2020-2021学年湖南省邵阳市邵阳县九年级（上）期中数
学试卷
题号 得分 一 二
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 一元二次方程2𝑥2−𝑥+1=0根的情况是 ( )
三 四 总分 A. 两个不相等的实数根 C. 没有实数根
B. 两个相等的实数根 D. 无法判断
3
2. 若点𝐴(−1,𝑦1)，𝐵(1,𝑦2)，𝐶(3,𝑦3)在反比例函数𝑦=−𝑥的图象上，则𝑦1，𝑦2，𝑦3的
大小关系是( )
A. 𝑦1<𝑦2<𝑦3
B. 𝑦2<𝑦3<𝑦1 C. 𝑦3<𝑦2<𝑦1 D. 𝑦2<𝑦1<𝑦3
3. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程𝑥2−12𝑥+35=0的根，则该三角形
的周长为( )
A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对
4. 如果两个相似三角形最短边的长分别为5 𝑐𝑚和3 𝑐𝑚，它们的周长之差为12 𝑐𝑚，那
么大三角形的周长为( )
A. 14 𝑐𝑚
𝑘
B. 16 𝑐𝑚 C. 18 𝑐𝑚 D. 30 𝑐𝑚
5. 反比例函数𝑦=𝑥的图象如图所示，点A是该函数图象上一点，AB垂直于x轴垂足
是点B，如果𝑆△𝐴𝑂𝐵=1，则k的值为( )
A. 1 B. −1 C. 2 D. −2
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6. 在△𝐴𝐵𝐶中，D、E为边AB、AC的中点，已知△𝐴𝐷𝐸的面积
为4，那么△𝐴𝐵𝐶的面积是( )
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′相似比为3，7. 以原点O为位似中心，作△𝐴𝐵𝐶的位似图形△𝐴′𝐵′𝐶′，
若点C的坐标为(4,1)，则点𝐶’的坐标为( )
1
A. (12,3) C. (−12,−3)
8. 当𝑥<0时，函数𝑦=−𝑥的图象在( )
3
B. (−12,3)或(12,−3) D. (12,3)或(−12,−3)
A. 第一象限 B. 第二象限
3
C. 第三象限 D. 第四象限
9. 若关于x一元二次方程𝑘𝑥2−𝑥−4=0有实数根，则实数k的取值范围是( )
A. 𝑘=0 C. 𝑘≥−3
1
B. 𝑘≥−3且𝑘≠0 D. 𝑘>−3
𝑘
1
1
10. 如图，一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0)的图像和反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)的图像相交于
𝐴(−2,𝑦1)、𝐵(1,𝑦2)两点，则不等式𝑎𝑥+𝑏<𝑥的解集为( )
𝑘
A. 𝑥<−2或0<𝑥<1 C. 0<𝑥<1
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 11. 已知双曲线𝑦=
𝑘+1𝑥
B. 𝑥<−2
D. −2<𝑥<0或𝑥>1
过点(−1,2)，那么k的值等于________．
12. 若一元二次方程𝑥2+𝑥−2=0的解为𝑥1、𝑥2，则𝑥1·𝑥2的值是______．
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13. 在△𝐴𝐵𝐶中，点D、E分别在边AB、AC上，且𝐷𝐸//𝐵𝐶.如果𝐴𝐵=5，𝐷𝐸=6，那
么𝐵𝐶=______．
14. 某药品原价是95元，经连续两次降价后，价格变为60.8元，如果每次降价的百分
率是一样的，那么每次降价的百分率是______ ．
𝐵𝐶=3，15. 如图，在矩形ABCD中，点F为CD的中点，𝐴𝐵=2√3，
𝐸𝐹⊥𝐵𝐹交AD于点E，连接CE交BF于点G，则EG的长为______．
16. 如图，点A在反比例函数𝑦=𝑥(𝑥>0)的图象上，𝐴𝐵⊥𝑥轴于
点B，△𝐴𝑂𝐵的面积为5，则𝑘=______
17. 已知方程𝑥2+𝑚𝑥+2=0的一个根是1，则它的另一个根是______． 18. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，BO平分∠𝐴𝐵𝐶，CO平分∠𝐴𝐶𝐵，MN
经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且𝑀𝑁//𝐵𝐶.若𝐴𝐵=7，𝐴𝐶=6，那么△𝐴𝑀𝑁的周长是 ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分） 19. 解方程：
(1)𝑥2+2𝑥=1
𝑘
𝐴𝐷3
(2)(𝑥−3)2+2(𝑥−3)=0
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四、解答题（本大题共7小题，共58.0分）
D是BC中点，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于E，20. 如图，求证：
△𝐴𝐶𝐷∽△𝐵𝐶𝐸．
