灵寿县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

灵寿县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（ax+1）≤f（x﹣2）对任意都

成立，则实数a的取值范围为（ ）

A．[﹣2，0] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣5，1] D．[﹣2，1）

2． 设f(x)是偶函数，且在(0,)上是增函数，又f(5)0，则使f(x)0的的取值范围是（ ） A．5x0或x5 B．x5或x5 C．5x5 D．x5或0x53． 已知△ABC是锐角三角形，则点P（cosC﹣sinA，sinA﹣cosB）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

xy204． 已知变量x,y满足约束条件x1，则y的取值范围是（ ）

xy70xA．[9,6] B．(,955][6,) C．(,3][6,) D．[3,6]

5． 已知函数y=x3+ax2+（a+6）x﹣1有极大值和极小值，则a的取值范围是（ ）

A．﹣1＜a＜2 B．﹣3＜a＜6

C．a＜﹣3或a＞6

D．a＜﹣1或a＞2

6． 函数y=|a|x﹣

（a≠0且a≠1）的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

7． 下列判断正确的是（ ）

A．①不是棱柱 B．②是圆台C．③是棱锥D．④是棱台

8． 用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除

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）精选高中模拟试卷

9． 某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）

A． =0.7x+0.35 B． =0.7x+1 C． =0.7x+2.05 D． =0.7x+0.45

10．在△ABC中，AB边上的中线CO=2，若动点P满足=（sin2θ）+（cos2θ）（θ∈R），则（•

的最小值是（ ）

+）

A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0

11．已知集合A，B，C中，A⊆B，A⊆C，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A的子集最多有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

12．若函数f(x)4x2kx8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是（ ） A．,4064, B．[40,64] C．,40 D．64,

二、填空题

13．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期为T的周期数列．已知数列{an}满足：a1＞=m （m＞a ），an+1=

，现给出以下三个命题：

①若 m=，则a5=2；

②若 a3=3，则m可以取3个不同的值； ③若 m=

，则数列{an}是周期为5的周期数列．

其中正确命题的序号是 ．

14．设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），则z的模为 ． 16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为在此半球面上，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为 ． 17．设x，y满足约束条件

，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是 ．

15．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若6a=4b=3c，则cosB= ．

的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都

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18．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．

三、解答题

19．【南通中学2018届高三10月月考】设，线

在点

（Ⅱ）求证：函数（Ⅲ）若

20．求下列曲线的标准方程： （1）与椭圆

+

处的切线方程为

存在极小值； ，使得不等式

成立，求实数的取值范围.

.

（Ⅰ）求实数、的值；

，函数

，其中是自然对数的底数，曲

=1有相同的焦点，直线y=x为一条渐近线．求双曲线C的方程．

（2）焦点在直线3x﹣4y﹣12=0 的抛物线的标准方程．

21．A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若B⊆A，求a．

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22．十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市政府部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”．为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15，75）的市民进行问卷调查，随机抽查了50人，并将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） 6 10 12 12 5 5 频数 赞成人数 3 6 10 6 4 3 （1）请估计红星路小区年龄在[15，75）的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调查者的年龄平均值； （2）若从年龄在[55，65）、[65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

23．已知an是等差数列，bn是等比数列，Sn为数列an的前项和，a1b11，且b3S336，

b2S28（nN*）．

（1）求an和bn； （2）若anan1，求数列

1的前项和Tn．

anan12x2y224．已知椭圆C:221ab0的左右焦点分别为F1,F2，椭圆C过点P1,2，直线PF1 ab第 4 页，共 16 页

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交y轴于Q，且PF22QO,O为坐标原点． （1）求椭圆C的方程；

（2）设M是椭圆C上的顶点，过点M分别作出直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设这两条直线的斜率 分别为k1,k2，且k1k22，证明：直线AB过定点．

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灵寿县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数， 则f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，

