灵川县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

灵川县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 随机变量x1～N（2，1），x2～N（4，1），若P（x1＜3）=P（x2≥a），则a=（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

=1的一个焦点与抛物线y2=4

2． 已知双曲线﹣x的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=±x，则

该双曲线的方程为（ ） A．

﹣

=1

B．

22﹣y=1 C．x﹣

=1 D．﹣=1

3． 设方程|x2+3x﹣3|=a的解的个数为m，则m不可能等于（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

4． 函数y=sin2x+cos2x的图象，可由函数y=sin2x﹣cos2x的图象（ ） A．向左平移C．向左平移

B．向右平移个单位得到

个单位得到 D．向左右平移

个单位得到 个单位得到

5． 已知函数f(x)3x22axa2，其中a(0,3]，f(x)0对任意的x1,1都成立，在1 和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T，则T（ ） A．22015 B．32015 C．3

2015

2

D．2

20152

6． 下面各组函数中为相同函数的是（ ） A．f（x）=

，g（x）=x﹣1

B．f（x）=

，g（x）=

C．f（x）=ln ex与g（x）=elnx

7． a2,b4,c25，则（ ）

432513D．f（x）=（x﹣1）0与g（x）=

A．bac B．abc C．bca D．cab 8． “

”是“A=30°”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也必要条件

9． “pq为真”是“p为假”的（ ）条件

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精选高中模拟试卷

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 10．函数f（x）=xsinx的图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

11．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量

，若

A．

12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=中错误的是（ ）

B．

C．

，则角B的大小为（ ） D．

，

，则下列结论

A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值

二、填空题

13．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．

14．若“x＜a”是“x2﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，则a的取值范围为 ．

15．设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数有_________个．

16．设p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的 条件．

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精选高中模拟试卷

17．已知向量a,b满足a4，|b|2，(ab)(3ab)4，则a与b的夹角为 .

【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 18．台风“海马”以25km/h的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C点，这时观测站与台风中心的距离AC等于 km．

2三、解答题

19．BD为圆O的任意两条直径，CF是圆O所在平面的两条垂线，如图，已知AC，直线AE，且线段AE=CF=AC=2．

（Ⅰ）证明AD⊥BE；

（Ⅱ）求多面体EF﹣ABCD体积的最大值．

，

20．已知△ABC的顶点A（3，2），∠C的平分线CD所在直线方程为y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0．

（1）求顶点C的坐标； （2）求△ABC的面积．

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21．已知F1，F2分别是椭圆且|PF1|=4，PF1⊥PF2． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）求点P的坐标．

22．已知函数f（x）=lnx﹣ax﹣b（a，b∈R）

（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值1，求a，b的值 （Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性

（Ⅲ）对于函数f（x）图象上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），不等式f′（x0）＜k恒成立，其中k为直线AB的斜率，x0=λx1+（1﹣λ）x2，0＜λ＜1，求λ的取值范围．

23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：

为参数），曲线C2：

=1．

=1（9＞m＞0）的左右焦点，P是该椭圆上一定点，若点P在第一象限，

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（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程； （Ⅱ）射线θ=

24．本小题满分12分已知椭圆C的离心率为Ⅰ求椭圆C的长轴长；

Ⅱ过椭圆C中心O的直线与椭圆C交于A、B两点A、B不是椭圆C的顶点，点M在长轴所在直线上，且

6，长轴端点与短轴端点间的距离为2． 3（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．

OMOAOM,直线BM与椭圆交于点D，求证：ADAB。 2

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灵川县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称， 因为P（x1＜3）=P（x2≥a）， 所以3﹣2=4﹣a， 所以a=3， 故选：C．

