灵石县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 经过点M1,1且在两轴上截距相等的直线是（ A．xy20 C．x1或y1 2． 函数y=|a|x﹣

）

B．xy10D．xy20或xy0）

（a≠0且a≠1）的图象可能是（

A．B．C．D．

3． 如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（

）

A．B．C．D．

）

224． 圆xy2x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是（ A．

B．21

C．

21 2）

D．2215． 不等式﹣x2﹣2x+3≤0的解集为（ A．{x|x≥3或x≤﹣1}A．∅

B．{1，4}

B．{x|﹣1≤x≤3}C．M

C．{x|﹣3≤x≤1}D．{x|x≤﹣3或x≥1}

）

6． 已知集合M={1，4，7}，M∪N=M，则集合N不可能是（

D．{2，7}

7． 已知函数f（x）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（

）

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A．y=2B．y=log3（x+1）C．y=4﹣D．y=）

8． 函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（

A．B．C．

D．

9． 将函数f（x）=sin2x的图象向右平移）A．

B．

C．

个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（

D．

）

10．已知向量=（1，2），=（m，1），如果向量与平行，则m的值为（ A．

B．

C．2

D．﹣2

，B=45°，则角A等于（

C．60°

）

D．30°

11．已知△ABC中，a=1，b=A．150°

B．90°

x2y212．F1，F2分别为双曲线221（a，b0）的左、右焦点，点P在双曲线上，满足PF1PF20，

ab31若PF1F2的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为（ ）

2A.2 B.3C. 21D. 31【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．

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二、填空题

13．已知实数x，y满足约束条　

14．如果椭圆　15．若

16．已知a[2,2]，不等式x(a4)x42a0恒成立，则的取值范围为__________.

17．0）3）已知点A（2，，点B（0，，点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为　　　　　　．　

18．已知Sn是数列{___________．

【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力．

2，则z=的最小值为　　　　　　．+=1弦被点A（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是　　　　　　．的展开式中含有常数项，则n的最小值等于　　．nnn}|1｜S的前项和，若不等式对一切nN恒成立，则的取值范围是nn1n122三、解答题

19．已知f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）已知函数g（x）=log

，当x∈[

，

]时，不等式 f（x）≥g（x）有解，求k的取值范围．

20．已知f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为11．（1）求x2的系数取最小值时n的值．

（2）当x2的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．

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21．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；

②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．

（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数（3）已知：函数大值．　

不存在“和谐区间”．

（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，APECPE，点H是线段ED的中点.

（1）证明：A、E、F、D四点共圆；（2）证明：PFPBPC.

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23．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，设F1，F2是椭圆的左、右焦点，

过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．

24．（本小题满分12分）为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法

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知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表：

甲单位乙单位

掌握更稳定；

（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的8785

8889

9191

9192

9393

（1）根据表中的数据，分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位对法律知识的

分数差至少是4的概率.

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灵石县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】D【解析】

考

点：直线的方程.2． 【答案】D

【解析】解：当|a|＞1时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣当|a|＜1时且a≠0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣故选：D．　

3． 【答案】A

【解析】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：∵a2=b2+c2，∴c=

，

=

，

），因为0＜1﹣），因为1﹣

＜1，故排除A，B

＜0，故排除C．

∴椭圆的离心率为：e==．故选：A．

【点评】本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量关系的正确应用，考查计算能力．　

4． 【答案】B【解析】

试题分析：化简为标准形式x1y11，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半

22径，d11222，半径为1，所以距离的最大值是21，故选B.