则f（x﹣2）在区间[，1]上的最小值为f（﹣1）=f（1） 若f（ax+1）≤f（x﹣2）对任意当

则﹣2≤a≤0 故选A

2． 【答案】B

都成立，

时，﹣1≤ax+1≤1，即﹣2≤ax≤0恒成立

考

点：函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y轴对称，单调性在y轴两侧相反，即在x0时单调递增，当x0时，函数单调递减.结合f(5)0和对称性，可知f(5)0，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1 3． 【答案】B

【解析】解：∵△ABC是锐角三角形， ∴A+B＞∴A＞

， ﹣B，

﹣B）=cosB，

∴sinA＞sin（

∴sinA﹣cosB＞0， 同理可得sinA﹣cosC＞0， ∴点P在第二象限．

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故选：B

4． 【答案】A 【解析】

B(1,6)，试题分析：作出可行域，如图ABC内部（含边界），表示点(x,y)与原点连线的斜率，易得A(,)，

yx5922kOA99y692，kOB6，所以6．故选A． 555x12

考点：简单的线性规划的非线性应用．

5． 【答案】C

32

【解析】解：由于f（x）=x+ax+（a+6）x﹣1，

2

有f′（x）=3x+2ax+（a+6）．

若f（x）有极大值和极小值，

2

则△=4a﹣12（a+6）＞0，

从而有a＞6或a＜﹣3， 故选：C．

【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．

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6． 【答案】D

【解析】解：当|a|＞1时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣当|a|＜1时且a≠0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣故选：D．

7． 【答案】C

【解析】解：①是底面为梯形的棱柱； ②的两个底面不平行，不是圆台； ③是四棱锥； ④不是由棱锥截来的，

故选：C．

8． 【答案】B

【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．

命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．

故应选B．

【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．

9． 【答案】A

【解析】解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得， =4.5， =3.5． 因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35． 故选A．

），因为0＜1﹣），因为1﹣

＜1，故排除A，B

＜0，故排除C．

【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．

10．【答案】 C 【解析】解：∵∴即可得

=（sin2θ）+（cos2θ）﹣

），

+（cos2θ）=

（θ∈R），

﹣

），

22

且sinθ+cosθ=1，

=（1﹣cos2θ）﹣

=cos2θ•（

，

=cos2θ•

+cos2θ•（

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2

又∵cosθ∈[0，1]，∴P在线段OC上，

由于AB边上的中线CO=2， 因此（可得（故选C．

【点评】本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．

11．【答案】B

【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A⊆B，A⊆C； ∴A⊆B∩C={0，2}

∴集合A可能为{0，2}，即最多有2个元素， 故最多有4个子集． 故选：B．

12．【答案】A 【解析】

试题分析：根据fx4xkx8可知，函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为x2++

）•）•

=2 +

•）•

，设||=t，t∈[0，2]，

=﹣2t（2﹣t）=2t2﹣4t=2（t﹣1）2﹣2，

的最小值等于﹣2．

∴当t=1时，（

k，所以若函数fx8在区间5,8上为单调函数，则应满足：

kk5或8，所以k40或k64。故选A。 88考点：二次函数的图象及性质（单调性）。

二、填空题

13．【答案】 ①② ．

【解析】解：对于①由an+1=所以，

＞1，

，

，且a1=m=＜1，

，∴a5=2 故①正确；

对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m． 若

，则

．

若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意．

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所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个． 故②正确； 若a1=m=故在a1=

＞1，则a2=

，所a3=

＞1，a4=

时，数列{an}是周期为3的周期数列，③错；

故答案为：①②

【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目

14．【答案】 2 ．

【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位）， ∴z=

，∴|z|=

．

=

=2，

=

=

．

故答案为：2． 模，属于基础题．

15．【答案】

【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的

【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c ∴b=

，c=2a，

由余弦定理可得cosB=故答案为：

．

【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．

16．【答案】 2 ．

【解析】解：如图所示， 连接A1C1，B1D1，相交于点O． 则点O为球心，OA=

．

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设正方体的边长为x，则A1O=

x．

+x2=

，

在Rt△OAA1中，由勾股定理可得：解得x=

．

∴正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V=故答案为：2

．

=2．

17．【答案】 ﹣6 ．

【解析】解：由约束条件

，得可行域如图，

使目标函数z=2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4）， ∴目标函数z=2x﹣3y的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6．

