一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.
如果(𝑥2−2𝑥+𝑚)(𝑥−1)=0方程的三根，可作为一个三角形的三边长，则𝑚的取值范围是( )
A. 𝑚≥4
2.
6
3
B. 4<𝑚≤1
3
C. 4≤𝑚≤1
3
D. 𝑚≤4
3
反比例函数𝑦=𝑥图象上的两点为(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，且𝑥1<𝑥2，则下列表达式成立的是( )
A. 𝑦1<𝑦2
3.
B. 𝑦1=𝑦2 C. 𝑦1>𝑦2 D. 不能确定
一个三角形三边的长分别是3，𝑥，6，则𝑥的值可能是( )
A. 3
4.
B. 4 C. 9 D. 10
如图，△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴1𝐵1𝐶1，则∠𝐴的度数是( )
A. 80°
5.
𝑘
B. 70° C. 60° D. 50°
函数𝑦=𝑥与𝑦=𝑘𝑥−𝑘在同一坐标平面内的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
6. 𝐷是𝐵𝐶的中点，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐵𝐸⊥𝐴𝐸于点𝐸，𝐸𝐷=3，已知，如图，在△𝐴𝐵𝐶中，且𝐴𝐶=14，则𝐴𝐵的长是( )
A. 6
7.
B. 7 C. 8 D. 9
如图，△𝐴𝐵𝐶的两个顶点𝐵、𝐶均在第一象限，以点𝐴(0,1)为位似中心，在𝑦轴左侧作△𝐴𝐵𝐶的位似图形△𝐴𝐷𝐸，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸的位似比为1：2.若点𝐶的纵坐标是𝑚，则其对应点𝐸的纵坐标是( )
A.
8.
−𝑚+32
B. 2𝑚+3
𝑘−1𝑥
C. −(2𝑚+3) D. −2𝑚+3
在反比例函数𝑦=
图象的每一分支上，𝑦都随𝑥的增大而增大，则𝑘的取值范围是( )
A. 𝑘>1
9.
B. 𝑘>0 C. 𝑘≥1 D. 𝑘<1
方程𝑥|𝑥|−3|𝑥|+2=0的实数根的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.
如图，函数𝑦=−𝑥与函数𝑦=−𝑥的图象相交于𝐴、𝐵两点，过𝐴𝐵两点
1
分别作𝑦轴的垂线，垂足分别为𝐶、𝐷，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴、𝐵在反比例函数𝑦=
𝑘𝑥
(𝑘>0,𝑥>0)的图象上，横坐标分别为1，4，对角线𝐵𝐷//𝑥轴．若菱
45
形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为2，则𝑘的值为______．
12. 已知二次函数𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与𝑥轴的两个交点的横坐标分别为𝑥1、𝑥2，一元二次方程
𝑥4，𝑥2+𝑏2𝑥+14=0的两实根为𝑥3、且𝑥2−𝑥3=𝑥1−𝑥4=3，则二次函数的顶点坐标为______． 13. 如图，𝐸𝐹为△𝐴𝐵𝐶的中位线，△𝐴𝐸𝐹的面积为6，则四边形𝐸𝐵𝐶𝐹的面
积为______．
14. 已知两个数的差等于2，积等于15，则这两个数中较大的是______． 15. 正方形面积为36，则对角线的长为______．
16. 如图，△𝐴𝐵𝐶的面积是10，点𝐷、𝐸、𝐹(与𝐴、𝐵、𝐶是不同的点)分别
位于𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐶𝐴各边上，而且𝐴𝐷=2，𝐷𝐵=3，如果△𝐴𝐵𝐸的面积和四边形𝐷𝐵𝐸𝐹的面积相等，那么△𝐴𝐵𝐸的面积是______．
