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高中数学《直线与直线方程》练习题

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高中数学《直线与直线方程》练习题

A组——基础对点练

1.直线x+3y+a=0(a为实常数)的倾斜角的大小是( ) A.30° C.120°

B.60° D.150°

3

解析:直线x+3y+a=0(a为实常数)的斜率为-3,令其倾斜角为θ,则tan θ3

=-3,解得θ=150°,故选D. 答案:D

2.如果AB<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过( ) A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

AC解析:直线Ax+By+C=0可化为y=-Bx-B,

AC

∵AB<0,BC<0,∴-B>0,-B>0.∴直线过第一、二、三象限,不过第四象限,故选D. 答案:D

3.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( ) π

A.[0,4] ππ

C.[0,4]∪(2,π)

B.[4,π) ππ3π

D.[4,2)∪[4,π)

11,又-1≤-<0,所以倾斜22

a+1a+1

解析:由直线方程可得该直线的斜率为-3π

角的取值范围是[4,π). 答案:B

4.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则参数m满足的条件是( )

3

A.m≠-2 C.m≠0且m≠1

B.m≠0 D.m≠1

22m+m-3=0,

解析:由解得m=1,故m≠1时方程表示一条直线.

2m-m=0,

答案:D

5.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行”的( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由a=1可得l1∥l2,反之,由l1∥l2可得a=1,故选C. 答案:C

6.设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是( ) A.[0,π) π3πC.4,4 

ππB.4,2



πππ3πD.4,2∪2,4



π

解析:当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为2; 1

当cos θ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=-cos θ. 因为cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0, 所以k∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞), πππ3π

又α∈[0,π),所以α∈4,2∪2,4,

π3π综上知,直线l的倾斜角α的取值范围是4,4.

答案:C

1

7.(2018·开封模拟)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-4的直线方程为( ) A.3x+4y+15=0 C.3x+y+6=0

B.4x+3y+6=0 D.3x-4y+10=0

13

解析:设所求直线的斜率为k,依题意k=-4×3=-4.又直线经过点A(-1,-3

3),因此所求直线方程为y+3=-4(x+1),即3x+4y+15=0. 答案:A

8.直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0过定点( ) A.(1,-3) C.(3,1)

B.(4,3) D.(2,3)

解析:2mx+x+my+y-7m-4=0,即(2x+y-7)m+(x+y-4)=0,由2x+y=7,x=3,,解得则直线过定点(3,1),故选C. x+y=4y=1.答案:C

9.(2018·张家口模拟)直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是( ) πA.0≤α≤4 ππC.4≤α<2

解析:直线l的斜率k=tan α=答案:C

10.已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是( ) A.0

B.2 C.2 D.1

1+m22-1

π

B.2<α<π π3πD.2<α≤4

ππ

=m2+1≥1,所以4≤α<2.

1

解析:直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和a,此直

1

线在x轴,y轴上的截距和为a+a≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1,故选D. 答案:D

11.已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上,若直线MN垂直于直线x+2y-3=0, 则点N的坐标是( ) A.(-2,-1) C.(2,1)

解析:∵点N在直线x-y+1=0上, ∴可设点N坐标为(x0,x0+1).

x0+1+1x0+2

根据经过两点的直线的斜率公式,得kMN==x.

x

0

0

B.(2,3) D.(-2,1)

1

∵直线MN垂直于直线x+2y-3=0,直线x+2y-3=0的斜率k=-2,∴x0+21

kMN×-2=-1,即x=2,解得x0=2.因此点N的坐标是(2,3),故选B.

0答案:B

12.直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,3)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________. 解析:如图,因为kAP=

1-02-1

=1,kBP=

3-00-1

=-3,

所以k∈(-∞,-3]∪[1,+∞). 答案:(-∞,-3]∪[1,+∞)

13.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a=________. 解析:令x=0,则l在y轴上的截距为2+a;令y=0,得直线l在x轴上的截距22

为1+a.依题意2+a=1+a,解得a=1或a=-2. 答案:1或-2

14.(2018·武汉市模拟)若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则

m的值为________.

解析:圆x2+y2-2x+4y=0可化为(x-1)2+(y+2)2=5,圆心为(1,-2),则直线2x+y+m=0过圆心(1,-2),故2-2+m=0,m=0. 答案:0

15.设点A(-1,0),B(1,0),直线2x+y-b=0与线段AB相交,求b的取值范围. 解析:b为直线y=-2x+b在y轴上的截距,当直线y=-2x+b过点A(-1,0)和点B(1,0)时,b分别取得最小值和最大值.∴b的取值范围是[-2,2].

