新版高一数学必修第一册第一章全部学案
第一章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合的概念
1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.
2.掌握集合的三种表示方法,常用数集及其专用符号,集合的三个基本特征.
1.集合的含义与表示方法,元素与集合的关系; 2.选择恰当的方法表示一些简单的集合
一、集合的基本概念 1.元素与集合的概念
(1)把 统称为 ,通常用 ________表示. (2)把 叫做 (简称为集),通常用 ______ 表示. 2.集合中元素三个特征: 、____________、___________ 3、集合相等_____________________________________________________ 4.元素与集合的关系:
(1)如果a.是集合A的元素,就说a A (2)如果a不是集合A的元素,就说a A 5.常用的数集及其符号表示:
非负整数集(自然数集)____________________________记作__________ 正整数集__________________________________________记作__________ 整数集____________________________________________记作__________ 有理数集__________________________________________记作_________ 实数集____________________________________________记作__________ 二、集合的表示方法
1、列举法:将集合的元素 出来,并置于花括号“{__}”内.元素之间要用 分隔,列举时与 无关.
2.描述法:将集合的所有元素 表示出来,写成{x|φ(x)}的形式
探究一、集合的含义
1.考察下列问题:
(1)(1)1~20以内的所有偶数; (2)立德中学今年入学的全体高一学生; (3)所有正方形;
(4)到直线l的距离等于定长d的所有的点; (5)方程x23x20的所有实数根;
(6)地球上的四大洋。
思考:上述每个问题都由若干个对象组成,每组对象的全体都能组成集合吗?我们把研究的对象统称为元素,元素分别是什么?
探究二、集合中元素的性质
1. 所有的“帅哥”能否构成一个集合?由此说明什么?
2. 由1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的一个集合中有5 个元素,这种说法正确吗?
3. 高一(5)班的全体同学组成一个集合,调整座位后这个集合有没有变化?
归纳总结:通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗?
练习1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1) 大于3小于11的偶数; (2) 我国的小河流.
探究三:元素和集合的关系 1..元素与集合的“属于”关系
如果a是集合A中的元素,就说a属于集合A,记作a___A;如果a不是集合A中的元素,就
说a不属于集合A,记作a___A.
2、常用数集及其记法:非负整数(自然数集) 、正整数集 、整数集 、有理数集 、实数集 . 练习2. 用符号“∈”或“∉”填空.
(1)2___N;(2)2_____Q;(3)0___{0};(4)b_____{a,b,c};(5) 0______N+. 例1已知集合A是由三个元素a-2,2a+5a,12组成的,且-3∈A,求a.
探究四、 集合的表示方法 1.列举法
思考:地球上的四大洋组成的集合如何表示?
问题:你能总结归纳出列举法的概念吗?
例2 用列举法表示下列集合:
(1)小于10的所有自然数组成的集合; (2) 方程x2=x的所有实数根组成的集合. 2.描述法
思考:能否用列举法表示不等式 x-3<7的解集?该集合中的元素有什么性质?
思考:所有奇数的集合,偶数的集合怎样表示?有理数集怎么表示呢?
问题:通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗?
例3 试分别用列举法和描述法表示下列集合.
(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合. (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
2
思考:自然语言、列举法和描述法表示集合时,各自的特点和适用对象?
1.下列对象不能构成集合的是( )
①我国近代著名的数学家;②所有的欧盟成员国;③空气中密度大的气体.
A.①② B.②③ C.①②③ D.①③
2.下列三个关系式:①5∈R;②1
4
∉Q;③0∈Z.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.0
3.a,b,c,d为集合A的四个元素,那么以a,b,c,d为边长构成的四边形可能是( A.矩形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形
4.设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则集合A用列举法表示为________.
5.用适当的方法表示下列集合:
(1)方程组2x-3y=14
3x+2y=8
的解集;
(2)所有的正方形;
(3)抛物线y=x2上的所有点组成的集合.
这节课你的收获是什么?