17. 已知关于𝑥的方程2𝑥2−𝑥+𝑎=0有一个根是𝑥=1，则𝑎=______． 18. 如图，𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐵𝐸𝐷=110°，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐸，𝐷𝐹平分∠𝐶𝐷𝐸，则
∠𝐵𝐹𝐷=______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分） 19. 如图，
，
，一动点𝑃从点𝐵向点𝐷运动，若
图中两个三角形相似，求𝐵𝑃的值。
20. 已知关于𝑥的方程𝑥2−2𝑥−𝑎=0的两个实数根为𝑥1，𝑥2，且𝑥+𝑥=−3，
1
2
112
(1)求𝑎的值；
22(2)求𝑥1的值． +𝑥2
21. 因式分解是初中数学中一种重要的恒等变形，它具有广泛的应用，是解决许多数学问题的有力
工具，例如，一个基本事实：“若𝑎𝑏=0，则𝑎=0或𝑏=0”，那么一元二次方程𝑥2−𝑥−2=0𝑥−2=0或𝑥+1=就可以通过因式分解转化为(𝑥−2)(𝑥+1)=0的形式，再由基本事实可得：0，所以方程有两个解为𝑥=2，𝑥=−1． (1)试利用上述基本事实，解方程2𝑥2−𝑥=0； (2)若(𝑥2+𝑦2)(𝑥2+𝑦2−1)−2=0，求𝑥2+𝑦2的值．
22. 若∠1=∠2，∠𝐴=∠𝐷，求证：𝐴𝐵=𝐷𝐶．
23. 已知关于𝑥的方程𝑚𝑥2−(𝑚+2)𝑥+2=0． (1)若方程有一个根是2，求𝑚的值；
(2)求证：不论𝑚取为何值，方程总有实数根．
24. 在平面直角坐标系中，边长为3的正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的一顶点为原点𝑂，点𝐴，𝐶分别在𝑥轴和𝑦轴的正
半轴上．函数𝑦=3𝑥的图象与𝐵𝐶交于点𝐷；函数𝑦=𝑥(𝑘≠0)的图象经过点𝐷，且与函数𝑦=3𝑥的图象在第三象限内交于点𝐸． (1)求函数𝑦=𝑥的表达式； (2)求𝐴𝐸的长．
𝑘
𝑘
25. 一家蔬菜公司计划到某绿色蔬菜基地收购𝐴，𝐵两种蔬菜共140吨，预计两种蔬菜销售后获利的
情况如表所示：
销售品种 每吨获利(元) 𝐴种蔬菜 1200 𝐵种蔬菜 1000 其中𝐴种蔬菜的5%，𝐵种蔬菜的3%须运往𝐶市场销售，但𝐶市场的销售总量不超过5.8吨．设销售利润为𝑊元(不计损耗)，购进𝐴种蔬菜𝑥吨． (1)求𝑊与𝑥之间的函数关系式；
(2)将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得多少利润？
(3)由于受市场因素影响，公司进货时调查发现，𝐴种蔬菜每吨可多获利100元，𝐵种蔬菜每吨可多获利𝑚(200<𝑚<400)元，但𝐵种蔬菜销售数量不超过90吨．公司设计了一种获利最大的进货方案，销售完后可获利179000元，求𝑚的值．
26. 如图，∠𝐴𝑂𝐵=30°，𝑂𝑃=6，𝑂𝐷=2√3，𝑃𝐶=𝑃𝐷，求𝑂𝐶的
长．
参考答案及解析
1.答案：𝐵
解析：试题分析：方程(𝑥2−2𝑥+𝑚)(𝑥−1)=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程𝑥2−2𝑥+𝑚=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程𝑥2−2𝑥+𝑚=0的两个根设是𝑥2和𝑥3，一定是两个正数，且一定有|𝑥2−𝑥3|<1<𝑥2+𝑥3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定𝑚的范围． ∵方程(𝑥2−2𝑥+𝑚)(𝑥−1)=0的有三根， ∴𝑥1=1，𝑥2−2𝑥+𝑚=0有两根，
∴方程𝑥2−2𝑥+𝑚=0的△=4−4𝑚≥0，得𝑚≤1． 又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有𝑥2+𝑥3>𝑥1=1，|𝑥2−𝑥3|<𝑥1=1，而𝑥2+𝑥3=2>1已成立； 当|𝑥2−𝑥3|<1时，两边平方得：(𝑥2+𝑥3)2−4𝑥2⋅𝑥3<1． 即：4−4𝑚<1.解得，𝑚>4． ∴4<𝑚≤1． 故选B．