【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．

2． 【答案】B

2

【解析】解：已知抛物线y=4

x的焦点和双曲线的焦点重合，

则双曲线的焦点坐标为（即c=

，

，0），

又因为双曲线的渐近线方程为y=±x，

222

则有a+b=c=10和=，

解得a=3，b=1． 所以双曲线的方程为：故选B．

【点评】本题主要考查的知识要点：双曲线方程的求法，渐近线的应用．属于基础题．

3． 【答案】A

22

【解析】解：方程|x+3x﹣3|=a的解的个数可化为函数y=|x+3x﹣3|与y=a的图象的交点的个数，

2

作函数y=|x+3x﹣3|与y=a的图象如下，

2

﹣y=1．

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，

结合图象可知， m的可能值有2，3，4； 故选A．

4． 【答案】C

【解析】解：y=sin2x+cos2x=y=sin2x﹣cos2x=

sin（2x﹣

sin（2x+）=

），

）+

）]，

sin（2x+

），

sin[2（x﹣

∴由函数y=sin2x﹣cos2x的图象向左平移故选：C．

个单位得到y=

【点评】本题主要考查三角函数的图象关系，利用辅助角公式将函数化为同名函数是解决本题的关键．

5． 【答案】C 【解析】

f10试题分析：因为函数f(x)3x2axa，f(x)0对任意的x1,1都成立，所以，解得

f10a3或a1，又因为a(0,3]，所以a3，在和两数间插入a1,a2...a2015共2015个数，使之与，构成等

222Ta1a2...a2015，比数列，两式相乘，根据等比数列的性质得Ta1a2015Ta2015a2...a1，

2015132015，

T3

20152

，故选C.

考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.

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6． 【答案】D

【解析】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；

对于B：f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域是{x}x≥1}，定义域不同，不是相同函数； 对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数； 对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是{x|x≠1}，是相同函数； 故选：D．

【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题． 7． 【答案】A 【解析】

试题分析：a4,b4,c5，由于y4为增函数，所以ab.应为yx为增函数，所以ca，故

23252323xbac.

考点：比较大小． 8． 【答案】B 【解析】解：“A=30°”⇒“故选B

【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题．

9． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为p假真时，pq真，此时p为真，所以，“pq 真”不能得“p为假”，而“p为假”时p为真，必有“pq 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用.

10．【答案】A

【解析】解：函数f（x）=xsinx满足f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），函数的偶函数，排除B、C， 因为x∈（π，2π）时，sinx＜0，此时f（x）＜0，所以排除D， 故选：A．

【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．

11．【答案】B 【解析】解：若

，

”，反之不成立．

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则（a+b）（sinB﹣sinA）﹣sinC（

222

化为a+c﹣b=﹣

a+c）=0，

a+c）=0，

由正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）﹣c（

ac，

=﹣

，

∴cosB=

∵B∈（0，π）， ∴B=故选：B．

，

【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题．

12．【答案】 D

【解析】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确； ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确； ∵EF=

，∴△BEF的面积为定值×EF×1=

，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱

锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；

∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误； 故选D．

，∴异面

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列

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∴2b=a+c

222

∴4b=a+2ac+c① 222

∵b=a﹣c②

①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0 ∵

2

∴5e+2e﹣3=0

∵0＜e＜1 ∴

故答案为：

【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题

14．【答案】 a≤﹣1 ．

2

【解析】解：由x﹣2x﹣3≥0得x≥3或x≤﹣1，

2

若“x＜a”是“x﹣2x﹣3≥0”的充分不必要条件，

则a≤﹣1， 故答案为：a≤﹣1．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出不等式的等价是解决本题的关键．

15．【答案】1

【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】设设

，则

因为

，

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所以，所以

因此，存在唯一的点M，使故答案为：

16．【答案】 必要不充分

成立。

x

【解析】解：由题意得f′（x）=e++4x+m， x2

∵f（x）=e+lnx+2x+mx+1在（0，+∞）内单调递增， x

∴f′（x）≥0，即e++4x+m≥0在定义域内恒成立，

由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，

x

故对任意的x∈（0，+∞），必有e++4x＞5 x

∴m≥﹣e﹣﹣4x不能得出m≥﹣5

x

但当m≥﹣5时，必有e++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立

∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件 故答案为：必要不充分

17．【答案】【

2 3解析】

18．【答案】 25

【解析】解：由题意，∠ABC=135°，∠A=75°﹣45°=30°，BC=25km，

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由正弦定理可得AC=故答案为：25

．

=25km，

【点评】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，利用正弦定理解答本题是关键．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：∵BD为圆O的直径，∴AB⊥AD， ∵直线AE是圆O所在平面的垂线， ∴AD⊥AE， ∵AB∩AE=A， ∴AD⊥平面ABE， ∴AD⊥BE；

（Ⅱ）解：多面体EF﹣ABCD体积V=VB﹣AEFC+VD﹣AEFC=2VB﹣AEFC． ∵直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线， ∴AE∥CF，∥AE⊥AC，AF⊥AC． ∵AE=CF=∵AC=2， ∴SAEFC=2