21. 已知关于x的一元二次方程𝑥2−2𝑥+𝑚−1=0有两个实数根𝑥1，𝑥2．
(1)求m的取值范围；
22(2)当𝑥1+𝑥2=6𝑥1𝑥2时，求m的值．
22. 如图，点D是△𝐴𝐵𝐶的边AB上一点，点E为AC的中点，过点C作𝐶𝐹//𝐴𝐵交DE
延长线于点F．
(1)求证：𝐴𝐷=𝐶𝐹．
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(2)连接AF，CD，求证：四边形ADCF为平行四边形．
23. 已知关于x的方程𝑥2+𝑎𝑥+𝑎−3=0．
(1)若该方程的一个根为2，求a的值及方程的另一个根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
24. 如图，已知一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象与x轴交于
点A，与反比例函数𝑦=
𝑚𝑥
(𝑥<0)的图象交于点
𝐵(−2,𝑛)，过点B作𝐵𝐶⊥𝑥轴于点C，点𝐷(3−3𝑛,1)是该反比例函数图象上一点． (1)求m的值；
(2)若∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐶，求一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的表达式．
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25. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天
可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： (1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
26. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满
足∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐵，且点D、F分别在边AB、AC上，．
(1)求证：△𝐵𝐷𝐸∽△𝐶𝐸𝐹；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠𝐷𝐹𝐶．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：△=(−1)2−4×2×1=−7<0， 所以方程无实数根． 故选：C．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与△=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
2.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质判断即可． 【解答】
解：∵𝑘=−3<0，
∴在第四象限，y随x的增大而增大， ∴𝑦2<𝑦3<0， ∵𝑦1>0， ∴𝑦2<𝑦3<𝑦1， 故选：B．
3.【答案】B
【解析】 【分析】
本题主要考查了解一元二次方程−因式分解法和三角形三边关系，本题首先解方程，然后根据三角形三边关系判断即可．
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【解答】
解方程𝑥2−12𝑥+35=0得：𝑥=5或𝑥=7． 当𝑥=7时，3+4=7，不能组成三角形； 当𝑥=5时，3+4>5，三边能够组成三角形． ∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 3，利用相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比得到两三角形的周长的比为5：于是可设两三角形的周长分别为5xcm，3xcm，所以5𝑥−3𝑥=12，然后解方程求出x后，得出5x即可． 【解答】
解：根据题意得，两三角形的周长的比为5︰3，
设两三角形的周长分别为5𝑥 𝑐𝑚，3𝑥 𝑐𝑚，则5𝑥−3𝑥=12，解得𝑥=6， 所以5𝑥=30.即大三角形的周长为30 𝑐𝑚． 故选D．
5.【答案】D
【解析】解：由于点A在反比例函数𝑦=𝑥的图象上， 则𝑆△𝐴𝑂𝐵=2|𝑘|=1，𝑘=±2；
又由于函数的图象在第二象限，故𝑘<0， 则𝑘=−2． 故选：D．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的
1
𝑘
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三角形的面积是2|𝑘|，且保持不变．
此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．
1
6.【答案】C
