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2013年高等数理统计试题

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2013年高等数理统计试题

1.2.3.

叙述抽样分布定理,并给出证明。

叙述单因素多水平方差分析定理,并给出证明。(孙荣恒《应用数理统计》推论1.3.2)证明:

(i)假设ηn和η都为R上的随机变量,H(t)是由R到R上的连续映射。若ηn󰀁η,

则H(ηn)󰀁H(η)。其中󰀁表示→,→或者→。

(ii)假设ηn→η∈R,H(t),t∈R是在点a处可导的函数。若实数序列{bn}满

足limn→∞bn=0,则

H(a+bnηn)−H(a)d

→bn

d

d

p

a.s.

ηH′(a)。

4.

令Γ(α,λ)表示参数为(α,λ)的Gamma分布,其密度函数如下:

{

αλλ−1−αx

eforx≥0Γ(λ)xγα,λ(x)=

0forx<0,

其中Γ(λ)为Gamma函数。若ξ,η为随机变量,且分别服从Γ(α1,λ)及Γ(α2,λ),试

ξ

求a=ξ+η与b=ξ+η的密度函数,并指出a、b所服从的分布。

5.

设总体X∼1,···,Xn为X的样本。证明样本均值小方差无偏估计量、有效估计量。

N(µ,σ2),X

1n∑n

i=1Xi

是µ的一致最

1

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