江苏省常州市戚墅堰高级中学2020-2021学年高一第一学期期中质量调研考试数学试卷

2020学年度第一学期期中质量调研

高一年级 数学试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A{3,2,0,1,2}，集合B{x|x20}，则𝐴∩(∁𝑅𝐵)=（ ） A．{3,2,0}

B．{1,2}

C．{2,0,1,2}

D．{3,2,0,1,2}

30.62．已知alog0.63,b0.6,c3，则（ ）

A．𝑎<𝑏<𝑐 B．𝑎<𝑐<𝑏 C．𝑐<𝑎<𝑏 D．𝑏<𝑐<𝑎 3．命题“∀𝑥∈𝑅,𝑥2>−1”的否定是( ) A．∃𝑥∈𝑅,𝑥2<−1 C．∃𝑥∈𝑅,𝑥2≤−1

B．∀𝑥∈𝑅,𝑥2≤−1 D．∀𝑥∈𝑅,𝑥2<−1

4．如果𝑎＜𝑏＜0，那么下面一定成立的是（ ） A． 𝑎𝑐2<𝑏𝑐2

𝑥−3

B．𝑎−𝑏＞0

C．𝑎2>𝑏2

D．𝑎＜𝑏

11

5．不等式 𝑥−1≤0的解集是（ ） A．{𝑥|1<𝑥≤3} C．{𝑥|1≤𝑥≤3 }

B．{𝑥|1<𝑥<3} D．{𝑥|𝑥≤3}

146. 若𝑥,𝑦均大于零，且𝑥+𝑦=2，则的最小值为（ ）

xyA．5 B．4 C．9

D．2 9

7．已知定义在m5,12m上的奇函数fx，当𝑥≥0时𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥，则fm的值为（ ） A．-8

B．8

C．−24

D．24

8．函数𝑓(𝑥)=(𝑥−3)(𝑎𝑥−𝑏)为偶函数，且在0,上单调递增，则f2x0的解集为（ ）

A．x|2x2 C．x|0x4

B．{𝑥|𝑥>5或 𝑥<−1} D．x|x4或x0

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．设𝐴={𝑥|𝑥2−𝑥−2=0}，𝐵={𝑥|𝑎𝑥−1=0}，若𝐴∩𝐵=𝐵，则实数𝑎的值可以为（ ） A．2

1

1

B．0 C．−1

D．−2 10．下列不等式中可以作为x21的一个必要不充分条件的有（ ） A．0<𝑥<2

B．𝑥<1

C．−1<𝑥<0

D．𝑥<2

11．下列四个命题：其中正确的命题是（ ） A．函数𝑓(𝑥)=2𝑥2+2𝑥+3在[0,+∞)上单调递增 B．y1x和y(1x)2表示同一个函数 C．当abc时，则有abac成立

D．若二次函数f(x)ax2bx2图象与x轴没有交点，则b28a0且a0 12．设正实数a，b满足ab1，则下列选项中，正确的有（ ） A．ab≤

111 B．≤4 C．ab≥2 2ab1

D．a2b2≥

1 2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．当𝑥>1时，𝑥+𝑥−1 的最小值为________.

14．已知命题𝑝:∀𝑥∈𝑅， 𝑎𝑥2−𝑎𝑥−1≤0是真命题，则实数𝑎的取值范围是 . 1,x0𝑥()𝑓𝑥=∙𝑠𝑔𝑛(𝑥)，则不等式𝑓(𝑥)>0的解集sgn(x)0,x015.已知符号函数，若函数|𝑥|−1

1,x0为 .

16．若关于𝑥的不等式(2𝑥−5)2≥𝑘𝑥2恰好有三个整数解，则实数𝑘的取值范围是________. 四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题共10分） 化简求值: （1）(0.027)

1

3−

1

3−(−8)+4−0.5；

32+𝑙𝑜𝑔38−3𝑙𝑜𝑔35. 970

（2）2𝑙𝑜𝑔12−𝑙𝑜𝑔3

18．(本小题共12分)

已知条件𝑝:对任意𝑥∈[3,4]，不等式2𝑥−2≥𝑚2−3𝑚恒成立；条件𝑞：当𝑥∈[0,1]时，函数𝑚=𝑥2−2𝑥+1+𝑎.

（1）若𝑝是真命题，求实数𝑚的取值范围；

（2）若𝑝是𝑞的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

19．(本小题共12分)

设函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑏(𝑎,𝑏∈𝑅).

