江苏省南京市高一第二学期期末考试
数 学 试 卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）直线y=
x﹣2的倾斜角大小为 ．
2．（5分）若数列{an}满足a1=1，且an+1=2an，n∈N*，则a6的值为 ． 3．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为 ． 4．（5分）在△ABC中，若a=
，b=
，A=120°，则B的大小为 ．
5．（5分）不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集是 ． 6．（5分）函数y=sinx﹣cosx的最大值为 ． 7．（5分）若函数y=x+
，x∈（﹣2，+∞），则该函数的最小值为 ．
，则该正四棱锥的体积
8．（5分）如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为为 ．
9．（5分）若sin（θ+）=，θ∈（，），则cosθ的值为 ．
10．（5分）已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为 ．
①若a⊥c，b⊥c，则a∥b； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若a⊥α，b⊥α，则a∥b； ④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．
11．（5分）设等比数列{an}的公比q，前n项和为Sn．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为 ．
12．（5分）已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为 ．
13．（5分）已知数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=2n，n∈N*，若成立，则实数λ的取值范围为 ．
.
+19≤3n对任意n∈N*都
.
14．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且
二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（14分）已知sinα=，α∈（（1）求sin（
﹣α）的值；
，π）．
+=1，则x+y的最小值为 ．
（2）求tan2α的值．
16．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点． 求证：（1）C1P∥平面MNC；
（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．
17．（14分）已知三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0） （1）求BC边上高的长度；
（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程． 18．（16分）如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB． （1）求B的大小； （2）若点D是劣弧
上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．
19．（16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在
.
.
此电梯上观看DE的视角为θ．
（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离； （2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？
20．（16分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}，其中{an}的公差不为0．设Sn是数列{an}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{bn}的前3项，且S4=16． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若数列{
}为等差数列，求实数t；
（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，ak，b1，b2，…，bk，…，若该数列前n项和Tn=1821，求n的值．
.
.
江苏省南京市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分） 1．（5分）直线y=
x﹣2的倾斜角大小为 60° ．
， ，
【解答】解：由题意得：直线的斜率是：k=设倾斜角等于α，则 0°≤α＜180°，且tanα=∴α=60°， 故答案为 60°．
2．（5分）若数列{an}满足a1=1，且an+1=2an，n∈N*，则a6的值为 32 ． 【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1=2an，n∈N*， 则a6=1×25=32． 故答案为：32．
3．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和为 1 ． 【解答】解：直线3x﹣4y﹣12=0化为截距式：
=1，
∴直线3x﹣4y﹣12=0在x轴、y轴上的截距之和=4﹣3=1． 故答案为：1．
4．（5分）在△ABC中，若a=【解答】解：∵a=
，b=
，b=
，A=120°，则B的大小为 45° ．
，A=120°，
∴由正弦定理∵b＜a，B为锐角， ∴B=45°． 故答案为：45°．
，可得：sinB===，
5．（5分）不等式（x﹣1）（x+2）＜0的解集是 （﹣2，1） ． 【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）=0的两根为1、﹣2， 又函数y=（x﹣1）（x+2）的图象开口向上，
.
.
∴（x﹣1）（x+2）＜0的解集是（﹣2，1）， 故答案为：（﹣2，1）．
6．（5分）函数y=sinx﹣cosx的最大值为 【解答】解：∵y=sinx﹣cosx ===
．
．
．
∴函数y=sinx﹣cosx的最大值为故答案为：
7．（5分）若函数y=x+
，x∈（﹣2，+∞），则该函数的最小值为 4 ．
【解答】解：∵x∈（﹣2，+∞）， ∴x+2＞0 ∴y=x+
=x+2+
﹣2≥2
﹣2=6﹣2=4，当且仅当x=1时取等号，
故该函数的最小值为4， 故答案为：4
8．（5分）如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为 ．
，则该正四棱锥的体积为
【解答】解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE， 则有PO=
，
.
