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湖北省武汉市武昌区七校联考2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试卷(含解析)

来源:爱go旅游网
湖北省武汉市武昌区七校联考2023-2024学年九年级上学期月考

数学试卷(10月份)(解析版)

一、选择题(每小题3分,共30分)

1.(3分)一元二次方程x2﹣2x=0的解是(  )A.0

B.0或﹣2

C.﹣2

D.0或2

2.(3分)下列方程中有两个相等实数根的是(  )A.7x2﹣x﹣1=0C.x2+7x+15=0

B.9x2=4(3x﹣1)D.2x2﹣

x﹣2=0

3.(3分)点A(0,5),B(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点,则该抛物线的顶点可能是(  )A.(2,5)

B.(2,4)

C.(5,2)

D.(4,2)

4.(3分)抛物线y=(x+4)2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移过程正确的是(  )

A.先向左平移4个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移4个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移4个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移4个单位,再向上平移3个单位

5.(3分)某树主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目小分支,主干、支干和小分支总数共91.若设主干长出x个支干则可列方程是(  )A.(1+x)2=91

B.1+x+x2=91

C.(1+x)x=91

D.1+x+2x=91

6.(3分)已知a是方程x2﹣2x﹣1=0的一个根,则代数式2a2﹣4a﹣1的值为(  )A.1

B.﹣2

C.﹣2或1

D.2

7.(3分)函数y=﹣x2+2x+3,当﹣2≤x≤2时,y的最大值为m,则m+n=(  )A.3

B.﹣1

C.﹣2

D.1

8.(3分)函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(  )

A.B.

C.D.

9.(3分)二次函数y=x2+kx+2k﹣1与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x12+x22=7,则k=(  )A.5

B.﹣1

C.5或﹣1

D.﹣5或1

10.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,将BC绕点C顺时针旋转120°得到CD,则线段AD的长度的最小值是(  )

A.B.C.D.

二、填空题(每小题3分,共18分)

11.(3分)若方程x2﹣12x+5=0的两根为x1,x2,则x1+x2﹣x1x2的值为    .12.(3分)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0有一根为0,则m= 

 .

13.(3分)一个n边形有20条对角线,则n=   .14.(3分)已知抛物线值范围为  

 .

与直线y2=2x+2交于A,B两点.若y1>y2,则x的取

15.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),

对称轴为直线x=1

①若点(﹣3,y1),(2,y2),(4,y3)均在该二次函数图象上,则y1<y3<y2;②c=﹣9a﹣3b;

③若m为任意实数,则am2+bm+c≤﹣3a;

④方程ax2+bx+c+1=0的两实数根为x1,x2且x1<x2,则x1<﹣1,x2>3.正确结论为  

 .

16.(3分)已知点A(x1,y1)在直线y=3x+19上,点B(x2,y2),C(x3,y3)在抛物线y=x2+4x﹣1上,若y1=y2=y3且x1<x2<x3,S=x1+x2+x3,则s的取值范围是  

 .

三、解答题(共72分)17.(8分)解一元二次方程.(1)x2﹣2x﹣1=0;(2)x(x+4)=2x+8.

18.(8分)已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程两个实数根.

(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?(2)若

,求m的值.

19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k为何值,此方程总有一个根是定值;

(2)若直角三角形的一边为3,另两边恰好是这个方程的两根,求k的值.20.(8分)物理实验课小明做一个实验:

在一条笔直的滑道上有一个黑小球以一定的速度在A处开始向前滚动,并且均匀减速,测量黑球减速后的滚动速度vt(单位:cm/s)随滚动时间t(单位:s)变化的数据,整理得下表.

运动时间ts运动速度vcm/s

010

19.5

29

38.5

48

(1)小明探究发现,黑球的滚动速度vt与滚动时间t之间成一次函数关系,直接写出vt关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)  

 .

(2)求出滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式,并求出黑球滚动的最远距离.[提

示:本题中,距离s=平均速度,=(v0+vt),其中v0是开始时的速度,vt是t秒时的速度]

21.(8分)如图是由小正方形组成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,图中A、B、C都在格点上,画图过程用虚线表示.

