新版高一数学必修第一册第一章全部学案

新版高一数学必修第一册第一章全部学案

第一章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合的概念

1.了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.

2.掌握集合的三种表示方法，常用数集及其专用符号,集合的三个基本特征.

1.集合的含义与表示方法，元素与集合的关系； 2.选择恰当的方法表示一些简单的集合

一、集合的基本概念 1．元素与集合的概念

(1)把 统称为 ，通常用 ________表示． (2)把 叫做 (简称为集)，通常用 ______ 表示． 2．集合中元素三个特征： 、____________、___________ 3、集合相等_____________________________________________________ 4．元素与集合的关系：

(1)如果a.是集合A的元素，就说a A (2)如果a不是集合A的元素，就说a A 5．常用的数集及其符号表示：

非负整数集（自然数集）____________________________记作__________ 正整数集__________________________________________记作__________ 整数集____________________________________________记作__________ 有理数集__________________________________________记作_________ 实数集____________________________________________记作__________ 二、集合的表示方法

1、列举法：将集合的元素 出来，并置于花括号“{__}”内．元素之间要用 分隔，列举时与 无关．

2．描述法：将集合的所有元素 表示出来，写成{x|φ(x)}的形式

探究一、集合的含义

1.考察下列问题：

（1）（1）1～20以内的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有正方形；

（4）到直线l的距离等于定长d的所有的点; （5）方程x23x20的所有实数根；

（6）地球上的四大洋。

思考:上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？

探究二、集合中元素的性质

1. 所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？

2. 由1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的一个集合中有5 个元素，这种说法正确吗？

3. 高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？

归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？

练习1：判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1) 大于3小于11的偶数; (2) 我国的小河流.

探究三：元素和集合的关系 1..元素与集合的“属于”关系

如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a___A；如果a不是集合A中的元素，就

说a不属于集合A，记作a___A.

2、常用数集及其记法：非负整数（自然数集） 、正整数集 、整数集 、有理数集 、实数集 . 练习2. 用符号“∈”或“∉”填空.

(1)2___N；(2)2_____Q；(3)0___{0}；(4)b_____{a,b,c}；(5) 0______N＋. 例1已知集合A是由三个元素a－2，2a＋5a，12组成的，且－3∈A，求a.

探究四、 集合的表示方法 1.列举法

思考：地球上的四大洋组成的集合如何表示？

问题：你能总结归纳出列举法的概念吗？

例2 用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合； （2） 方程x2=x的所有实数根组成的集合. 2.描述法

思考：能否用列举法表示不等式 x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？

思考：所有奇数的集合，偶数的集合怎样表示？有理数集怎么表示呢？

问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？

例3 试分别用列举法和描述法表示下列集合.

(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合. (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.

2

思考：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？

1．下列对象不能构成集合的是( )

①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③

2．下列三个关系式：①5∈R；②1

4

∉Q；③0∈Z.其中正确的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．0

3.a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是( A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形

4.设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________.

5．用适当的方法表示下列集合：

(1)方程组2x－3y＝14



3x＋2y＝8

的解集；

(2)所有的正方形；

(3)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．

这节课你的收获是什么？

参：

二、探究二 1.不能. 其中的元素不确定 集合中的元素是确定的

2.不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5 .集合中的元素是互异的 练习1.（1）是由4,6,8,10四个元素组成的集合. （2）由集合元素的确定性知其不能组成集合. 练习2.(1) ∈ (2) ∉ （3）∈ （4）∈ (5) ∉ 例1. 解：

3Aa23或2a25a3

当a23时，a1, 此时不满足元素的互异性，故舍去。 当2a25a3时，a1或a32，经检验a32满足互异性。 )

所以a3。 2例2.解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. （2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}.

例3.解：(1)设方程x-2=0的实数根为x,并且满足条件x-2=0，因此，用描述法表示为A={x∈R|x-2=0}.

2

2

2

2，因此，用列举法表示为A={2，2}. 方程x-2=0有两个实数根为2，2

(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z,且10大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17, 18,19，因此，用列举法表示为 B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

思考：自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.

达标检测

1.【解析】 研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D.

【答案】 D

1

2.【解析】 ①正确；②因为∈Q，错误；③0∈Z，正确．

4

【答案】 B

3.【解析】 由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.

【答案】 D

4.【解析】 ∵4∈A，∴16－12＋a＝0，

∴a＝－4，

∴A＝{x|x－3x－4＝0}＝{－1,4}． 【答案】 {－1,4}

2x－3y＝145.【解】 (1)解方程组

3x＋2y＝8，

2

x＝4

得

y＝－2，

故解集为{(4，－2)}．

(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}． (3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x}．

2

【新教材】1.1 集合的概念 学案

（人教A版）

1. 了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号． 2. 深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题． 3. 会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。

1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法； 2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；

3.数算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算； 4. 数据分析：元素在集合中对应的参数满足的条件；

5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。

重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法． 难点：元素与集合的关系，选择适当的方法表示具体问题中的集合．

一、

预习导入

阅读课本2-5页，填写。

1．元素与集合的概念

(1)元素：一般地，把__________统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的________叫做集合(简称为_______)．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．

(3)集合相等：只要构成两个集合的_______是一样的，就称这两个集合是相等的． (4)元素的特性：_________、__________ 、___________． 2．元素与集合的关系

关系 语言描述 记法 读法

属于 不属于 a是集合A中的元素 a不是集合A中的元素 a___A a___A a属于集合A a不属于集合A 3．常用的数集及其记法 常用的数集 记法 自然数集 ____ 正整 数集 ____ 整数 集 ____ 有理 数集 ____ 实数集 _____ 4．列举法 把集合的元素_____________，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 5．描述法

(1)定义：用集合所含元素的___________表示集合的方法．

(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的__________及____________，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)你班所有的姓氏能组成集合．

( )

(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题．( ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素． ( )

(4)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( ) (5)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )

(6)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( ) 2．下列元素与集合的关系判断正确的是( ) A．0∈N C.2∈Q

B．π∈Q D．－1∉Z

3．已知集合A中含有两个元素1，x2，且x∈A，则x的值是( ) A．0 C．－1

B．1 D．0或1

x＋y＝1，

4．方程组的解集是( )

x－y＝－3

A．(－1,2) C．{(－1,2)}

B．(1，－2) D．{(1，－2)}

5．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为( ) A．{0,1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5}

B．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5}

6．不等式4x－5<7的解集为________．

例1 考查下列每组对象，能构成一个集合的是( ) ①某校高一年级成绩优秀的学生； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数；

④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． A．③④ B．②③④ C．②③

D．②④

例2 (1)下列关系中，正确的有 ( ) 1

①∈R；② 2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q. 2A．1个 B．2个 C．3个

D．4个

6

(2)集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．

3－x例3 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________． 变式1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值． 变式2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？ 变式3．[变条件]已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值． 例4 用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合； (3)直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合． 例5 用描述法表示下列集合： (1)被3除余1的正整数的集合； (2)坐标平面内第一象限的点的集合； (3)大于4的所有偶数．