.
正四棱锥的体积为V=故答案为：．
=2，
9．（5分）若sin（θ+【解答】解：sin（θ+∵θ∈（∴θ+
，
）， ，π） ）=﹣
．
）﹣．
]=cos（θ+
）cos
+sin
sin（θ+
）
）=）=
，θ∈（
，
），则cosθ的值为
．
，利用和与差构造即可求解．
∈（
∴cos（θ+
那么：cosθ=cos[（θ+=
故答案为：
=．
10．（5分）已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么下列命题中正确的序号为 ③④ ．
①若a⊥c，b⊥c，则a∥b； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若a⊥α，b⊥α，则a∥b； ④若a⊥α，α⊥β，则α∥β．
【解答】解：由a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知： 在①中，若a⊥c，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故②错误；
在③中，若a⊥α，b⊥α，则由线面垂直的性质定理得a∥b，故③正确； 在④中，若a⊥α，α⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故④正确．
.
.
故答案为：③④．
11．（5分）设等比数列{an}的公比q，前n项和为Sn．若S3，S2，S4成等差数列，则实数q的值为 ﹣2 ．
【解答】解：∵S3，S2，S4成等差数列，∴2S2=S3+S4，∴2a3+a4=0， 可得q=﹣2． 故答案为：﹣2．
12．（5分）已知关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A，集合B=（2，3）．若B⊆A，则a的取值范围为 （﹣∞，1] ．
【解答】解：关于x的不等式（x﹣1）（x﹣2a）＞0（a∈R）的解集为A， ①2a≥1时，A=（﹣∞，1）∪（2a，+∞），∵B⊆A，∴2a≤2，联立②2a＜1时，A=（﹣∞，2a）∪（1，+∞），满足B⊆A，由2a＜1，解得a综上可得：a的取值范围为（﹣∞，1]． 故答案为：（﹣∞，1]．
13．（5分）已知数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=2n，n∈N*，若成立，则实数λ的取值范围为 （﹣∞，﹣8] ．
【解答】解：∵a1=1，且an+1﹣an=2n，n∈N*，即n≥2时，an﹣an﹣1=2n﹣1． ∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=∵
+19≤3n，化为：λ≤
=f（n）．
=2n﹣1．
+19≤3n对任意n∈N*都
，解得．
．
+19≤3n对任意n∈N*都成立，⇔λ≤f（n）min． 由f（n）≤0，可得n≤f（n+1）﹣f（n）=解得n≤
．
，因此n≤6时，f（n）＜0；n≥7时，f（n）＞0．
﹣
=
≤0，
∴f（1）＞f（2）＞f（3）＞f（4）＞f（5）＜f（6），
.
.
可得f（n）min=f（5）=﹣8．
则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣8]． 故答案为：（﹣∞，﹣8]．
14．（5分）若实数x，y满足x＞y＞0，且【解答】解：实数x，y满足x＞y＞0，且则x+y=
==
当且仅当y=，x=故答案为：
二、解答题（共6小题，满分90分） 15．（14分）已知sinα=，α∈（（1）求sin（
﹣α）的值；
，π）．
．
时取等号．
．
++
=1，则x+y的最小值为 =1，
=
≥
．
（2）求tan2α的值．
【解答】解：∵sinα=，α∈（∴cosα=可得：tanα=（1）sin（
=
． ．
﹣α）=sin
cosα﹣cos
sinα=×
=
．
，π）．
（2）tan2α=
=．
16．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1，BC的中点． 求证：（1）C1P∥平面MNC；
（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．
.
.