考点：直线与圆的位置关系 15． 【答案】D

【解析】解：不等式﹣x2﹣2x+3≤0，

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变形为：x2+2x﹣3≥0，

因式分解得：（x﹣1）（x+3）≥0，可化为：

解得：x≤﹣3或x≥1，

则原不等式的解集为{x|x≤﹣3或x≥1}．故选D．　

6． 【答案】D

【解析】解：∵M∪N=M，∴N⊆M，∴集合N不可能是{2，7}，故选：D

【点评】本题主要考查集合的关系的判断，比较基础．　

7． 【答案】C

【解析】解：由图可得，y=4为函数图象的渐近线，函数y=2函数y=4﹣

，y=log3（x+1），y=

的值域均含4，

即y=4不是它们的渐近线，

的值域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），

或

，

故y=4为函数图象的渐近线，故选：C

【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的值域，难度中档．　

8． 【答案】D

【解析】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，

当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B； 当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣ex，∴f′（x）=4x﹣ex=0有解，

故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D　

9． 【答案】D

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【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移考察选项不难发现：当x=∴（

时，sin（2×

﹣

）=0；

个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；

，0）就是函数的一个对称中心坐标．

故选：D．

【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．　

10．【答案】B【解析】解：向量可得2m=﹣1．解得m=﹣．故选：B．　

11．【答案】D【解析】解：∵根据正弦定理可知 ∴sinA=∴A=30°故选D．

【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．　

12．【答案】D

=

，B=45°

，向量与平行，

【解析】∵PF1PF20，∴PF1PF2，即PF1F2为直角三角形，∴PF12PF22F1F224c2，|PF1PF2|2a，则2PF1PF2PF12PF22(PF1PF2)24(c2a2)，

(PF1PF2)2(PF1PF2)24PF1PF28c24a2.所以PF1F2内切圆半径

rPF1PF2F1F231c，整理，得2c2a2c，外接圆半径Rc.由题意，得2c2a2c22c()2423，∴双曲线的离心率e31，故选D.a二、填空题

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13．【答案】　

　．

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=

=32x+y，

设t=2x+y，则y=﹣2x+t，平移直线y=﹣2x+t，

由图象可知当直线y=﹣2x+t经过点B时，直线y=﹣2x+t的截距最小，此时t最小．由

，解得

，即B（﹣3，3），

代入t=2x+y得t=2×（﹣3）+3=﹣3．∴t最小为﹣3，z有最小值为z=故答案为：

．

=3﹣3=

．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．　

14．【答案】　x+4y﹣5=0　．

【解析】解：设这条弦与椭圆

+

=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2），

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由中点坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把P（x1，y1），Q（x2，y2）代入x2+4y2=36，得

，

①﹣②，得2（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，∴k=

=﹣，

∴这条弦所在的直线的方程y﹣1=﹣（x﹣1），即为x+4y﹣5=0，

由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y﹣5=0．故答案为：x+4y﹣5=0．

【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．　

15．【答案】5【解析】解：由题意令

=0，得n=

n﹣r（的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）

r=Cr）n

=Cnr

，当r=4时，n 取到最小值5

故答案为：5．

【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．　

16．【答案】(,0)(4,)【解析】

2]时恒成立,只要满足在a[-2，2]时直线在轴上方试题分析：把原不等式看成是关于的一次不等式,在a[-2，2]，即可，设关于的函数yf(x)x(a4)x42a(x2)ax4x4对任意的a[-2，当a-222时，yf(a)f(2)x(24)x440，即f(2)x6x80，解得x2或x4；当a222时，yf(2)x(24)x440，即f(2)x2x0，解得x0或x2，∴的取值范围是

22{x|x0或x4}；故答案为：(,0)(4,)．

考点：换主元法解决不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简

2]时恒成立,只要满足在a[-2，2]时直线在轴洁，是易错题．把原不等式看成是关于的一次不等式,在a[-2，上方即可.关键是换主元需要满足两个条件，一是函数必须是关于这个量的一次函数，二是要有这个量的具体

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范围.