例6 (1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则a＝ ( ) A．1

B．2 C．0

D．0或1

51912

x－ax－＝0，则集合xx2－x－a＝0中所有元素之积为________． (2)设∈x222

例7 用描述法表示抛物线y＝x2＋1上的点构成的集合．

变式1．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{x|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？ 变式2．[变条件，变设问]本题中点的集合若改为“{y|y＝x2＋1}”，则集合中的元素是什么？

1．下列说法正确的是( )

A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B．由1,2,3和 9，1，4组成的集合不相等 C．不超过20的非负数组成一个集合

D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素 2．已知集合A由x<1的数构成，则有( ) A．3∈A C．0∈A

B．1∈A D．－1∉A

3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( ) A．2 C．4

B．2或4 D．0

|a||b||ab|

4．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )

ababA．0∈M C．3∉M

B．－1∈M D．1∈M

5．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )

A．2∈A，且2∈B B．(1,2)∈A，且(1,2)∈B C．2∈A，且(3,10)∈B D．(3,10)∈A，且2∈B

6．定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P*Q中元素的个数是( ) A．6个 C．8个

7．下列说法中：

①集合N与集合N＋是同一个集合； ②集合N中的元素都是集合Z中的元素； ③集合Q中的元素都是集合Z中的元素； ④集合Q中的元素都是集合R中的元素． 其中正确的有________(填序号)．

8．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为________．

9．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

B．7个 D．9个

答案

小试牛刀

1．答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 2-5．AACB 6．{x|4x－5<7} 自主探究 例1 B

例2 (1) C (2) 0,1,2 例3 a＝－1.

变式1． a＝2，或a＝2，或a＝－2. 变式2． a≠0且a≠1. 变式3． a＝0.

例4 (1) {0,2,4,6,8,10}．(2) {0,1，－1}． (3) {(0,1)}．

例5 (1) {x|x＝3n＋1，n∈N}．(2) {(x，y)|x＞0，y＞0}．(3) {x|x＝2n，n∈Z且n≥3}． 9

例6 (1) D (2) 2例7 {(x，y)|y＝x2＋1}． 变式1

解：集合{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}中的元素是全体实数． 变式2

解：集合{ y| y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{ y| y＝x2＋1}＝{ y| y≥1}，所以集合中的元素是大于等于1的全体实数． 当堂检测

1-6． CCBBCA 7．②④

8．{(0,6)，(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(6,0)}

4

9．解：当a＝0时，A＝－3；





当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根， 所以Δ＝9＋16a≤0，即a≤－

9. 16

9

故所求的a的取值范围是a≤－或a＝0.

16

第一章 集合与常用逻辑用语

第2节 集合间的基本关系

1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

2．理解子集、真子集的概念； 3．能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用，体会数形结合的思想。

教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念； 教学难点：属于关系与包含关系的区别．

一、集合间的基本关系基本概念

1. 如果集合A中 元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集。符号表示为 。

2. 如果集合A⊆B，但存在元素 ，则称集合A是集合B的真子集。符号表示为 。

3. Venn图：用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图． 4. 集合的相等：若 且B⊆A，则A＝B。

5.空集： 元素的集合，叫做空集．符号表示为： .

规定：空集是任何集合的 。 二．子集的性质

1.任何一个集合是它本身的 ，即A⊆A；

2.对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么

探究一 子集

1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系： ① A={1,2,3}, B={1,2,3,4,5};

② A为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合, B为这个班全体学生组成的集合; ③ A={x| x＞2}, B={x | x＞1}。

2.子集定义：

一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中 都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的 .

记作：AB(或BA）

读作： (或“ ”)

符号语言：任意 有 则 。 3.韦恩图（Venn图）：

用一条封闭曲线（圆、椭圆、长方形等）的内部来代表集合叫集合的韦恩图表示.

牛刀小试1：

图中A是否为集合B的子集？

牛刀小试2

判断集合A是否为集合B的子集，若是则在（ ）打√，若不是则在（ ）打×: ①A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6} ( ) ②A={1,3,5}, B={1,3,6,9} ( ) ③A={0}, B={x | x2+2=0} ( ) ④A={a,b,c,d}, B={d,b,c,a} ( )

思考2：与实数中的结论 “若a ≥b,且b ≥a,则a=b ”。相类比，在集合中，你能得出什么结论?

探究二 集合相等

1.观察下列两个集合，并指出它们元素间的关系

（1）A＝｛x｜x是两条边相等的三角形｝，B＝｛x｜x是等腰三角形｝；

2.定义：如果集合Ａ的 都是集合Ｂ的元素，同时集合Ｂ 都是集合Ａ的元素，我们就说集合Ａ等于集合Ｂ，记作 。

ABA,BB

B

A

A

A⊆B A=B⇔B⊆A

牛刀小试3：

Axx1x20，B1，2。集合A与B什么关系？

探究三 真子集

1.观察以下几组集合，并指出它们元素间的关系： （1） A={1,3,5}, B={1,2,3,4,5,6}； （2） A={四边形}, B={多边形}。

2.定义：如果集合A⊆B,但存在元素 ，且 ，称集合A是集合B的真子集． 记作： （或 ） 读作：“A真含于B”（或B真包含A）。 探究四 空 集

1.我们把 的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集。 空集是任何非空集合的真子集。即B，（B）

例如:方程x2+1=0没有实数根,所以方程 x2+1=0的实数根组成的集合为。 问题：你还能举几个空集的例子吗？

2.深化概念：

（1）包含关系{a}A与属于关系aA有什么区别？

（2）集合 AB 与集合AB有什么区别 ？

（3）.0，{0}与 Φ三者之间有什么关系? 3.结论：

由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论： （1）任何一个集合是它本身的子集，即 。

（2）对于集合A、B、C，若AB,BC,则 （类比ab，bc则ac）。 例1. 写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.

例2.判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由。

1A{1,2,3}，B{x|x是8 的约数}；2）A{x|x是长方形}，B{x|x是两条对角线相等的平行四边形}。

1．集合A＝{－1,0,1}，A的子集中含有元素0的子集共有( )

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

2．已知集合M＝{x|－3A．P＝{－3,0,1} B．Q＝{－1,0,1,2}

C．R＝{y|－π3．①0∈{0}，②∅{0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为( A．1 B．2 C．3

D．4

4．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}

5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．

)

（）（

答案

学习过程： 探究一

1. 集合A的元素都属于集合B。

2. 任何一个元素 子集 集合A含于集合B 集合B包含集合A 牛刀小试1 集合A不是集合B的子集 牛刀小试2 ① √ ②× ③ × ④√ 探究二 集合相等

1.（1）中集合A中的元素和集合B中的元素相同． 2.任何一个元素 任何一个元素 Ａ＝Ｂ

牛刀小试3 A=B。 探究三 真子集

1.集合A中元素都是集合B的元素，但集合B有的元素不属于集合A。 2.x∈B xA AB BA 探究四 空 集 1.不含任何元素

2.（1）前者为集合之间关系，后者为元素与集合之间的关系. （2）

A = B或A

B.