3
3
2.答案：𝐷
解析：解：∵反比例函数𝑦=𝑥图象上的两点为(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，
∴当0<𝑥1<𝑥2，𝑦1>𝑦2；当𝑥1<0<𝑥2，𝑦1<𝑦2；当𝑥1<𝑥2<0，𝑦1>𝑦2． 故选D．
0<𝑥1<𝑥2得到𝑦1>𝑦2；根据反比例函数图象上点的坐标特征分类讨论：当𝑥1<0<𝑥2得到𝑦1<𝑦2；当𝑥1<𝑥2<0得到𝑦1>𝑦2．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和性质：反比例函数𝑦=𝑥(𝑘为常数，𝑘≠0)的图象是双曲线，当𝑘>0时，图象在一、三象限，𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑘<0时，图象在二、四象限，𝑦随𝑥的增大而增大．
𝑘
6
3.答案：𝐵
解析：解：根据三角形的三边关系，得：6−3<𝑥<6+3，即：3<𝑥<9． 故选：𝐵．
由三角形的两边的长分别为3和6，根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求得答案．
此题考查了三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和．
4.答案：𝐵
解析：解：∵△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴1𝐵1𝐶1， ∴∠𝐶=∠𝐶1=50°，
∴∠𝐴=180°−60°−50°=70°， 故选：𝐵．
直接利用相似三角形的性质求解．
本题考查了相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的对应角相等解答．
5.答案：𝐴
解析：解：𝐴、反比例函数𝑦=𝑥的图象经过第二、四象限，则𝑘<0；所以一次函数𝑦=𝑘𝑥−𝑘的图象经过第一、二、四象限；故本选项正确；
B、反比例函数𝑦=𝑥的图象经过第二、四象限，则𝑘<0；所以一次函数𝑦=𝑘𝑥−𝑘的图象经过第一、二、四象限；故本选项错误；
C、反比例函数𝑦=𝑥的图象经过第二、四象限，则𝑘<0；所以一次函数𝑦=𝑘𝑥−𝑘的图象经过第一、二、四象限；故本选项错误；
D、反比例函数𝑦=𝑥的图象经过第一、三象限，则𝑘>0；所以一次函数𝑦=𝑘𝑥−𝑘的图象经过第一、三、四象限；故本选项错误； 故选：𝐴．
根据反比例函数的图象所在的象限确定𝑘的符号，然后由𝑘的符号来判定一次函数的图象所在的象限． 本题考查反比例函数与一次函数的图象特点： ①反比例函数𝑦=𝑥的图象是双曲线；
②当𝑘>0时，它的两个分支分别位于第一、三象限； ③当𝑘<0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑘
6.答案：𝐶
解析：[分析]
延长𝐵𝐸交𝐴𝐶于𝐹，由已知条件可得△𝐵𝐴𝐹是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得𝐵𝐸=𝐸𝐹，又因为𝐵𝐷=𝐶𝐷，所以𝐷𝐸是△𝐵𝐶𝐹的中位线，由三角形中位线定理即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定，解题的关键是正确作出辅助线，得到△𝐵𝐴𝐹是等腰三角形． [详解]
解：延长𝐵𝐸交𝐴𝐶于𝐹，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，𝐵𝐸⊥𝐴𝐸， ∴△𝐵𝐴𝐹是等腰三角形， ∴𝐵𝐸=𝐸𝐹，𝐴𝐵=𝐴𝐹， ∵𝐷为𝐵𝐶中点， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷，
∴𝐷𝐸是△𝐵𝐶𝐹的中位线， ∴𝐶𝐹=2𝐷𝐸=6， ∵𝐴𝐶=14， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐹=8． 故选C．