【解析】解：∵𝐷、E分别是AB、AC的中点， ∴𝐷𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中位线， ∴𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐵𝐶=2， ∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶， ∴
𝑆△𝐴𝐷𝐸𝑆△𝐴𝐵𝐶
𝐷𝐸
1
=()2， 2
1
∵△𝐴𝐷𝐸的面积为4， ∴
4𝑆△𝐴𝐵𝐶
=， 4
1
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=16． 故选：C．
由条件可以知道DE是△𝐴𝐵𝐶的中位线，根据中位线的性质就可以求出𝐵𝐶=2，再根据相似三角形的性质就可以得出结论．
本题考查中位线的判定及性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶是解答本题的关键．
𝐷𝐸
1
7.【答案】D
【解析】 【分析】
根据位似变换的性质计算即可．
本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−𝑘． 【解答】
解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′相似比为3，若点C的坐标为(4,1)， ∴点𝐶′的坐标为(4×3,1×3)或(4×(−3),1×(−3))， ∴点𝐶′的坐标为(12,3)或(−12,−3)， 故选：D．
1
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8.【答案】B
【解析】 【分析】
此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质： (1)反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)的图象是双曲线；
(2)当𝑘>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
(3)当𝑘<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
根据反比例函数的性质：𝑘<0，反比例函数图象在第二、四象限内进行分析． 【解答】
解：函数𝑦=−𝑥的图象在第二、四象限，当𝑥<0时，图象在第二象限， 故选B．
3
𝑘
9.【答案】B
【解析】 【分析】
本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】
解：∵关于x的一元二次方程𝑘𝑥2−𝑥−4=0有实数根，
∴{
1
3
𝑘≠0
3,
𝛥=(−1)2−4×𝑘×(−)≥0
4解得：𝑘≥−3且𝑘≠0． 故选B．
10.【答案】D
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【解析】 【分析】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题有关知识，根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【解答】
解：观察函数图象，发现：当−2<𝑥<0或𝑥>1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式𝑎𝑥+𝑏<𝑥的解集是−2<𝑥<0或𝑥>1． 故选D．
𝑘
11.【答案】−3
【解析】解：∵双曲线𝑦=∴2=
𝑘+1−1
𝑘+1𝑥
经过点(−1,2)，
，解得𝑘=−3．
故答案为：−3．
直接把点(−1,2)代入双曲线𝑦=
𝑘+1𝑥
，求出k的值即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
12.【答案】−2
【解析】解：∵一元二次方程𝑥2+𝑥−2=0的解为𝑥1、𝑥2， ∴𝑥1·𝑥2=−2． 故答案为−2．
两根之积等于𝑎即可解决问题．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于−𝑎，两根之积等于𝑎”是解题的关键．
𝑐
𝑏
𝑐
13.【答案】10
【解析】 【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶是解题关键．
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直接利用相似三角形的判定与性质得出𝐵𝐶=𝐴𝐵，进而分析得出答案． 【解答】 解：如图，
𝐷𝐸𝐴𝐷
∵𝐷𝐸//𝐵𝐶， ∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶， ∴∵
𝐷𝐸𝐵𝐶𝐴𝐷
=
𝐴𝐷𝐴𝐵3
，
=， 𝐴𝐵5
6
3
∴𝐵𝐶=5， 解得：𝐵𝐶=10． 故答案为10．
14.【答案】20%
【解析】 【分析】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
