高中数学《直线与直线方程》练习题

A组——基础对点练

1．直线x＋3y＋a＝0(a为实常数)的倾斜角的大小是( ) A．30° C．120°

B．60° D．150°

3

解析：直线x＋3y＋a＝0(a为实常数)的斜率为－3，令其倾斜角为θ，则tan θ3

＝－3，解得θ＝150°，故选D. 答案：D

2．如果AB<0，且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( ) A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

AC解析：直线Ax＋By＋C＝0可化为y＝－Bx－B，

AC

∵AB<0，BC<0，∴－B>0，－B>0.∴直线过第一、二、三象限，不过第四象限，故选D. 答案：D

3．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) π

A．[0，4] ππ

C．[0，4]∪(2，π)

3π

B．[4，π) ππ3π

D．[4，2)∪[4，π)

11，又－1≤－<0，所以倾斜22

a＋1a＋1

解析：由直线方程可得该直线的斜率为－3π

角的取值范围是[4，π)． 答案：B

4．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是( )

3

A．m≠－2 C．m≠0且m≠1

B．m≠0 D．m≠1

22m＋m－3＝0，

解析：由解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．

2m－m＝0，

答案：D

5．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：由a＝1可得l1∥l2，反之，由l1∥l2可得a＝1，故选C. 答案：C

6．设直线l的方程为x＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围是( ) A．[0，π) π3πC.4，4 

ππB．4，2



πππ3πD．4，2∪2，4



π

解析：当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为2； 1

当cos θ≠0时，由直线l的方程，可得斜率k＝－cos θ. 因为cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， 所以k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， πππ3π

又α∈[0，π)，所以α∈4，2∪2，4，

π3π综上知，直线l的倾斜角α的取值范围是4，4.

答案：C

1

7．(2018·开封模拟)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－4的直线方程为( ) A．3x＋4y＋15＝0 C．3x＋y＋6＝0

B．4x＋3y＋6＝0 D．3x－4y＋10＝0

13

解析：设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×3＝－4.又直线经过点A(－1，－3

3)，因此所求直线方程为y＋3＝－4(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0. 答案：A

8．直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0过定点( ) A．(1，－3) C．(3,1)

B．(4,3) D．(2,3)

解析：2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，由2x＋y＝7，x＝3，，解得则直线过定点(3,1)，故选C. x＋y＝4y＝1.答案：C

9．(2018·张家口模拟)直线l经过A(2,1)，B(1，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是( ) πA．0≤α≤4 ππC.4≤α<2

解析：直线l的斜率k＝tan α＝答案：C

10．已知直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是( ) A．0

B．2 C.2 D．1

1＋m22－1

π

B．2<α<π π3πD．2<α≤4

ππ

＝m2＋1≥1，所以4≤α<2.

1

解析：直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)在x轴，y轴上的截距分别为a和a，此直

1

线在x轴，y轴上的截距和为a＋a≥2，当且仅当a＝1时，等号成立．故当直线x＋a2y－a＝0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1，故选D. 答案：D

11．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0, 则点N的坐标是( ) A．(－2，－1) C．(2,1)

解析：∵点N在直线x－y＋1＝0上， ∴可设点N坐标为(x0，x0＋1)．

x0＋1＋1x0＋2

根据经过两点的直线的斜率公式，得kMN＝＝x.

x

0

0

B．(2,3) D．(－2,1)

1

∵直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，直线x＋2y－3＝0的斜率k＝－2，∴x0＋21

kMN×－2＝－1，即x＝2，解得x0＝2.因此点N的坐标是(2,3)，故选B.

0答案：B

12．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________． 解析：如图，因为kAP＝

1－02－1

＝1，kBP＝

3－00－1

＝－3，

所以k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)

13．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________. 解析：令x＝0，则l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距22

为1＋a.依题意2＋a＝1＋a，解得a＝1或a＝－2. 答案：1或－2

14．(2018·武汉市模拟)若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则

m的值为________．

解析：圆x2＋y2－2x＋4y＝0可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，圆心为(1，－2)，则直线2x＋y＋m＝0过圆心(1，－2)，故2－2＋m＝0，m＝0. 答案：0

15．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，求b的取值范围． 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．