（3）{0}与Φ ：{0}是含有一个元素0的集合， Φ是不含任何元素的集合。如 Φ{0}不能写成Φ ={0}，Φ ∈{0} 3.（1）

（2）

，{a},{b} ,{a, b}。

例1.解：集合{a，b}的子集： 集合{a，b}真子集：

，{a},{b}。

例2.解：（1）因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集。

三、达标检测

1.【解析】 根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}四个，故选B.

【答案】 B

2.【解析】 集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D.

【答案】 D

3.【解析】 ①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.

【答案】 B

4.【解析】 由A＝{x|1【答案】 D

5.【解】 因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，

所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．

所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．

【新教材】1.2 集合的基本关系

学案（人教A版）

1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 2. 理解子集.真子集的概念．

3. 能使用venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念． 难点：难点是属于关系与包含关系的区别．

二、 预习导入

阅读课本7-8页，填写。 1．集合与集合的关系

（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_____________元素都是集合B中的元素，我们就

说这两个集合有_____________关系，称集合A为B的______.

记作：A_________ B(或B _________ A) 读作：A包含于B(或B包含A).

图示：

（2）如果两个集合所含的元素完全相同（A______ B且B ______ A），那么我们称这两个集合相等.

记作：A ______B 读作：A等于B.

图示：2. 真子集

若集合AB，存在元素x______ B且x ______ A，则称集合A是集合B的真子集。

记作：A______B（或B______A） 读作：A真包含于B（或B真包含A）

3．空集

__________________的集合称为空集，记作：. 规定：空集是任何集合的子集。 4.常用结论

（1）A __________ A（类比aa）

（2）空集是__________的子集，是_____________的真子集。

（3）若AB,BC,则A __________ C（类比ab，bc则ac）

（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为________个，其真子集数为________个，特别地，空集的子集个数为________，真子集个数为________。

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)空集中只有元素0，而无其余元素． ( ) (2)任何一个集合都有子集． ( ) (3)若A＝B，则A⊆B. ( )

(4)空集是任何集合的真子集． ( ) 2.用适当的符号填空

(1) 𝑎______{𝑎,𝑏,𝑐} (2) 0_______{𝑥|𝑥2=0} (3) ∅________{𝑥∈𝑅|𝑥2+1=0} (4) {0,1}_____N

(5) {∅}_____{𝑥|𝑥2=𝑥} （6）{2,1}____{𝑥|𝑥2−3𝑥+2=0} 3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.

例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集;

(2)填写下表,并回答问题:

集合 ⌀ {a} {a,b} {a,b,c} 1

集合的子集 子集的个数

由此猜想:含n个元素的集合{a,a,…,a}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子

2

n

集的个数呢?

2

例2 下列能正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x+x=0}的关系的维恩图是( )

例3 已知集合A={x|-5变式1． [变条件] 【例3】(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,试说明理由.

变式2． [变条件] 若集合A={x|x<-5或x>2},B={x|2a-31．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m－m，－1}，且A＝B，则实数m等于( )

A．2 C．2或－1

B．－1 D．4

2

2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )

A．0⊆A C．∅∈A

B．{0}∈A D．{0}⊆A

3．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )

A．6 C．4

B．5 D．3

4．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是( )

A．A⊆B C．AB

2

B．A＝B D．AB

5．已知集合A＝{x|ax＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是( )

A．1 C．0,1

B．－1 D．－1,0,1

yx

6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|=1}，则A，B的关系是________． 7．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

答案

小试牛刀

1．答案：(1) × (2) √ (3) √ (4)×

2．（1）∈ （2）= （3）= （4）⊆ （5）⊈ （6）= 3．-1 自主探究

例1【答案】见解析

【解析】分析:(1)利用子集的概念,按照集合中不含任何元素、含有一个元素、含有两个元素、含有三个元素这四种情况分别写出子集.(2)由特殊到一般,归纳得出. 解:(1)不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{0},{1},{2}; 含有两个元素的子集为{0,1},{0,2},{1,2};含有三个元素的子集为{0,1,2}.

故集合{0,1,2}的所有子集为⌀,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}. 其中除去集合{0,1,2},剩下的都是{0,1,2}的真子集. (2)

n

1

2

n

n

由此猜想:含n个元素的集合{a,a,…,a}的所有子集的个数是2,真子集的个数是2-1,非空真子集

n

的个数是2-2. 例2【答案】B

2

【解析】∵N={x|x+x=0}={x|x=0或x=-1}={0,-1},∴N⫋M,故选B. 例3【答案】见解析

【解析】分析:(1)令a=-1,写出集合B,分析两个集合中元素之间的关系,判断其子集关系;(2)根据集合B是否为空集进行分类讨论;然后把两集合在数轴上标出,根据子集关系确定端点值之间的大小关系,进而列出参数a所满足的条件. 解:(1)若a=-1,则B={x|-5由图可知,B⫋A. (2)由已知A⊇B.

①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立. ②当B≠⌀时,2a-3由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,

2a-3≥-5,

由图可得{解得-1≤a≤4.

a-2≤2,

又因为a<1,所以实数a的取值范围为-1≤a<1 变式1．【答案】见解析

【解析】因为A={x|-5a≤-1,2a-3≤-5,

此时有{即{显然实数a不存在.

a≥4,a-2≥2,变式2．【答案】见解析

【解析】①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立. ②当B≠⌀时,2a-3由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合,

由图可知2a-3≥2或a-2≤-5,解得a≥ 或a≤-3.

25

又因为a<1,所以a≤-3.

综上,实数a的取值范围为a≥1或a≤-3. 当堂检测 1-5．CDADD 6．BA 7．m≥3

8．【答案】见解析

【解析】∵B⊆A，∴B的可能情况有B≠∅和B＝∅两种． ①当B＝∅时，由a>2a－1，得a<1. ②当B≠∅时，

a>3，

∵B⊆A，∴

a≤2a－1

2a－1<－2，

或

a≤2a－1

成立，解得a>3；

综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}．

第一章 集合与常用逻辑用语 第3节 集合的基本运算

1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求简单集合的交、并运算； 2.理解补集的含义，会求给定子集的补集； 3.能使用Venn图表示集合的关系及运算。

1.教学重点：交集、并集、补集的运算；

2.教学难点：交集、并集、补集的运算性质及应用，符号之间的区别与联系。

一、集合运算的基本概念 1．并集的概念

一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union set）．

记作： （读作：“A并B”），即： A∪B = 。 2． 交集的概念

一般地，由属于集合A 属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersection set）．记作： （读作：“A交B”）， 即： A ∩ B = 。 3、补集的概念

(1)全集定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集．

记法：全集通常记作U. (2)．补集 文字语言 符号语言 对于一个集合A，由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，记作 。 ∁UA＝ 图形语言