(1)在图1中,画出格点C,使∠ABC=45°.(2)在图2中,在AC上画点E,使∠AEB=∠ABC.

(3)在图3中,点D是AB上一点,在AB的下方画∠ADF=

45°.

22.(10分)某酒店客房部有20套房间供游客居住,当每套房间的定价为每天120元时,房间可以住满.当每套房间每天的定价提高的幅度达10元及以上但不超过50元时,就会有一套房间空闲;当每套房间每天的定价提高幅度达50元以上时,就会有两套房间空闲.对有游客入住的房间,客房部需对每套房间每天支出20元的费用.设每套房间每天的定价增加x元(x为10的整数倍)(套).求:(1)当x=20元时,y= 

 套;当x=60元时,y=   套;

(2)求该某酒店每天的利润总额w(元)关于x(元)的函数关系式;

(3)已知该某酒店每天至少有14套房间有游客居住,要使该某酒店每天的利润总额w(元)最大

23.(10分)如图,菱形ABCD,∠ABC=120°.(1)若AB=6,则菱形ABCD的面积为  

 ;

(2)点E、F分别为菱形ABCD边DC、AB上一个动点,连AE、DF,且AE、DF交于点P,E、F在运动过程中,三角形ADP的面积与四边形GBFP的面积相等.①如图2,求证:AG=DF;

②如图3,O为AD的中点,连接OP、BP

24.(12分)抛物线y=﹣x2+bx+c(b,c为常数,b>0)经过点A(﹣1,0).(1)当b=2时,①求抛物线的顶点坐标;

②如图1,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,若点E的坐标为(1,0),∠POC+∠OCE=45°(2)如图2.点M(t,0)是x轴正半轴上的动点,点

在抛物线上,当

线

式.

参与试题解析

一、选择题(每小题3分,共30分)

1.(3分)一元二次方程x2﹣2x=0的解是(  )A.0

B.0或﹣2

C.﹣2

D.0或2

【分析】利用因式分解法求解即可.【解答】解:∵x2﹣2x=4,∴x(x﹣2)=0,则x=3或x﹣2=0,解得x6=0,x2=7,故选:D.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

2.(3分)下列方程中有两个相等实数根的是(  )A.7x2﹣x﹣1=0C.x2+7x+15=0

B.9x2=4(3x﹣1)D.2x2﹣

x﹣2=0

【分析】判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式Δ=b2﹣4ac的值的符号就可以了.有两个相等实数根的一元二次方程即判别式的值等于0的方程.【解答】解:A:Δ=12+7>0,故错误;

B:Δ=b2﹣3ac=(﹣12)2﹣4×7×4=0,正确;C:Δ=22﹣4×15<3,故错误;D:Δ=(

)2+2×2×2>6,故错误.

根据Δ=0⇔方程有两个相等的实数根得B是正确的.故选:B.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2﹣4ac:当Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0,方程没有实数根.

3.(3分)点A(0,5),B(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点,则该抛物线的顶点可能是(  )A.(2,5)

B.(2,4)

C.(5,2)

D.(4,2)

【分析】根据抛物线的对称性可知,已知两点关于对称轴对称,然后列式求出抛物线的对称轴即可.

【解答】解:∵点A(0,5),6)的纵坐标相等,∴点A(0,5),5)关于对称轴对称,∴对称轴为直线x=即直线x=2,

∵抛物线的顶点在对称轴上,∴顶点的纵坐标不等于2.故选:B.

【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,根据已知点的纵坐标相等得到关于对称轴对称是解题的关键.

4.(3分)抛物线y=(x+4)2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移过程正确的是(  )

A.先向左平移4个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移4个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移4个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移4个单位,再向上平移3个单位【分析】直接根据函数图象平移的法则进行解答即可.

【解答】解:由“左加右减”的原则可知,抛物线y=x2向左平移4个单位可得到抛物线y=(x+2)2,

由“上加下减”的原则可知,抛物线y=(x+4)4向下平移3个单位可得到抛物线y=(x+4)5﹣3,故选:B.

【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减”的原则是解答此题的关键.

