浙江省杭州市学军中学2018-2019学年高一上学期期中考试
数学试题
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.已知集合A.
B.
，
，则
C.
（ ） D.
【答案】B 【解析】
试题分析：由题意知
，故选B.
【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.
2.函数f（x）=ln（1-x）的定义域为（ ） A.
B.
C.
D.
2
【答案】B 【解析】 【分析】
由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解． 【详解】由∴函数f（x）故选：B．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题． 3.已知函数f（x）=A.
B.
，则f[f（）]等于（ ）
C. D. ，得0≤x＜1．
ln（1﹣x2）的定义域为[0，1）．
【答案】D 【解析】 【分析】
推导出f（），从而f[f（）]＝f（），由此能求出结果．
【详解】∵函数f（x），
∴f（）
，
f[f（）]＝f（）．
故选：D．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.使函数f（x）=xa的定义域为R且为奇函数的α的值可以是（ ） A.
B. C. 3 D. 以上都不对
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，结合幂函数的性质依次分析选项，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，α＝﹣1时，f（x）＝x﹣1
，其定义域不是R，不符合题意； 对于B，α
时，f（x）
，其定义域不是R，不符合题意；
对于C，α＝3时，f（x）＝x3
，其定义域为R且为奇函数，符合题意；
对于D，错误， 故选：C．
【点睛】本题考查幂函数的性质，关键是掌握幂函数的性质，属于基础题．
5.已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，则下列结论不正确的是( A. ∁UN⊆∁UP B. ∁NP⊆∁NM C. (∁UP)∩M＝∅ D. (∁UM)∩N＝∅ 【答案】D 【解析】
因为P⊆N，所以∁UN⊆∁UP，故A正确； 因为M⊆P，所以∁NP⊆∁NM，故B正确；
)
因为M⊆P，所以(∁UP)∩M＝∅，故C正确； 因为M⊆ N，所以(∁UM)∩N∅.故D不正确. 故选D.
6.设函数f（x）=logax（a＞0，a≠1），若f（x1x2…x2018）=4，则f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）的值等于（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】
推导出f（x1x2…x2018）＝loga（x1x2…x2018）＝4，（fx12）+f（x12）+…+f（x20182）（x1x2…x2018）2＝2loga（x1x2…x2018），由此能求出结果．
【详解】∵函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1），f（x1x2…x2018）＝4， ∴f（x1x2…x2018）＝loga（x1x2…x2018）＝4， ∴f（x12）+f（x12）+…+f（x20182）
2＝loga（x1x2…x2018）
loga
＝2loga（x1x2…x2018） 4＝8． ＝2×故选：B．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7.设A={x|2≤x≤4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B真包含于A，则实数a的取值范围是（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
由B真包含于A，讨论B＝∅与B≠∅时，求出a的取值范围． 【详解】∵A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|2a≤x≤a+3}，且B真包含于A； 当B＝∅时，2a＞a+3，解得a＞3；
当B≠∅时，解得a＝1；
∴a的取值范围是{a|a＝1，或a＞3} 故选：B．
【点睛】本题考查了集合之间的基本运算，解题时容易忽略B＝∅的情况，是易错题． 8.函数f（x）=log2（-x2+ax+3）在（2，4）是单调递减的，则a的范围是（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
由复合函数的单调性可知内层函数在（2，4）上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x＝4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．
2
【详解】令t＝﹣x+ax+3，则原函数化为y＝log2t，
∵y＝log2t为增函数，
∴t＝﹣x2+ax+3在（2，4）是单调递减， 对称轴为x∴
，
且﹣42+4a+3≥0，
．
解得：
∴a的范围是[，4]． 故选：B．
【点睛】本题考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性满足同增异减的原则，是中档题．
9.对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构
造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】
【分析】
因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t﹣1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围． 【详解】由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，
由于f（x）1，
①当t﹣1＝0，f（x）＝1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长， 满足条件．
②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1＝t， 同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．
再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得 2≥t，结合大前提t﹣1＞0，解得1＜t≤2． ③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1， 同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t综上可得，故选：A．
【点睛】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题． 10.设函数A. 函数C. 若
为偶函数 B. 若时，
D. 若
，其中
时，有
时，
表示
中的最小者.下列说法错误的（ ）
t≤2，
．
【答案】D 【解析】 【分析】 先根据定义作
的图像，然后依据图像逐个检验即可．
的图像（如图所示），
【详解】在同一坐标系中画出
故的图像为图所示．
的图像关于轴对称，故为偶函数，故A正确．
由图可知从图像上看，当取
，则
时，有
时，有，
，
，故B成立．
成立，令
，则
，故
，故C成立．
，故D不成立．
综上，选D． 【点睛】一般地，若
个函数的图像的较低部分构成的．
（其中
表示
中的较小者），则
的图像是由
这两
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11.若【答案】10 【解析】 试题分析： 若
，则
，则
．
考点：对数与对数函数
12.已知【答案】【解析】 【分析】
,则________．
利用配凑法求函数的解析式.