参:
二、探究二 1.不能. 其中的元素不确定 集合中的元素是确定的
2.不正确.集合中只有4个不同元素1,3,0,5 .集合中的元素是互异的 练习1.(1)是由4,6,8,10四个元素组成的集合. (2)由集合元素的确定性知其不能组成集合. 练习2.(1) ∈ (2) ∉ (3)∈ (4)∈ (5) ∉ 例1. 解:
3Aa23或2a25a3
当a23时,a1, 此时不满足元素的互异性,故舍去。 当2a25a3时,a1或a32,经检验a32满足互异性。 )
所以a3。 2例2.解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A, 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={1,0}.
例3.解:(1)设方程x-2=0的实数根为x,并且满足条件x-2=0,因此,用描述法表示为A={x∈R|x-2=0}.
2
2
2
2,因此,用列举法表示为A={2,2}. 方程x-2=0有两个实数根为2,2
(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10 思考:自然语言描述集合简单易懂、生活化;列举法的特点每个元素一一列举出来,非常直观明显的表示元素,当元素有限或者元素有规律性的时候,是常采用的方法;描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征,集合中的元素基本是无限的,这是比较常用的集合表示法. 达标检测 1.【解析】 研究一组对象能否构成集合的问题,首先要考查集合中元素的确定性.①中的“著名”没有明确的界限;②中的研究对象显然符合确定性;③中“密度大”没有明确的界限.故选D. 【答案】 D 1 2.【解析】 ①正确;②因为∈Q,错误;③0∈Z,正确. 4 【答案】 B 3.【解析】 由于集合中的元素具有“互异性”,故a,b,c,d四个元素互不相同,即组成四边形的四条边互不相等. 【答案】 D 4.【解析】 ∵4∈A,∴16-12+a=0, ∴a=-4, ∴A={x|x-3x-4=0}={-1,4}. 【答案】 {-1,4} 2x-3y=145.【解】 (1)解方程组 3x+2y=8, 2 x=4 得 y=-2, 故解集为{(4,-2)}. (2)集合用描述法表示为{x|x是正方形},简写为{正方形}. (3)集合用描述法表示为{(x,y)|y=x}. 2 【新教材】1.1 集合的概念 学案 (人教A版) 1. 了解集合的含义;理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系;熟记常用数集专用符号. 2. 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性;能够用其解决有关问题. 3. 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。 1.数学抽象:集合概念的理解,描述法表示集合的方法; 2.逻辑推理:集合的互异性的辨析与应用; 3.数算:集合相等时的参数计算,集合的描述法转化为列举法时的运算; 4. 数据分析:元素在集合中对应的参数满足的条件; 5.数学建模:用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。 重点:集合的基本概念,集合中元素的三个特性,元素与集合的关系,集合的表示方法. 难点:元素与集合的关系,选择适当的方法表示具体问题中的集合. 一、 预习导入 阅读课本2-5页,填写。 1.元素与集合的概念 (1)元素:一般地,把__________统称为元素.元素常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示. (2)集合:把一些元素组成的________叫做集合(简称为_______).集合通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示. (3)集合相等:只要构成两个集合的_______是一样的,就称这两个集合是相等的. (4)元素的特性:_________、__________ 、___________. 2.元素与集合的关系 关系 语言描述 记法 读法 属于 不属于 a是集合A中的元素 a不是集合A中的元素 a___A a___A a属于集合A a不属于集合A 3.常用的数集及其记法 常用的数集 记法 自然数集 ____ 正整 数集 ____ 整数 集 ____ 有理 数集 ____ 实数集 _____ 4.列举法 把集合的元素_____________,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 5.描述法 (1)定义:用集合所含元素的___________表示集合的方法. (2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的__________及____________,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________. 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)你班所有的姓氏能组成集合. ( ) (2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题.( ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素. ( ) (4)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.( ) (5)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( ) (6)集合A={x|x-1=0}与集合B={1}表示同一个集合.( ) 2.下列元素与集合的关系判断正确的是( ) A.0∈N C.2∈Q B.π∈Q D.-1∉Z 3.