2020-2021学年人教版七年级数学下册导学案9

9.1 不等式

【总结解题方法 提升解题能力】

【知识点梳理】 一、不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 五种不等号的读法及其意义： 符号 “≠” “＜” “＞” “≤” “≥” 读法 读作“不等于” 读作“小于” 读作“大于” 意义 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 表示左边的量比右边的量小 表示左边的量比右边的量大 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 二、不等式的解及解集 1、不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2、不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 3、不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 三、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或

ab)． cc1

不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或ab)． cc一、不等式的概念

1、有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是 ( )。

2、下列各式中，不是不等式的是（ ）。

A、2x≠1 B、3x2

–2x+1 C、–3<0 D、3x–2≥1 3、下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x=3；④x+y中，是不等式的个数有（ ）。A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

二、不等式的解及解集

4、若关于x的不等式x≤a只有三个正整数解，求a的取值范围。

5、如图所示，图中阴影部分表示x的取值范围，则下列表示中正确的是( )。

A、-3≤x＜2 B、-3＜x≤2 C、-3≤x≤2 D、-3＜x＜2 6、根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为________．

2

三、不等式的基本性质

7、若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）。

A、x﹣3＞y﹣3 B、x+3＞y+3 C、﹣3x＞﹣3y D、＞

8、a、b是有理数，下列各式中成立的是( )。

A．若a＞b，则a2＞b2； B．若a2＞b2，则a＞b C．若a≠b，则｜a｜≠|b| D．若｜a｜≠|b|，则a≠b

9、若关于x、y的二元一次方程组3xy1ax3y3的解满足x+y＜2，则a的取值范围是________．

10、若关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为

，则a的取值范围是 ．

【巩固练习】

一、选择题。

1、下列不等式中，一定成立的有( )。

①5＞-2；②a21；③x+3＞2；④a+1≥1；⑤(a21)(b21)0． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 2、下列式子：①5＜7；②2x＞3；③y≠0；④x≥5；⑤2a+l；⑥x131；⑦x＝1．其中是不等式的有( ) A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 3、下列不等式表示正确的是( )。

A、a不是负数表示为a＞0 B、x不大于5可表示为x＞5

。 3

C、x与1的和是非负数可表示为x+1＞0 D、m与4的差是负数可表示为m-4＜0 4、关于不等式-2x+a≥2的解集如图所示，则a的值是( )。

A、0 B、2 C、-2 D、-4

12

，x的大小关系是 ( )。 x11112222 A、xx B、xx C、xx D、xx

xxxx5、若0＜x＜1，则x，

6、不等式2x+1＞-3的解集在数轴上表示正确的是 ( )。

7、下列说法不一定成立的是（ ）。

A、若a＞b，则a+c＞b+c B、若a+c＞b+c，则a＞b C、若a＞b，则ac2＞bc2 D、若ac2＞bc2，则a＞b 8、下列变形中，错误的是（ ）。

22x1，则x 331151 C、若x1，则x＞-5 D、若x1，则x

5115 A、若3a+5＞2，则3a＞2-5 B、若9、若m＞n，则下列不等式正确的是（ ）。

A、m–2B、

mn＞ 44C、6m<6n D、–8m＞–8n

10、已知ax<2a(a≠0)是关于x的不等式，那么它的解集是（ ）。

A、x<2 B、x＞–2 C、当a＞0时，x<2 D、当a＞0时，x<2；当a<0时，x＞2

二、填空题。

1、若a3、已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a的取值范围是________． 4、如果不等式3x-m≤0的正整数解有且只有3个，那么m的取值范围是________．

5、一个长方形的长为x米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为____________．

4

三、解答题。

1、用适当的不等式表示下列不等关系：

（1）x减去6大于12； （2）x的2倍与5的差是负数； （3）x的3倍与4的和是非负数； （4）y的5倍与9的差不大于1；

2、把下列不等式化为“x＞a”或“x（1）x＋6＞5；（2）3x＞2x＋2；（3）–2x＋13、已知x＜y，比较下列各对数的大小． (1)8x-3和8y-3； (2)56x1和56y1； (3) x-2