【详解】（配凑法） (1)∴故答案为：
．
，又∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 13.已知f（x）=【答案】[-1，0] 【解析】 【分析】 把f（x）
的定义域为R转化为
0对任意x∈R恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意
的定义域为R，则实数a的取值范围是______．
x∈R恒成立，再由判别式小于等于0求解． 【详解】∵f（x）∴即
的定义域为R，
0对任意x∈R恒成立， 恒成立，
2
即x+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，
∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0． 故答案为：[﹣1，0]．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
14.设max{a，b}表示a，b两数中的最大值，若f（x）=max{|x|，|x-t|}关于x=1对称，则t=______．
【答案】2 【解析】 【分析】
利用函数y＝|x|的图象和函数y＝|x﹣t|的图象关于直线x【详解】f（x）＝max{|x|，|x﹣t|}
，
对称，从而得出结论．
由函数y＝|x|的图象关于x＝0对称，函数y＝|x﹣t|的图象关于x＝t对称， 即有函数f（x）的图象关于x
对称，
f（x）＝max{|x|，|x﹣t|}关于x＝1对称， 即有
1，求得t＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查函数的对称性，属于基础题．
15.设方程x2-mx+2=0的两根α，β，其中α∈（1，2），则实数m的取值范围是______． 【答案】（2，4） 【解析】 【分析】
由题意利用韦达定理，不等式的性质，求出实数m的取值范围．
【详解】∵方程x2﹣mx+2＝0的两根α，β，∴△＝m2﹣8≥0，求得m≥2，或 m≤﹣2①．
由α•β＝2，α∈（1，2），则∈（1，2），∴1＜β＜2， 则m＝α+β∈（2，4）②． 由①②可得，m∈（2，4） 故答案为：（2，4）．
【点睛】本题主要考查韦达定理，不等式的性质，属于基础题． 16.已知lg2≈0.3010，则22018是______位数． 【答案】608 【解析】 【分析】
2018
设x＝2，可得lgx＝2018lg2≈607.418，即可得出． 2018
【详解】设x＝2，则lgx＝2018lg2≈2018×0.3010＝607.418，
∴22018是608位数． 故答案为：608．
【点睛】本题考查了对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17.已知函数f（x）满足对任意的m，n都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，设g（x）=f（x）+（a＞0，
a≠1），g（ln2018）=-2015，则g（ln【答案】2018 【解析】 【分析】
）=______．
由已知中函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1，可得f（0）＝1，进而f（x）+f（﹣x）＝2，g（x）+g（﹣x）＝3，结合g（ln2018）＝﹣2015，由对数的运算性质计算可得所求值． 【详解】∵函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1， 令m＝n＝0，则f（0）＝2f（0）﹣1， 解得f（0）＝1，
令m＝x，n＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）﹣1， 即f（x）+f（﹣x）＝2，
∵g（x）＝f（x）（a＞0，a≠0），
∴g（﹣x）＝f（﹣x）f（﹣x），
故g（x）+g（﹣x）＝f（x）+f（﹣x）+1＝3， ∴g（ln2018）+g（ln即g（ln
）＝2018，
）＝﹣2015+g（﹣ln2018）＝3，
故答案为：2018．
【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共62.0分）
18.已知集合U=R，集合A={x|x2-（a-2）x-2a≥0}，B={x|1≤x≤2}． （1）当a=1时，求A∩B；
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围． 【答案】（1）{x|1≤x≤2}； （2）{a|a≤1}. 【解析】 【分析】