7.答案：𝐷
解析：解：设点𝐶的纵坐标为𝑚，则𝐴、𝐶间的纵坐标的长度为(𝑚−1)， ∵△𝐴𝐵𝐶放大到原来的2倍得到△𝐴𝐷𝐸， ∴𝐸、𝐴间的纵坐标的长度为2(𝑚−1)，
∴点𝐸的纵坐标是−[2(𝑚−1)−1]=−(2𝑚−3)=−2𝑚+3． 故选：𝐷．
设点𝐶的纵坐标为𝑥，然后表示出𝐴𝐶、𝐸𝐴的纵坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解． 本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
8.答案：𝐷
解析：
本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型． 根据反比例函数的图象与性质即可求出𝑘的范围． 解：由题意可知：𝑘−1<0，
∴𝑘<1
故选：𝐷．
9.答案：𝐶
解析：
10.答案：𝐴
解析：解：∵函数𝑦=−𝑥与函数𝑦=−𝑥的图象相交于𝐴、𝐵两点， ∴点𝐴与点𝐵关于原点中心对称， ∴四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为平行四边形，
∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=4𝑆△𝑂𝐴𝐶=4××|−1|=2．
21
1
故选A．
11.答案：5
解析：
本题考查了菱形的性质、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与𝑘之间的关系． 根据题意，利用面积法求出𝐴𝐸，设出点𝐵坐标，表示点𝐴的坐标．应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为𝑘构造方程求𝑘．
解：连接𝐴𝐶分别交𝐵𝐷、𝑥轴于点𝐸、𝐹．
由已知，𝐴、𝐵横坐标分别为1，4， ∴𝐵𝐸=3，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，𝐴𝐶、𝐵𝐷为对角线 ∴𝑆菱形𝐴𝐵𝐶𝐷=4×𝐴𝐸⋅𝐵𝐸=
21
452
，
154
∴𝐴𝐸=
15
，设点𝐵的坐标为(4,𝑦)，则𝐴点坐标为(1,𝑦+4
𝑘
)
∵点𝐴、𝐵同在𝑦=𝑥图象上
∴4𝑦=1⋅(𝑦+
∴𝑦=， 4
∴𝐵点坐标为(4,4)
∴𝑘=5
故答案为5．
5
5
15) 412.答案：(−2,−4)
解析：
根据题意，得到𝑥1=𝑥4+3，𝑥2=𝑥3+3，进而可得𝑥1+𝑥2=𝑥3+𝑥4+6，根据二次函数与𝑥轴有两个交点和一元二次方程有两个实数根，得到𝑥1+𝑥2=−𝑏，𝑥3+𝑥4=−𝑏2，𝑥1⋅𝑥2=𝑐，进而可得𝑏的值，将其带入一元二次方程，求出两个实数根，即可求得𝑐的值，最后利用二次函数的顶点坐标公式，求得顶点坐标即可．
本题主要考查抛物线与𝑥轴的交点及二次函数的性质，解决此题的关键是能利用二次函数与𝑥轴有两个交点、一元二次方程有两个实数根确、𝑥1+𝑥2=𝑥3+𝑥4+6求出𝑏的值． 解：∵𝑥2−𝑥3=𝑥1−𝑥4=3， ∴𝑥1=𝑥4+3，𝑥2=𝑥3+3， ∴𝑥1+𝑥2=𝑥3+𝑥4+6，
325
∵二次函数𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与𝑥轴有两个交点， 一元二次方程𝑥2+𝑏2𝑥+14=0的两实根为𝑥3、𝑥4， ∴𝑥1+𝑥2=−𝑏，𝑥3+𝑥4=−𝑏2，𝑥1⋅𝑥2=𝑐， ∴−𝑏=−𝑏2+6，解得：𝑏=3或𝑏=−2，
当𝑏=3时，一元二次方程𝑥2+9𝑥+14=0有两实根为𝑥3=−2，𝑥4=−7， 当𝑏=−2时，一元二次方程𝑥2+4𝑥+14=0无解，不合题意，故𝑏=−2舍去， ∴𝑥1=−4，𝑥2=1， ∴𝑐=−4，
∴二次函数的解析式为：𝑦=𝑥2+3𝑥−4， ∴顶点坐标为(−,
2𝑎即(−2,−4).
故答案为：(−2,−4).