17．【答案】　（

【解析】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①∵点A（2，0），点B（0，3），∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．

如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．则CF=∴a=

，②

，b=，，

）．

，）．

≥

，当且仅当2a=3b时，取“=”，

，

）　．

联立①②求得：a=故点C的坐标为（故答案是：（

【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

18．【答案】31111111132(n1)n2nAn1，Sn122…22222221111111n2n2(n1)n1nn，两式相减，得Sn12n1nn2n，所以Sn4n1，

2222222222｜4n1对一切nN恒成立，得|1于是由不等式|1｜2，解得31．

2【解析】由Sn12第 12 页，共 17 页

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）为奇函数．理由：1+x＞0且1﹣x＞0，得定义域为（﹣1，1），（2分）又f（﹣x）=log3（1﹣x）﹣log3（1+x）=﹣f（x），则f（x）是奇函数.（2）g（x）=log

=2log3

，（5分）

又﹣1＜x＜1，k＞0，（6分）由f（x）≥g（x）得log3即

≥

，（8分）

≥log3

，

即k2≥1﹣x2，（9分）x∈[

，

]时，1﹣x2最小值为，（10分）

则k2≥，（11分）又k＞0，则k≥

，

].

即k的取值范围是（﹣∞，

【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．　

20．【答案】 　

【解析】【专题】计算题．

【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x2的系数，

将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值

（2）通过对x分别赋值1，﹣1，两式子相加求出展开式中x的奇次幂项的系数之和．【解答】解：（1）由已知Cm1+2Cn1=11，∴m+2n=11，x2的系数为Cm2+22Cn2=

+2n（n﹣1）=

+（11﹣m）（

﹣1）=（m﹣

）2+

．

∵m∈N*，∴m=5时，x2的系数取得最小值22，

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此时n=3．

（2）由（1）知，当x2的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f（x）=（1+x）5+（1+2x）3．设这时f（x）的展开式为f（x）=a0+a1x+a2x2++a5x5，令x=1，a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33，令x=﹣1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1，两式相减得2（a1+a3+a5）=60，

故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30．

【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和问题．21．【答案】

【解析】解：（1）∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．又f（0）=0，f（1）=1，∴值域为[0，1]，

∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数

在[m，n]上单调递增．

若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程∵x2﹣3x+5=0无实数根，∴函数

不存在“和谐区间”．

的同号的相异实数根．

（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数

若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程∵

，

，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．

在[m，n]上单调递增．

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∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，∵

∴当a=3时，n﹣m取最大值

22．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【

解

析

】

，

1111]

试题解析：解：（1）∵PA是切线，AB是弦，∴BAPC，APDCPE，∴BAPAPDCCPE，

∵ADEBAPAPD,AEDCCPE∴ADEAED，即ADE是等腰三角形

又点H是线段ED的中点，∴ AH是线段ED垂直平分线，即AHED又由APECPE可知PH是线段AF的垂直平分线，∴AF与ED互相垂直且平分，∴四边形AEFD是正方形，则A、E、F、D四点共圆.

2（5分）

（2由割线定理得PAPBPC，由（1）知PH是线段AF的垂直平分线，∴PAPF，从而PFPBPC

2（10分）

考点：与圆有关的比例线段．23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的短轴长为2

，且离心率e=，

∴

，解得a2=4，b2=3，

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∴椭圆C的方程为=1．

），

（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣代入椭圆∴

，化简，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，，

，

设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0），则直线F1M：∴令μ=∵y=

=

|∈[1，=

），则在[1，

，令x=4，得P（4，|=15×|

=180×）上是增函数，）min=

．

，

），同理，Q（4，

|=180×|

），|，

∴当μ=1时，即t=0时，（

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．　

24．【答案】（1）x甲90,x乙90,s甲【解析】

试题分析：（1）先求出甲乙两个单位职工的考试成绩的平均数,以及他们的方差,则方差小的更稳定；（2）从乙单位抽取两名职工的成绩,所有基本事件用列举法得到共10种情况,抽取的两名职工的分数差至少是的事件用列举法求得共有种,由古典概型公式得出概率.

试题解析：解：（1）x甲（8788919193）90，x乙（8589919293）9022421,s乙8，甲单位对法律知识的掌握更稳定；（2）.521515124[(8790)2(8890)2(9190)2(9190)2(9390)2]5512s乙[(8590)2(8990)2(9190)2(9290)2(9390)2]8524∵8，∴甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位对法律知识的掌握更稳定. 5 s甲2（6分）

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点：1.平均数与方差公式；2.古典概型．

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考