已知集合A中含有两个元素1,x2,且x∈A,则x的值是( ) A.0 C.-1 B.1 D.0或1 x+y=1, 4.方程组的解集是( ) x-y=-3 A.(-1,2) C.{(-1,2)} B.(1,-2) D.{(1,-2)} 5.不等式x-3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为( ) A.{0,1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} B.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5} 6.不等式4x-5<7的解集为________. 例1 考查下列每组对象,能构成一个集合的是( ) ①某校高一年级成绩优秀的学生; ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点; ③不小于3的自然数; ④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者. A.③④ B.②③④ C.②③ D.②④ 例2 (1)下列关系中,正确的有 ( ) 1 ①∈R;② 2∉Q;③|-3|∈N;④|-3|∈Q. 2A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6 (2)集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为________. 3-x例3 已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为________. 变式1.[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”,其他条件不变,求实数a的值. 变式2.[变条件]本例若去掉条件“1∈A”,其他条件不变,则实数a的取值范围是什么? 变式3.[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2,若“a∈A”,求实数a的值. 例4 用列举法表示下列集合. (1)不大于10的非负偶数组成的集合; (2)方程x3=x的所有实数解组成的集合; (3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合. 例5 用描述法表示下列集合: (1)被3除余1的正整数的集合; (2)坐标平面内第一象限的点的集合; (3)大于4的所有偶数. 例6 (1)若集合A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}中只有一个元素,则a= ( ) A.1 B.2 C.0 D.0或1 51912 x-ax-=0,则集合xx2-x-a=0中所有元素之积为________. (2)设∈x222 例7 用描述法表示抛物线y=x2+1上的点构成的集合. 变式1.[变条件,变设问]本题中点的集合若改为“{x|y=x2+1}”,则集合中的元素是什么? 变式2.[变条件,变设问]本题中点的集合若改为“{y|y=x2+1}”,则集合中的元素是什么? 1.下列说法正确的是( ) A.某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B.由1,2,3和 9,1,4组成的集合不相等 C.不超过20的非负数组成一个集合 D.方程(x-1)(x+1)2=0的所有解构成的集合中有3个元素 2.已知集合A由x<1的数构成,则有( ) A.3∈A C.0∈A B.1∈A D.-1∉A 3.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,则a为( ) A.2 C.4 B.2或4 D.0 |a||b||ab| 4.已知a,b是非零实数,代数式++的值组成的集合是M,则下列判断正确的是( ) ababA.0∈M C.3∉M B.-1∈M D.1∈M 5.集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1}(A,B中x∈R,y∈R).选项中元素与集合的关系都正确的是( ) A.2∈A,且2∈B B.(1,2)∈A,且(1,2)∈B C.2∈A,且(3,10)∈B D.(3,10)∈A,且2∈B 6.定义P*Q={ab|a∈P,b∈Q},若P={0,1,2},Q={1,2,3},则P*Q中元素的个数是( ) A.6个 C.8个 7.下列说法中: ①集合N与集合N+是同一个集合; ②集合N中的元素都是集合Z中的元素; ③集合Q中的元素都是集合Z中的元素; ④集合Q中的元素都是集合R中的元素. 其中正确的有________(填序号). 8.已知A={(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N},用列举法表示A为________. 9.已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R},若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围. B.7个 D.9个 答案 小试牛刀 1.答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 2-5.AACB 6.{x|4x-5<7} 自主探究 例1 B 例2 (1) C (2) 0,1,2 例3 a=-1. 变式1. a=2,或a=2,或a=-2. 变式2. a≠0且a≠1. 变式3. a=0. 例4 (1) {0,2,4,6,8,10}.(2) {0,1,-1}. (3) {(0,1)}. 例5 (1) {x|x=3n+1,n∈N}.(2) {(x,y)|x>0,y>0}.(3) {x|x=2n,n∈Z且n≥3}. 9 例6 (1) D (2) 2例7 {(x,y)|y=x2+1}. 变式1 解:集合{x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}中的元素是全体实数. 