探究一 并集的含义

1.思考:考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？ （1） A=｛1，3，5，7｝， B=｛2，4，6，7｝， C=｛1，2，3，4，5，6，7｝． （2）A=｛x|x是有理数｝， B=｛x|x是无理数｝， C=｛x|x是实数｝．

2、归纳新知

（1）并集的含义

一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union set）．

记作： （读作：“A并B”）， 即： A∪B = 。

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）．

Venn图表示：

（2）“或”的理解：三层含义：

1.元素属于A但不属于B。即：{xxA,但xB}2.元素属于B但不属于A。即：{xxB,但xA}3.元素既属于A又属于B。即：{xA且xB}AB由1，2，3的所有元素组成的集合是A与B的并集。（3）思考：下列关系式成立吗？

（1） AAA （2）AA

（4）思考：若AB，,则A∪B与B有什么关系？

3、典型例题

例1．设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求AUB．

例2．设集合A={x|-1【注意】由不等式给出的集合，研究包含关系或进行运算，常用数轴。 探究二 交集的含义

1、思考：考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？ （1） A=｛2，4，6，8，10｝， B=｛3，5，8，12｝， C=｛8｝． （2）A=｛x|x是立德中学今年在校的女同学｝，

B=｛x|x是立德中学今年在校的高一年级同学｝， C=｛x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学｝．

2.交集的概念： 一般地，由属于集合A 属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集（intersection set）．

记作： （读作：“A交B”），即： A ∩ B = 。

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的公共元素组成的集合． 3、思考：能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？

4、典型例题

例3 立德中学开运动会，设A=｛x|x是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学｝，B=｛ x|x是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学｝， 求AB。 例4.

设平面内直线l1上点的集合为L1,直线l2上点的集合为L2,试用集合的运算表示直线

l1、l2的位置关系.

5、思考：下列关系式成立吗？ （1）AAA（2）A。

探究三： 补集的概念

1.在研究问题时，我们经常需要研究对象的范围，在不同范围研究同一问题，可能有不同的结果 问题： 在下面范围内解方程 (1) 有理数范围

(2)实数范围

2、全集与补集的定义

（1）全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的 ，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

（2）对于一个集合A ，由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集,简称为集合A的补集．

记作： ，即：CUA= 。 说明：补集的概念必须要有全集的． 3、例题

例5．设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求CUA，CUB。．

例6．设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B，。 C（UAB） 例7.

4.性质：（1）A（2）A（CUA） ；（CUA） 。

已知全集U=R，集合A{x|x3},B{x|2x4}.求(CUA)B.

1．设集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则A∩B＝( )

A．{2,3} B．{0,1}C．{0,1,4} D．{0,1,2,3,4}

2．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2＜x≤5}，则A∪B＝( )

A．(2,3) B．[－1,5] C．(－1,5) D．(－1,5]

3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B＝( )

A．{－2，－1} C．{－1,0,1}

B．{－2} D．{0,1}

4．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝________. 5．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3或x≥7}，求： (1)A∪B；(2)C∩B.

这节课你的收获是什么？

参：

探究一

1. 集合C是由所有属于集合A或属于B的所有元素组成的．

2.（1）或 A∪B {x| x ∈ A ，或x ∈ B} （3） 成立 （4）若AB，则ABB。 例1.解：AB{4,5,6,8}{3,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}。 例2.解：A∪B ={x|-1探究二

1. 集合C是由那些既属于集合A且又属于集合B的所有元素组成的． 2.且 A∩B {x| x ∈ A 且x ∈ B}

3.不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝∅.

例3.解： AB就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合． 所以，AB=｛x|x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学｝. 5. 成立 探究三 1.（1）

（2）

{x| x ∈ U 且xA}

2.（1）所有元素 （2） 不属于集合A CUA例5.解：根据题意可知：U={1，2，3，4，5，6，7，8}， 所以：CUA={4，5，6，7，8}， CUB= {1，2，7，8}． 例7.解：CA{x|x3},（CUA）B{x|3x4}。 U4.U 

达标检测

1. A 2. B 3.A 4.2 5.【解】 (1)由集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，把两集合表示在数轴上如图所示：

得到A∪B＝{x|2＜x＜10}．

(2)由集合B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜3或x≥7}，

则C∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}

【新教材】1.3 集合的基本运算

学案（人教A版）

1. 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集； 2. 理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集； 3. 能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.

1.数学抽象：并集、交集、全集、补集含义的理解； 2.逻辑推理：并集、交集及补集的性质的推导；

3.数算：求 两个集合的并集、交集及补集，已知并集、交集及补集的性质求参数（参数的范围）；

4.数据分析：通过并集、交集及补集的性质列不等式组，此过程中重点关注端点是否含“=”及∅问题；

5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。

重点：1.交集、并集定义的三种语言的表达方式及交集、并集的区别与联系；

2全集与补集的定义.

难点：利用交集并集补集含义和Venn图解决一些与集合的运算有关的问题．

三、 预习导入

阅读课本10-13页，填写。 1、并集

一般地，由____________集合A__________集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，

记作：_________（读作：“________”）即： A∪B=________________ Venn图表示

2 交集

一般地，由____________集合A____________集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作：___________（读作：__________）即： A∩B=_______________ Venn图表示

3．全集

一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的____________，那么就称这个集合为全集，通常记作_______。 4．补集：

对于全集U的一个子集A，由全集U中所有____________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集，记作：____________CUA即：CUA=____________ 补集的Venn图表示

5.常用结论：

（1）A∩B___A，A∩B___B，A∩A=___，A∩=___,A∩B___B∩A； （2）A___A∪B，B___A∪B，A∪A=___，A∪=___,A∪B___B∪A； （3）（CUA）∪A=___，（CUA）∩A=___； （4） 若A∩B=A，则A___B，反之也成立； （5） 若A∪B=B， 则A___B，反之也成立.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）集合A∪B中的元素个数就是集合A和集合B中所有元素的个数和. （ ）

（2）当集合A与集合B没有公共元素时,集合A与集合B就没有交集. （ ）

（3）若A∪B=⌀,则A=B=⌀. （ ）

（4）若A∩B=⌀,则A=B=⌀. （ ）

（5）若A∪B=A∪C,则B=C. （ ）

（6） ∁A⌀=A. （ ）

（7） ∁U(A∪B)=(∁UA)∪(∁UB). （ ） 2．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于 ( ) A．{0,1} B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}

3．若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B=( ) A．{x|－3＜x＜2} C．{x|－3＜x＜3}

B．{x|－5＜x＜2} D．{x|－5＜x＜3}

4．全集U＝{x|0＜x＜10}，A＝{x|0＜x＜5}，则∁UA＝________.

