灵石县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷

一、选择题

1． 设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

2． 如图框内的输出结果是（ ）

A．2401 B．2500 C．2601 D．2704

3． 已知抛物线C：准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若PF2FQ，x28y的焦点为F，则QF（ ） A．6

B．3

C．

8 3 D．

4 3第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

4． 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=

，且f（x）=f（x+2），g（x）=

，

则方程g（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（ ）

A．12 B．11 C．10 D．9

225． 已知函数f(x)3x2axa，其中a(0,3]，f(x)0对任意的x1,1都成立，在1 和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T，则T（ ） A．2A．6

2015 B．3B．9

C．36

D．72

2015 C．3

20152

D．220152

6． 等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a2a6=（ ）

7． 复数z=（其中i是虚数单位），则z的共轭复数=（ ）

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A．﹣i B．﹣﹣i C． +i D．﹣ +i

8． 执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（ ）

A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞4

9． 设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣2，0）∪（2，+∞） ∪（0，2）

10．定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|；②f（2x）=cf（x）（c为正常数），

若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c的值是（ ） A．1

B．±2

C．或3

D．1或2

D．0）（﹣2，

二、填空题

11．函数yfx的定义域是0,2，则函数yfx1的定义域是__________.111]

12．设全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，若N⊆M，则实数a的取值范围是 ． 13．在复平面内，复数

与

对应的点关于虚轴对称，且

，则

____．

ym14．设mR，实数x，y满足2x3y60，若2xy18，则实数m的取值范围是___________．

3x2y60第 2 页，共 17 页

【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力． 15．设函数f（x）=

①若a=1，则f（x）的最小值为 ；

②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．

16．已知x，y满足条件

，则函数z=﹣2x+y的最大值是 ．

，

三、解答题

17．【徐州市2018届高三上学期期中】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池形附属设施矩形的一边

及其矩

，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为，半径为，在直径上，点、、、在圆周上，、在边

，求

上，且

，设

．

（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为（2）怎样设计才能符合园林局的要求？

的表达式；

18．已知函数f（x）=ax2+bx+c，满足f（1）=﹣，且3a＞2c＞2b． （1）求证：a＞0时，的取值范围；

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（2）证明函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1﹣x2|的取值范围．

19．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=（1）求证：CM⊥EM；

（2）求MC与平面EAC所成的角．

，M是AB的中点．

20．（本题10分）解关于的不等式ax(a1)x10.

2第 4 页，共 17 页

21．设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

22．（本小题满分12分）

12x(a3)xlnx. 2（1）若函数f(x)在定义域上是单调增函数，求的最小值；

112（2）若方程f(x)(a)x(a4)x0在区间[,e]上有两个不同的实根，求的取值范围.

2e已知函数f(x)

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灵石县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D 【解析】解：∴y′（0）=a﹣1=2， ∴a=3． 故答案选D．

，

【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．

2． 【答案】B

【解析】解：模拟执行程序框图，可得S=1+3+5+…+99=2500， 故选：B．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，等差数列的求和公式的应用，属于基础题．

3． 【答案】A

解析：抛物线C：x28y的焦点为F（0，2），准线为l：y=﹣2， 设P（a，﹣2），B（m，∵

，∴2m=﹣a，4=

），则

=（﹣a，4），

=（m，

﹣2），

+2=4+2=6．故选A．

﹣4，∴m2=32，由抛物线的定义可得|QF|=

4． 【答案】B

【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为2的周期函数， 函数g（x）=对称，

函数f（x）与g（x）在[﹣3，7]上的交点也关于（2，3）对称， 设A，B，C，D的横坐标分别为a，b，c，d， 则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3， 故两图象在[﹣3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11， 即函数y=f（x）﹣g（x）在[﹣3，7]上的所有零点之和为11．

，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f（x）的图象也关于点（2，3）

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故选：B．

【点评】本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．

5． 【答案】C 【解析】

f10试题分析：因为函数f(x)3x2axa，f(x)0对任意的x1,1都成立，所以，解得

f10a3或a1，又因为a(0,3]，所以a3，在和两数间插入a1,a2...a2015共2015个数，使之与，构成等

222Ta1a2...a2015，比数列，两式相乘，根据等比数列的性质得Ta1a2015Ta2015a2...a1，

2015132015，

T3

20152

，故选C.

考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用. 6． 【答案】D

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，

242

∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3（1+q+q）=21，解得q=2． 6

则a2a6=9×q=72．

故选：D．

7． 【答案】C 【解析】解：∵z=∴=

．

=

，

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故选：C．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

8． 【答案】 C

【解析】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环 循环前 1 0

第一圈 2 2 是 第二圈 3 7 是 第三圈 4 18 是 第四圈 5 41 是 第五圈 6 88 否 故退出循环的条件应为k＞5？ 故答案选C．

【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．

9． 【答案】A 【解析】解：设g（x）=g′（x）=

，

，则g（x）的导数为：

∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立， 即当x＞0时，g′（x）＜0，

∴当x＞0时，函数g（x）为减函数， 又∵g（﹣x）=

=

=

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数， ∴x＜0时，函数g（x）是增函数， 又∵g（﹣2）=