变式2 解:集合{ y| y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以{ y| y=x2+1}={ y| y≥1},所以集合中的元素是大于等于1的全体实数. 当堂检测 1-6. CCBBCA 7.②④ 8.{(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)} 4 9.解:当a=0时,A=-3; 当a≠0时,关于x的方程ax2-3x-4=0应有两个相等的实数根或无实数根, 所以Δ=9+16a≤0,即a≤- 9. 16 9 故所求的a的取值范围是a≤-或a=0. 16 第一章 集合与常用逻辑用语 第2节 集合间的基本关系 1. 了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 2.理解子集、真子集的概念; 3.能使用venn图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用,体会数形结合的思想。 教学重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念; 教学难点:属于关系与包含关系的区别. 一、集合间的基本关系基本概念 1. 如果集合A中 元素都是集合B中的元素,称集合A为集合B的子集。符号表示为 。 2. 如果集合A⊆B,但存在元素 ,则称集合A是集合B的真子集。符号表示为 。 3. Venn图:用平面上 的内部代表集合,这种图称为Venn图. 4. 集合的相等:若 且B⊆A,则A=B。 5.空集: 元素的集合,叫做空集.符号表示为: . 规定:空集是任何集合的 。 二.子集的性质 1.任何一个集合是它本身的 ,即A⊆A; 2.对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么 探究一 子集 1.观察以下几组集合,并指出它们元素间的关系: ① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5}; ② A为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合, B为这个班全体学生组成的集合; ③ A={x| x>2}, B={x | x>1}。 2.子集定义: 一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中 都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的 . 记作:AB(或BA) 读作: (或“ ”) 符号语言:任意 有 则 。 3.韦恩图(Venn图): 用一条封闭曲线(圆、椭圆、长方形等)的内部来代表集合叫集合的韦恩图表示. 牛刀小试1: 图中A是否为集合B的子集? 牛刀小试2 判断集合A是否为集合B的子集,若是则在( )打√,若不是则在( )打×: ①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( ) ②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ( ) ③A={0}, B={x | x2+2=0} ( ) ④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( ) 思考2:与实数中的结论 “若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”。相类比,在集合中,你能得出什么结论? 探究二 集合相等 1.观察下列两个集合,并指出它们元素间的关系 (1)A={x|x是两条边相等的三角形},B={x|x是等腰三角形}; 2.定义:如果集合A的 都是集合B的元素,同时集合B 都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作 。 ABA,BB B A A A⊆B A=B⇔B⊆A 牛刀小试3: Axx1x20,B1,2。集合A与B什么关系? 探究三 真子集 1.观察以下几组集合,并指出它们元素间的关系: (1) A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6}; (2) A={四边形}, B={多边形}。 2.定义:如果集合A⊆B,但存在元素 ,且 ,称集合A是集合B的真子集. 记作: (或 ) 读作:“A真含于B”(或B真包含A)。 探究四 空 集 1.我们把 的集合叫做空集,记为,并规定:空集是任何集合的子集。 空集是任何非空集合的真子集。即B,(B) 例如:方程x2+1=0没有实数根,所以方程 x2+1=0的实数根组成的集合为。 问题:你还能举几个空集的例子吗? 2.深化概念: (1)包含关系{a}A与属于关系aA有什么区别? (2)集合 AB 与集合AB有什么区别 ? (3).0,{0}与 Φ三者之间有什么关系? 3.结论: 由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论: (1)任何一个集合是它本身的子集,即 。 (2)对于集合A、B、C,若AB,BC,则 (类比ab,bc则ac)。 例1. 写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 例2.判断下列各题中集合A是否为集合B的子集,并说明理由。 1A{1,2,3},B{x|x是8 的约数};2)A{x|x是长方形},B{x|x是两条对角线相等的平行四边形}。 1.集合A={-1,0,1},A的子集中含有元素0的子集共有( ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 2.已知集合M={x|-3 C.R={y|-π D.4 4.设集合A={x|1 5.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集. ) ()( 答案 学习过程: 探究一 1. 