3
25
3
25
𝑏
4𝑎𝑐−𝑏24𝑎
)，
13.答案：18
解析：解：∵𝐸、𝐹分别是𝐴𝐵，𝐴𝐶的中点， ∴𝐸𝐹//𝐵𝐶， ∴△𝐴𝐸𝐹∽△𝐴𝐵𝐶， ∴
𝑆△𝐴𝐸𝐹𝑆△𝐴𝐵𝐶
=()2=， 𝐵𝐶4
𝐸𝐹1
∵△𝐴𝐸𝐹的面积为6， ∴△𝐴𝐵𝐶的面积是24，
∴四边形𝐸𝐵𝐶𝐹的面积是24−6=18， 故答案为：18．
根据三角形的中位线得出𝐸𝐹//𝐵𝐶，推出△𝐴𝐸𝐹∽△𝐴𝐵𝐶，得出比例式，求出△𝐴𝐵𝐶的面积，即可得出答案．
本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线定理的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
14.答案：5或−3
解析：解：设这两个数中的大数为𝑥，则小数为𝑥−2，由题意，得 𝑥(𝑥−2)=15，
解得：𝑥1=5，𝑥2=−3， ∴这两个数中较大的数是5或−3 故答案为：5或−3
设这两个数中的大数为𝑥，则小数为𝑥−2，由题意建立方程求其解即可．
本题考查的是一元二次方程的应用及一元二次方程的解法因式分解法的运用，解题的关键是能够根据题意列出方程，难度不大．
15.答案：6√2
解析：
本题考查了勾股定理以及正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．设正方形的边长为𝑥，利用正方形的面积公式得到𝑥2=36，解得𝑥=6，然后根据等腰直角三角形的性质计算正方形的对角线的长． 解：设正方形的边长为𝑥，
根据题意得𝑥2=36，解得𝑥1=6，𝑥2=−6(舍去) 即正方形的边长为6，
所以正方形的对角线的长为√62+62=6√2． 故答案为6√2．
16.答案：6
解析：解：连接𝐷𝐸，
∵△𝐴𝐵𝐸的面积和四边形𝐷𝐵𝐸𝐹的面积相等， ∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐹𝐷𝐸，
又△𝐴𝐷𝐸与△𝐹𝐷𝐸均是以𝐷𝐸为底， ∴𝐷𝐸//𝐴𝐶， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐵=5，
𝐵𝐸
𝐷𝐵
3
∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=5𝑆△𝐴𝐵𝐶=6． 故答案为6．
已知△𝐴𝐵𝐶的面积是10，要求△𝐴𝐵𝐸的面积，只需求得𝐵𝐸：𝐵𝐶的值，连接𝐷𝐸，根据已知图形的面积关系，结合等式的性质，进行转换，可以证明𝐷𝐸//𝐴𝐶，从而根据平行线分线段成比例定理进行求解．
此题考查三角形的面积，关键是能够根据面积相等的关系找出平行关系，熟练运用平行线分线段成比例定理．
3
17.答案：−1
解析：解：
∵方程2𝑥2−𝑥+𝑎=0有一个根是𝑥=1， ∴2−1+𝑎=0，解得𝑎=−1， 故答案为：−1．
把𝑥=1代入即可求得𝑎的值．
本题主要考查一元二次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键．
18.答案：125°
解析：
首先过点𝐸作𝐸𝑀//𝐴𝐵，过点𝐹作𝐹𝑁//𝐴𝐵，由𝐴𝐵//𝐶𝐷，即可得𝐸𝑀//𝐴𝐵//𝐶𝐷//𝐹𝑁，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠𝐵𝐸𝐷=110°，即可求得∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐶𝐷𝐸=250°，又由𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐸，𝐷𝐹平分∠𝐶𝐷𝐸，根据角平分线的性质，即可求得∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐶𝐷𝐹的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得∠𝐵𝐹𝐷的度数．
此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
解：过点𝐸作𝐸𝑀//𝐴𝐵，过点𝐹作𝐹𝑁//𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴𝐸𝑀//𝐴𝐵//𝐶𝐷//𝐹𝑁，
∴∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐵𝐸𝑀=180°，∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐷𝐸𝑀=180°，