5.(3分)某树主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目小分支,主干、支干和小分支总数共91.若设主干长出x个支干则可列方程是(  )A.(1+x)2=91

B.1+x+x2=91

C.(1+x)x=91

D.1+x+2x=91

=2,

【分析】根据题意,若设主干长出x个支干,则根据主干、支干和小分支总数共91,列

出方程即可.

【解答】解:设主干长出x个支干,则x个支干长出x2个小分支,根据题意,得1+x+x8=91,故选:B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,理解题意列出一元二次方程是解题的关键.

6.(3分)已知a是方程x2﹣2x﹣1=0的一个根,则代数式2a2﹣4a﹣1的值为(  )A.1

B.﹣2

C.﹣2或1

D.2

【分析】根据一元二次方程的解的定义,把x=a代入方程求出a2﹣2a的值,然后整体代入代数式进行计算即可得解.

【解答】解:∵a是方程x2﹣2x﹣3=0的一个根,∴a2﹣6a﹣1=0,整理得,a3﹣2a=1,

∴8a2﹣4a﹣3=2(a2﹣5a)﹣1=2×3﹣1=1.故选:A.

【点评】本题考查了一元二次方程的解,利用整体思想求出a2﹣2a的值,然后整体代入是解题的关键.

7.(3分)函数y=﹣x2+2x+3,当﹣2≤x≤2时,y的最大值为m,则m+n=(  )A.3

B.﹣1

C.﹣2

D.1

【分析】依据题意,将抛物线化成顶点式,再由抛物线的增减性可以判断得解.【解答】解:由题意,y=﹣x2+2x+2=﹣(x﹣1)2+6,∴对称轴x=1.

∵抛物线开口向下,1﹣(﹣7)=3,又当﹣2≤x≤6时

∴当x=﹣2时,y取最小值为﹣5;当x=6时,y最大值为4.∴m=4,n=﹣4.∴m+n=4﹣5=﹣7.

故选:B.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数的最值,解题时要熟练掌握并理解是关键.

8.(3分)函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(  )

A.B.

C.D.

【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误.

【解答】解:A、由一次函数y=ax+a的图象可得:a<02﹣7x+1的图象应该开口向下,故选项错误;

B、由一次函数y=ax+a的图象可得:a<08﹣2x+1的图象应该开口向下,故选项错误;C、由一次函数y=ax+a的图象可得:a>72﹣2x+2的图象应该开口向上,对称轴x=﹣,故选项正确;

D、由一次函数y=ax+a的图象可得:a<62﹣2x+7的对称轴x=﹣故选:C.

【点评】应该熟记一次函数y=ax+a在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质:开口方向、对称轴、顶点坐标等.

9.(3分)二次函数y=x2+kx+2k﹣1与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x12+x22=7,则k=(  )

<2.

A.5B.﹣1C.5或﹣1D.﹣5或1

【分析】利用根与系数的关系和代收式变形处理得到x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1•x2=k2﹣2(2k﹣1)=7,由此求得k的值,注意Δ>0.【解答】解:依题意得:x1+x2=﹣k,x4•x2=2k﹣4,∴x12+x52=(x1+x5)2﹣2x5•x2=k2﹣8(2k﹣1)=2,整理,得k2﹣4k﹣4=0,解得k1=﹣7,k2=5.又△=k5﹣4(2k﹣6)>0,∴k=﹣1.故选:B.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,抛物线于x轴的交点.解题时需要注意k的取值范围.

10.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,将BC绕点C顺时针旋转120°得到CD,则线段AD的长度的最小值是(  )

A.B.C.D.

【分析】在AC的上方作∠ACM=120°,且使 CM=CA,连接AM,DM.设AB=x,则AC=4﹣x=CM,根据ASA证明△BAC≌△DMC得出DM=BA=x,∠CMD=∠BAC=120°,得出∠AMD=90°,即可推出结论.

【解答】解:如图,在AC的上方作∠ACM=120°,连接AM.