例1（单一运算）

1.求下列两个集合的并集和交集: (1) A={1,2,3,4,5},B={-1,0,1,2,3}; (2) A={x|x+1>0},B={x|-22.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM＝( ) A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6} 例2 （混合运算）

（1）设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝ ( ) A．{2} C．{1,2,4,6}

B．{1，2，4}

D．{x∈R|－1≤x≤5}

(2)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2已知M＝{1,2，a2−3a−1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值． 例4（由并集、交集的定义求参数的范围）

设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围． 例5（由交集、并集的性质求参数的范围）

已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． 变式． [变条件]把例5题中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A”，求k的取值范围．

1．已知集合P＝{x|－1A．{x|-1B．{x|02．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)等于( )

A．{2,3} C．{4,5}

B．{1,4,5} D．{1,5}

3．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为( )

A．x＝3，y＝－1 C．{3，－1}

2

B．(3，－1) D．{(3，－1)}

4．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为( )

A．{2} C．{－3,2}

B．{3} D．{－2,3}

5．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )

A．{1,2} C．{2,5}

B．{1,5} D．{1,2,5}

6．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|xA．a<2 C．a>－1

B．a>－2 D．－17．已知A＝{x|a5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________． 8．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}．

(1)当a＝10时，求A∩B，A∪B；

(2)求能使A⊆(A∩B)成立的a的取值范围．

答案

小试牛刀

1．(1) × (2) × (3) √ (4)× (5) × (6) √ (7) × 2．D 3．A 4. {x|5≤x＜10}

自主探究

例1【答案】见解析 【解析】 1.(1)如图所示,

A∪B={-1,0,1,2,3,4,5},A∩B={1,2,3}.

(2)由题意知A={x|x>-1},用数轴表示集合A和B,如图所示,

则数轴上方所有“线”下面的实数组成了A∪B,故A∪B={x|x>-2},数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了A∩B,故A∩B={x|-12.因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，由补集的定义，可知∁UM＝{3,5,6}．故选C 例2【答案】(1)B (2){x|x≤2，或x≥10} {x|2(2)把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：

由图知，A∪B＝{x|2∴(∁RA)∩B＝{x|2【解析】∵M∩N＝{3}，∴3∈M；

∴𝑎2−3𝑎−1=3，即𝑎2−3𝑎−4=0，，解得𝑎＝－1或4. 当𝑎＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；

当𝑎＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意． ∴𝑎＝4.

例4【答案】见解析 【解析】如图所示，

由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3. 例5【答案】见解析

【解析】∵A∪B＝A，∴B⊆A， ①当B＝Ø时，k＋1＞2k－1，∴k＜2. ②当B≠Ø，则根据题意如图所示：

k＋1≤2k－1，

根据数轴可得－3＜k＋1，

2k－1≤4，

5

解得2≤k≤. 2

5

综合①②可得k的取值范围为kk≤

2



. 

变式．【答案】见解析 【解析】∵A∩B＝A，∴A⊆B.

又A＝{x|－3＜x≤4}，B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，

可知B≠Ø.

k＋1≤－3，

由数轴可知

2k－1≥4，

解得k∈Ø，

即当A∩B＝A时，k不存在． 当堂检测 1-6．ABDADC 7．－3≤a<－1

8．解：(1)当a＝10时，A＝{x|21≤x≤25}． 又B＝{x|3≤x≤22}，

所以A∩B＝{x|21≤x≤22}，A∪B＝{x|3≤x≤25}． (2)由A⊆(A∩B)，可知A⊆B， 又因为A为非空集合， 2a＋1≥3，

所以3a－5≤22，

2a＋1≤3a－5，

解得6≤a≤9.

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4充分条件与必要条件

1.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念； 2.会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件．

3.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.

1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 2.掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；

一、充分与必要条件的基本概念

1．充分条件与必要条件的概念

一般地,用p、q分别表示两个命题,如果命题p成立,可以推出命题q也成立,即 ,那么p叫做q的 条件, p叫做q 的 条件.

2．一般地，如果既有pq，又有qp，就记作： , 这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的 条件，简称 条件。其中叫做等价符号。

pq表示pq且qp。

探究一、充分条件与必要条件的含义

1.思考:下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若x24x30,则x1; （4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。

2、归纳新知

（1）充分条件、必要条件的含义

一般地,用p、q分别表示两个命题,如果命题p成立,可以推出命题q也成立,即 ,那么p叫做q的 条件, p叫做q 的 条件.

P足以导致q,也就是说条件p充分了；q是p成立所必须具备的前提. （2）

如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作pq。此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。

3.思考：下列“若P，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若x4x30,则x1; （4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。

2

例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p 是q的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形;（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似;(3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直；（4）若x21,则x1;(5)若ab,则acbc;(6)若x,y为无理数，则xy为无理数。4、思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？

结论：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。

例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 q是p的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角 分别相等;（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例;(3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形为菱形；（4）若x1,则x21;(5)若acbc,则ab;(6)若xy为无理数，则x、y为无理数。

5、思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要条件吗？

【结论】一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。

探究二、 充要条件的含义

1.思考：下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；

2

（3）若一元二次方程axbxc0有两个不相等的实数根，则ac0。

（4）若A

B是空集，则A与B均是空集。

2.定义：一般地，如果既有pq，又有qp，就记作： , 这时p既是q 条件，又

是q的 条件，则p是q的 条件，简称 条件。其中叫做等价符号。

pq表示pq且qp。

例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分； （2）P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； （3）p:xy>0,q:x>0,y>0;

(4) p:x=1是一元二次方程axbxc0的一个根，q:abc0(a0)。

3.探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？

例4 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d。求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件。

点评：在处理充分和必要条件问题时，首先应分清条件和结论，然后才能进行推理和判断。

2

1、设命题甲:0x5,命题乙:x23,那么甲是乙的（ ）.A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也必要条件2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填空：

（1）x＝y是x＝y的_____________ 条件； （2）ab = 0是a = 0 的________________条件； （3）x>1是x<1的__________________条件； （4）x＝1或x＝2是x－3x＋2＝0的_____条件。

3.求证：关于x的方程ax+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0。

这节课你的收获是什么？

参：

1. pq 充分 必要

2.pq 充分必要 充要 探究一 1. （1）真 (2)假 (3) 假 （4）真

3、（1）、（4）中，p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）、（3）中， p不是q的充分条件，q不是p的必要条件

【解析】（1）这是一条平行四边形的判定定理，pq， 所以p是q的充分条件； (2)这是一条相似三角形的判定定理，pq，所以p是q的充分条件； （3）这是一条菱形的性质定理，pq,所以p是q的充分条件; （4）由于(1)1，但-11,pq, 所以p不是q的充分条件。 （5）由等式的性质知，pq，所以p是q的充分条件。

（6）2为无理数，但222为有理数，pq，所以p不是q的充分条件。

4、四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其充分条件。

例2、解：（1）这是一条平行四边形的性质定理，Pq，所以q是p的必要条件； （2）这是一条相似三角形的性质定理，Pq，所以q是p的必要条件； （3）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形pq，所以q不是p的必要条件；

