广灵县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ A．24

B．18

C．48

D．36）种.

【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．2． 若复数z=2﹣i （ i为虚数单位），则A．4+2iB．20+10i

C．4﹣2iD．

）

D．2048

=（

）

3． 执行下面的程序框图，若输入x2016，则输出的结果为（ A．2015

B．2016

C．2116

4． 以过椭圆A．相交5． 已知a=

+=1（a＞b＞0）的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系是（ B．相切

C．相离

D．不能确定

）

）

，b=20.5，c=0.50.2，则a，b，c三者的大小关系是（

2A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．a＞b＞cD．c＞b＞a

6． 设曲线f(x)x1在点(x,f(x))处的切线的斜率为g(x)，则函数yg(x)cosx的部分图象可以为（

）

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A． B．

xC. D．

7． 已知命题p:f(x)a(a0且a1)是单调增函数；命题q:x(则下列命题为真命题的是（ A．pq

）

B．pq

54,4)，sinxcosx.

C. pq D．pq8． 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a＝6 102，b＝2 016时，输出的a为（

）

A．6B．9C．12D．18

9． 如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（

）

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A．　

B．C．D．

11ann，则此数列的第4项是（ ）2213A．1 B． C.

24S11．设公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn，若a42(a2a3)，则7（ ）

a4714 A． B． C．7 D．14

45【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n项和，意在考查运算求解能力.

10．已知数列{an}的首项为a11，且满足an112．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A．60°B．120°C．150°D．60°或120°　

﹣

+1=0，则角B的度数是（

D．

58）

二、填空题

13．已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是　　　　　　．（填上所有正确结论的序号）

①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；

②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点；③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点；④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；

⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．

14．将一张坐标纸折叠一次，使点0,2与点4,0重合，且点7,3与点m,n重合，则mn的值是 ．值等于　　　　　　．15．已知角α终边上一点为P（﹣1，2），则　

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16．设实数x，y满足，向量=（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，则实数m的最大值为　　　　．　

217．不等式axa1x10恒成立，则实数的值是__________.18．△ABC外接圆半径为　

B，C对应的边分别为a，b，c，b=2，，内角A，若A=60°，则c的值为　　　　　　．三、解答题

19．已知函数

．

（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．　

20．已知P（m，n）是函授f（x）=ex﹣1图象上任一于点

（Ⅰ）若点P关于直线y=x﹣1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式（Ⅱ）已知点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=y=h（x）图象上时，公式变为

）=|s﹣ex﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）|，（s∈R，t＞0）的最小值．　

，当点M在函数

，请参考该公式求出函数ω（s，t

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21．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（0，4）；B（﹣3，0），C（1，1）（1）求点C到直线AB的距离；（2）求AB边的高所在直线的方程．

22．已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx，a∈R（1）当a=1，求f（x）的单调区间；（4分）

（2）a＞1时，求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（5分）（3）g（x）=（1﹣a）x，若

使得f（x0）≥g（x0）成立，求a的范围.

23．（本小题满分12分）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (sinAsinB)(ba)sinC(3bc).（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ） 若a2，ABC的面积为3，求b,c.

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24．（本题满分15分）

已知函数f(x)axbxc，当x1时，f(x)1恒成立．（1）若a1，bc，求实数b的取值范围；

（2）若g(x)cxbxa，当x1时，求g(x)的最大值．

22【命题意图】本题考查函数单调性与最值，分段函数，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力．

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广灵县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题

1． 【答案】A

211【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有C3C2C212种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有111C3C2C212种. 共有24种. 选A.

2． 【答案】A【解析】解：∵z=2﹣i，∴=∴

=10•

=

=4+2i，

=

=

，

故选：A．

【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．　

3． 【答案】D【解析】

试题分析：由于20160，由程序框图可得对循环进行加运算，可以得到x2，从而可得y1，由于

20151，则进行y2y循环，最终可得输出结果为2048．1

考点：程序框图．4． 【答案】C

【解析】解：设过右焦点F的弦为AB，右准线为l，A、B在l上的射影分别为C、D连接AC、BD，设AB的中点为M，作MN⊥l于N根据圆锥曲线的统一定义，可得

=

=e，可得

∴|AF|+|BF|＜|AC|+|BD|，即|AB|＜|AC|+|BD|，

∵以AB为直径的圆半径为r=|AB|，|MN|=（|AC|+|BD|）∴圆M到l的距离|MN|＞r，可得直线l与以AB为直径的圆相离故选：C

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【点评】本题给出椭圆的右焦点F，求以经过F的弦AB为直径的圆与右准线的位置关系，着重考查了椭圆的简单几何性质、圆锥曲线的统一定义和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．　

5． 【答案】A

【解析】解：∵a=0.50.5，c=0.50.2，∴0＜a＜c＜1，b=20.5＞1，∴b＞c＞a，故选：A．　

6． 【答案】A 【解析】

cosx2xAcosx,gxgx,cosxcosx，ygxcosx为奇函试题分析：gx2x,gxA数，排除B，D，令x0.1时y0，故选A. 1考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法.7． 【答案】D 【解析】

考点：1、指数函数与三角函数的性质；2、真值表的应用.8． 【答案】

【解析】选D.法一：6 102＝2 016×3＋54，2 016＝54×37＋18，54＝18×3，18是54和18的最大公约数，∴输出的a＝18，选D.

法二：a＝6 102，b＝2 016，r＝54，a＝2 016，b＝54，r＝18，a＝54，b＝18，r＝0.

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∴输出a＝18，故选D.9． 【答案】A

【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：∵a2=b2+c2，∴c=

，

=

，

∴椭圆的离心率为：e==．故选：A．

【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．　

10．【答案】B【解析】

11．【答案】C.