设AB=x,则AC=4﹣x=CM,∴

∵将BC绕点C顺时针旋转120°得到CD,∴∠BCA+∠ACD=120,

又∵∠ACD+∠DCM=∠ACM=120°,∴∠ACB=∠DCM,∴△BAC≌△DMC(ASA),

∴DM=BA=x,∠CMD=∠BAC=120°.∴∠AMD=90°,

∴AD2=AM7+DM2=3(2﹣x)2+x2=7(x﹣3)2+12≥12,∵2<x<4,∴AD的最小值为故选:C.

【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正确作出辅助线是解题的关键.

二、填空题(每小题3分,共18分)

11.(3分)若方程x2﹣12x+5=0的两根为x1,x2,则x1+x2﹣x1x2的值为  7 .【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2=12,x1x2=5,然后利用整体代入的方法计算x1+x2﹣x1x2的值.

【解答】解:根据根与系数的关系得x1+x2=12,x3x2=5,所以x4+x2﹣x1x8=12﹣5=7.故答案为:7.

【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=.

12.(3分)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0有一根为0,则m= ﹣1 .【分析】根据一元二次方程的解的定义,将x=0代入原方程,列出关于m的方程,通过解关于m的方程即可求得m的值.

【解答】解:∵关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m8﹣1=0有一根为2,∴x=0满足关于x的一元二次方程(m﹣1)x5+x+m2﹣1=3,且m﹣1≠0,∴m4﹣1=0,即(m﹣7)(m+1)=0且m﹣2≠0,∴m+1=6,

解得,m=﹣1;故答案为:﹣1.

【点评】本题考查了一元二次方程的解.注意一元二次方程的二次项系数不为零.13.(3分)一个n边形有20条对角线,则n= 8 .【分析】利用多边形的对角线公式列得方程,解方程即可.【解答】解:由题意可得解得:n=8或n=﹣5(舍去),即n=8,故答案为:7.

【点评】本题考查多边形的对角线及解一元二次方程,结合已知条件列得正确的方程是解题的关键.14.(3分)已知抛物线值范围为  ﹣3<x<1 .

【分析】联立两个函数表达式求出A,B两点的坐标,观察函数的图象即可求解.【解答】解:联立两个函数表达式得故点A、B的坐标分别为(﹣3、(7,函数的图象如下:

,解得

与直线y2=2x+2交于A,B两点.若y1>y2,则x的取=20,

由函数的图象知,y1>y2时x的取值范围为﹣4<x<1,故答案为:﹣3<x<7.

【点评】本题考查二次函数与不等式(组),二次函数和一次函数的图象及性质;熟练掌握一次函数和二次函数的图象及性质,数形结合解题是关键.

15.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),对称轴为直线x=1

①若点(﹣3,y1),(2,y2),(4,y3)均在该二次函数图象上,则y1<y3<y2;②c=﹣9a﹣3b;

③若m为任意实数,则am2+bm+c≤﹣3a;

④方程ax2+bx+c+1=0的两实数根为x1,x2且x1<x2,则x1<﹣1,x2>3.正确结论为  ①②④ .

【分析】由抛物线经过(﹣10)可判断①,由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②,由x=1时y取最大值可判断③,由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标,从而判断④.【解答】解:∵a<0,∴抛物线开口向下,

∵点(﹣3,y4),y2),y3)均在该二次函数图象上,y2)到对称轴的距离最大,点(2,y2)到对称轴的距离最小,∴y2<y3<y2,①正确;

∵图象与x轴的一个交点坐标为(﹣4,0),∴图象与x轴的另一个交点坐标为(3,5),∴9a+3b+c=4,

∴c=﹣9a﹣3b,②正确;∵﹣

=1,

∴b=﹣2a,∵a﹣b+c=8,∴c=b﹣a=﹣3a,

∵抛物线的最大值为a+b+c,

∴m为任意实数,则am2+bm+c≤a+b+c,∴am8+bm+c≤﹣4a,∵a<0,

∴﹣6a>﹣3a,③错误;

∵方程ax2+bx+c+3=0的两实数根为x1,x3,∴抛物线与直线y=﹣1的交点的横坐标为:x1,x2,由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为(3.0),

∴抛物线与x轴交点坐标为(﹣8,0),0),∵抛物线开口向下,x3<x2,∴x1<﹣7,x2>3,④正确.故答案为:①②④.