，

作BM⊥AC交AC于点M，则BM⊥平面AEFC， ∴V=2VB﹣AEFC=2×

≤

=．

．

，∴AEFC为矩形，

∴多面体EF﹣ABCD体积的最大值为

【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．

20．【答案】 【解析】解：（1）由高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0，∴∵直线AC⊥BH，∴kACkBH=﹣1．

=﹣2．

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∴，

，

， ，即

． ． ，

直线AC的方程为联立

∴点C的坐标C（1，1）． （2）

∴直线BC的方程为联立

，

点B到直线AC：x﹣2y+1=0的距离为又∴

．

【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知得：|PF2|=6﹣4=2， 在△PF1F2中，由勾股定理得，

22

即4c=20，解得c=5．

，

∴m=9﹣5=4；

（Ⅱ）设P点坐标为（x0，y0），由（Ⅰ）知，∵

，

，

，

，

∴，解得．

∴P（）．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，属中档题．

22．【答案】

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【解析】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=﹣a， 由题意可得f′（1）=0，且f（1）=1， 即为1﹣a=0，且﹣a﹣b=1，

解得a=1．b=﹣2，经检验符合题意． 故a=1，b=﹣2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=﹣a，x＞1，0＜＜1， ①若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增；

②0＜a＜1，x∈（1，），f′（x）＞0，x∈（，+∞），f′（x）＜0； ③a≥1，f′（x）＜0．f（x）在（1，+∞）递减． 综上可得，a≤0，f（x）在（1，+∞）递增；

0＜a＜1，f（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减； a≥1，f（x）在（1，+∞）递减． （Ⅲ）f′（x0）=

﹣a=

=

＜

[λx1+（1﹣λ）x2]， [λ+（1﹣λ）

]，

， ﹣a，

=

﹣a，

直线AB的斜率为k=f′（x0）＜k⇔即x2﹣x1＜ln即为令t=

﹣1＜ln

＞1，t﹣1＜lnt[λ+（1﹣λ）t]，

即t﹣1﹣tlnt+λ（tlnt﹣lnt）＜0恒成立， 令函数g（t）=t﹣1﹣tlnt+λ（tlnt﹣lnt），t＞1， ①当0＜λ

时，g′（t）=﹣lnt+λ（lnt+1﹣）=

，

令φ（t）=﹣tlnt+λ（tlnt+t﹣1），t＞1，

φ′（t）=﹣1﹣lnt+λ（2+lnt）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1，

当0＜λ≤时，φ′（t）＜0，φ（t）在（1，+∞）递减，则φ（t）＜φ（1）=0， 故当t＞1时，g′（t）＜0，

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则g（t）在（1，+∞）递减，g（t）＜g（1）=0符合题意； ②当＜λ＜1时，φ′（t）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1＞0， 解得1＜t＜当t∈（1，当t∈（1，则有当t∈（1，即有0＜λ≤．

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用，不等式恒成立思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）曲线由（Ⅱ）射线射线所以

24．【答案】 【解析】Ⅰ由已知

c6,a2b24，又a2b2c2，解得a23,b21， a322

为参数）可化为普通方程：（x﹣1）+y=1，

，

），φ′（t）＞0，φ（t）在（1，），g′（t）＞0，g（t）在（1，

），g（t）＞0不合题意．

）递增，φ（t）＞φ（1）=0； ）递增，g（t）＞g（1）=0，

22

可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ（1+sinθ）=2．

与曲线C1的交点A的极径为与曲线C2的交点B的极径满足

．

， ，解得

，

所以椭圆C的长轴长23 Ⅱ以O为坐标原点长轴所在直线为x轴建立如图平面直角坐标系xOy，

x2不妨设椭圆C的焦点在x轴上，则由1可知椭圆C的方程为y21；

3设A(x1,y1)，D(x2,y2),则A(x1,y1) ∵

OMOAOM ∴M(2x1,0) 22根据题意，BM满足题意的直线斜率存在，设l:yk(x2x1)，

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x22y1联立3，消去y得(13k2)x212k2x1x12k2x1230，

yk(x2x)1(12k2x1)24(13k2)(12k2x123)12(4k2x1213k2)0，

12k2x112k2x123x1x2,x1x2,

13k213k2yyk(x22x1)k(x12x1)k(x25x1)4kx11kAD21k 2x2x1x2x1ky1k(x12x1)ABx3k

1x1kADkAB1 ∴ADAB

x2x112kx113k2第 16 页，共 16 页

3k