（1）代入a的值，求出集合A，从而求出A∩B；
（2）由A与B的并集为A，得到B为A的子集，表示出A的中不等式的解集，根据数轴确定出满足题意a的范围即可．
【详解】（1）a=1时，A={x|x≥1或x≤-2}， 故A∩B={x|1≤x≤2}； （2）∵A∪B=A， ∴B⊆A，
由x-（a-2）x-2a≥0，得（x+2）（x-a）≥0， 当a＜-2时，如数轴表示，符合题意；
同理，当-2≤a≤1，也合题意； 但当a＞1时，不合题意， 综上可知{a|a≤1}．
【点睛】本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键． 19.设函数f（x）=（1）设t=
+
+
+
．
2
，求t的取值范围；
（2）求f（x）的最大值． 【答案】（1）[，2]； （2）3. 【解析】 【分析】 （1）将t
，﹣1≤x≤1，两边平方，结合二次函数的最值，即可得到所求范围；
（2）由（1）可得g（t）＝f（x）求最大值． 【详解】（1）t=可得t=2+2
22
（t+1）2
，考虑对称轴t＝﹣1与区间[，2]的关系，即可得到所
+，
2
，-1≤x≤1，
由0≤1-x≤1，可得t∈[2，4]， 由t≥0可得t的取值范围是[，2]；
（2）由（1）可得g（t）=f（x）=t+
=（t+1）-，
由[，2]在对称轴t=-1的右边，为增区间， 即有t=2，即x=0，g（t）取得最大值，且为3， 即f（x）的最大值为3．
【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题． 20.已知函数f（x）=x+（a＞0）． （1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（，+∞）上的单调性，并用定义证明． 【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）求出函数的定义域，得到f（﹣x）＝﹣f（x），判断函数的奇偶性即可； （2）根据单调性的定义证明即可． 【详解】（1）f（x）的定义域是{x|x≠0}， f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x）， 故函数f（x）是奇函数； （2）函数在（，+∞）递增，
2
令＜m＜n，
则f（m）-f（n）=m+-n-=（m-n）+a•=（m-n）（1-），
＞0，
∵＜m＜n，∴m-n＜0，1-故f（m）-f（n）＜0，
故f（x）在（，+∞）上递增．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性问题，考查转化思想，是一道基础题． 21.已知函数f（x）=2x，g（x）=-x2+2x+b． （1）若f（x）+
+1≥0对任意的x∈[1，3]恒成立，求m的取值范围；
（2）若x1，x2∈[1，3]，对任意的x1，总存在x2，使得f（x1）=g（x2），求b的取值范围． 【答案】（1）[-6，-∞）； （2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据h（x）＝f（x）范围；
（2）根据对任意的x1，总存在x2，使得f（x1）＝g（x2），可得f（x）的值域是g（x）的值域的子集，即可求解b的范围；
1，结合勾勾函数的性质对任意的x∈[1，3]恒成立，即可求解m的取值
【详解】（1）函数f（x）=2，令h（x）=f（x）+
x
+1=；
①当m=0时，可得h（x）=2x+1在x∈[1，3]恒成立；
②当m＜0时，可知f（x）=2是递增函数，y=在x∈[1，3]也是递增函数，
x
∴h（x）在x∈[1，3]是递增函数，此时h（x）min=h（1）=可得：-6≤m＜0；
≥0，
③当m＞0时，函数h（x）=，当时取等号；
∴≥0恒成立
综上所述：f（x）++1≥0对任意的x∈[1，3]恒成立，可得m的取值范围是[-6，-∞）；
（2）由函数f（x）=2x，x∈[1，3]， 可得：2≤f（x）≤8；
由g（x）=-x+2x+b．其对称x=1，开口向下． ∵x∈[1，3]，
∴g（x）在x∈[1，3]上单调递减． g（x）max=g（1）=1+b； g（x）min=g（3）=-3+b；
∵对任意的x1，总存在x2，使得f（x1）=g（x2）， ∴f（x）的值域是g（x）的值域的子集； 即
，
2
解得：无解．
故x1，x2∈[1，3]，对任意的x1，总存在x2，使得f（x1）=g（x2），此是b的取值范围是空集． 【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数的最值以及单调性的应用，属于中档题.
