF=FG;

②若∠AGB的度数为120°,当∠DEA= 时,四边形DEBC是菱形.

21.(10分)如图1,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于B点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A,B两点,在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作DC⊥x轴于点C,交直线AB于点E. (1)求抛物线的函数表达式

(2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相似?若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;

(3)如图2,F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合),点G是线段AB上的动点.连接DF,FG,当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时,请直接写出点G的坐标.

22.(10分)城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直线行走到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两点A(x1,y1)和B(x2,y2),用以下方式定义两点间距离:d(A,B)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.

[数学理解]

(1)①已知点A(﹣2,1),则d(O,A)= .

②函数y=﹣2x+4(0≤x≤2)的图象如图①所示,B是图象上一点,d(O,B)=3,则点B的坐标是 .

(2)函数y=(x>0)的图象如图②所示.则该函数的图象上 点C(填是否存在),使d(O,C)=3.

(3)函数y=x2﹣5x+7(x≥0)的图象如图③所示,D是图象上一点,则d(O,D)的最小值是 ,此时对应的点D的坐标是 . [问题解决]

(4)某市要修建一条通往景观湖的道路,如图④,道路以M为起点,先沿MN方向到某处,再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边,如何修建能使道路最短?(要求:建立适当的平面直角坐标系,画出示意图并简要说明理由)

23.(11分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=2,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△CDE绕点C逆时针方向旋转,记旋转角为α. (1)问题发现 ①当α=0°时,②当α=180°时,(2)拓展探究

试判断当0°<α<360°时,(3)问题解决

当△CDE绕点C逆时针旋转至A,B,E三点在同一条直线上时,求线段BD的长.

的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明;

= ; = ;

参与试题解析

一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1.(3分)﹣2020的相反数是( ) A.

B.

C.2020

D.﹣2020

【分析】直接利用相反数的定义得出答案. 【解答】解:﹣2020的相反数是:2020. 故选:C.

2.(3分)如图,该几何体是由4个大小相同的正方体组成,它的左视图是( )

A. B. C. D.

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.

【解答】解:从左边看第一层是两个小正方形,第二层左边一个小正方形, 故选:D.

3.(3分)如图,∠1+∠2=180°,∠3=124°,则∠4的度数为( )

A.56°

B.46°

C.66°

D.124°

【分析】先求出∠1=∠5,根据平行线的判定求出a∥b,根据平行线的性质求出∠4=∠6,再求出∠6即可.

【解答】解:

∵∠2+∠5=180°,∠1+∠2=180°, ∴∠1=∠5, ∴a∥b, ∴∠4=∠6, ∵∠3=124°,

∴∠6=180°﹣∠3=56°, ∴∠4=56°, 故选:A.

4.(3分)十九大报告指出,我国目前经济保持了中高速增长,在世界主要国家中名列前茅,国内生产总值从万亿元增长到80万亿元,稳居世界第二,其中80万亿用科学记数法表示为( ) A.8×1012

B.8×1013

C.8×1014

D.0.8×1013

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 【解答】解:80万亿用科学记数法表示为8×1013. 故选:B.

5.(3分)在“交通安全”主题教育活动中,为了了解全省中学生对于交通安全知识的掌握情况,省教育部门计划开展调查,对于该调查的一些建议中,较为合理的是( ) A.应该采取全面调查

B.随机抽取某市部分中学生进行调查 C.随机抽取全省部分初一学生进行调查 D.在全省范围内随机抽取部分中学生进行调查 【分析】根据抽取的样本要有代表性进行判断.

【解答】解:在“交通安全”主题教育活动中,为了了解全省中学生对于生命安全知识

的掌握情况,省教育部门计划开展调查,

较为合理的是在全省范围内随机抽取部分中学生进行调查, 故选:D.

6.(3分)若点A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,1)在反比例函数y=的图象上,则( ) A.y1<1<y2

B.y1<y2<1

C.1<y2<y1

D.y2<y1<1

【分析】先根据C(2,1)求得k,即可判断出函数图象所在的象限,再根据点A、B、C横坐标的大小进行解答即可.

【解答】解:∵C(2,1)在反比例函数y=的图象上, ∴k=2×1=2,

∴反比例函数的图象的两个分支分别位于一三象限,且在每一象限内,y随x的增大而减小. ∵﹣2<0,

∴A(﹣2,y1)在第三象限, ∴y1<0. ∵2>1>0,

∴点B(1,y2),C(2,1)在第一象限. ∴y2>1, ∴y1<1<y2. 故选:A.