B组——能力提升练

ππ

1.已知f(x)=asin x-bcos x,若f4-x=f4+x,则直线ax-by+c=0的倾斜

角为( ) π

A.3 πC.4

πB.6 3πD.4 πaπ解析:令x=,则f(0)=f2,即-b=a,则直线ax-by+c=0的斜率k==-

4b3π

1,其倾斜角为4.故选D. 答案:D

2.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( ) A.x+y-2=0 C.x-y=0

B.y-1=0 D.x+3y-4=0

解析:两部分面积之差最大,即弦长最短,此时直线垂直于过该点的直径.因为过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1,所以所求直线的斜率为-1,方程为x+y-2=0. 答案:A

3.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方

程为( ) A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0

B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0

解析:根据平面几何知识,直线AB一定与点(3,1),(1,0)的连线垂直,而这两点1

连线所在直线的斜率为2,故直线AB的斜率一定是-2,只有选项A中直线的斜率为-2,故选A. 答案:A

4.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是( ) A.(0,1) 21

C.(1-2,3]

21

B.(1-2,2) 11D.[3,2) a+bx+y=1

解析:由消去x,得y=,当a>0时,直线y=ax+b与x轴交于

a+1y=ax+bb1a+bb1

点(-a,0),结合图形(图略)知2××(1+a)=2,化简得(a+b)2=a(a+1),

a+1b2b21

则a=.∵a>0,∴>0,解得b<2.考虑极限位置,即a=0,此时易得b

1-2b1-2b2

=1-2,故选B. 答案:B

π

5.已知p:“直线l的倾斜角α>4”;q:“直线l的斜率k>1”,则p是q的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

πππ解析:当2<α≤π时,tan α≤0,即k≤0,而当k>1时,即tan α>1,则4<α<2,所以p是q的必要不充分条件,故选B.

答案:B

6.若经过点(1,0)的直线l的倾斜角是直线x-2y-2=0的倾斜角的2倍,则直线l的方程为( ) A.4x-3y-4=0 C.3x+4y-3=0

B.3x-4y-3=0 D.4x+3y-4=0

1

解析:设直线x-2y-2=0的倾斜角为α,则其斜率tan α=2,直线l的斜率tan 2α=

2tan α4

=.又因为l经过点(1,0),所以其方程为4x-3y-4=0,故选A. 231-tanα

答案:A

7.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) 53

A.-3或-5 C.-4或-5

32B.-2或-3 43D.-3或-4 解析:由题知,反射光线所在直线过点(2,-3),设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.

∵圆(x+3)2+(y-2)2=1的圆心为(-3,2),半径为1,且反射光线与该圆相切, |-3k-2-2k-3|43∴=1,化简得12k2+25k+12=0,解得k=-3或k=-4.

k2+1答案:D

8.已知倾斜角为θ的直线与直线x-3y+1=0垂直,则10

A.3 10

C.13

10B.-3 10D.-13 2

=( )

3sinθ-cos2θ

2

解析:依题意,tan θ=-3(θ∈[0,π)),

2sin2θ+cos2θ2tan2θ+1102

所以===13,故选C. 22222

3sinθ-cosθ3sinθ-cosθ3tanθ-1答案:C

9.(2018·天津模拟)已知m,n为正整数,且直线2x+(n-1)y-2=0与直线mx+ny+3=0互相平行,则2m+n的最小值为( ) A.7 B.9 C.11 D.16

解析:∵直线2x+(n-1)y-2=0与直线mx+ny+3=0互相平行,

21

∴2n=m(n-1),∴m+2n=mn,两边同除以mn可得m+n=1,∵m,n为正整数, 2n2m21∴2m+n=(2m+n)m+n=5+m+n≥5+2

等号.故选B. 答案:B

10.直线xcos θ-y-1=0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围为________.

π3

解析:直线的斜率为k=cos θ∈[-1,1],即tan α∈[-1,1],所以α∈[0,4]∪[4π,π).

π3

答案:[0,4]∪[4π,π)

11.过点A(1,2)且与直线x-2y+3=0垂直的直线方程为________.

1

解析:直线x-2y+3=0的斜率为2,所以由垂直关系可得要求直线的斜率为-2,所以所求方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0. 答案:2x+y-4=0

12.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.

解析:动直线x+my=0(m≠0)过定点A(0,0),动直线mx-y-m+3=0过定点B(1,3).由题意易得直线x+my=0与直线mx-y-m+3=0垂直,即PA⊥PB.

2n2m2n2m

·=9.当且仅当mnm=n时取|PA|2+|PB|2|AB|212+32

所以|PA|·|PB|≤=2=2=5,即|PA|·|PB|的最大值为5.