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系,解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系.

16.(3分)已知点A(x1,y1)在直线y=3x+19上,点B(x2,y2),C(x3,y3)在抛物线y=x2+4x﹣1上,若y1=y2=y3且x1<x2<x3,S=x1+x2+x3,则s的取值范围是  ﹣12<s<﹣9 .

【分析】由y2=y3可知B,C两点关于抛物线的对称轴对称,进而得出x2+x3=﹣4,再求出x1的取值范围即可解决问题.【解答】解:由题知,因为y2=y3,

所以B,C两点关于抛物线的对称轴对称,则x8+x3=﹣4.

将直线解析式和抛物线解析式联立方程组得,

解得或.

因为y1=y2=y7且x1<x2<x2,所以点A只能在点N的左下方,又抛物线的顶点坐标是(﹣2,﹣5),

将y=﹣3代入y=3x+19得,x=﹣8,

所以﹣6<x1<﹣5.所以﹣12<x4+x2+x3<﹣7,即﹣12<s<﹣9.

故答案为:﹣12<s<﹣9.

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征,能够根据对称性求出x2+x3=﹣4是解题的关键.

三、解答题(共72分)17.(8分)解一元二次方程.(1)x2﹣2x﹣1=0;(2)x(x+4)=2x+8.

【分析】(1)利用配方法求解可得;(2)利用因式分解法求解可得.【解答】解:(1)∵x2﹣2x=7,∴x2﹣2x+6=1+1,即(x﹣4)2=2,则x﹣8=∴x1=4+

,,x2=5﹣

(2)∵x(x+4)﹣4(x+4)=0,∴(x+7)(x﹣2)=0,则x+5=0或x﹣2=2,解得x1=﹣4,x8=2.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

18.(8分)已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程两个实数根.

(1)当m为何值时,四边形ABCD是菱形?

(2)若,求m的值.

【分析】(1)由邻边相等的平行四边形为菱形,得出根的判别式等于0,求出m的值即可;

(2)根据根与系数的关系结合题意列出一元二次方程,解之取满足题意的值即可.【解答】解:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴当AB=AD时,平行四边形ABCD是菱形,∵AB、AD的长是关于x的方程∴Δ=(﹣m)6﹣4×1×(﹣)=2即m2﹣2m+2=0,解得:m1=m2=1,

∴当m=1时,四边形ABCD为菱形;(2)∵AB、AD的长是关于x的方程∴AB+AD=m,AB•AD=﹣,∵(AB﹣3)(AD﹣6)=

m2,

m7,

,,

∴AB•AD﹣5(AB+AD)+9=即﹣﹣3m+9=

m2,

整理得:m2+8m﹣7=0,解得:m4=﹣,m7=1,∵AB+AD=m>0,∴m=﹣不合题意,∴m的值为1.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用、菱形的判定、平行四边形的性质等知识,熟练掌握菱形的判定和根的判别式是解题的关键.

19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k为何值,此方程总有一个根是定值;

(2)若直角三角形的一边为3,另两边恰好是这个方程的两根,求k的值.

【分析】(1)对式子进行分解,从而可得到两个因式的积为0,从而可求解;(2)由根与系数的关系可得x1+x2=k+2,则分类进行讨论,从而可求解.【解答】(1)证明:∵x2﹣(k+2)x+8k=0,∴(x﹣2)(x﹣k)=5,

∴无论k为何值,此方程总有一个根是x=2.

(2)解:令方程的两根为:x1,x7,则有:x1+x2=k+7,若斜边为3,可令另两直角边分别为2和k.∴32+k2=22,k2=7,∵k>0.∴

若直角边为4,则令斜边为k.∴22+42=k2,∵k>7.∴

或k=

综上所述:

【点评】本题主要考查根与系数的关系,解答的关键是熟记根与系数的关系并灵活运用.