7.(3分)对于实数a,b,定义运算“*”如下:a*b=a2﹣ab,例如:3*2=32﹣3×2=3,则方程(x+1)*3=﹣2的根的情况是( ) A.没有实数根 C.有两个相等的实数根

B.只有一个实数根 D.有两个不相等的实数根

【分析】根据运算“*”的定义将方程(x+1)*3=﹣2转化为一般式,由根的判别式△=1>0,即可得出该方程有两个不相等的实数根. 【解答】解:∵(x+1)*3=﹣2,

∴(x+1)2﹣3(x+1)=﹣2,即x2﹣x=0, ∴△=(﹣1)2﹣4×1×0=1>0,

∴方程(x+1)*3=﹣2有两个不相等的实数根.

故选:D.

8.(3分)我省某市即将跨入高铁时代,钢轨铺设任务也将完成.现还有6000米的钢轨需要铺设,为确保年底通车,如果实际施工时每天比原计划多铺设20米,就能提前15天完成任务.设原计划每天铺设钢轨x米,则根据题意所列的方程是( ) A.C.

﹣﹣

=15 =20

B.D.

﹣﹣

=15 =20

【分析】设原计划每天铺设钢轨x米,则实际每天铺设钢轨(x+20)米,根据工作时间=工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前15天完成任务,即可得出关于x的分式方程,此题得解.

【解答】解:设原计划每天铺设钢轨x米,则实际每天铺设钢轨(x+20)米, 依题意,得:故选:A.

9.(3分)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A的坐标为(3,3),点D是边BC的中点,现将正方形OABC绕点O顺时针旋转,每秒旋转45°,则第2019秒时,点D的坐标为( )

=15.

A.(

,﹣3

) B.(﹣3

,﹣

C.(﹣,﹣)

D.(,)

【分析】根据正方形的性质,中点坐标公式分别求出前9秒时,D点的坐标,再根据规律求得结果.

【解答】解:∵A(3,3), ∴OA=3

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BAO=90°,OA=AB=BC=OC=3∴OB=∴B(6,0),

∵A点与C点关于OB对称, ∴C(3,﹣3), ∵D是BC的中点, ∴D(,﹣),

将正方形OABC绕点O顺时针旋转,每秒旋转45°,旋转1秒后,如图1,

则∴同理,

,, ,

由上可知,点D的坐标每8个为一组依次循环着, ∵2019÷8=252…3, ∴D2019与D3的坐标相同为故选:B.

10.(3分)如图,在▱ABCD中,AB=3,AD=4,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心,大于BF的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP

并延长交BC于点E,连接EF,则四边形ECDF的周长为( )

A.14

B.12

C.8

D.6

【分析】根据作图过程可得AB=AF,AE平分∠BAD,可以证明▱ABEF是菱形,进而可得四边形ECDF的周长. 【解答】解:根据作图过程可知: AB=AF,AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠EAF, 在▱ABCD中,BC∥AD, ∴∠BEA=∠EAF, ∴∠BAE=∠BEA, ∴BE=AF, ∵BC=AD, ∴EC=FD, ∵BC∥AD,

∴四边形AFEB和四边形ECDF是平行四边形, ∵AB=AF, ∴▱ABEF是菱形, ∴AB=AF=EF=BE=3, ∴CE=DF=4﹣3=1, CD=EF=3,

所以四边形ECDF的周长为:1+1+3+3=8. 故选:C.

二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 11.(3分)请你写出一个大于1,且小于3的无理数是 .

【分析】根据算术平方根的性质可以把1和3写成带根号的形式,再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可.

【解答】解:∵1=,3=,

∴写出一个大于1且小于3的无理数是故答案为

(本题答案不唯一).

12.(3分)已知关于x的不等式组

的点A,则不等式组的解集为 a<x<1 .

其中实数a在数轴上对应的点是如图表示

【分析】根据数轴可以得到a的正负情况,从而可以得到所求的不等式组的解集,本题得以解决.

【解答】解:由数轴可得, a<0, 由不等式组

得,a<x<1,

故原不等式组的解集是a<x<1, 故答案为:a<x<1.

13.(3分)如图,两个转盘中指针落在每个数字的机会均等.现在同时自由转动甲、乙两个转盘,转盘停止后,指针各自指向一个数字,用所指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率是

【分析】先用列表法得出所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率. 【解答】解:列表如下:

2 3

1 2 3

2 4 6

3 6 9

由表知,指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的有2种结果, ∴指的两个数字作乘法运算所得的积为奇数的概率为:=,

故答案为:.

