2016年高考真题——理科数学(全国Ⅱ卷) Word版含答案

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共24题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形

码区域内。

2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，

字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在

草稿纸、试题卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用墨色笔迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知

（A）(3,1)（B）（2）已知集合（A）

（B）

（C）

在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是

(1,3)（C）(1,)，

（D），且

（D）

，则

（3）已知向量，则m=

（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8 （4）圆（A）的圆心到直线

的距离为1，则a=

43 （B） （C）3 （D）2 34（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A）24 （B）18 （C）12 （D）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π （7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移

k2k（C）x=

2（A）x=

个单位长度，则平移后图象的对称轴为 12k (kZ) （B）x= (kZ) 626k (kZ) （D）x= (kZ) 12212（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34 π3

（9）若cos(4–α)= 5，则sin 2α= （A）

（10）从区间

，…，

随机抽取2n个数

,，…，

，

，

，…，

，构成n个数对

，

7171（B）（C） （D） 255255，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到

的圆周率 的近似值为

（A） （B） （C） （D）

（11）已知F1，F2是双曲线E的左，右焦点，点M在E上，M F1与 轴垂直，

sin

,则E的离心率为

（A）

（B） （C） （D）2

（12）已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x),若函数y为(x1,y1),(x2,y2)···，（xm,ym），则

x1与yf(x)图像的交点x(xi1miyi)

（A）0 （B）m （C）2m （D）4m

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分。

（13）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A=，cos C=

（14）α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. （2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. （3）如果α∥β，m

α，那么m∥β.

，a=1，则b= .

（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有 。(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 。

（16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本题满分12分）

Sn为等差数列

的前n项和，且a1=1 ，S7=28 记

，其中

表示不超过

x的最大整数，如[0.9] = 0，[lg99]=1。 （I）求b1，b11，b101； （II）求数列

的前1 000项和.

（18）（本题满分12分）

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 0 1 2 3 4 5 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 0 1 2 3 4 5 （I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. （19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，

AE=CF=，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置，.

（I）证明：（II）求二面角

平面ABCD；

的正弦值.

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M

两点，点N在E上，MA⊥NA.

（I）当t=4，（II）当

时，求△AMN的面积； 时，求k的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

(I)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，

(II)证明：当，求函数

时，函数 的值域.

有最小值.设g（x）的最小值为

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲

如图，在正方形ABCD，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.

(I) 证明：B,C,G,F四点共圆；

(II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.

（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

xtcos

（II）直线l的参数方程是

（t为参数）,l与C交于A、B两点，

ytsin

∣AB∣=10，求l的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x-（I）求M；

（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。

11∣+∣x+∣，M为不等式f(x) ＜2的解集. 222016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学答案

第Ⅰ卷

一.选择题：

（1）【答案】A （2）【答案】C （3）【答案】D （4）【答案】A （5）【答案】B （6）【答案】C （7）【答案】B （8）【答案】C （9）【答案】D （10）【答案】C （11）【答案】A （12）【答案】C

第Ⅱ卷

二、填空题

(13)【答案】

(14) 【答案】②③④ （15）【答案】1和3 （16）【答案】

三.解答题

17.（本题满分12分） 【答案】（Ⅰ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项

，再根据已知条件求

的前1 000项和．

，解得

；（Ⅱ）用分段函数表示

，

，

，

；（Ⅱ）1893.

再由等差数列的前项和公式求数列试题解析：（Ⅰ）设所以

的通项公式为

的公差为

，据已知有

（Ⅱ）因为所以数列

的前

项和为

考点：等差数列的的性质，前项和公式，对数的运算. 【结束】

18.（本题满分12分）

【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为【解析】 试题分析： 试题解析：（Ⅰ）设

表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件

”，则事件

发生当且仅当

发生当且

，求

的分布列为，在根据期望公式求解..

仅当一年内出险次数大于1，故（Ⅱ）设

表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出

一年内出险次数大于3，故

又，故

因此所求概率为

，则

的分布列为

（Ⅲ）记续保人本年度的保费为

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为考点： 条件概率，随机变量的分布列、期望. 【结束】

19.（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）证法求解.

，再证

.

，最后证；（Ⅱ）用向量

试题解析：（I）由已知得因此

，从而

，.由

,

，又由

得

得，故

.

.

由于是故又所以

得，. ，而

.

.所以，

，

.

，

（II）如图，以则

，

为坐标原点，

，

的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系

，

，

，

，，

，.设是平面的法向量，则，

即，所以可以取.设是平面的法向量，

则，即，所以可以取.于是

， .因此二面角

的正弦值是.

考点：线面垂直的判定、二面角. 【结束】

20.（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）【解析】

；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）先求直线

，，将直线，同理用表示

的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设

，从而表示

的方程与椭圆方程组成方程组，消去，再由

求.

，用表示

试题解析：（I）设

.

，则由题意知，当时，的方程为，

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.

将代入得.解得或，所以.

因此的面积

，

，

.

.

（II）由题意

将直线的方程代入得.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得，

由当

得

时上式不成立，

，即.

因此.等价于，

即.由此得

.

，或，解得.

因此的取值范围是

考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【结束】

（21）（本小题满分12分）

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】

.

试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明

结论；（Ⅱ）用导数法求函数试题解析：（Ⅰ）

的最值，在构造新函数

.

，又用导数法求解.

的定义域为

且仅当

时，

，所以

在

单调递增，

因此当所以

时，

（II）由（I）知，因此，存在唯一当当因此

时，时，在

单调递增，对任意

使得

即

，

单调递减； 单调递增.

处取得最小值，最小值为

于是，由单调递增

所以，由得

因为单调递增，对任意存在唯一的

使得所以的值域是

综上，当时，有，的值域是

考点： 函数的单调性、极值与最值. 【结束】

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】 试题分析：（Ⅰ）证

.

再证四点共圆；（Ⅱ）证明

四边形的面积是面积,所以

的2倍.

试题解析：（I）因为

则有所以由此（II）由由

为

由此可得

所以

四点共圆，斜边的面积

的中点，知是

面积知

,故

四点共圆.

，连结

，

因此四边形的2倍，即

考点： 三角形相似、全等，四点共圆 【结束】

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

【答案】（Ⅰ）【解析】

试题分析：（I）利用

，

；（Ⅱ）.

可得C的极坐标方程；（II）先将直线的参数

方程化为普通方程，再利用弦长公式可得的斜率． 试题解析：（I）由

可得

的极坐标方程

的极坐标方程得

（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为由

所对应的极径分别为

将的极坐标方程代入

于是

由得，

所以的斜率为或.

考点：圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【结束】

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 【答案】（Ⅰ）【解析】

；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（I）先去掉绝对值，再分得

，和三种情况解不等式，即可

时，

．

；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，

试题解析：（I）

当时，由得解得；

当时， ；

当所以

时，由

的解集

得解得

.

时，

.

（II）由（I）知，当，从而

，

因此

考点：绝对值不等式，不等式的证明.

【结束】