（4）显然Pq， 所以q不是p的必要条件。

222

2

22

（5）由于 (1)010,但11,pq,所以q不是p的必要条件；

（6）由于12=2为无理数，但1，2不全是无理数，pq，所以q不是p的必要条件。 5、四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其必要条件。

探究二 1、命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题。

例3、解：（1）因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以qp，所以p不是q的充要条件。

（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均是真命题，即pq，所以P是q的充要条件。

（3）因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立，所以 pq，所以p不是q的充要条件。 （4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即pq， 所以P是q的充要条件。

3.四边形的两组对角分别相等、四边形的两组对边分别相等、四边形的一组对边平行且相等、四边形的对角线互相平分、四边形的两组对边分别平行都是它的充要条件。 例4 解析见教材P22 达标检测

1.B 2、（1）充分不必要 （2）必要不充分 （3）既不充分也不必要 （4）充要 3.证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax+bx+c=0的根，则a+b+c=0”． ∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a1+b1+c=0，即a+b+c=0．

22

（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax+bx+c=0的根”． 把x=1代入方程的左边，得a1+b1+c=a+b+c．

2

2

∵a+b+c=0， ∴x=1是方程的根． 综合（1）（2）知命题成立．

【新教材】1.4 充分条件与必要条件

学案（人教A版）

1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．

2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法． 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．

1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解；

2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断；

3.数算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；

4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程；

5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。

重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念．． 难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系．

四、 预习导入

阅读课本17-22页，填写。 1．充分条件与必要条件 命题真假 推出关系 条件关系 2. 充要条件

一般地，如果既有p ⇒q，又有q ⇒p，就记作p ⇔q．此时，我们说p是q的______________，简称______________．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

“若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 P_______ q p是q的_______条件 q是p的_______条件 P_______ q p不是q的_______条件 q不是p的_______条件

概括地说，(1)如果p⇔q，那么p与q______________条件． (2)若p⇒q，但q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件． (3)若q⇒p，但p⇒/q，则称p是q的必要不充分条件． (4)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 3.从集合角度看充分、必要条件

若A⊆B，则p是q的充分条件，若A_______B，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若B_______A，则p是q的必要不充分条件 若A_______B，则p，q互为充要条件 若A_______B，且B_______A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件. ( ) (2) 若q是p的必要条件，则q成立，p也成立. ( )

(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件. ( )

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的 条件. (2)“a>0,b>0”是“ab>0”的 条件.

(3)“若p,则q”的逆命题为真,则p是q的 条件. 3．“x>2”是“x－3x＋2>0”成立的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2

题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断

例1 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

(4)p：a＜b，q：＜1.

ab解题技巧：（充分条件与必要条件的判断方法） (1)定义法

若p ⇒q，q ⇏ p，则p是q的充分不必要条件； 若p⇏q，q ⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p ⇒q，q ⇒p，则p是q的充要条件；

若p⇏q，q ⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法

对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件；

若A⫋B，则p是q的充分不必要条件；

若B⫋A，则p是q的必要不充分条件． (3)等价法

等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断． 跟踪训练一

1．设a，b是实数，则“a>b”是“a>b”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 充要条件的探求与证明

2

2

例2 (1)“x－4x<0”的一个充分不必要条件为( )

A．00 D．x<4

11

(2)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.

2

xy解题技巧：(探求充要条件一般有两种方法)

(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．

(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明． 跟踪训练二

2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是( )

A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞) C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)

(2)求证：关于x的方程ax＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 题型三 利用充分、必要条件求参数的范围

例3 已知p：x－8x－20≤0，q：x－2x＋1－m≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为____

变式． [变条件] 【例3】本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．

解题技巧：（利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围） (1)化简p、q两命题，

(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系， (4)求解参数范围． 跟踪训练三

3．已知P＝{x|a－42

2

2

2

1．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的( )

A．充分必要条件 C．必要不充分条件

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是( )

A．a≥b＋1 C．a＞b

2

2

B．a＞b－1 D．a＞b

3

3

4．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________． 5．下列说法正确的是________．(填序号)

①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；

②“a＞b”是“a＞b”的必要而不充分条件； ③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件； 6．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．

(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；

(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；

7．已知p：x－2x－3<0，若－a8．求关于x的方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．

2

23

3

答案

小试牛刀

1．答案：(1) √ (2) × (3)× 2．（1）充分（2）充分 （3）必要 3．A 自主探究

例1 【答案】见解析

【解析】(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件． (2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即q⇒p，但p⇒q，所以p是q的充分不必要条件． (3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件． (4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；

当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1； 当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b； 当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b. 因此p是q的既不充分也不必要条件．

﹁

﹁

﹁

﹁

ababababab

跟踪训练一 1．【答案】D

例2 【答案】（1）B （2）见解析

【解析】(1)由x－4x<0得00及x>y，得>1111y－x必要性：由<，得－<0，即<0. 2

xy11

，即<. xyxyxyxyxyxy因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0. 11

所以<的充要条件是xy>0.

xy1111y－x法二：<⇔－<0⇔<0. xyxyxy由条件x>y⇔y－x<0，故由11

所以<⇔xy>0，

y－x<0⇔xy>0. xyxy11

即<的充要条件是xy>0.

xy跟踪训练二

2．【答案】 （1）B （2）见解析

【解析】（1）由x(x－2)<0得0（2）证明 假设p：方程ax＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0. ①证明p⇒q，即证明必要性．

∵x＝1是方程ax＋bx＋c＝0的根，∴a·1＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. ②证明q⇒p，即证明充分性． 由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.

∵ax＋bx＋c＝0，∴ax＋bx－a－b＝0，

即a(x－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0. ∴x＝1是方程的一个根．

故方程ax＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 例3 【答案】{m|m≥9}(或[9，＋∞))

【解析】 由x－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x－2x＋1－m≤0(m>0)， 得1－m≤x≤1＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q⇒/p. 即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，

2

2

2

222

2

2

2

2

m>0，

所以1－m<－2，

1＋m≥10

1－m≤－2，

或m>0，1＋m>10，

解得m≥9.