20.(8分)物理实验课小明做一个实验:

在一条笔直的滑道上有一个黑小球以一定的速度在A处开始向前滚动,并且均匀减速,测量黑球减速后的滚动速度vt(单位:cm/s)随滚动时间t(单位:s)变化的数据,整理得下表.

运动时间ts运动速度vcm/s

010

19.5

29

38.5

48

(1)小明探究发现,黑球的滚动速度vt与滚动时间t之间成一次函数关系,直接写出vt关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)  vt=﹣t+10 .

(2)求出滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式,并求出黑球滚动的最远距离.[提示:本题中,距离s=平均速度,=(v0+vt),其中v0是开始时的速度,vt是t秒时的速度]

【分析】(1)设vt关于t的函数解析式为vt=at+b,由表中数据得出二元一次方程组,求出a、b的值即可;

(2)先求出=(v0+vt)=﹣t+10,再求出s=•t求出s=﹣t2+10t=﹣(t﹣20)2+100,然后由二次函数的性质即可得出答案.【解答】解:(1)设vt关于t的函数解析式为:vt=at+b,由题意得:

解得:,

∴vt关于t的函数解析式为:vt=﹣t+10,故答案为:vt=﹣t+10;(2)∵=(v3+vt)=(10﹣∴s=•t=(﹣

t+10,

t2+10t=﹣(t﹣20)2+100,

当t=20时,s有最大值为100,

答:滚动的距离s关于滚动的时间t的函数解析式为s=﹣t2+10t,黑球滚动的最远距离为100cm.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、二次函数的应用等知识,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.

21.(8分)如图是由小正方形组成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,图中A、B、C都在格点上,画图过程用虚线表示.

(1)在图1中,画出格点C,使∠ABC=45°.(2)在图2中,在AC上画点E,使∠AEB=∠ABC.

(3)在图3中,点D是AB上一点,在AB的下方画∠ADF=

45°.

【分析】(1)关注等腰直角三角形ABC即可;

(2)构造等腰直角三角形ABJ,BJ交AC一点E,点E即为所求;

(3)构造等腰直角三角形ABK,取格点P,Q,连接PQ交BK于点T,可得BK的中点T,连接AT,连接DK交AT于点O,连接BO,延长BO交AK一点F,连接DF,∠ADF即为所求(由SSS证明△AOK≌△AOB,再根据ASA证明△FOK≌△DOB,推出FK=BD,AF=AD,可得∠ADF=45°).

【解答】解:(1)如图1中,点C即为所求;(2)如图2中,点E即为所求;(3)如图5中,∠ADF即为所求.

【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图,等腰直角三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,学会利用数形结合的思想解决问题.

22.(10分)某酒店客房部有20套房间供游客居住,当每套房间的定价为每天120元时,房间可以住满.当每套房间每天的定价提高的幅度达10元及以上但不超过50元时,就会有一套房间空闲;当每套房间每天的定价提高幅度达50元以上时,就会有两套房间空闲.对有游客入住的房间,客房部需对每套房间每天支出20元的费用.设每套房间每天的定价增加x元(x为10的整数倍)(套).求:

(1)当x=20元时,y= 18 套;当x=60元时,y= 8 套;(2)求该某酒店每天的利润总额w(元)关于x(元)的函数关系式;

(3)已知该某酒店每天至少有14套房间有游客居住,要使该某酒店每天的利润总额w(元)最大

【分析】(1)当每套房间每天的定价提高的幅度达10元及以上但不超过50元时,每增

加10元,就会有一套房间空闲,则y=20﹣;当每套房间每天的定价提高幅度达50

元以上时,每增加10元,就会有两套房间空闲,则y=20﹣x根据题意分别代即可;(2)分两种情况:当10≤x≤50时,得W=﹣x2+5x+2500;

(3)分两种情况:当10≤x≤50时,得W=﹣

x2+10x+2000,当50<x<125时,W=﹣x2+10x+2000,当50<x<125时,W=﹣

x2+5x+2500,分别将两种情况下的函数配方为顶点式,结合x的取值范围以及函数的增减性找到合乎条件的利润最大值.【解答】解:(1)根据题意可知:当10≤x≤50时,y=20﹣则x=20时,y=20﹣