设每次降价的百分率为x，根据原价及连续两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】
解：设每次降价的百分率为x， 根据题意得：95(1−𝑥)2=60.8， 解得：𝑥=0.2=20%或𝑥=−1.8(舍去)． 故答案为20%．
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13
15.【答案】4√ 7
【解析】 【分析】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，题目比较好，有一定的难度．
延长BF、AD交于M，根据矩形性质求出CD、DF、CF，证△𝐸𝐷𝐹∽△𝐹𝐶𝐵求出DE，根据勾股定理求出CE，证△𝐷𝐹𝑀∽△𝐶𝐹𝐵，求出DM，证△𝐸𝐺𝑀∽△𝐶𝐺𝐵，即可求出答案． 【解答】
解：延长BF、AD交于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴𝐴𝐵=𝐷𝐶=2√3，∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=90°， ∵𝐹为CD中点，
∴𝐶𝐹=𝐷𝐹=2𝐶𝐷=√3， ∵𝐸𝐹⊥𝐵𝐹， ∴∠𝐸𝐹𝐵=90°，
∴∠𝐹𝐵𝐶+∠𝐵𝐹𝐶=90°，∠𝐵𝐹𝐶+∠𝐷𝐹𝐸=90°， ∴∠𝐷𝐹𝐸=∠𝐶𝐵𝐹， ∵∠𝐸𝐷𝐹=∠𝐹𝐶𝐵=90°， ∴△𝐸𝐷𝐹∽△𝐹𝐶𝐵， ∴∴
𝐷𝐸𝐶𝐹𝐷𝐸√31
=𝐶𝐵， =
√3， 3
𝐷𝐹
∴𝐷𝐸=1，
由勾股定理得：𝐸𝐶=√𝐷𝐸2+𝐷𝐶2=√1+(2√3)2=√13， ∵四边形ABCD是矩形，
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∴𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴△𝐷𝐹𝑀∽△𝐶𝐹𝐵， ∴
𝐷𝐹𝐶𝐹
=
𝐷𝑀𝐶𝐵
，
∵𝐷𝐹=𝐶𝐹， ∴𝐵𝐶=𝐷𝑀=3， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴△𝐸𝐺𝑀∽△𝐶𝐺𝐵， ∴
𝐸𝐺𝐶𝐺𝐸𝐺√13−𝐸𝐺=
𝐸𝑀𝐶𝐵
，
=， 3
4
𝐸𝐺=
4√13． 7
4√13． 7
故答案为
16.【答案】10
【解析】 【分析】
根据反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)中比例系数k的几何意义得到𝑆△𝐴𝑂𝐵=2|𝑘|=5，然后根据反比例函数性质确定k得值．
本题考查了反比例函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)中比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是2|𝑘|，且保持不变． 【解答】 解：∵𝐴𝐵⊥𝑥轴， ∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=2|𝑘|=5， ∵𝑘>0， ∴𝑘=10． 故答案为：10．
1
1
𝑘
𝑘
1
17.【答案】2
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【解析】解：设方程的另一个根为𝑥1， 根据题意得：1×𝑥1=2， ∴𝑥1=2． 故答案为：2．
设方程的另一个根为𝑥1，根据两根之积等于𝑎，即可得出关于𝑥1的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及解一元一次方程，牢记两根之积等于𝑎是解题的关键．
𝑐
𝑐
18.【答案】13
【解析】 【分析】
本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，关键是根据等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质得出三角形AMN的周长是𝐴𝐵+𝐴𝐶．
根据BO平分∠𝐴𝐵𝐶，CO平分∠𝐴𝐶𝐵，且𝑀𝑁//𝐵𝐶，可得出𝑀𝑂=𝑀𝐵，𝑁𝑂=𝑁𝐶，所以三角形AMN的周长是𝐴𝐵+𝐴𝐶． 【解答】
解：∵𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，CO平分∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝑀𝐵𝑂=∠𝑂𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝑁=∠𝑂𝐶𝐵， ∵𝑀𝑁//𝐵𝐶，
∴∠𝑀𝑂𝐵=∠𝑂𝐵𝐶，∠𝑁𝑂𝐶=∠𝑂𝐶𝐵， ∴∠𝑀𝐵𝑂=∠𝑀𝑂𝐵，∠𝑁𝑂𝐶=∠𝑁𝐶𝑂， ∴𝑀𝑂=𝑀𝐵，𝑁𝑂=𝑁𝐶， ∵𝐴𝐵=7，𝐴𝐶=6，
∴△𝐴𝑀𝑁的周长=𝐴𝑀+𝑀𝑁+𝐴𝑁=𝐴𝐵+𝐴𝐶=6+7=13． 故答案为13．
19.【答案】解：(1)𝑥2+2𝑥=1
配方，得
𝑥2+2𝑥+1=1+1， (𝑥+1)2=2， 由此可得