2答案:5

π

13.已知直线x=4是函数f(x)=asin x-bcos x(ab≠0)图象的一条对称轴,求直线ax+by+c=0的倾斜角. 解析:f(x)=

bππ

a2+b2sin(x-φ),其中tan φ=a,将x=4代入,得sin(4-φ)=±1,

ππππ

即4-φ=kπ+2,k∈Z,解得φ=-kπ-4,k∈Z.所以tan φ=tan-kπ-4=-1

baπ

=a,所以直线ax+by+c=0的斜率为-b=1,故倾斜角为4.

高中语文《椭圆》练习题 A组——基础对点练

x2y2

1.已知椭圆25+m2=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=( ) A.2 B.3 C.4 D.9 解析:由4=答案:B

25-m2(m>0)⇒m=3,故选B.

2.方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( ) A.k>4 C.k<4

2

2

B.k=4 D.0x2y2

解析:方程kx+4y=4k表示焦点在x轴上的椭圆,即方程4+k=1表示焦点在x轴上的椭圆,可得01

3.已知椭圆的中心在原点,离心率e=2,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆方程为( ) x2y2

A.4+3=1 x22

C.2+y=1

x2y2

B.8+6=1 x22

D.4+y=1

x2y2

解析:依题意,可设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),由已知可得抛物线的c1

焦点为(-1,0),所以c=1,又离心率e=a=2,解得a=2,b2=a2-c2=3,所以x2y2

椭圆方程为4+3=1,故选A. 答案:A

x2y2

4.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左、右焦点分别为F1,F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等差数列,则此椭圆的离心率为( ) 1A.2 1C.4

5B.5 D.5-2

c1

解析:由题意可得2|F1F2|=|AF1|+|F1B|,即4c=a-c+a+c=2a,故e=a=2. 答案:A

5.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2π

=4,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )

1A.2 C.1

2B.2 D.2

解析:如图,假设F1,F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点,P是第一象限的点,设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,则根据椭圆及双曲线的定义得|PF1|+|PF2|

=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,∴|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.设|F1F2|=2c,又∠F1PF2π

=4,则在△PF1F2中,由余弦定理得,4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-π22

a2)cos 4,化简得,(2-2)a1+(2+2)a22=4c,设椭圆的离心率为e1,双曲线2-22+22-22+2的离心率为e2,∴e2+e2=4,又e2+e2≥2

121222

e1·e2,

2222∴e·≤4,即ee,即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为1·2≥22.故选B. 1e2答案:B

6.若x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是________. y2x2

解析:将椭圆的方程化为标准形式得2+2=1,因为x2+ky2=2表示焦点在y

k2

轴上的椭圆,所以k>2,解得0x2y2

7.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=________.

10-aa-2解析:由题可知c=2.①当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=22,解得a=4.②当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=22,解得a=8.故实数a=4或8. 答案:4或8

2-22+2

·e2=e212

x2y21

8.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的离心率等于3,其焦点分别为A,B.C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,

sin A+sin B

sin C的值等于________.

sin A+sin B|CB|+|CA|

解析:在△ABC中,由正弦定理得sin C=|AB|,因为点C在椭圆上,sin A+sin B2a1

所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以sin C=2c=e=3. 答案:3

x2y2

9.已知椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),过F23

作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点,满足|AF2|=6c. (1)求椭圆C的离心率;

(2)M,N是椭圆C短轴的两个端点,设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点),→→直线MP,NP分别和x轴相交于R,Q两点,O为坐标原点.若|OR|·|OQ|=4,求椭圆C的方程.

解析:(1)∵点A的横坐标为c, c2y2

代入椭圆,得a2+b2=1. b2b23

解得|y|=a=|AF2|,即a=6c, 3

∴a2-c2=6ac.

33

∴e2+6e-1=0,解得e=2. (2)设M(0,b),N(0,-b),P(x0,y0), y0-b

则直线MP的方程为y=xx+b.

0bx0

令y=0,得点R的横坐标为. b-y0

y0+b

直线NP的方程为y=xx-b.

0令y=0,得点Q的横坐标为

bx0

. b+y0

22bx0a2b2-a2y20→→222

∴|OR|·|OQ|=22=22=a=4,∴c=3,b=1,

b-y0b-y0

x22

∴椭圆C的方程为4+y=1.

x2y21

10.(2018·沈阳模拟)椭圆C:+=1(a>b>0),其中e=焦距为2,过点M(4,0)

a2b22,的直线l与椭圆C交于点A,B,点B在A,M之间.又线段AB的中点的横坐4→→

标为7,且AM=λMB. (1)求椭圆C的标准方程. (2)求实数λ的值.

x2y2

解析:(1)由条件可知,c=1,a=2,故b=a-c=3,椭圆的标准方程为4+3

2

2

2

=1.

(2)由题意可知A,B,M三点共线, 设点A(x1,y1),点B(x2,y2).