集合A的元素都属于集合B。 2. 任何一个元素 子集 集合A含于集合B 集合B包含集合A 牛刀小试1 集合A不是集合B的子集 牛刀小试2 ① √ ②× ③ × ④√ 探究二 集合相等 1.(1)中集合A中的元素和集合B中的元素相同. 2.任何一个元素 任何一个元素 A=B 牛刀小试3 A=B。 探究三 真子集 1.集合A中元素都是集合B的元素,但集合B有的元素不属于集合A。 2.x∈B xA AB BA 探究四 空 集 1.不含任何元素 2.(1)前者为集合之间关系,后者为元素与集合之间的关系. (2) A = B或A B. (3){0}与Φ :{0}是含有一个元素0的集合, Φ是不含任何元素的集合。如 Φ{0}不能写成Φ ={0},Φ ∈{0} 3.(1) (2) ,{a},{b} ,{a, b}。 例1.解:集合{a,b}的子集: 集合{a,b}真子集: ,{a},{b}。 例2.解:(1)因为3不是8的约数,所以集合A不是集合B的子集。 三、达标检测 1.【解析】 根据题意,在集合A的子集中,含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0,-1}、{-1,0,1}四个,故选B. 【答案】 B 2.【解析】 集合M={-2,-1,0,1},集合R={-3,-2},集合S={0,1},不难发现集合P中的元素-3∉M,集合Q中的元素2∉M,集合R中的元素-3∉M,而集合S={0,1}中的任意一个元素都在集合M中,所以S⊆M.故选D. 【答案】 D 3.【解析】 ①正确,0是集合{0}的元素;②正确,∅是任何非空集合的真子集;③错误,集合{0,1}含两个元素0,1,而{(0,1)}含一个元素点(0,1),所以这两个集合没关系;④错误,集合{(a,b)}含一个元素点(a,b),集合{(b,a)}含一个元素点(b,a),这两个元素不同,所以集合不相等.故选B. 【答案】 B 4.【解析】 由A={x|1 5.【解】 因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N}, 所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}. 所以A的子集有:∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}. 【新教材】1.2 集合的基本关系 学案(人教A版) 1. 了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 2. 理解子集.真子集的概念. 3. 能使用venn图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念. 难点:难点是属于关系与包含关系的区别. 二、 预习导入 阅读课本7-8页,填写。 1.集合与集合的关系 (1)一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中_____________元素都是集合B中的元素,我们就 说这两个集合有_____________关系,称集合A为B的______. 记作:A_________ B(或B _________ A) 读作:A包含于B(或B包含A). 图示: (2)如果两个集合所含的元素完全相同(A______ B且B ______ A),那么我们称这两个集合相等. 记作:A ______B 读作:A等于B. 图示:2. 真子集 若集合AB,存在元素x______ B且x ______ A,则称集合A是集合B的真子集。 记作:A______B(或B______A) 读作:A真包含于B(或B真包含A) 3.空集 __________________的集合称为空集,记作:. 规定:空集是任何集合的子集。 4.常用结论 (1)A __________ A(类比aa) (2)空集是__________的子集,是_____________的真子集。 (3)若AB,BC,则A __________ C(类比ab,bc则ac) (4)一般地,一个集合元素若为n个,则其子集数为________个,其真子集数为________个,特别地,空集的子集个数为________,真子集个数为________。 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空集中只有元素0,而无其余元素. ( ) (2)任何一个集合都有子集. ( ) (3)若A=B,则A⊆B. ( ) (4)空集是任何集合的真子集. ( ) 2.用适当的符号填空 (1) 𝑎______{𝑎,𝑏,𝑐} (2) 0_______{𝑥|𝑥2=0} (3) ∅________{𝑥∈𝑅|𝑥2+1=0} (4) {0,1}_____N (5) {∅}_____{𝑥|𝑥2=𝑥} (6){2,1}____{𝑥|𝑥2−3𝑥+2=0} 3.设a∈R,若集合{2,9}={1-a,9},则a=________. 例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集; (2)填写下表,并回答问题: 集合 ⌀ {a} {a,b} {a,b,c} 1 集合的子集 子集的个数 由此猜想:含n个元素的集合{a,a,…,a}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子 2 n 集的个数呢? 2 例2 下列能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x+x=0}的关系的维恩图是( ) 例3 已知集合A={x|-5 变式2. [变条件] 若集合A={x|x<-5或x>2},B={x|2a-3 A.2 C.2或-1 B.-1 D.4 2 2.已知集合A={x|-1-x<0},则下列各式正确的是( ) A.0⊆A C.∅∈A B.{0}∈A D.{0}⊆A 3.已知集合A⊆{0,1,2},且集合A中至少含有一个偶数,则这样的集合A的个数为( ) A.6 C.4 B.5 D.3 4.