B组——能力提升练

ππ

1．已知f(x)＝asin x－bcos x，若f4－x＝f4＋x，则直线ax－by＋c＝0的倾斜

角为( ) π

A.3 πC.4

πB．6 3πD．4 πaπ解析：令x＝，则f(0)＝f2，即－b＝a，则直线ax－by＋c＝0的斜率k＝＝－

4b3π

1，其倾斜角为4.故选D. 答案：D

2．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A．x＋y－2＝0 C．x－y＝0

B．y－1＝0 D．x＋3y－4＝0

解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P(1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x＋y－2＝0. 答案：A

3．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方

程为( ) A．2x＋y－3＝0 C．4x－y－3＝0

B．2x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0

解析：根据平面几何知识，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，而这两点1

连线所在直线的斜率为2，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2，故选A. 答案：A

4．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( ) A．(0,1) 21

C．(1－2，3]

21

B．(1－2，2) 11D．[3，2) a＋bx＋y＝1

解析：由消去x，得y＝，当a>0时，直线y＝ax＋b与x轴交于

a＋1y＝ax＋bb1a＋bb1

点(－a，0)，结合图形(图略)知2××(1＋a)＝2，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，

a＋1b2b21

则a＝.∵a>0，∴>0，解得b<2.考虑极限位置，即a＝0，此时易得b

1－2b1－2b2

＝1－2，故选B. 答案：B

π

5．已知p：“直线l的倾斜角α>4”；q：“直线l的斜率k>1”，则p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

πππ解析：当2<α≤π时，tan α≤0，即k≤0，而当k>1时，即tan α>1，则4<α<2，所以p是q的必要不充分条件，故选B.

答案：B

6．若经过点(1,0)的直线l的倾斜角是直线x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为( ) A．4x－3y－4＝0 C．3x＋4y－3＝0

B．3x－4y－3＝0 D．4x＋3y－4＝0

1

解析：设直线x－2y－2＝0的倾斜角为α，则其斜率tan α＝2，直线l的斜率tan 2α＝

2tan α4

＝.又因为l经过点(1,0)，所以其方程为4x－3y－4＝0，故选A. 231－tanα

答案：A

7．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) 53

A．－3或－5 C．－4或－5

32B．－2或－3 43D．－3或－4 解析：由题知，反射光线所在直线过点(2，－3)，设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.

∵圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径为1，且反射光线与该圆相切， |－3k－2－2k－3|43∴＝1，化简得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－3或k＝－4.

k2＋1答案：D

8．已知倾斜角为θ的直线与直线x－3y＋1＝0垂直，则10

A.3 10

C.13

10B．－3 10D．－13 2

＝( )

3sinθ－cos2θ

2

解析：依题意，tan θ＝－3(θ∈[0，π))，

2sin2θ＋cos2θ2tan2θ＋1102

所以＝＝＝13，故选C. 22222

3sinθ－cosθ3sinθ－cosθ3tanθ－1答案：C

9．(2018·天津模拟)已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则2m＋n的最小值为( ) A．7 B．9 C．11 D．16

解析：∵直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，

21

∴2n＝m(n－1)，∴m＋2n＝mn，两边同除以mn可得m＋n＝1，∵m，n为正整数， 2n2m21∴2m＋n＝(2m＋n)m＋n＝5＋m＋n≥5＋2

等号．故选B. 答案：B

10．直线xcos θ－y－1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围为________．

π3

解析：直线的斜率为k＝cos θ∈[－1,1]，即tan α∈[－1,1]，所以α∈[0，4]∪[4π，π)．

π3

答案：[0，4]∪[4π，π)

11．过点A(1,2)且与直线x－2y＋3＝0垂直的直线方程为________．

1

解析：直线x－2y＋3＝0的斜率为2，所以由垂直关系可得要求直线的斜率为－2，所以所求方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0. 答案：2x＋y－4＝0

12．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．

解析：动直线x＋my＝0(m≠0)过定点A(0,0)，动直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1,3)．由题意易得直线x＋my＝0与直线mx－y－m＋3＝0垂直，即PA⊥PB.

2n2m2n2m

·＝9.当且仅当mnm＝n时取|PA|2＋|PB|2|AB|212＋32

所以|PA|·|PB|≤＝2＝2＝5，即|PA|·|PB|的最大值为5.