故答案为：﹣6．

18．【答案】 50π ．

【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，

所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：， 所以球的半径为：

；则这个球的表面积是：

=50π．

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故答案为：50π．

【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．

三、解答题

19．【答案】（Ⅰ）【解析】试题分析：

（Ⅰ）利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得在极小值；

；

（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存

；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）

.

试题解析： （Ⅰ）∵（Ⅱ）由（Ⅰ）得是增函数，∵

，结合函数 ∴函数（Ⅲ）（*），令则

存在极小值

；

成立，即

，

，使得不等式

递减 在 极小值 ，

，∴

，由题设得，∴

，且函数

是增函数有： 递增 ） ，∴

图像在

，∴

； ，∴函数上不间断，∴

在，使得

，使得不等式

，，

成立……

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∴结合（Ⅱ）得即∴

，∴，

，，∴

在

，∴

，其中，满足，

，

内单调递增，

∴

结合（*）有20．【答案】

+

，

，即实数的取值范围为

=1，得a2=8，b2=4，

，

为一条渐近线的双

．

【解析】解：（1）由椭圆

222

∴c=a﹣b=4，则焦点坐标为F（2，0），

∵直线y=x为双曲线的一条渐近线，

（λ＞0），

∴设双曲线方程为即

，则λ+3λ=4，λ=1．

；

∴双曲线方程为：（2）由3x﹣4y﹣12=0，得

∴直线在两坐标轴上的截距分别为（4，0），（0，﹣3）， ∴分别以（4，0），（0，﹣3）为焦点的抛物线方程为： y2=16x或x2=﹣12y．

【点评】本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，对于（1）的求解，设出以直线曲线方程是关键，是中档题．

21．【答案】 ∵B⊆A，

∴（1）B=∅时，a=0 （2）当B={1}时，a=2 （3））当B={2}时，a=1

2

【解析】解：解：集合A={x|x﹣3x+2=0}={1，2}

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故a值为：2或1或0．

22．【答案】

【解析】（1）解：赞成率为

，

被调查者的平均年龄为20×0.12+30×0.2+40×0.24+50×0.24+60×0.1+70×0.1=43 （2）解：由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，

，

，

，

，

∴ξ的分布列为：

0 ξ P ∴

1 ．

2 3 【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．

23．【答案】（1）an2n1，bn2n1或an【解析】

1n(52n)，bn6n1；（2）. 32n1第 14 页，共 16 页

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试题解析：（1）设an的公差为d，bn的公比为，

2q2(33d)36,d2,d,由题意得解得或3

q2,q6.q(2d)8,1∴an2n1，bn2n1或an(52n)，bn6n1．

3（2）若anan+1，由（1）知an2n1，

11111∴()， anan1(2n1)(2n1)22n12n1111111n)∴Tn(1…．

23352n12n12n1考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用.

x2y21；（2）证明见解析. 24．【答案】（1）2【解析】

试

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题解析：

c1， （1）PF22QO，∴PF2F1F2，∴

11222221,abcb1， 22ab∴b21,a22，

x2y21； 即2（2）设AB方程为ykxb代入椭圆方程

2kb1222xx,xAxB，kx2kbxb10AB12k22y1y1y1yB1，∴kMAkMBAkMAA,kMBBxAxBxAxBb21，

12k2yAxBxAyBxAxB∴kb1代入ykxb得：ykxk1所以， 直线必过1,1．1 考点：直线与圆锥曲线位置关系．

xAxB2，

【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

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