已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则A与B之间的关系是( ) A.A⊆B C.AB 2 B.A=B D.AB 5.已知集合A={x|ax+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有两个子集,则a的值是( ) A.1 C.0,1 B.-1 D.-1,0,1 yx 6.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|=1},则A,B的关系是________. 7.已知集合A={x|x<3},集合B={x|x 答案 小试牛刀 1.答案:(1) × (2) √ (3) √ (4)× 2.(1)∈ (2)= (3)= (4)⊆ (5)⊈ (6)= 3.-1 自主探究 例1【答案】见解析 【解析】分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出. 解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{0},{1},{2}; 含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};含有三个元素的子集为{0,1,2}. 故集合{0,1,2}的所有子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}. 其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集. (2) n 1 2 n n 由此猜想:含n个元素的集合{a,a,…,a}的所有子集的个数是2,真子集的个数是2-1,非空真子集 n 的个数是2-2. 例2【答案】B 2 【解析】∵N={x|x+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1},∴N⫋M,故选B. 例3【答案】见解析 【解析】分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件. 解:(1)若a=-1,则B={x|-5 ①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立. ②当B≠⌀时,2a-3 2a-3≥-5, 由图可得{解得-1≤a≤4. a-2≤2, 又因为a<1,所以实数a的取值范围为-1≤a<1 变式1.【答案】见解析 【解析】因为A={x|-5 此时有{即{显然实数a不存在. a≥4,a-2≥2,变式2.【答案】见解析 【解析】①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立. ②当B≠⌀时,2a-3 由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a≥ 或a≤-3. 25 又因为a<1,所以a≤-3. 综上,实数a的取值范围为a≥1或a≤-3. 当堂检测 1-5.CDADD 6.BA 7.m≥3 8.【答案】见解析 【解析】∵B⊆A,∴B的可能情况有B≠∅和B=∅两种. ①当B=∅时,由a>2a-1,得a<1. ②当B≠∅时, a>3, ∵B⊆A,∴ a≤2a-1 2a-1<-2, 或 a≤2a-1 成立,解得a>3; 综上可知,实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}. 第一章 集合与常用逻辑用语 第3节 集合的基本运算 1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求简单集合的交、并运算; 2.理解补集的含义,会求给定子集的补集; 3.能使用Venn图表示集合的关系及运算。 1.教学重点:交集、并集、补集的运算; 2.教学难点:交集、并集、补集的运算性质及应用,符号之间的区别与联系。 一、集合运算的基本概念 1.并集的概念 一般地,由所有属于集合A 属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集(Union set). 记作: (读作:“A并B”),即: A∪B = 。 2. 交集的概念 一般地,由属于集合A 属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集(intersection set).记作: (读作:“A交B”), 即: A ∩ B = 。 3、补集的概念 (1)全集定义:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 ,那么就称这个集合为全集. 记法:全集通常记作U. (2).补集 文字语言 符号语言 对于一个集合A,由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集,记作 。 ∁UA= 图形语言 探究一 并集的含义 1.思考:考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗? (1) A={1,3,5,7}, B={2,4,6,7}, C={1,2,3,4,5,6,7}. (2)A={x|x是有理数}, B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}. 2、归纳新知 (1)并集的含义 一般地,由所有属于集合A 属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集(Union set). 记作: (读作:“A并B”), 即: A∪B = 。 说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A与B 的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素). Venn图表示: (2)“或”的理解:三层含义: 1.元素属于A但不属于B。