【解答】证明：（1）连接MP，因为M、P分别为AB，BC的中点 ∵MP∥AC，MP=
，
又因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴AC∥A1C1，AC=A1C1 且N是A1C1的中点，∴MP∥C1N，MP=C1N ∴四边形MPC1N是平行四边形，∴C1P∥MN ∵C1P⊄面MNC，MN⊂面MNC，∴C1P∥平面MNC； （2）在△ABC中，CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB． 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥面ABC． ∵CM⊂面ABC，∴BB1⊥CM
由因为BB1∩AB=B，BB1，AB⊂平面面ABB1A1 又CM⊂平面MNC，
∴平面MNC⊥平面ABB1A1．
17．（14分）已知三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0） （1）求BC边上高的长度；
（2）若直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，求直线l的方程． 【解答】解：（1）∵三角形的顶点分别为A（﹣1，3），B（3，2），C（1，0）， ∴BC的斜率为
=1，故直线BC的方程为y﹣0=1•（x﹣1），即 x﹣y﹣1=0，
=
．
故BC边上高的长度即点A到直线BC的距离，即
（2）∵直线l过点C，且在l上不存在到A，B两点的距离相等的点，∴直线l垂直于线段AB， 故直线l的斜率为
18．（16分）如图，在圆内接△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足acosC+ccosA=2bcosB．
.
==4，故直线l的方程为y﹣0=4•（x﹣1），即4x﹣y﹣4=0．
.
（1）求B的大小； （2）若点D是劣弧
上一点，AB=3，BC=2，AD=1，求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵acosC+ccosA=2bcosB． 由正弦定理，可得sinAcosC+sinAcosA=2sinBcosB． 得sinB=2sinBcosB． ∵0＜B＜π，sinB≠0， ∴cosB=， 即B=
．
．
，
（2）在△ABC中，AB=3，BC=2，B=由余弦定理，cos可得：AC=
．
=
在△ADC中，AC=∵B=
．
．
，AD=1，ABCD在圆上，
∴∠ADC=
由余弦定理，cos解得：DC=2
==．
四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ADC=AD•DC•sin
+AB•BC•sin=2．
19．（16分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB为4米，它所占水平地面的长AC为8米．该广告画最高点E到地面的距离为10.5米．最低点D到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离MN为1.5米，他竖直站在此电梯上观看DE的视角为θ．
.
.
（1）设此人到直线EC的距离为x米，试用x表示点M到地面的距离； （2）此人到直线EC的距离为多少米，视角θ最大？
【解答】解：（1）由题意可知MG=CH=x， 由△CHN∽△CAB可得∴NH=，
∴M到地面的距离MH=MN+NH=（2）DG=CD﹣CG=CD﹣MH=同理EG=9﹣，
，
．
，即
，
∴tan∠DMG===，tan∠EMG==，
∴tanθ=tan（∠EMG﹣∠DMG）===，
∵0＜x≤8，∴5x+∴当x=3
≥2=30，当且仅当5x=即x=3时取等号，
时，tanθ取得最大值，即θ取得最大值．
20．（16分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}，其中{an}的公差不为0．设Sn是数列{an}的前n项和．若a1，a2，a5是数列{bn}的前3项，且S4=16． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若数列{
}为等差数列，求实数t；
（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，ak，b1，b2，…，bk，…，若该数列前n项和Tn=1821，求n的值．
.
.
【解答】解：（1）设{an}的公差d≠0．∵a1，a2，a5是数列{bn}的前3项，且S4=16． ∴
，即
，4a1+
=16，
解得a1=1，d=2，
∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1． ∴b1=1，b2=3，公比q=3． ∴bn=3n﹣1． （2）Sn=∵数列{∴
=n2．∴}为等差数列， =
+
，t2﹣2t=0．
=
．
解得t=2或0，经过验证满足题意．
（3）由（1）可得：Sn=n2，数列{bn}的前n项和An=Un=
﹣n=
﹣n．
=
．数列{An}的前n项和
数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，ak，b1，b2，…，bk，…， ∴该数列前k+
=
项和=k2+
﹣（k﹣1），
∵37=2187，38=6561． ∴取k=8，可得前令Tn=1821=1700+∴n=36+5=41．
=36项的和为：
，解得m=5．
=1700，
.
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