二次函数复习讲义

知识考点：

掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。 精典例题：

2【例1】二次函数yaxbxc的图像如图所示，那么abc、b4ac、2ab、4a2bc这

2四个代数式中，值为正的有（ ）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

yb＜1 2a ∴2ab＞0

解析：∵x答案：A

评注：由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判

-1O1 例1图 2x定b的符号，由

抛物线与y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定b4ac的符号，若x轴标出了1和－1，则结合函数值可判定2ab、abc、abc的符号。

【例2】已知abc0，a≠0，把抛物线yaxbxc向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。

分析：①由abc0可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。

解：可设新抛物线的解析式为ya(x2)，则原抛物线的解析式为ya(x25)1，又易知原抛物线过点（1，0）

∴0a(125)1，解得a∴原抛物线的解析式为：y22221 41(x3)21 4评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。

另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a反号；②两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a反号；③两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称； 探索与创新：

【问题】已知，抛物线ya(xt1)t（a、t是常数且不等于零）的顶点是A，如图所示，抛

22物线yx2x1的顶点是B。

（1）判断点A是否在抛物线yx2x1上，为什么？

（2）如果抛物线ya(xt1)t经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。

2222

1

解析：（1）抛物线ya(xt1)t的顶点A（t1，

2时，yx2x1(x1)(x11)＝t，所以点A

22222y，而xt1当t2）在

抛

物

线

yx22x1上。

（2）①顶点B（1，0），a(1t1)t0，∵t0，

2222 OBx∴a1；②设抛

问题图 物线ya(xt1)t与x轴的另一交点为C，∴B（1，0），C（2t1，0），由抛物线的对称性可

t1(t1)，知，△ABC为等腰直角三角形，过A作AD⊥x轴于D，则AD＝BD。当点C在点B的左边时，

解得t1或t0（舍）；当点C在点B的右边时，t(t1)1，解得t1或t0（舍）。故t1。 评注：若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其

“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。 跟踪训练： 一、选择题：

1、二次函数yaxbxc的图像如图所示，OA＝OC，则下列结论： ①abc＜0； ②4acb； ③acb1； ④2ab0；

A-2O1CB2222yxc⑤OAOB；

a⑥4a2bc0。其中正确的有（ ）

2第1题图 A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

2、二次函数yxbxc的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为

yx22x1，则b与c分别等于（ ）

A、6、4 B、－8、14

C、4、6 D、－8、－14

3、如图，已知△ABC中，BC＝8，BC边上的高h4，D为交AB于E，交AC于F（EF不过A、B），设E到BC的距积为y，那么y关于x的函数图像大致是（ ）

EAFBDC第3题图 BC上一点，EF∥BC离为x，△DEF的面

y4242y4224y42y

O24x

Ox O24x

O24x

A B C D

3题图 3题图

2

4、若抛物线yax与四条直线x1，x2，y1，y2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是（ ） A、

21111≤a≤1 B、≤a≤2 C、≤a≤1 D、≤a≤2 422425、如图，一次函数ykxb与二次函数yaxbxc的大致图像是（ ）

yOyyOy

xO

xx

Ox

3题图 3题图 A 3 B 3题图题图 C D

二、填空题：

1、若抛物线y(m1)x2mx3m2的最低点在x轴上，则m的值为 。

2、二次函数y4xmx5，当x2时，y随x的增大而减小；当x2时，y随x的增大而增大。则当x1时，y的值是 。

3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与

22x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。

4、已知抛物线y(m2)x4mxn的对称轴是x2，且它的最高点在直线y顶点为 ，n＝ 。 三、解答题：

1、已知函数yx(m2)xm的图像过点（－1，15），设其图像与x轴交于点A、B，点C在图像上，且SABC1，求点C的坐标。

2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

2221x1上，则它的2

3

4 32 1 O -1 -2 -3 S（万元）yCD1 2 3456 t（月）月 2 BAOxO123、抛物线yx，yx和直线xa（a＞0）分别交于A、B两点，已知∠AOB＝900。

2（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式； （2）为使直线y第2题图

第4题图

O2xb与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合？

24、如图，抛物线yax4axt与x轴的一个交点为A（－1，0）。

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

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参考答案

一、选择题：BCDDC 二、填空题：

1、2；2、－7；3、y12(x2)21；4、（2，2），n2； 三、解答题：

1、C（32，1）或（32，1）、（3，－1）

2、（1）S12t22t；（2）10月；（3）5.5万元 3、（1）y24x；（2）－3≤b≤0 4、（1）B（－3，0）；（2）yx24x3或yx24x3； （3）在抛物线的对称轴上存在点P（－2，12），使△APE的周长最小。

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