14.(3分)如图,有一张矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落在边AB上,点D落在点E处,折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折,AF与BC相交于点G,则△GCF的周长为 4+2

【分析】根据折叠的性质得到∠DAF=∠BAF=45°,根据矩形的性质得到FC=ED=2,根据勾股定理求出GF,根据周长公式计算即可.

【解答】解:由折叠的性质可知,∠DAF=∠BAF=45°, ∴AE=AD=6, ∴EB=AB﹣AE=2,

由题意得,四边形EFCB为矩形, ∴FC=ED=2, ∵AB∥FC,

∴∠GFC=∠A=45°, ∴GC=FC=2, 由勾股定理得,GF=

=2

, ,

则△GCF的周长=GC+FC+GF=4+2故答案为:4+2

15.(3分)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=2,把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′,则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是

π .

【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°,AB=

AC=2

,再根据旋

转的性质得∠BAB′=∠CAC′=45°,则点B′、C、A共线,然后根据扇形门口计算,

利用线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积=S进行计算即可.

【解答】解:∵△ABC是等腰直角三角形, ∴∠BAC=45°,AB=

AC=2

扇形BAB′

﹣S

扇形CAC′

∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C, ∴∠BAB′=∠CAC′=45°, ∴点B′、C、A共线,

∴线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积=S扇形BAB′+S△AB′C﹣S扇形

CAC′﹣S△ABC

=S扇形BAB′﹣S扇形CAC′ ==π. 故答案为π.

三、解答题(本大题共8小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(8分)先化简,再求值:

÷(1+

),其中a=

+3.

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将a的值代入计算可得. 【解答】解:原式====当a=原式===

. , +3时,

֥

÷(

+

17.(9分)良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用,荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食,而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优

于荤食,只有荤食与素食适当搭配,才能强化初中生的身体素质.某校为了了解学生的体质健康状况,以便食堂为学生提供合理膳食,对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查,过程如下: 收集数据:

从七、八年级两个年级中各抽取15名学生,进行了体质健康测试,测试成绩(百分制)如下:

七年级:74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82 八年级:81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50 整理数据:

年级 七年级 八年级

x<60 0 1

60≤x<80

10 5

80≤x<90

4 8

90≤x≤100

1 1

(说明:90分及以上为优秀,80~90分(不含90分)为良好,60~80分(不含80分)为及格,60分以下为不及格) 分析数据:

年级 七年级 八年级

得出结论:

(1)根据上述数据,将表格补充完整;

(2)可以推断出 八 年级学生的体质健康状况更好一些,并说明理由; (3)若七年级共有300名学生,请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数. 【分析】(1)由平均数和众数的定义即可得出结果;

(2)从平均数、中位数以及众数的角度分析,即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些;

(3)由七年级总人数乘以优秀人数所占比例,即可得出结果. 【

:(

1

平均数 76.8 77.5

中位数 75 80

众数 75 81

(74+81+75+76+70+75+75+79+81+70+74+80+91+69+82)=76.8,

八年级的众数为81; 故答案为:76.8;81;

(2)八年级学生的体质健康状况更好一些;理由如下:

八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级,说明八年级学生的体质健康情况更好一些; 故答案为:八;

(3)若七年级共有300名学生,则七年级体质健康成绩优秀的学生人数=300×(人).

18.(9分)如图,海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向,距离为25海里.在某时刻,哨所A与哨所B同时发现一走私船,其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上,位于哨所B南偏东37°的方向上.

(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离;

(2)若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截,求缉私艇的速度为多少时,恰好在D处成功拦截.(结果保留根号)

(参考数据:sin37°=cos53°≈,cos37°=sin53°≈,tan37°≈,tan76°≈4)

=20

【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠ACB=90°,再解Rt△ABC,利用正弦函数定义得出AC即可;

(2)过点C作CM⊥AB于点M,易知,D、C、M在一条直线上.解Rt△AMC,求出CM、AM.解Rt△AMD中,求出DM、AD,得出CD.设缉私艇的速度为x海里/小时,根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程,解方程即可. 【解答】解:(1)在△ABC中,∠ACB=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣37°﹣53°=90°. 在Rt△ABC中,sinB=

∴AC=AB•sin37°=25×=15(海里).