变式． 【答案】见解析

【解析】由x－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x－2x＋1－m≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0) 因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且p⇒/q. 则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}⫋{x|－2≤x≤10}

2

2

2

m>0

所以1－m≥－2

1＋m≤10

，解得0即m的取值范围是(0,3]． 跟踪训练三 3．【答案】见解析

【解析】因为“x∈P”是x∈Q的必要条件，所以Q⊆P.

a－4≤1所以

a＋4≥3

解得－1≤a≤5

即a的取值范围是[－1,5]． 当堂检测 1-3．CAA 4．(－∞，1) 5．①

6．【答案】见解析 【解析】 (1)∵|x|＝|y|

x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，

∴p是q的必要不充分条件． (2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形

△ABC是等腰三角形，

△ABC是直角三角形，

∴p是q的既不充分也不必要条件． (3)∵四边形的对角线互相平分

四边形是矩形，

四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分， ∴p是q的必要不充分条件． 7．【答案】见解析

【解析】由于p：x－2x－3<0⇔－10)．

依题意，得{x|－10)，

2

1－a≤－1，

所以1＋a≥3，解得a>2，

2a>4，

则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，即(－∞，2]． 8．【答案】见解析

1

【解析】当a＝0时，x＝－符合题意．

2

当a≠0时，令f(x)＝ax＋2x＋1，由于f(0)＝1＞0， 1

当a＞0时，－<0，若Δ＝4－4a≥0，

2

a则a≤1，即0＜a≤1时，f(x)有两个负实数根． 当a＜0时，因为f(0)＝1，Δ＝4－4a＞0恒成立， 所以方程恒有负实数根． 综上所述，a≤1为所求．

第一章 集合与常用逻辑用语 1.5全称量词与存在量词

1.5.1全称量词与存在量词

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定

1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词； 2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性；

3.会写全称量词命题和存在量词命题的否定；

4. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括、转化的能力．

1.教学重点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，全称量词命题和存在量词命题的否定；

2.教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假。

一、全称量词命题、存在量词命题的基本概念 1．全称量词、全称量词命题的概念

（1）全称量词及表示:

定义：短语“ ”、 、 、 、 在逻辑中通常叫全称量词。 表示：用符号 表示。 （2）全称量词命题及表示:

定义：含有 的命题，叫全称量词命题。

表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为: 。 读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。 2.存在量词、存在量词命题的定义 （1）存在量词及表示:

定义：短语 、 、 、 、 在逻辑中通常叫做存在量词。表示：用符号 表示。 （2）存在量词命题及表示：

定义：含有 的命题,叫做存在量词命题.

表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为 . 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”. 3、命题的否定

全称量词命题的否定是 命题，存在量词命题的否定是 命题。

探究一、全称量词命题的含义

1.思考:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)x>3 (2)2x+1是整数 (3)对所有的xR,x>3

(4)对任意一个xZ,2x+1是整数

2、归纳新知

（1）全称量词及表示:

定义：短语“ ”、 、 、 、 在逻辑中通常叫全称量词。

表示：用符号 表示。 （2）全称量词命题及表示:

定义：含有 的命题，叫全称量词命题。

表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为: 。 读作:“对任意x属于Ｍ，有p(x)成立”。 练习：用量词“  ”表达下列命题: (1)实数都能写成小数形式; (2)凸多边形的外角和等于2；

（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数。

例1.判断下列全称量词命题的真假 (1) 所有的素数都是奇数; (2) xR, |x|+1≥1

(3) 对每一个无理数x,x2也是无理数

4、思考：如何判断全称量词命题的真假？

探究二 存在量词命题的含义

1.思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系? (1)2x+1=3

(2)x能被2和3整除; (3)存在一个x∈R,使2x+1=3;

(4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.

2.存在量词、存在量词命题的定义 （1）存在量词及表示:

定义：短语 、 、 、 、 在逻辑中通常叫做存在量词。表示：用符号 表示。 （2）存在量词命题及表示：

定义：含有 的命题,叫做存在量词命题.

表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为 . 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”. 3.练习：下列命题是不是存在量词命题？ （1）有的平行四边形是菱形; （2）有一个素数不是奇数

4.练习： 设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出存在量词命题“∃x∈R,q(x)”

例2 下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题。 (1) 有一个实数a，a不能取倒数； (2) 所有不等式的解集A,都是A⊆R； (3) 有的四边形不是平行四边形。

例3 判断下列存在量词命题的真假 (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0;

(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线; (3)有些平行四边形是菱形.

5.思考：如何判断存在量词命题的真假

探究三 全称量词命题和存在量词命题的否定

1.定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。 牛刀小试：说出下列命题的否定。 （1） 56是7的倍数；

（2） 空集是集合A={1,2,3}的真子集；

2.思考：

写出下列命题的否定（2）每一个素数都是奇数；

1)所有的矩形都是平行四边形；3)xR,x+|x|0。

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

例4 写出下列全称量词命题的否定：(1)p:所有能被3整除的整数都是奇数；（2）p:每一个四边形的四个顶点在同一个圆上

(3）p:对任意xZ，x2的个位数字不等于3。

3.思考：

写出下列命题的否定(1)存在一个实数的绝对值是正数；

（2）某些平行四边形是菱形；

(3)xR,x22x30。

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

例5 写出下列存在量词命题的否定：(1）p:xR,x+20；2）p:有的三角形是等边三角形；

（3）有一个偶数是素数.

例6 写出下列命题的否定，并判断真假； （1）任意两个等边三角形都相似；

（2）

xR,x2x10

1．下列说法中，正确的个数是( )

2＋x－4＝0； ①存在一个实数x0，使－2x00

②所有的素数都是奇数；

③至少存在一个正整数，能被5和7整除． A．0 C．2

B．1 D．3

2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则命题p的否定为( ) A．∀n∈N，n2＞2n C．∀n∈N，n2≤2n

B．∃n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n

3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定．

(1)有一个奇数不能被3整除； (2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0； (3)有些三角形的三个内角都为60°； (4)每个三角形至少有两个锐角；

(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．

这节课你的收获是什么？

参：

探究一 1.（1）不是 (2)不是 (3) 是 （4）是

关系：(3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变量 x进行限定; (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定.

3.练习 （1）xR,x能写成小数形式;

（2）x {x|x是凸n边形},x的外角和等于2; (3)xR,x·(-1)= -x.

例1 （1）∵2是素数,但不是奇数,∴全称命题(1)是假命题; (2)∵xR,|x|≥0,从而|x|+1≥1,∴全称命题(2)是真命题;

（3）∵2是无理数,但22是有理数，,∴全称命题(3)是假命题;

4.若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。 探究二 1. (1)不是 （2）不是 （3）是 （4）是

关系：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句.

3.都是存在量词命题。 4.存在实数x,使x2=x成立； 至少有一个x∈R,使x2=x成立； 对有些实数x,使x2=x成立； 有一个x∈R,使x2=x成立； 对某个x∈R,使x2=x成立。

例2 （1）存在量词命题 （2）全称量词命题 （3）存在量词命题 例3 (1)由于 24380， , 因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以,存在量词命题(1)是假命题.

(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题(2)是假命题。

（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。 5.要判断存在量词命题“∃x∈M,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.

探究三 牛刀小试 （1）否定： 56不是7的倍数；（2）否定： 空集不是集合A={1,2,3}的真子集。 2.(1)存在一个矩形不是平行四边形； (2)存在一个素数表示奇数；

22(3)xR,|x|+x0。

从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题 例4.（1）否定： 存在一个能被3整除的整数不是奇数. （2）否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上； （3）否定：x0Z,x02的个位数字等于3. 3.否定:

（1）所有实数的绝对值都不是正数;

（2）每一个平行四边形都不是菱形; （3）xR,x-2x30

从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 例 5(1)该命题否定:xR，x20.