22.已知定a∈R，f（x）=log2（1+ax）． （1）求f（x）的值域；
（2）若关于x的方程f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0的解集恰有一个元素，求实数a的取值范围； （3）当a＞0时，对任意的t∈（，+∞），f（x）在[t，t+1]的最大值与最小值的差不超过4，求a的取值范围．
【答案】（1）当a≥0时，值域为[0，+∞），当a＜0时，值域为（-∞，0）； （2）1＜a≤2，或a＞4； （3）（0，+∞）. 【解析】 【分析】
（1）讨论a≥0时，a＜0时，由对数函数的单调性可得值域；
（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可；
（3）根据条件得到g（x）＝log2（1+ax），a＞0，函数g（x）在区间[t，t+1]上单调递增，g（t+1）﹣g（t）
2
2
2
≤4，运用对数函数的单调性和参数分离进行求解即可． 【详解】（1）f（x）=log2（1+ax），可得f（x）=log2（1+ax）， 当a≥0时，1+ax≥1，即有log2（1+ax）≥0； 当a＜0时，0＜1+ax2＜1，即有log2（1+ax2）＜0； 即有当a≥0时，f（x）的值域为[0，+∞）； 当a＜0时，f（x）的值域为（-∞，0）；
（2）由f（x）-log2[（a-4）x2+（2a-5）x]=0得log2（1+ax）=log2[（a-4）x2+（2a-5）x]， 即1+ax=（a-4）x2+（2a-5）x＞0，① 则（a-4）x2+（a-5）x-1=0， 即（x+1）[（a-4）x-1]=0，②，
当a=4时，方程②的解为x=-1，代入①，不成立； 当a=3时，方程②的解为x=-1，代入①，不成立； 当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=-1或x=
，
2
2
2
2
若x=-1是方程①的解，则1-a=-a+1＞0，即a＜1， 若x=
是方程①的解，则1+
=
＞0，即a＞4或a＜2，
则要使方程①有且仅有一个解，则a＞4或1≤a＜2．
综上，若方程f（x）-log2[（a-4）x+（2a-5）x]=0的解集中恰好有一个元素， 则a的取值范围是1＜a≤2，或a＞4； （3）当a＞0时，对任意的t∈（，+∞）， f（x）=log2（1+ax）， 设g（x）=log2（1+ax），a＞0， 函数g（x）在区间[t，t+1]上单调递增， 由题意得g（t+1）-g（t）≤4，
即log2（1+at+2at+a）-log2（1+at）≤4， 即1+at+2at+a≤16（1+at），
即有a（15t2-2t-1）+15=a（3t-1）（5t+1）+15＞0恒成立， 综上可得a的范围是（0，+∞）．
【点睛】本题考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，考查对数函数的单调性，属于中档
2
2
2
2
2
2
2
2
题．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容