即:{xxA,但xB}2.元素属于B但不属于A。即:{xxB,但xA}3.元素既属于A又属于B。即:{xA且xB}AB由1,2,3的所有元素组成的集合是A与B的并集。(3)思考:下列关系式成立吗? (1) AAA (2)AA (4)思考:若AB,,则A∪B与B有什么关系? 3、典型例题 例1.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求AUB. 例2.设集合A={x|-1 1、思考:考察下面的问题,集合C与集合A、B之间有什么关系吗? (1) A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12}, C={8}. (2)A={x|x是立德中学今年在校的女同学}, B={x|x是立德中学今年在校的高一年级同学}, C={x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学}. 2.交集的概念: 一般地,由属于集合A 属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集(intersection set). 记作: (读作:“A交B”),即: A ∩ B = 。 说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A与B 的公共元素组成的集合. 3、思考:能否认为A与B没有公共元素时,A与B就没有交集? 4、典型例题 例3 立德中学开运动会,设A={x|x是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学},B={ x|x是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学}, 求AB。 例4. 设平面内直线l1上点的集合为L1,直线l2上点的集合为L2,试用集合的运算表示直线 l1、l2的位置关系. 5、思考:下列关系式成立吗? (1)AAA(2)A。 探究三: 补集的概念 1.在研究问题时,我们经常需要研究对象的范围,在不同范围研究同一问题,可能有不同的结果 问题: 在下面范围内解方程 (1) 有理数范围 (2)实数范围 2、全集与补集的定义 (1)全集的定义:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的 ,那么就称这个集合为全集,通常记作U. (2)对于一个集合A ,由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集,简称为集合A的补集. 记作: ,即:CUA= 。 说明:补集的概念必须要有全集的. 3、例题 例5.设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求CUA,CUB。. 例6.设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形}.求A∩B,。 C(UAB) 例7. 4.性质:(1)A(2)A(CUA) ;(CUA) 。 已知全集U=R,集合A{x|x3},B{x|2x4}.求(CUA)B. 1.设集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B=( ) A.{2,3} B.{0,1}C.{0,1,4} D.{0,1,2,3,4} 2.已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2<x≤5},则A∪B=( ) A.(2,3) B.[-1,5] C.(-1,5) D.(-1,5] 3.已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(∁RA)∩B=( ) A.{-2,-1} C.{-1,0,1} B.{-2} D.{0,1} 4.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a},若∁UA={x|2≤x≤5},则a=________. 5.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|x<3或x≥7},求: (1)A∪B;(2)C∩B. 这节课你的收获是什么? 参: 探究一 1. 集合C是由所有属于集合A或属于B的所有元素组成的. 2.(1)或 A∪B {x| x ∈ A ,或x ∈ B} (3) 成立 (4)若AB,则ABB。 例1.解:AB{4,5,6,8}{3,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}。 例2.解:A∪B ={x|-1 1. 集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的. 2.且 A∩B {x| x ∈ A 且x ∈ B} 3.不能.当A与B无公共元素时,A与B的交集仍存在,此时A∩B=∅. 例3.解: AB就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合. 所以,AB={x|x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}. 5. 成立 探究三 1.(1) (2) {x| x ∈ U 且xA} 2.(1)所有元素 (2) 不属于集合A CUA例5.解:根据题意可知:U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以:CUA={4,5,6,7,8}, CUB= {1,2,7,8}. 例7.解:CA{x|x3},(CUA)B{x|3x4}。 U4.U 达标检测 1. A 2. B 3.A 4.2 5.【解】 (1)由集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},把两集合表示在数轴上如图所示: 得到A∪B={x|2<x<10}. (2)由集合B={x|2<x<10},C={x|x<3或x≥7}, 则C∩B={x|2<x<3或7≤x<10} 【新教材】1.3 集合的基本运算 学案(人教A版) 1. 