（2） 该命题的否定：所有三角形都不是等边三角形 （3） 该命题的否定：任意一个偶数都不是素数

例6 （1） 该命题的否定：存在两个对边三角形，它们不相似。 因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都 相似。因此这是一个假命题。

（2）该命题的否定：xR,xx10.

22

所以这是一个假命题。达标检测

13因为对任意xR,x2x1(x)20.

241.【解析】 ①方程－2x2＋x－4＝0无实根；②2是素数，但不是奇数；③正确．故选B. 【答案】 B

2.【解析】 因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，¬p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C. 【答案】 C

3.(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除． (2)是全称量词命题，否定为：∃x0∈Z，x20与3的和等于0.

(3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°. (4)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．

(5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．

【新教材】1.5 全称量词与存在量词 学案（人教A版）

1.理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.

2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系.

重点：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

难点：全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定.

五、 预习导入

阅读课本24-29页，填写。 1.全称量词与全称命题

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做_________,并用符号“∀”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做_____________.

(3)全称量词命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:_____________,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.

(4)全称量词命题的真假判断:要判断一个全称命题量词是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命题,只需列举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.

2.存在量词与存在量词命题

(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_____________,并用符号“∃”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做_____________.

(3)存在量词命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为:_____________,读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.

(4)存在量词命题的真假判断:要判断一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个

x0,使得命题p(x0)成立即可;否则这一命题就是假命题.

3.全称命题与特称命题的否定 命题类型 形式 否定 全称量词命题 ∀x∈M,p(x) 存在量词命题 ∃x0∈M,p(x0)

结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 4.点拨： （1）常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”“任给”“全部”.只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表达的含义,就是全称量词命题.

（2）常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.只要含有这些量词,或者命题具有特称量词所表达的含义,就是存在量词命题.

（3）写出一个全称量词命题或存在量词命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定.

（4）全称量词命题(或存在量词命题)与其否定的真假性恰好相反.

1.给出下列命题:①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.其中全称命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3

2.给出下列命题,①有些自然数是偶数;②正方形是菱形;③能被6整除的数也能被3整除;④对于任意x∈R,总有|sin x|≤1.其中特称命题的个数是 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3

3.命题“存在一个三角形,内角和不等于180°”的否定为( ) A.存在一个三角形的内角和等于180° B.所有三角形的内角和都等于180° C.所有三角形的内角和都不等于180° D.很多三角形的内角和不等于180°

4.命题“∀x∈Z,4x-1是奇数”的否定是________.

题型一 全称量词命题与存在量词命题的辨析 例1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题:

(1)负数没有对数;

(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除; (3)∀x∈{x|x是无理数},x是无理数; (4) x{y|y是无理数}，x是无理数.

解题技巧：（判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法）

22

(1)分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题,含有存在量词的命题是存在量词命题.

(2)当命题中不含量词时,要注意根据命题的含义进行判断.

(3)全称量词命题有时会省略全称量词,但存在量词命题的量词一般不能省略. 跟踪训练一

1.下列命题中,是全称量词命题的是_____,是存在量词命题的是_______.(填序号)

①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.

题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例2 判断下列命题的真假

1.所有的素数都是奇数； 2.

xR,|x|11;

2x2x30;

3.有一个实数x ，使

4.平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线。 解题技巧：(全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧)

(1)全称量词命题:要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词 命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可. (2)存在量词命题:要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题. 跟踪训练二

2．给出下列命题:①有一个实数x,使tan x无意义;②∀x∈R,3+1>2;③所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.其中真命题的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.0

-x题型三 全称量词命题与存在量词命题的否定 例3 写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)有些质数是奇数; (2)菱形的对角线互相垂直; 2 (3)∃x0∈N,𝑥0−2𝑥0+1<0;

(4)不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根. 解题技巧：（含有一个量词的命题的否定方法）

(1)一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到其量词的位置及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,

同时否定结论.

(2)对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定. 跟踪训练三

3．写出下列命题的否定,并判断其真假:

(1)p:∀x∈R,x-x+2

1≥0; 4(2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:∃x∈R,x+3x+7≤0; (4)s:至少有一个实数x,使x+1=0.

1．设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为( )

A．∀n∈N，n2>2n C．∀n∈N，n2≤2n

B．∃n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n

3

2

2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )

A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

3．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，1) C．(－1,1)

B．(－∞，1] D．(－1,1]

4．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________． 5．下列命题是真命题的有________．

(1)∀x∈{1,3,5},5x＋2是奇数； (2)∃x∈R，x2－6x－5＝0； (3)∀x∈R，|x＋1|＞0.

6．写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)非负数的平方是正数． (2)有的四边形没有外接圆．

7．若命题“∃x∈R，ax2－ax－2>0”是假命题，求a的取值范围？

答案

小试牛刀

1．C 2．B 3．B 4.∃x0∈Z,4x0-1不是奇数

自主探究 例1

【答案】(1)和(3)为全称量词命题;(2)和(4)为存在量词命题. 跟踪训练一

【答案】①②③ ④ 例2

【答案】真命题：2,4 假命题：1,3 跟踪训练二 【答案】 B 例3 【答案】见解析

【解析】(1)“有些质数是奇数”是存在量词命题,其否定为“所有质数都不是奇数”,它是假命题. （2）“菱形的对角线互相垂直”是全称量词命题,其否定为“有的菱形的对角线不垂直”,它是假命题.

22（3）\"x0N,x02x010\"是存在量词命题，其否定为\"xN,x02x010\"，它是真命

题。

(4)“不论m取何实数,方程x2+2x-m=0都有实数根”是全称量词命题,其否定为“存在实数m0,使得方程x2+2x-m0=0没有实数根”,它是真命题. 跟踪训练三 【答案】见解析 【解析】(1)

p:∃x∈R,x2-x+4<0.

2

1

∵∀x∈R,x-x+4=(𝑥-2)≥0恒成立,∴p是假命题.

(2) q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题. (3) r:∀x∈R,x2+3x+7>0.

1

12

∵∀x∈R,x+3x+7=(𝑥+2)+4>0恒成立,∴r是真命题.

2

32

19

(4) s:∀x∈R,x3+1≠0.

∵当x=-1时,x3+1=0,∴s是假命题.

当堂检测 1-3．CDA

4．所有正实数x都不满足方程x＋2(a－1)x＋2a＋6＝0 5．(1)(2)

6．(1)命题的否定：

“存在一个非负数的平方不是正数．” 因为0＝0，不是正数，所以该命题是真命题． (2)命题的否定：

“所有四边形都有外接圆．”

因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.

7．【答案】见解析

【解析】“∃x∈R，ax－ax－2>0”是假命题，则“∀x∈R，ax－ax－2≤0”是真命题， 当a＝0时，－2≤0.符合题意．

当a≠0时，要满足∀x∈R，ax－ax－2≤0，

a<0，需有

Δ≤0，

2

2

2

2

2

a<0，

即2

a＋8a≤0，

解得－8≤a<0，

综上，a的取值范围是[－8,0]．