若直线AB⊥x轴,则x1=x2=4,不合题意. 则AB所在直线l的斜率存在,设为k, 则直线l的方程为y=k(x-4).

y=kx-4,由x2y2

4+3=1,

消去y得(3+4k2)x2-32k2x+k2-12=0.①

由①的判别式Δ=322k4-4(4k2+3)·(k2-12)=144(1-4k2)>0,

x+x=,4k+31

解得k<4,且k-12

xx=.4k+3

1

2

2

2

2

12

2

32k2

x1+x216k24

由2==, 273+4k1可得k2=8,

1

将k2=8代入方程①,得7x2-8x-8=0. 4-624+62

则x1=,x2=.

77

→→

又因为AM=(4-x1,-y1),MB=(x2-4,y2), 4-x1-9-42→→

AM=λMB,所以λ=,所以λ=.

7x2-4

B组——能力提升练

x22

1.(2018·合肥市质检)已知椭圆M:a2+y=1,圆C:x2+y2=6-a2在第一象限有公共点P,设圆C在点P处的切线斜率为k1,椭圆M在点P处的切线斜率为k1

k2,则k的取值范围为( )

2

A.(1,6) C.(3,6)

B.(1,5) D.(3,5)

x22

解析:由于椭圆M:2+y=1,圆C:x2+y2=6-a2在第一象限有公共点P,所

a

22a>6-a,x222以解得326-a>1,

x0x

象限的公共点P(x0,y0),则椭圆M在点P处的切线方程为a2+y0y=1,圆C在x0x0k1k12

P处的切线方程为x0x+y0y=6-a2,所以k1=-y,k2=-a2y,=a,所以

k2∈00k2

(3,5),故选D. 答案:D

x2y2

2.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2c,若椭圆上存在点M使得( )

A.(0,2-1) 2

C.(0,2)

2

B.(2,1) D.(2-1,1)

sin∠MF1F2sin∠MF2F1

=,则该椭圆离心率的取值范围为ac

|MF2||MF1|

解析:在△MF1F2中,=,

sin∠MF1F2sin∠MF2F1sin∠MF1F2sin∠MF2F1而=,

ac|MF2|sin∠MF1F2a

∴|MF|==c.①

1sin∠MF2F1x2y2

又M是椭圆a2+b2=1上一点, F1,F2是该椭圆的焦点, ∴|MF1|+|MF2|=2a.②

2ac2a2

由①②得,|MF1|=,|MF2|=.

a+ca+c显然,|MF2|>|MF1|,

2a2

∴a-c<|MF2|a+c整理得c2+2ac-a2>0, ∴e2+2e-1>0, 解得e>2-1,又e<1,

∴2-1x2y2

3.已知P(1,1)为椭圆4+2=1内一定点,经过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为________.

解析:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k,弦的端点坐标为(x1,y1),(x2,y2), x2y211

则+=1,① 42

2

x22y2

4+2=1,②

x1+x2x1-x2y1+y2y1-y2

①-②得+=0,

42∵x1+x2=2,y1+y2=2, x1-x2

∴2+y1-y2=0, y1-y21∴k==-2. x1-x2

1

∴此弦所在的直线方程为y-1=-2(x-1), 即x+2y-3=0. 答案:x+2y-3=0

x22x20

4.已知椭圆C:2+y=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0<2+y20<1,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________.

x20

解析:由点P(x0,y0)满足0<2+y2可知P(x0,y0)一定在椭圆内(不包括原点),0<1,因为a=2,b=1,所以由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|<2a=22,当P(x0,y0)与F1或F2重合时,|PF1|+|PF2|=2,又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2,故|PF1|+|PF2|

的取值范围是[2,22). 答案:[2,22)

x2y23

5.(2018·保定模拟)椭圆C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率e=2,a+b=3.

(1)求椭圆C的方程.

(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:2m-k为定值. 3c解析:(1)因为e=2=a, 所以a=

21

c,b=c.代入a+b=3得,c=3,a=2,b=1. 33

x22

故椭圆C的方程为4+y=1.

(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为y=k(x-1

2)k≠0,k≠±,① 2x22

把①代入4+y=1, 8k2-24k,-2解得P2

. 4k+14k+11

直线AD的方程为y=2x+1.② 4k+24k. ,①与②联立解得M2k-12k-1

-128k2-24k+10-14k,-2,N(x,0)三点共线知2由D(0,1),P2=,

4k+14k+18k-2x-0

-04k2+14k-2

. ,0得N2k+1



4k

-02k-1-4k-22k+1

4k

所以MN的斜率为m=

4k+2

2k-1

4k2k+1

2k+1

==,

422k+12-22k-122k+11

则2m-k=2-k=2(定值).

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