答:观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里;

(2)过点C作CM⊥AB于点M,由题意易知,D、C、M在一条直线上. 在Rt△AMC中,CM=AC•sin∠CAM=15×=12, AM=AC•cos∠CAM=15×=9. 在Rt△AMD中,tan∠DAM=

∴DM=AM•tan76°=9×4=36, ∴AD=

=9

CD=DM﹣CM=36﹣12=24. 设缉私艇的速度为x海里/小时,则有解得x=6经检验,x=6

是原方程的解.

海里/小时时,恰好在D处成功拦截.

答:当缉私艇的速度为6

19.(9分)学校“科技创新”社团向市场推出一种新型电子产品.试销发现:该电子产品的销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.已知销售60件电子产品所得利润为1680元.

(1)根据以上信息,填空:销售量为60件时的销售价格是 68 元/件,该产品的成本价格是 40 元/件;

(2)求销售利润w(元)关于销售量x(件)的函数解析式,当销售量为多少时,销售利润最大?最大值是多少?

(3)该社团继续开展科技创新,降低产品成本价格,预估当销售量在120件以上时,销售利润达到最大,则科技创新后该产品的成本价格应低于多少?

【分析】(1)由待定系数法可求销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间的函数关系式,将x=60代入可求解,由利润=(售价﹣成本价)×数量,可求解;

(2)由利润=(售价﹣成本价)×数量,列出w与x的函数解析式,由二次函数的性质可求解;

(3)设科技创新后该产品的成本价格为a元,可得w=(y﹣a)x=﹣x2+(80﹣a)x,利用二次函数的性质列出不等式可求解.

【解答】解:(1)设销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间的函数关系式为:y=kx+b, 由题意可得

解得:,

∴销售价格y(元/件)与销售量x(件)之间的函数关系式为:y=﹣x+80, 当x=60时,y=﹣×60+80=68(元), ∴该产品的成本价格=68﹣故答案为:68,40; (2)∵w=(y﹣40)x,

∴w=(﹣x+80﹣40)x=﹣x2+40x=﹣(x﹣100)2+2000, ∴当x=100时,销售利润最大,最大值为2000元.

答:当销售量为100件时,销售利润最大,最大值是2000元; (3)设科技创新后该产品的成本价格为a元, ∵w=(y﹣a)x=﹣x2+(80﹣a)x,

∵当销售量在120件以上时,销售利润达到最大,

=40(元),

∴﹣>120,

∴a<32,

答:科技创新后该产品的成本价格应低于32元.

20.(9分)如图,AB是半圆O的直径,AC是半圆内一条弦,点D是

的中点,DB交AC

于点G.过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M,连接AD.点E是AB上的一动点,DE与AC相交于点F. (1)求证:MD=GD;

(2)填空:①当∠DEA= 90° 时,AF=FG;

②若∠AGB的度数为120°,当∠DEA= 60° 时,四边形DEBC是菱形.

【分析】(1)由圆周角定理和切线的性质可得∠M+∠MAD=∠MAD+∠BAD=90°,可证AG=AM,由等腰三角形的性质可得结论;

(2)①由直角三角形的性质可得AF=FG=DF,由等腰三角形的性质和余角的性质可求∠DEA=90°;

②证得△AMG为等边三角形,得出∠ABM=30°,由菱形的性质可得∠DBA=∠DBC=30°,DE∥BC,即可求解.

【解答】证明:(1)如图,连接BC,DC.

∵D是

的中点,

∴∠DAC=∠ABD, ∵MA是半圆O的切线, ∴MA⊥AB,

∵AB是半圆O的直径,

∴AD⊥DB, ∴∠ADM=90°,

∴∠M+∠MAD=∠MAD+∠BAD=90°,

∴∠M=∠BAD=∠DAC+∠BAG=∠ABD+∠BAG=∠AGD, ∴AG=AM, ∵AD⊥MG, ∴MD=GD;

(2)解:①若AF=FG, ∵∠ADG=90°, ∴AF=FG=DF, ∴∠DAF=∠ADF, ∴∠ADF=∠ABD, ∵∠ADF+∠EDB=90°, ∴∠ABD+∠EDB=90°, ∴∠DEA=90°, 故答案为:90°; ②∵∠AGB=120°, ∴∠AGM=60°, ∵AM=AG,

∴△AMG为等边三角形, ∴∠M=60°, ∴∠ABM=30°, 若四边形DEBC是菱形,

∴∠DBA=∠DBC=30°,DE∥BC, ∴∠AED=∠ABC=30°+30°=60°, 故答案为:60°.