2答案：5

π

13．已知直线x＝4是函数f(x)＝asin x－bcos x(ab≠0)图象的一条对称轴，求直线ax＋by＋c＝0的倾斜角． 解析：f(x)＝

bππ

a2＋b2sin(x－φ)，其中tan φ＝a，将x＝4代入，得sin(4－φ)＝±1，

ππππ

即4－φ＝kπ＋2，k∈Z，解得φ＝－kπ－4，k∈Z.所以tan φ＝tan－kπ－4＝－1

baπ

＝a，所以直线ax＋by＋c＝0的斜率为－b＝1，故倾斜角为4.

高中语文《椭圆》练习题 A组——基础对点练

x2y2

1．已知椭圆25＋m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝( ) A．2 B．3 C．4 D．9 解析：由4＝答案：B

25－m2(m>0)⇒m＝3，故选B.

2．方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( ) A．k>4 C．k<4

2

2

B．k＝4 D．0x2y2

解析：方程kx＋4y＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，即方程4＋k＝1表示焦点在x轴上的椭圆，可得01

3．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝2，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( ) x2y2

A.4＋3＝1 x22

C.2＋y＝1

x2y2

B．8＋6＝1 x22

D．4＋y＝1

x2y2

解析：依题意，可设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的c1

焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝a＝2，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以x2y2

椭圆方程为4＋3＝1，故选A. 答案：A

x2y2

4．椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为( ) 1A.2 1C.4

5B．5 D．5－2

c1

解析：由题意可得2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即4c＝a－c＋a＋c＝2a，故e＝a＝2. 答案：A

5．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2π

＝4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )

1A.2 C．1

2B．2 D．2

解析：如图，假设F1，F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF1|＋|PF2|

＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.设|F1F2|＝2c，又∠F1PF2π

＝4，则在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－π22

a2)cos 4，化简得，(2－2)a1＋(2＋2)a22＝4c，设椭圆的离心率为e1，双曲线2－22＋22－22＋2的离心率为e2，∴e2＋e2＝4，又e2＋e2≥2

121222

e1·e2，

2222∴e·≤4，即ee，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为1·2≥22.故选B. 1e2答案：B

6．若x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________． y2x2

解析：将椭圆的方程化为标准形式得2＋2＝1，因为x2＋ky2＝2表示焦点在y

k2

轴上的椭圆，所以k>2，解得0x2y2

7．若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.

10－aa－2解析：由题可知c＝2.①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4.②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.故实数a＝4或8. 答案：4或8

2－22＋2

·e2＝e212

x2y21

8．已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率等于3，其焦点分别为A，B.C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，

sin A＋sin B

sin C的值等于________．

sin A＋sin B|CB|＋|CA|

解析：在△ABC中，由正弦定理得sin C＝|AB|，因为点C在椭圆上，sin A＋sin B2a1

所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝2a，而|AB|＝2c，所以sin C＝2c＝e＝3. 答案：3

x2y2

9．已知椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F23

作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，满足|AF2|＝6c. (1)求椭圆C的离心率；

(2)M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，→→直线MP，NP分别和x轴相交于R，Q两点，O为坐标原点．若|OR|·|OQ|＝4，求椭圆C的方程．

解析：(1)∵点A的横坐标为c， c2y2

代入椭圆，得a2＋b2＝1. b2b23

解得|y|＝a＝|AF2|，即a＝6c， 3

∴a2－c2＝6ac.

33

∴e2＋6e－1＝0，解得e＝2. (2)设M(0，b)，N(0，－b)，P(x0，y0)， y0－b

则直线MP的方程为y＝xx＋b.

0bx0

令y＝0，得点R的横坐标为. b－y0

y0＋b

直线NP的方程为y＝xx－b.

0令y＝0，得点Q的横坐标为

bx0

. b＋y0

22bx0a2b2－a2y20→→222

∴|OR|·|OQ|＝22＝22＝a＝4，∴c＝3，b＝1，

b－y0b－y0

x22

∴椭圆C的方程为4＋y＝1.

x2y21

10．(2018·沈阳模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其中e＝焦距为2，过点M(4,0)

a2b22，的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在A，M之间．又线段AB的中点的横坐4→→

标为7，且AM＝λMB. (1)求椭圆C的标准方程． (2)求实数λ的值．

x2y2

解析：(1)由条件可知，c＝1，a＝2，故b＝a－c＝3，椭圆的标准方程为4＋3

2

2

2

＝1.