【解析】根据等差数列的性质，a42(a2a3)a13d2(a1da12d)，化简得a1d，∴

S7a47a176d14d27，故选C.

a13d2d，

12．【答案】A

【解析】解：根据正弦定理有： =代入已知等式得：即

﹣1=

﹣，

+1=0，

整理得：2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），又∵A+B+C=180°，∴sin（B+C）=sinA，可得2sinAcosB=sinA，∵sinA≠0，

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∴2cosB=1，即cosB=，则B=60°．故选：A．

【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．　

二、填空题

13．【答案】　①②⑤　

【解析】解：对于①，令g（x）=x，可得x=定点，故②正确；

对于③④，g（x）=2x2﹣1，令2（2x2﹣1）2﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，1，由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x2+2x﹣1）=0还有另外两解

不动点，故③④错误；

对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；

若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，

假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾；假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾；故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确．故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．　

14．【答案】【解析】

，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，

，其中

是稳定点，但不是

或x=1，故①正确；

对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳

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点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.15．【答案】　　．

【解析】解：角α终边上一点为P（﹣1，2），所以tanα=﹣2．

=

=

=﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．　

16．【答案】　6　．

【解析】解：∵ =（2x﹣y，m），=（﹣1，1）．若∥，∴2x﹣y+m=0，即y=2x+m，

作出不等式组对应的平面区域如图：平移直线y=2x+m，

由图象可知当直线y=2x+m经过点C时，y=2x+m的截距最大，此时z最大．由，

解得

，代入2x﹣y+m=0得m=6．

即m的最大值为6．故答案为：6

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考

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用m的几何意义结合数形结合，即可求出m的最大值．根据向量平行的坐标公式是解决本题的关键．　

17．【答案】a1【解析】

试题分析：因为不等式axa1x10恒成立，所以当a0时，不等式可化为x10，不符合题意；

2a0a0当a0时，应满足，即，解得a1.122(a1)4a0(a1)0考点：不等式的恒成立问题.

18．【答案】　　．

【解析】解：∵△ABC外接圆半径为∴由正弦定理可得：

∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣5=0，∴解得：c=1+故答案为：基础题．　

，或1﹣．

（舍去）．

，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，

，解得：a=3，

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由已知得：f′（x）=

．

≥0在[1，+∞）上恒成立．

要使函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，只需

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结合a＞0可知，只需a易知，此时

，x∈[1，+∞）即可．

=1，所以只需a≥1即可．

=0得

．

（2）结合（1），令f′（x）=

当a≥1时，由（1）知，函数f（x）在[1，e]上递增，所以f（x）min=f（1）=0；当

时，

，此时在[1，）上f′（x）＜0，在上递减，在

上f′（x）＞0，

所以此时f（x）在当

时，

上递增，所以f（x）min=f（）=1﹣lna﹣；

，故此时f′（x）＜0在[1，e]上恒成立，所以f（x）在[1，e]上递减，

．

所以f（x）min=f（e）=

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，以及已知函数单调性求参数范围时转化为导函数在指定区间上大于零或小于零恒成立的问题的思想方法．　

20．【答案】

【解析】解：（1）因为点P，Q关于直线y=x﹣1对称，所以

．

解得．又n=em﹣1，所以x=1﹣e（y+1）﹣1，即y=ln（x﹣1）．

（2）ω（s，t）=|s﹣ex﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）﹣1|=

，

令u（s）=

．

则u（s），v（t）分别表示函数y=ex﹣1，y=ln（t﹣1）图象上点到直线x﹣y﹣1=0的距离．由（1）知，umin（s）=vmin（t）．

而f′（x）=ex﹣1，令f′（s）=1得s=1，所以umin（s）=

．

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故．

【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想求解．体现了解析几何与函数思想的结合．　

21．【答案】 【解析】解（1）∵

∴根据直线的斜截式方程，直线AB：

，

，化成一般式为：4x﹣3y+12=0，

；，

∴根据点到直线的距离公式，点C到直线AB的距离为

（2）由（1）得直线AB的斜率为，∴AB边的高所在直线的斜率为由直线的点斜式方程为：

∴AB边的高所在直线的方程为3x+4y﹣7=0．

22．【答案】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞），∴

…（2分）

，解得x=1或x=，x∈

（，1），

函数是减函数．…（4分）（2）∴当1＜a＜e时，

，∴

，化成一般式方程为：3x+4y﹣7=0，

，（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈

，

∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）

当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数，∴综上

（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间

…（9分）上有解

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即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在上有解，

∵当

时，lnx≤0＜x，

当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0，∴在区间

上有解．

令…（10分）

∵

，∴x+2＞2≥2lnx∴时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，

x∈（1，e]，h（x）是增函数，∴，∴

时，

，∴

∴a的取值范围为

…（14分）

23．【答案】解：（Ⅰ）由正弦定理及已知条件有b2a23bcc2， 即b2c2a23bc. b2c2a2 由余弦定理得：cosA32bc2，又A(0,)，故A6. 6分 （Ⅱ） ABC的面积为3，12bcsinA3，bc43①， 8分

又由（Ⅰ）b2a23bcc2及a2,得b2c216，② 10分

由 ①②解得b2,c23或b23,c2. 12分

24．【答案】

【解析】（1）[222,0]；（2）2.

（1）由a1且bc，得f(x)x2bxb(xb2b22)b4，

当x1时，f(1)1bb1，得1b0，…………3分

故f(x)的对称轴x2[0,2]，当x1时，f(x)bb2b1minf()b1，………… 5分 24f(x)maxf(1)11解得222b222，综上，实数b的取值范围为[222,0]；…………7分

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3分

112，…………13分

且当a2，b0，c1时，若x1，则f(x)2x11恒成立，

2且当x0时，g(x)x2取到最大值2．g(x)的最大值为2.…………15分

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