=0=g（2），

∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）． 故选：A．

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10．【答案】D

【解析】解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|． 当1≤x＜2时，2≤2x＜4，

则f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|）， 此时当x=时，函数取极大值； 当2≤x≤4时， f（x）=1﹣|x﹣3|；

此时当x=3时，函数取极大值1； 当4＜x≤8时，2＜≤4，

则f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|）， 此时当x=6时，函数取极大值c．

∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上， 即点（，），（3，1），（6，c）共线，

∴=，

解得c=1或2． 故选D．

【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．

二、填空题

11．【答案】1,1 【解析】

考

点：函数的定义域. 12．【答案】 [，1] ．

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【解析】解：∵全集U=R，集合M={x|2a﹣1＜x＜4a，a∈R}，N={x|1＜x＜2}，N⊆M， ∴2a﹣1≤1 且4a≥2，解得 2≥a≥，故实数a的取值范围是[，1]， 故答案为[，1]．

13．【答案】-2

【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知：所以

故答案为：-2 14．【答案】[3,6]. 【

解

析

】

15．【答案】

≤a＜1或a≥2 ．

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【解析】解：①当a=1时，f（x）=

x

当x＜1时，f（x）=2﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，

，

当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x﹣3x+2）=4（x﹣）﹣1，

2

2

当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增， 故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，

②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a） 若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，

所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，

而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1， 所以≤a＜1，

若函数h（x）=2﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，

x

则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，

当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），

当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的， 综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．

16．【答案】 4 ．

【解析】解：由约束条件

作出可行域如图，

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化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时， 直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

三、解答题

17．【答案】（1）

（2）

【解析】试题分析：（1）根据直角三角形求两个矩形的长与宽，再根据矩形面积公式可得函数解析式，最后根据实际意义确定定义域（2）利用导数求函数最值，求导解得零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，进而得函数最值

（2）要符合园林局的要求，只要由（1）知，令解得令当当所以当

时，时，时，，即

或

，

最小，

， （舍去），

是单调减函数， 是单调增函数，

取得最小值.

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答：当满足18．【答案】

时，符合园林局要求.

【解析】解：（1）∵f（1）=a+b+c=﹣， ∴3a+2b+2c=0． 又3a＞2c＞2b， 故3a＞0，2b＜0， 从而a＞0，b＜0，

又2c=﹣3a﹣2b及3a＞2c＞2b知3a＞﹣3a﹣2b＞2b ∵a＞0，∴3＞﹣3﹣即﹣3＜＜﹣．

（2）根据题意有f（0）=0，f（2）=4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a﹣c=a﹣c． 下面对c的正负情况进行讨论： ①当c＞0时，∵a＞0， ∴f（0）=c＞0，f（1）=﹣＜0

所以函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点； ②当c≤0时，∵a＞0，

∴f（1）=﹣＜0，f（2）=a﹣c＞0

所以函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点； 综合①②得函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）．∵x1，x2是函数f（x）的两个零点 ∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根． 故x1+x2=﹣，x1x2==从而|x1﹣x2|=∵﹣3＜＜﹣， ∴

|x1﹣x2|

．

=

=

=

．

＞2，

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【点评】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑；同时考查了函数的零点与方程根的关系，函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．

19．【答案】

【解析】（1）证明：∵AC=BC=∴△ABC为等腰直角三角形， ∵M为AB的中点， ∴AM=BM=CM，CM⊥AB， ∵EA⊥平面ABC， ∴EA⊥AC，

设AM=BM=CM=1，则有AC=

，AE=AC=

， ==

， ，

AB，

在Rt△AEC中，根据勾股定理得：EC=在Rt△AEM中，根据勾股定理得：EM=

222

∴EM+MC=EC，

∴CM⊥EM；

（2）解：过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角， 则MC与平面EAC所成的角为45°．

20．【答案】当a1时，x(,)(1,)，当a1时，x(,1)(1,)，当0a1时，

1a11x(,1)(,)，当a0时，x(,1)，当a0时，x(,1).

aa第 14 页，共 17 页

考

点：二次不等式的解法，分类讨论思想. 21．【答案】

，

2

【解析】设f（x）=x﹣ax+2．当x∈，则t=

∴对称轴m=∴

∈（0，]，且开口向下；

，此时x=9 ．

时，t取得最小值

∴税率t的最小值为

【点评】此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！ 22．【答案】（1）；（2）0a1.1111] 【解析】

则

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1f'(x)0对x0恒成立，即a(x)3对x0恒成立，

x1而当x0时，(x)3231，

x∴a1.

若函数f(x)在(0,)上递减，

则f'(x)0对x0恒成立，即a(x)3对x0恒成立， 这是不可能的. 综上，a1. 的最小值为1. 1

（2）由f(x)(a)x(a2)x2lnx0， 得(a)x(2a)x2lnx，

1x12212212(1)x2x(lnxx)lnxxlnxx1x2lnxxr(x)即a，令，， r'(x)33x2x2xx得1x2lnx0的根为1，

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点问题及不等式恒成立问题.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成（af(x)max即可）；②数形结合；③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立；④讨论参数.本题（2）就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.

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请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.

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