（1）若不等式f(x)0的解集为(−1,3)，求不等式𝑏𝑥2−𝑎𝑥+4<0的解集； （2）若𝑏=1，𝑎≥0，求不等式f(x)0的解集.

20．(本小题共12分)

2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响。为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产。已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产𝑥千件，需另投入成本为𝐶(𝑥)，当年产量不足80千件时，𝐶(𝑥)＝2𝑥2＋20𝑥(万元)．当年产量不小于80千件时，𝐶(𝑥)＝51𝑥+

10000－600(万元)．每件商品售价为0.05万元．通x1

过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

（1）写出年利润𝐿(𝑥)(万元)关于年产量𝑥(千件)的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

21．(本小题共12分)

2𝑥+𝑥,𝑥≥0,

已知函数𝑓(𝑥)={.

2−𝑥,𝑥<0.

（1）若𝑓(𝑎)=6，求实数a的值；

2上的值域； （2）画出函数的图象并写出函数fx在区间2,4上最大值. （3）若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+(2𝑎−1)𝑥+2，求函数𝑔(𝑥)在1,

22. (本小题共12分) 已知函数𝑓(𝑥)=|

3𝑥−2𝑥

| (𝑥>0)．

（1）当0ab且f(a)f(b)时， ①求𝑎+𝑏的值；②求1

1

𝑏+𝑎2𝑎𝑏

的最小值；

（2）已知函数g(x)的定义域为D，若存在区间[m,n]D，当x[m,n]时，g(x)的值域为[m,n]，则称函数g(x)是D上的“保域函数”，区间[m,n]叫做“等域区间”.试判断函数f(x)是否为(0,)上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由.

高一年级数学参考★答案★及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 2．A 3．C 4．C 5．A 6. D 7．A 8．B

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 9．ABC 10．BD 11．AD 12．AD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 （13．3 14．[−4,0] 15.{𝑥|𝑥<−1或𝑥>1} 16．

1219

，4]

81

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．化简求值

解：（1）(0.027)−3−(−7)+4−0.5

8

=

13−3(0.3)

1

0

−1+

12−2 (2)

=0.3−1−1+2−1 =

=

176

101

−1+ 32．………………………………………………………………………………5分

1

（2）2𝑙𝑜𝑔12−𝑙𝑜𝑔3

332+𝑙𝑜𝑔38−3𝑙𝑜𝑔35 9=𝑙𝑜𝑔34−𝑙𝑜𝑔3

=𝑙𝑜𝑔3(4×

32

+𝑙𝑜𝑔38−5 99

×8)−5 32=2−5

=−3．…………………………………………………………………………………10分

（1）由题意当𝑥∈[3,4]时， （2𝑥−2)𝑚𝑖𝑛≥𝑚2−3𝑚…………1分 18．解：即4≥𝑚2−3𝑚

所以−1≤𝑚≤4………………………………………………………………………4分 （2）对于条件𝑞,当𝑥∈[0,1]时，函数𝑚=𝑥2−2𝑥+1+𝑎

=(𝑥−1)2+𝑎∈[𝑎,𝑎+1]……6分

记𝐴=[-1，4]，𝐵=[𝑎,𝑎+1]

因为𝑝是𝑞的必要不充分条件，所以𝐵是𝐴的真子集………………………8分

𝑎≥−1

所以{𝑎+1≤4…………………………………………………………11分

“=”不能同时取

所以−1≤𝑎≤3………………………………………………………………………12分

（1）函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑏(𝑎,𝑏∈𝑅)， 19．解：

由不等式f(x)0的解集为(−1,3)，得a0， 且-1和3是方程𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑏=0的两根；

𝑎+1

则{𝑏𝑎

𝑎

=−1+3=2

=−1×3=−3

，……………………………………………………………2分

解得𝑎=1，𝑏=−3，………………………………………………………………3分

所以不等式𝑏𝑥2−𝑎𝑥+4<0等价于−3𝑥2−𝑥+4<0，其解集为(−∞,−)∪(1,+∞)

3…………………………………………………………………………………………5分 （2）𝑏=1时，不等式为𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1>0， 可化为(𝑎𝑥−1)(𝑥−1)>0，则