∴∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐵𝐸𝐷+∠𝐶𝐷𝐸=360°， ∵∠𝐵𝐸𝐷=110°， ∴∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐶𝐷𝐸=250°， ∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐸，𝐷𝐹平分∠𝐶𝐷𝐸， ∴∠𝐴𝐵𝐹=2∠𝐴𝐵𝐸，∠𝐶𝐷𝐹=2∠𝐶𝐷𝐸， ∴∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐶𝐷𝐹=(∠𝐴𝐵𝐸+∠𝐶𝐷𝐸)=125°，
21
1
1
∵𝐴𝐵//𝐹𝑁//𝐶𝐷，
∴∠𝐷𝐹𝑁=∠𝐶𝐷𝐹，∠𝐵𝐹𝑁=∠𝐴𝐵𝐹，
∴∠𝐵𝐹𝐷=∠𝐵𝐹𝑁+∠𝐷𝐹𝑁
=∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐶𝐷𝐹=125°． 故答案为125°．
19.答案： 11或8或12．
解析：解：设𝐵𝑃=𝑥，𝐵𝐷=20，则𝑃𝐷=𝐵𝐷−𝐵𝑃=20−𝑥， 分两种情况考虑：
假设△𝑃𝐴𝐵∽△𝑃𝐶𝐷，有𝐶𝐷=𝐷𝑃， 又𝐴𝐵=6，𝐶𝐷=16， ∴
616
𝐴𝐵
𝐵𝑃
60
=
𝑥20−𝑥
，即6(20−𝑥)=16𝑥，
60
解得：𝑥=11；
假设△𝑃𝐴𝐵∽△𝐶𝑃𝐷，有𝑃𝐷=𝐶𝐷， ∴20−𝑥=16，即𝑥(20−𝑥)=96， 整理得：(𝑥−12)(𝑥−8)=0， 解得：𝑥1=12，𝑥2=8，
综上，当𝑃离𝐵的距离为11或8或12时，△𝑃𝐴𝐵与△𝑃𝐶𝐷是相似三角形．
60
6
𝑥
𝐴𝐵
𝐵𝑃
20.答案：解：(1)∵关于𝑥的方程𝑥2−2𝑥−𝑎=0的两个实数根为𝑥1，𝑥2，
∴𝑥1+𝑥2=2，𝑥1𝑥2=−𝑎． ∵𝑥+𝑥=
1
2
11
𝑥1+𝑥2𝑥1𝑥2
=−3，即=−，
−𝑎3
222
∴𝑎=3，
经检验，𝑎=3是原方程的解，且符合题意， ∴𝑎的值为3．
(2)由(1)可知：𝑥1+𝑥2=2，𝑥1𝑥2=−𝑎=−3．
22∴𝑥1+𝑥2=(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2=22−2×(−3)=10．
解析：(1)利用根与系数的关系可得出𝑥1+𝑥2=2，𝑥1𝑥2=−𝑎，结合𝑥+𝑥=−3即可得出关于𝑎的
1
2
112
方程，解之经检验后即可得出𝑎=3；
222(2)由(1)可得出：𝑥1+𝑥2=2，𝑥1𝑥2=−3，再将其代入𝑥1+𝑥2=(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2中即可求出𝑥1+2𝑥2=10．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是：(1)利用根与系数的关系结合𝑥+𝑥=−3，找出关于𝑎
1
2
112
22的方程；(2)利用完全平方公式，找出𝑥1+𝑥2=(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2．
21.答案：解：(1)将2𝑥2−𝑥因式分解得：
2𝑥2−𝑥=𝑥(2𝑥−1)
∴原方程可化为：
𝑥(2𝑥−1)=0
∴𝑥=0或2𝑥−1=0 解得：𝑥1=0，𝑥2=2 (2)原方程可化为
(𝑥2+𝑦2)2−(𝑥2+𝑦2)−2=0
因式分解得：
(𝑥2+𝑦2−2)(𝑥2+𝑦2+1)=0
∴𝑥2+𝑦2−2=0或𝑥2+𝑦2+1=0 ∴𝑥2+𝑦2=2或𝑥2+𝑦2=−1(舍去)
∴𝑥2+𝑦2=2
解析：(1)利用提公因式法本题可解；
(2)将𝑥2+𝑦2看成一个整体，再进行因式分解即可．
本题以因式分解为背景考查特殊一元二次方程的解法，利用转化的数学思想． ∠𝐴=∠𝐷22.答案：证明：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐶𝐵中，{∠2=∠1
𝐵𝐶=𝐶𝐵
1
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵(𝐴𝐴𝑆)． ∴𝐴𝐵=𝐷𝐶．
解析：由𝐴𝐴𝑆证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐶𝐵，即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
23.答案：解：(1)将𝑥=2代入原方程，得：4𝑚−2(𝑚+2)+2=0，
解得：𝑚=1． 故𝑚的值为1；
(2)证明：当𝑚=0时，原方程为一次方程，此时𝑥=1； 当𝑚≠0时，△=(𝑚+2)2−4×2𝑚=(𝑚−2)2≥0， ∴当𝑚≠0时，方程有实数根．
综上所述：不论𝑚为何值，方程总有实数根． 解析：(1)将𝑥=2代入原方程可求出𝑚的值；