理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集; 2. 理解全集和补集的含义,能求给定集合的补集; 3. 能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算. 1.数学抽象:并集、交集、全集、补集含义的理解; 2.逻辑推理:并集、交集及补集的性质的推导; 3.数算:求 两个集合的并集、交集及补集,已知并集、交集及补集的性质求参数(参数的范围); 4.数据分析:通过并集、交集及补集的性质列不等式组,此过程中重点关注端点是否含“=”及∅问题; 5.数学建模:用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。 重点:1.交集、并集定义的三种语言的表达方式及交集、并集的区别与联系; 2全集与补集的定义. 难点:利用交集并集补集含义和Venn图解决一些与集合的运算有关的问题. 三、 预习导入 阅读课本10-13页,填写。 1、并集 一般地,由____________集合A__________集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集, 记作:_________(读作:“________”)即: A∪B=________________ Venn图表示 2 交集 一般地,由____________集合A____________集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集,记作:___________(读作:__________)即: A∩B=_______________ Venn图表示 3.全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的____________,那么就称这个集合为全集,通常记作_______。 4.补集: 对于全集U的一个子集A,由全集U中所有____________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作:____________CUA即:CUA=____________ 补集的Venn图表示 5.常用结论: (1)A∩B___A,A∩B___B,A∩A=___,A∩=___,A∩B___B∩A; (2)A___A∪B,B___A∪B,A∪A=___,A∪=___,A∪B___B∪A; (3)(CUA)∪A=___,(CUA)∩A=___; (4) 若A∩B=A,则A___B,反之也成立; (5) 若A∪B=B, 则A___B,反之也成立. 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中所有元素的个数和. ( ) (2)当集合A与集合B没有公共元素时,集合A与集合B就没有交集. ( ) (3)若A∪B=⌀,则A=B=⌀. ( ) (4)若A∩B=⌀,则A=B=⌀. ( ) (5)若A∪B=A∪C,则B=C. ( ) (6) ∁A⌀=A. ( ) (7) ∁U(A∪B)=(∁UA)∪(∁UB). ( ) 2.设集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N等于 ( ) A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} 3.若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则A∩B=( ) A.{x|-3<x<2} C.{x|-3<x<3} B.{x|-5<x<2} D.{x|-5<x<3} 4.全集U={x|0<x<10},A={x|0<x<5},则∁UA=________. 例1(单一运算) 1.求下列两个集合的并集和交集: (1) A={1,2,3,4,5},B={-1,0,1,2,3}; (2) A={x|x+1>0},B={x|-2 (1)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C= ( ) A.{2} C.{1,2,4,6} B.{1,2,4} D.{x∈R|-1≤x≤5} (2)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2 设集合A={x|-1<x<a},B={x|1<x<3}且A∪B={x|-1<x<3},求a的取值范围. 例5(由交集、并集的性质求参数的范围) 已知集合A={x|-3<x≤4},集合B={x|k+1≤x≤2k-1},且A∪B=A,试求k的取值范围. 变式. [变条件]把例5题中的条件“A∪B=A”换为“A∩B=A”,求k的取值范围. 1.已知集合P={x|-1 A.{2,3} C.{4,5} B.{1,4,5} D.{1,5} 3.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合M∩N为( ) A.x=3,y=-1 C.{3,-1} 2 B.(3,-1) D.{(3,-1)} 4.A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x+x-6=0},则下图中阴影部分表示的集合为( ) A.{2} C.{-3,2} B.{3} D.{-2,3} 5.设集合A={a,b},B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪B等于( ) A.{1,2} C.{2,5} B.{1,5} D.{1,2,5} 6.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|xA.a<2 C.a>-1
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