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𝑥+1=±√2，
𝑥1=−1+√2，𝑥2=−1−√2；
(2)(𝑥−3)2+2(𝑥−3)=0
因式分解，得 (𝑥−3)(𝑥−1)=0， 于是得
𝑥−3=0或𝑥−1=0， 𝑥1=3，𝑥2=1．
【解析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． (1)直接运用配方法即可；
(2)提取公因式(𝑥−3)可得(𝑥−3)(𝑥−1)=0，然后解两个一元一次方程即可．
20.【答案】证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，D是BC中点，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐶=90°， ∵𝐵𝐸⊥𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐸𝐶=90°， ∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐸𝐶， 而∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐸， ∴△𝐴𝐶𝐷∽△𝐵𝐶𝐸．
【解析】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质．
D是BC中点得到𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，根据等腰三角形的性质，由𝐴𝐵=𝐴𝐶，易得∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐸𝐶=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．
21.【答案】解：(1)∵原方程有两个实数根，
∴△=(−2)2−4(𝑚−1)≥0， 整理得：4−4𝑚+4≥0， 解得：𝑚≤2；
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22(2)∵𝑥1+𝑥2=2，𝑥1⋅𝑥2=𝑚−1，𝑥1+𝑥2=6𝑥1𝑥2，
∴(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1⋅𝑥2=6𝑥1⋅𝑥2， 即4=8(𝑚−1)， 解得：𝑚=2． ∵𝑚=2<2，
∴符合条件的m的值为2．
3
3
3
【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式有关知识．
(1)根据一元二次方程𝑥2−2𝑥+𝑚−1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
22(2)根据根与系数的关系求出𝑥1+𝑥2，𝑥1⋅𝑥2的值，代入𝑥1+𝑥2=6𝑥1𝑥2求解即可．
22.【答案】解：(1)证明：∵𝐶𝐹//𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐶𝐹𝐸，∠𝐹𝐶𝐸=∠𝐷𝐴𝐸． ∵点E为AC的中点， ∴𝐴𝐸=𝐸𝐶．
∵在△𝐴𝐷𝐸和△𝐶𝐹𝐸中， ∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐹
{∠𝐹𝐶𝐸=∠𝐴， 𝐴𝐸=𝐸𝐶
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐹𝐸(𝐴𝐴𝑆)． ∴𝐴𝐷=𝐶𝐹； (2)∵△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐹𝐸， ∴𝐷𝐸=𝐹𝐸． ∵𝐴𝐸=𝐸𝐶，
∴四边形ADCF为平行四边形．
【解析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，平行四边形的判定方法的运用，解答时证明三角形全等是关键．
(1)根据𝐶𝐹//𝐴𝐵就可以得出∠𝐴=∠𝐸𝐶𝐹，∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐹，证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐹𝐸就可以求出
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结论；
(2)由△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐹𝐸就可以得出𝐷𝐸=𝐹𝐸，又有𝐴𝐸=𝐶𝐸于是就得出结论．
23.【答案】解：(1)将𝑥=2代入方程𝑥2+𝑎𝑥+𝑎−3=0得4+2𝑎+𝑎−3=0，解得
𝑎=−，
3方程为𝑥2−3𝑥−
51
103
1
=0，即3𝑥2−𝑥−10=0，
解得𝑥1=−3，𝑥2=2；
(2)∵△=𝑎2−4(𝑎−3) =𝑎2−4𝑎+12 =𝑎2−4𝑎+4+8