当50<x<125时,y=20﹣x,则x=60时,y=20﹣故答案为:18;8;

(2)根据x为10的整数倍,

当10≤x≤50时,且x为10的整数倍,W=(120﹣20+x)(20﹣

)=﹣

x3+10x+2000,

当50<x<125时,且x为10的整数倍,

(x为10的整数倍);

(3)①当10≤x≤50且x为10的整数倍时,

∵a<0,对称轴为直线x=50,

∴抛物线在对称轴的左侧w随x的增大而增大,∴当x=50时,w有最大值,此时定价为170元;

②当50<x<125且x为10的整数倍时,

∵y≥14,即≥14,

∴x≤55,此种情况没有符合条件的x存在,

综上所述:当每套房价定为170元时,酒店每天的利润总额最大.

【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合应用,理解题意,搞清楚数量关系是解决问题的关键,属于中考压轴题.

23.(10分)如图,菱形ABCD,∠ABC=120°.(1)若AB=6,则菱形ABCD的面积为  18

 ;

(2)点E、F分别为菱形ABCD边DC、AB上一个动点,连AE、DF,且AE、DF交于点P,E、F在运动过程中,三角形ADP的面积与四边形GBFP的面积相等.①如图2,求证:AG=DF;

②如图3,O为AD的中点,连接OP、BP

【分析】(1)过D作DE⊥AB于E,则∠A=60°,∠ADE=30°,AE=AD=1,在Rt△ADE中,由勾股定理求DE的值,根据S菱形ABCD=AB×DE,计算求解即可;(2)①作FQ⊥AD于Q,GH⊥AB于H.证明△QAF≌△HBG(AAS),由全等三角形的性质得出FA=GB,证明△DAF≌△ABG(SAS),由全等三角形的性质得出AG=DF;②证出∠APD=120°,作∠PAM=60°交DF于M.证明△PAM为正三角形,得出∠AMP=60°,PM=PA,证明△DAP≌△BAM(SAS),由全等三角形的性质得出DP=MB,∠APD=∠AMB=120°,延长PO至N.使ON=OP,证明△PAN≌△PMB(SAS),由全等三角形的性质得出结论.

【解答】(1)解:如图,过D作DE⊥AB于E,

由菱形的性质可得,∠A=60°,∴∠ADE=30°,∴AE=AD=2,

在Rt△ADE中,由勾股定理得DE=∴S菱形ABCD=AB×DE=6×故答案为:18

=18

(2)①证明:作FQ⊥AD于Q,GH⊥AB于H.

∵菱形ABCD,∠ABC=120°,

∴AD=AB=DB.∠DAB=∠ABD=∠ADB=60°,∵三角形ADP的面积与四边形GBFP的面积相等,∴S△ADF=S△BAG,∵AB=AD,∴GH=FQ,

∴△QAF≌△HBG(AAS),∴FA=GB,

∴△DAF≌△ABG(SAS),∴AG=DF;

②证明:∵△DAF≌△ABG,∴∠ADF=∠BAP,

∴∠APF=∠ADP+∠DAP=∠DAP+∠PAB=60°,∴∠APD=120°,

作∠PAM=60°交DF于M.∴△PAM为正三角形,∴∠AMP=60°,PM=PA,∴△DAP≌△BAM(SAS),

∴DP=MB,∠APD=∠AMB=120°,∴∠PMB=60°,

延长PO至N.使ON=OP,∵OA=OD.

∴四边形NAPD是平行四边形

∴DP=AN=BM,∠NAP=60°=∠BMP,∴△PAN≌△PMB(SAS),∴PB=PN=2OP.

【点评】本题是四边形综合题,考查了菱形的性质,直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等边三角形的判定与性质,熟练掌握菱形的性质是解题的关键.

24.(12分)抛物线y=﹣x2+bx+c(b,c为常数,b>0)经过点A(﹣1,0).(1)当b=2时,①求抛物线的顶点坐标;

②如图1,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,若点E的坐标为(1,0),∠POC+∠OCE=45°(2)如图2.点M(t,0)是x轴正半轴上的动点,点

在抛物线上,当

线

式.