若a0，则不等式化为(𝑥−)(𝑥−1)>0，

𝑎令=1，得a1， 𝑎

当a1时，<1，解不等式得𝑥<或𝑥>1；………………………………7分

𝑎𝑎当a1时，不等式为(𝑥−1)2>0，解得𝑥≠1；……………………………8分 当0<𝑎<1时，>1，解不等式得𝑥<1或𝑥>；………………………10分

𝑎𝑎若𝑎=0，则不等式化为−𝑥+1>0，解得𝑥<1; …………………………11分 综上：当a1时，不，等式的解集为(−∞,)∪(1,+∞)；

𝑎当a1时，不等式的解集为{𝑥∣𝑥≠1}；

当0a1时，不等式的解集为(−∞,1)∪(,+∞)；

𝑎

当𝑎=0时，不等式的解集为(−∞,1)………………………………………………12分

11

1

1

1

1

1

1

4

（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元， 20．解：

依题意得：

当02

21

1

当x≥80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－（51𝑥+

10000𝑥

−600)－200＝400－x10000. x………………………………………………………………………………………4分

−2𝑥2+30𝑥−200, 0<𝑥<80

所以L(x)＝{…………………………………5分 10000

400−(𝑥+), 𝑥≥80

𝑥

1

（2）当02

1

此时，当x＝30时，即L(x)≤ L(30)＝250万元．………………………………8分 当x≥80时，L(x)＝400－x此时x＝

1000010000≤400－2＝400－200＝200. …10分 xxx10000，x＝100，即L(x)≤𝐿(100)=200万元．……………………11分 x由于250>200，

所以当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大， 最大利润为250万元．……………………………………………………………12分

（1）1 当a0时，𝑓(𝑎)=𝑎2+𝑎=6得𝑎=2； 21．解：

𝑦 2 𝑂 𝑥 2 当a0时，𝑓(𝑎)=2−𝑎=6得𝑎=−4.

由上知𝑎=2或−4. ………………………………………………………………3分

（2）图象如右：

………………………………………………………………………………………5分 ∵𝑓(0)=0,𝑓(2)=22+2=6,𝑓(−2)=2−(−2)=4，

∴由图象知函数fx的值域为[0,6]. ……………………………………………6分 （3）当𝑥∈[1,4]时，𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)+(2𝑎−1)𝑥+2=𝑥2+2𝑎𝑥+2 配方得𝑔(𝑥)=(𝑥+𝑎)2+2−𝑎2……………………………………………………8分 当−𝑎≤即𝑎≥−时， 𝑔(𝑥)𝑚𝑎𝑥=𝑔(4)=18+8𝑎，

22

当−𝑎>即𝑎<−时,𝑔(𝑥)𝑚𝑎𝑥=𝑔(1)=3+2𝑎，………………………………11分 22综上，𝑔(𝑥)𝑚𝑎𝑥

18+8𝑎,𝑎≥−2

………………………………………………12分 ={5

3+2𝑎,𝑎<−2

5

5

5

5

5

22.解：解：（1）由题意，𝑓(𝑥)={

2

2

−3,0<𝑥<3

𝑥

3−𝑥,𝑥≥3

2

2

22

∴f(x)在(0,)为减函数，在(,+∞)上为增函数．

33① ∵

1

1

，且

，∴0<𝑎<3<𝑏，且𝑎−3=3−𝑏，

222

∴𝑎+𝑏=3. ………………………………………………………………3分 ② 由①知𝑏=3−𝑎=当且仅当𝑎=即

𝑏+𝑎2𝑎𝑏

1

1

3𝑎−1𝑎

，∴𝑏+𝑎2𝑎𝑏

=𝑎+𝑏=𝑎+3𝑎−1≥2√3−1，

1𝑎1

√3时“=”成立 3

的最小值为2√3−1. ………………………………………………6分

（2）假设存在[m,n](0,)，当x[m,n]时，f(x)的值域为[m,n]，则m0. ∵𝑓(3)=0，∴3∉[𝑚,𝑛]. ………………………………………………8分 ① 0<𝑚<𝑛≤3，∵

2𝑚∴{2

𝑛

2

2

2

在(0,3)上为减函数，

2

−3=𝑛

−3=𝑚

解得𝑚=𝑛或𝑚∙𝑛=2，不合题意. ……………………10分

在(3,+∞)上为增函数，

2

②若3≤𝑚<𝑛，∵

2

2

3−𝑚=𝑚22m,n∴{即为方程𝑥−3𝑥+2=0在(,+∞)上的两个不等根. 233−𝑛=𝑛𝑚=1>3

解得{符合题意.

𝑛=2

综上可知，存在实数𝑚=1，𝑛=2，当x[m,n]时，f(x)的值域为[m,n]，即f(x)是(0,)上的“保域函数”. 其等域区间为[1,2]………………………12分

2