21.(10分)如图1,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于B点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A,B两点,在第一象限的抛物线上取一点D,过点D作DC⊥x轴于点C,交直线AB于点E.

(1)求抛物线的函数表达式

(2)是否存在点D,使得△BDE和△ACE相似?若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;

(3)如图2,F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合),点G是线段AB上的动点.连接DF,FG,当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时,请直接写出点G的坐标.

【分析】(1)根据y=﹣x+3,求出A,B的坐标,再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式;

(2)△BDE和△ACE相似,要分两种情况进行讨论:①△BDE∽△ACE,求得D(3);②△DBE∽△ACE,求得D(

);

),E

(3)由DEGF是平行四边形,可得DE∥FG,DE=FG,设D(m,(m,

),F(n,

+

),G(n,

),根据平行四边形周长公式可

得:DEGF周长=﹣2,由此可求得点G的坐标.

【解答】解:(1)在y=﹣x+3中,令x=0,得y=3,令y=0,得x=4, ∴A(4,0),B(0,3),

将A(4,0),B(0,3)分别代入抛物线y=﹣x2+bx+c中,得:

,解得:

∴抛物线的函数表达式为:y=﹣x2+

x+3.

(2)存在.如图1,过点B作BH⊥CD于H,设C(t,0),则D(t,E(t,∴EC=

),H(t,3);

,AC=4﹣t,BH=t,DH=﹣t2+

t,DE=﹣t2+4t

),

∵△BDE和△ACE相似,∠BED=∠AEC ∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE

①当△BDE∽△ACE时,∠BDE=∠ACE=90°, 此时BD∥AC,可得D(

,3).

②当△DBE∽△ACE时,∠BDE=∠CAE ∵BH⊥CD ∴∠BHD=90°, ∴

=tan∠BDE=tan∠CAE=

)(﹣t2+

,即:BH•AC=CE•DH

t),解得:t1=0(舍),t2=4(舍),t3=

∴t(4﹣t)=(∴D(

);

综上所述,点D的坐标为(,3)或(,);

(3)如图2,∵四边形DEGF是平行四边形 ∴DE∥FG,DE=FG 设D(m,

),E(m,

),F(n,

),G(n,

),

则:DE=﹣m2+4m,FG=﹣n2+4n,

∴﹣m2+4m=﹣n2+4n,即:(m﹣n)(m+n﹣4)=0,∵m﹣n≠0 ∴m+n﹣4=0,即:m+n=4

过点G作GK⊥CD于K,则GK∥AC ∴∠EGK=∠BAO ∴

=cos∠EGK=cos∠BAO=

,即:GK•AB=AO•EG

∴5(n﹣m)=4EG,即:EG=(n﹣m)

∴DEGF周长=2(DE+EG)=2[(﹣m2+4m)+(n﹣m)]=﹣2∵﹣2<0,

+

∴当m=时,∴▱DEGF周长最大值=∴G(

),

当E,G互换时,结论也成立,此时G(,).

22.(10分)城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直线行走到达目的地,只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两点A(x1,y1)和B(x2,y2),用以下方式定义两点间距离:d(A,B)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.

[数学理解]

(1)①已知点A(﹣2,1),则d(O,A)= 3 .

②函数y=﹣2x+4(0≤x≤2)的图象如图①所示,B是图象上一点,d(O,B)=3,则点B的坐标是 (1,2) .

(2)函数y=(x>0)的图象如图②所示.则该函数的图象上 不存在 点C(填是否存在),使d(O,C)=3.

(3)函数y=x2﹣5x+7(x≥0)的图象如图③所示,D是图象上一点,则d(O,D)的最小值是 3 ,此时对应的点D的坐标是 (2,1) . [问题解决]

(4)某市要修建一条通往景观湖的道路,如图④,道路以M为起点,先沿MN方向到某处,再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边,如何修建能使道路最短?(要求:建立适当的平面直角坐标系,画出示意图并简要说明理由)

【分析】(1)①根据定义可求出d(O,A)=|0+2|+|0﹣1|=2+1=3;②由两点间距离:d(A,B)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|及点B是函数y=﹣2x+4的图象上的一点,可得出方程组,解方程组即可求出点B的坐标;

(2)由条件知x>0,根据题意得x+=3,整理得x2﹣3x+4=0,由△<0可证得该函数的图象上不存在点C,使d(O,C)=3.