【分析】(1)①当b=2 时,y=﹣x2+2x+c,把A(﹣1,0)代入可c=3,抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,即得抛物线的顶点坐标为(1,4);

②过点C作 CF∥OP,过点E作 EF⊥CE,交CF于点F,过点F作 FH⊥x轴于点H,证明△COE≌△EHF(AAS),可得FH=OE=1,EH=CO=3,F(﹣2.﹣1),即知直线CF的解析式为 y=2x+3,直线OP的解析式为y=2x,联立2

);

可得P(

(2)过点A(﹣1,0)作直线l:y=﹣x﹣1,过点M作MH⊥直线l于点H,过点Q作QN⊥直线l于N,交x轴于点T,过Q作QG∥直线l交x轴于G,过A作AK⊥QG于K,可得AM=+2QM的最小值为

,得AG=

AK=MH,

AM+2QM=,有2QN=,G(

×

MH+2QM=2(MH+QM),而

,即Q到直线l的距离为

,把A(﹣

,QN=

,0),故直线QG解析式为y=﹣x+

1,0)代入y=﹣x2+bx+c可得y=﹣x2+bx+b+1,把

可得Q(b+,b+),把Q(b+,b+)代入y=﹣x+析式为y=﹣x2+4x+5.

【解答】解:(1)①当b=2 时,y=﹣x2+6x+c,

代入y=﹣x2+bx+b+1得b=4,从而抛物线解

把A(﹣1,0)代入y=﹣x8+2x+c得:0=﹣(﹣3)2+2×(﹣5)+c,解得c=3,

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)8+4,∴抛物线的顶点坐标为(1,6);

②过点C作 CF∥OP,过点E作 EF⊥CE,过点F作 FH⊥x轴于点H

∴∠POC=∠FCO,∵∠POC+∠OCE=45°,

∴∠FCO+∠OCE=45°,即∠FCE=45°,∴△FCE为等腰直角三角形,∴CE=EF,

∵∠CEO=90°﹣∠HEF=∠HFE,∠COE=∠FHE=90°,∴△COE≌△EHF(AAS),

在y=﹣x2+2x+8中,令x=0得y=3,∴C(6,3),∵E(1,2),

∴FH=OE=1,EH=CO=3,∴F(﹣6.﹣1),

由C(0,4),﹣1)可得直线CF的解析式为 y=2x+3,∵CF∥OP,

∴直线OP的解析式为y=2x,联立

解得或,

∵点P为第一象限内抛物线上的一点,∴P(

,2

);

(2)过点A(﹣6,0)作直线l:y=﹣x﹣1,过点Q作QN⊥直线l于N,过Q作QG∥直线

l交x轴于G,如图:

∵直线l为y=﹣x﹣2,MH⊥直线l,∴△AMH是等腰直角三角形,∴AM=∴

MH,

×

AM+8QM=

由垂线段最短可得,MH+QM最小值为QN的长度,∵

+2QM的最小值为

,即Q到直线l的距离为

∴2QN=∴QN=

∵QG∥直线l,∴AK=QN=

∵∠KAG=∠KAH﹣∠MAH=45°,∴△KAG是等腰直角三角形,∴AG=

AK=

,,

∴OG=AG﹣OA=∴G(

,0),

设直线QG解析式为y=﹣x+m,

把G(解得m=

,0)代入得:0=﹣,

∴直线QG解析式为y=﹣x+,

把A(﹣6,0)代入y=﹣x2+bx+c得:﹣3﹣b+c=0,∴c=b+1,∴y=﹣x2+bx+b+1,把

代入y=﹣x2+bx+b+1得:

yQ=﹣(b+)2+b(b+)+b+1=∴Q(b+,b+),把Q(b+,b+b+=﹣(b+解得b=2,∴c=b+1=5,

∴抛物线解析式为y=﹣x8+4x+5.

得:,

【点评】本题考查二次函数综合应用,涉及待定系数法,等腰直角三角形性质及应用,全等三角形判定与性质等知识,解题的关键是作辅助线,构造直角三角形解决问题.

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