2008年南京大学自主招生考试

一、填空题（每小题7分，共70分）

1、已知A={x|−21}，B={x|x+ax+b≤0}，且A∪B={x|x>−2}，

2

A∩B={x|12、(1+tan1)(1+tan2)L(1+tan44)(1+tan45)=______.

3、若对任意实数x都有f(x)=loga(2+ex−1)≤−1，则a取值范围是__________. 4、设Sn是等差数列{an]前n项和.S9=18. an−4=30(n>9) ，Sn=336.则n值为________.

5、已知实数a,b满足2b2−a2=4，则|a−2b|的最小值为__________.

6、设三个复数z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB，z3=cosC+isinC.且

o

o

o

o

z1+z2+z3=0.则cos(A−B)=______.

7、函数f(x)=e−ln(1+x)+2单调减区间为_________.

8、用红、黄、蓝三种颜色给正五边形顶点着色，则没有两个顶点有相同颜色的概率为_______. 且P(A)=9、设A,B是随机事件，

x

511

，P(B)=，P(A∪B)=.则P(A∪B)=______. 842

2

2

10、过直线2x−y+3=0和圆x+y+2x−4y+1=0交点且面积最小的圆方程为_______.

二、（20分）设a,b,c为正数，且a+b+c=1.求(a+

1211

)+(b+)2+(c+)2最小值. abc

三、（20分）设O为∆ABC内任意一点，∆OBC，∆OAC，∆OAB面积分别为S1，S2，

S3.证明：S1⋅OA+S2⋅OB+S3⋅OC=0.

x2y2

+=1上焦点.过点M，四、（20分）设M是直线x+2y=4上点，F1与F2是椭圆62

以F1，F2为焦点作椭圆C.问M在何处时，所作椭圆C长轴最短，并求椭圆C方程. 五、（20分）设正方体ABCD−A1B1C1D1边长为4，F为CD中点，E是AA1上一点，并且AE=1.

（2）求四面体F−B1C1E体积. （1）求二面角E−B1C1−F；