=(𝑎−2)2+8>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解析】(1)将𝑥=2代入方程𝑥2+𝑎𝑥+𝑎−3=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．
24.【答案】解：(1)∵点𝐵(−2,𝑛)、𝐷(3−3𝑛,1)在反比例函数𝑦=𝑥(𝑥<0)的图象上，∴{
−2𝑛=𝑚
，
3−3𝑛=𝑚
𝑚
𝑛=3
解得：{．
𝑚=−6
(2)由(1)知反比例函数解析式为𝑦=−𝑥， ∵𝑛=3，
∴点𝐵(−2,3)、𝐷(−6,1)，
如图，过点D作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于点E，延长DE交AB于点F，
6
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在△𝐷𝐵𝐸和△𝐹𝐵𝐸中， ∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐹𝐵𝐸∵{𝐵𝐸=𝐵𝐸， ∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐵𝐸𝐹=90°∴△𝐷𝐵𝐸≌△𝐹𝐵𝐸(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐷𝐸=𝐹𝐸=4， ∴点𝐹(2,1)，
将点𝐵(−2,3)、𝐹(2,1)代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏， ∴{
−2𝑘+𝑏=3
，
2𝑘+𝑏=1
1
𝑘=−
2， 解得：{
𝑏=2∴𝑦=−2𝑥+2．
1
(1)由点𝐵(−2,𝑛)、𝐷(3−3𝑛,1)在反比例函数𝑦=【解析】
3−3𝑛，即可得出答案；
(2)由(1)得出B、D的坐标，作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶、延长DE交AB于点F，证△𝐷𝐵𝐸≌△𝐹𝐵𝐸得𝐷𝐸=𝐹𝐸=4，即可知点𝐹(2,1)，再利用待定系数法求解可得．
本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
𝑚𝑥
(𝑥<0)的图象上可得−2𝑛=
25.【答案】(1)解：设每千克核桃应降价x元， 根据题意得，
(60−𝑥−40)(100+×20)=2240，
2𝑥
化简，得 𝑥2−10𝑥+24=0， 解得，𝑥1=4，𝑥2=6，
答：每千克核桃应降价4元或6元．
(2)解：由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元． 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元， 此时，售价为：60−6=54(元)，
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设按原售价的m折出售，则有：60× 10=54， 解得𝑚=9．
答：该店应按原售价的九折出售．
𝑚
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
(1)设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可； (2)为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
26.【答案】解：(1)∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，
∴∠𝐵=∠𝐶，
∵∠𝐵𝐷𝐸=180°−∠𝐵−∠𝐷𝐸𝐵， ∠𝐶𝐸𝐹=180°−∠𝐷𝐸𝐹−∠𝐷𝐸𝐵， ∵∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐵， ∴∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐸𝐹， ∴△𝐵𝐷𝐸∽△𝐶𝐸𝐹； (2)∵△𝐵𝐷𝐸∽△𝐶𝐸𝐹， ∴
𝐵𝐸𝐶𝐹
=
𝐷𝐸𝐸𝐹
，
∵点E是BC的中点， ∴𝐵𝐸=𝐶𝐸， ∴
𝐶𝐸𝐶𝐹
=
𝐷𝐸𝐸𝐹
，
∵∠𝐷𝐸𝐹=∠𝐵=∠𝐶， ∴△𝐷𝐸𝐹∽△𝐸𝐶𝐹， ∴∠𝐷𝐹𝐸=∠𝐶𝐹𝐸， ∴𝐹𝐸平分∠𝐷𝐹𝐶．
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质有关知识． (1)根据等腰三角形的性质得到∠𝐵=∠𝐶，根据三角形的内角和和平角的定义得到∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐸𝐹，于是得到结论； (2)根据相似三角形的性质得到𝐶𝐹=即可得到结论．
𝐵𝐸
𝐷𝐸
，等量代换得到𝐶𝐹=𝐸𝐹
𝐶𝐸𝐷𝐸𝐸𝐹
，根据相似三角形的性质
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