(2)由题意可知A，B，M三点共线， 设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．

若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝4，不合题意． 则AB所在直线l的斜率存在，设为k， 则直线l的方程为y＝k(x－4)．

y＝kx－4，由x2y2

4＋3＝1，

消去y得(3＋4k2)x2－32k2x＋k2－12＝0.①

由①的判别式Δ＝322k4－4(4k2＋3)·(k2－12)＝144(1－4k2)>0，

x＋x＝，4k＋31

解得k<4，且k－12

xx＝.4k＋3

1

2

2

2

2

12

2

32k2

x1＋x216k24

由2＝＝， 273＋4k1可得k2＝8，

1

将k2＝8代入方程①，得7x2－8x－8＝0. 4－624＋62

则x1＝，x2＝.

77

→→

又因为AM＝(4－x1，－y1)，MB＝(x2－4，y2)， 4－x1－9－42→→

AM＝λMB，所以λ＝，所以λ＝.

7x2－4

B组——能力提升练

x22

1．(2018·合肥市质检)已知椭圆M：a2＋y＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k1

k2，则k的取值范围为( )

2

A．(1,6) C．(3,6)

B．(1,5) D．(3,5)

x22

解析：由于椭圆M：2＋y＝1，圆C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共点P，所

a

22a>6－a，x222以解得326－a>1，

x0x

象限的公共点P(x0，y0)，则椭圆M在点P处的切线方程为a2＋y0y＝1，圆C在x0x0k1k12

P处的切线方程为x0x＋y0y＝6－a2，所以k1＝－y，k2＝－a2y，＝a，所以

k2∈00k2

(3,5)，故选D. 答案：D

x2y2

2．已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2c，若椭圆上存在点M使得( )

A．(0，2－1) 2

C．(0，2)

2

B．(2，1) D．(2－1,1)

sin∠MF1F2sin∠MF2F1

＝，则该椭圆离心率的取值范围为ac

|MF2||MF1|

解析：在△MF1F2中，＝，

sin∠MF1F2sin∠MF2F1sin∠MF1F2sin∠MF2F1而＝，

ac|MF2|sin∠MF1F2a

∴|MF|＝＝c.①

1sin∠MF2F1x2y2

又M是椭圆a2＋b2＝1上一点， F1，F2是该椭圆的焦点， ∴|MF1|＋|MF2|＝2a.②

2ac2a2

由①②得，|MF1|＝，|MF2|＝.

a＋ca＋c显然，|MF2|>|MF1|，

2a2

∴a－c<|MF2|a＋c整理得c2＋2ac－a2>0， ∴e2＋2e－1>0， 解得e>2－1，又e<1，

∴2－1x2y2

3．已知P(1,1)为椭圆4＋2＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．

解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， x2y211

则＋＝1，① 42

2

x22y2

4＋2＝1，②

x1＋x2x1－x2y1＋y2y1－y2

①－②得＋＝0，

42∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， x1－x2

∴2＋y1－y2＝0， y1－y21∴k＝＝－2. x1－x2

1

∴此弦所在的直线方程为y－1＝－2(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 答案：x＋2y－3＝0

x22x20

4．已知椭圆C：2＋y＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<2＋y20<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．

x20

解析：由点P(x0，y0)满足0<2＋y2可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，0<1，因为a＝2，b＝1，所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|<2a＝22，当P(x0，y0)与F1或F2重合时，|PF1|＋|PF2|＝2，又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，故|PF1|＋|PF2|

的取值范围是[2,22)． 答案：[2,22)

x2y23

5．(2018·保定模拟)椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的离心率e＝2，a＋b＝3.

(1)求椭圆C的方程．

(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值． 3c解析：(1)因为e＝2＝a， 所以a＝

21

c，b＝c.代入a＋b＝3得，c＝3，a＝2，b＝1. 33

x22

故椭圆C的方程为4＋y＝1.

(2)证明：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－1

2)k≠0，k≠±，① 2x22

把①代入4＋y＝1， 8k2－24k，－2解得P2

. 4k＋14k＋11

直线AD的方程为y＝2x＋1.② 4k＋24k. ，①与②联立解得M2k－12k－1

－128k2－24k＋10－14k，－2，N(x,0)三点共线知2由D(0,1)，P2＝，

4k＋14k＋18k－2x－0

－04k2＋14k－2

. ，0得N2k＋1



4k

－02k－1－4k－22k＋1

－

4k

所以MN的斜率为m＝

4k＋2

2k－1

4k2k＋1

2k＋1

＝＝，

422k＋12－22k－122k＋11

则2m－k＝2－k＝2(定值)．