(3)根据条件可得|x|+|x2﹣5x+7|,去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值; (4)以M为原点,MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,将函数y=﹣x的图象沿y轴正方向平移,直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止,设交点为E,过点E作EH⊥MN,垂足为H,修建方案是:先沿MN方向修建到H处,再沿HE方向修建到E处,可由d(O,P)≥d(O,E)证明结论即可.

【解答】解:(1)①由题意得:d(O,A)=|0+2|+|0﹣1|=2+1=3; ②设B(x,y),由定义两点间的距离可得:|0﹣x|+|0﹣y|=3, ∵0≤x≤2, ∴x+y=3, ∴解得:

, ,

∴B(1,2),

故答案为:3,(1,2);

(2)假设函数y=(x>0)的图象上存在点C(x,y)使d(O,C)=3,

根据题意,得|x﹣0|+|﹣0|=3, ∵x>0,

∴>0,|x﹣0|+|﹣0|=x+, ∴x+=3, ∴x2+4=3x, ∴x2﹣3x+4=0, ∴△=b2﹣4ac=﹣7<0, ∴方程x2﹣3x+4=0没有实数根,

∴该函数的图象上不存在点C,使d(O,C)=3. 故答案是:不存在;

(3)设D(x,y),

根据题意得,d(O,D)=|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|=|x|+|x2﹣5x+7|, ∵x2﹣5x+7=(x﹣)2+>0, 又x≥0,

∴d(O,D)=|x|+|x2﹣5x+7|=x+x2﹣5x+7=x2﹣4x+7=(x﹣2)2+3, ∴当x=2时,d(O,D)有最小值3,此时点D的坐标是(2,1). 故答案是:3;(2,1).

(4)如图,以M为原点,MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,将函数y=﹣x的图象沿y轴正方向平移,直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止,

设交点为E,过点E作EH⊥MN,垂足为H,修建方案是:先沿MN方向修建到H处,再沿HE方向修建到E处.

理由:设过点E的直线l1与x轴相交于点F.在景观湖边界所在曲线上任取一点P,过点P作直线l2∥l1,l2与x轴相交于点G.

∵∠EFH=45°,

∴EH=HF,d(O,E)=OH+EH=OF, 同理d(O,P)=OG, ∵OG≥OF,

∴d(O,P)≥d(O,E), ∴上述方案修建的道路最短.

23.(11分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=2,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接DE.将△CDE绕点C逆时针方向旋转,记旋转角为α. (1)问题发现 ①当α=0°时,②当α=180°时,(2)拓展探究

试判断当0°<α<360°时,(3)问题解决

当△CDE绕点C逆时针旋转至A,B,E三点在同一条直线上时,求线段BD的长.

的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明;

= =

; ;

【分析】(1)①当α=0°时,在Rt△ABC中,由勾股定理,可求AC的长;然后根据点

D、E分别是边BC、AC的中点,分别求出AE、BD的大小,即可求出的②α=180°时,可得AB∥DE,然后根据(2)首先判断出∠ECA=∠DCB,再根据 后由相似三角形的对应边成比例,可求解;

,可求=

的值;

值;

,判断出△ECA∽△DCB,然

(3)分两种情形:①如图3﹣1中,当点E在AB的延长线上时,②如图3﹣2中,当点E在线段AB上时,分别求解即可. 【解答】解:(1)①当α=0°时, ∵Rt△ABC中,∠B=90°, ∴AC=

=2

∵点D、E分别是边BC、AC的中点, ∴AE=AC=∴

; ;

,BD=BC=1,

故答案为:

②如图1﹣1中,

当α=180°时, 可得AB∥DE, ∵∴

, =

. ;

故答案为:

(2)如图2,

当0°<α<360°时,∵∠ECD=∠ACB, ∴∠ECA=∠DCB, 又∵

的大小没有变化,

∴△ECA∽△DCB, ∴

(3)①如图3﹣1中,当点E在AB的延长线上时,

在Rt△BCE中,CE=∴BE=

,BC=2, =1,

∴AE=AB+BE=5, ∵

, =

∴BD=

②如图3﹣2中,当点E在线段AB上时,

在Rt△BCE中,CE=

,BC=2,

∴BE=

∴AE=4﹣1=3, ∵

, ,

==1,

∴BD=

综上所述,满足条件的BD的长为

或.

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