(2)分𝑚=0及𝑚≠0两种情况考虑：当𝑚=0时，通过解方程可求出方程的解；当𝑚≠0，根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=(𝑚+2)2≥0，进而可得出当𝑚≠0时，方程有实数根．综上即可证出结论．
(1)代入𝑥=2本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及一元二次方程的定义，解题的关键是：求出𝑚的值；(2)分𝑚=0及𝑚≠0两种情况找出不论𝑚为何值，该方程总有实数根．
24.答案：解：(1)∵正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的边长为3，
∴点𝐷的纵坐标为3，即𝑦=3， 将𝑦=3代入𝑦=3𝑥，得𝑥=1， ∴点𝐷的坐标为(1,3)， ∵函数𝑦=𝑥的图象经过点𝐷， ∴3=，
1解得𝑘=3，
∴函数𝑦=𝑥的表达式为𝑦=𝑥． (2)∵𝐷(1,3)与点𝐹关于原点𝑂对称， ∴𝐸(−1,−3)， ∵𝐴(3,0)，
∴𝐴𝐸=√(3+1)2+(0+3)2=5．
𝑘
3
𝑘
𝑘
解析：(1)根据正方形的性质，以及函数上点的坐标特征可求点𝐷的坐标为(1,3)，根据待定系数法可求反比例函数表达式，进一步得到𝐸、𝐹两点的坐标； (2)根据中心对称求得𝐸点的坐标，再根据勾股定理即可求得．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及正方形的性质，解题的关键是根据中心对称求得𝐸点的坐标．
25.答案：解：(1)根据题意得：𝑊=1200𝑥+1000(140−𝑥)=200𝑥+140000．
(2)根据题意得，5%𝑥+3%(140−𝑥)≤5.8， 解得 𝑥≤80． ∴0<𝑥≤80．
又∵在一次函数𝑊=200 𝑥+140000中，𝑘=200>0， ∴𝑊随𝑥的增大而增大，
∴当𝑥=80时，𝑊最大=200×80+140000=156000． ∴将这140吨蔬菜全部销售完，最多可获得利润156000元．
(3)根据题意，得𝑊=(1200+100)𝑥+(1000+𝑚)(140−𝑥)=(300−𝑚)𝑥+140000+140𝑚． ∵140−𝑥≤90， ∴𝑥≥50， ∴50≤𝑥≤80．
①当300−𝑚<0，即300<𝑚<400时，𝑊随𝑥的增大而减小，
∴当𝑥=50时，𝑊取最大值，此时𝑊=50(300−𝑚)+140000+140𝑚=179000， 解得𝑚=∵
8003
8003
，
<300，
∴这种情况不符合题意；
②当300−𝑚=0，即𝑚=300时，𝑊=182000>179000，这种情况不符合题意； ③当300−𝑚>0，即200<𝑚<300时，𝑊随𝑥的增大而增大，
∴当𝑥=80时，𝑊取最大值，此时𝑊=80(300−𝑚)+140000+140𝑚=179000， 解得𝑚=250． 综上可知𝑚=250．
解析：(1)根据两种蔬菜的每吨获利情况和蔬菜的总重量求得𝑊与𝑥之间的关系即可； (2)首先根据两种蔬菜的运往市场的量的关系确定𝑥的取值范围，然后即可确定𝑊的最值；
(3)根据自变量的取值范围几何获利情况分类讨论即可确定𝑚的值．
本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，解决问题的关键是抓住题中的等量关系列出分式方程，解题时注意：在一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏中，𝑘>0，𝑦随𝑥的增大而增大；𝑘<0，𝑦随𝑥的增大而减小．
26.答案：解：过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于点𝐸，
∵∠𝐴𝑂𝐵=30°，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵，𝑂𝑃=6， ∴𝑂𝐸=
√3
𝑂𝑃2
=3√3，
∵𝑂𝐷=2√3，𝑃𝐶=𝑃𝐷， ∴𝐶𝐸=𝐷𝐸=√3， ∴𝑂𝐶=4√3．
解析：首先过点𝑃作𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于点𝐸，利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出𝑂𝐸的长，再利用等腰三角形的性质求出𝐸𝐶的长．
此题主要考查了直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出𝑂𝐸的长以及等腰三角形的性质，得出𝑂𝐸的长是解题关键．
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