4、已知-2＜a＜3，化简|a-3|-|3a+6|+4(a-1)．

5、阅读下面解题过程，再解题．

4）–x2x12<4. 和y-1． 5

已知a＞b，试比较–2019a＋1与–2019b＋1的大小． 解：因为a＞b，① 所以–2019a＞–2019b，② 故–2019a＋1＞–2019b＋1.③

问：（1）上述解题过程中，从第______步开始出现错误； （2）错误的原因是什么？ （3）请写出正确的解题过程．

6、根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，则A＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题． （1）比较3a-2b+1与5+3a-2b+b的大小； （2）比较a+b与a-b的大小； （3）比较3a+2b与2a+3b的大小．

6

2

2

2

一、不等式的概念

参

7

1、有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是 ( )。

【答案】D

【解析】解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重

1632210克故B选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故克．故A选项错；两个糖果的重量小于

33316121克故D选项对． C选项错，四个糖果的重量小于4333量小于

2、下列各式中，不是不等式的是（ ）。

A、2x≠1 B、3x2–2x+1 C、–3<0 D、3x–2≥1 【答案】B

【解析】A、2x≠1是不等式，故A不符合题意；

B、3x2–2x+1是代数式，不是不等式，故B符合题意； C、–3<0是不等式，故C不符合题意；

D、3x–2≥1是不等式，故D不符合题意； 故选B．

3、下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x=3；④x+y中，是不等式的个数有（ ）。

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 【答案】B．

二、不等式的解及解集

4、若关于x的不等式x≤a只有三个正整数解，求a的取值范围。 【解析】解：∵不等式x≤a只有三个正整数解， ∴三个正整数解为：1，2，3，∴3≤a＜4，

8

5、如图所示，图中阴影部分表示x的取值范围，则下列表示中正确的是( )。

A、-3≤x＜2 B、-3＜x≤2 C、-3≤x≤2 D、-3＜x＜2 【答案】B

【解析】解： A、因为-3≤x＜2，在数轴上-3的点应该是实心的圆点；

C、因为-3≤x≤2，在数轴上-3和2的点应该都是实心的圆点； D、因为-3＜x＜2，在数轴上-3和2的点应该都是空心的圆点； 故选B．

6、根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为________．

【答案】4

三、不等式的基本性质

7、若x＞y，则下列式子中错误的是（ ）。

A、x﹣3＞y﹣3 B、x+3＞y+3 C、﹣3x＞﹣3y D、＞

【答案】C．

【解析】解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确；

B、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B正确； C、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C错误；

D、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D正确；故选：C．

8、a、b是有理数，下列各式中成立的是( )。

A．若a＞b，则a2＞b2； B．若a2＞b2，则a＞b

9

C．若a≠b，则｜a｜≠|b| D．若｜a｜≠|b|，则a≠b

【答案】D

9、若关于x、y的二元一次方程组3xy1a的解满足x+y＜2，则a的取值范围是x3y3________．

【答案】a＜4

【解析】解：将两方程相加得：4x+4y＝4+a．将方程的两边同除以4得 xy4a4． 依题意：

4a42．将不等式的两边同乘以4得4+a＜8． 将不等式的两边同时减去4得a＜4．故a的取值范围是a＜4． 10、若关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为

，则a的取值范围是 ．

【答案】a＞1．

【解析】解：关于x的不等式（1﹣a）x＞3可化为

，1﹣a＜0，a＞1.

【巩固练习】

一、选择题。

1、下列不等式中，一定成立的有( )。

①5＞-2；②a21；③x+3＞2；④a+1≥1；⑤(a21)(b21)0． A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 【答案】B；

【解析】一定成立的是：①④⑤；

2、下列式子：①5＜7；②2x＞3；③y≠0；④x≥5；⑤2a+l；⑥x131；⑦x＝1．其中是不等式的有( ) A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 【答案】C；

【解析】①②③④⑥均为不等式。 3、下列不等式表示正确的是( )。

A、a不是负数表示为a＞0 B、x不大于5可表示为x＞5 C、x与1的和是非负数可表示为x+1＞0 D、m与4的差是负数可表示为m-4＜0 【答案】D；

【解析】a不是负数应表示为a≥0，故A错误； x不大于5应表示为x≤5，故B错误；

x与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C错误； m与4的差是负数应表示为m-4＜0，故D正确。

。 10

4、关于不等式-2x+a≥2的解集如图所示，则a的值是( )。

A、0 B、2 C、-2 D、-4 【答案】A；

【解析】根据不等式的性质可得，不等式的解集为是一个解集，所以

xa2，由图可得，不等式的解集为：x1，因为它们2a21，解得a0. 215、若0＜x＜1，则x，，x2的大小关系是 ( )。

x11112222 A、xx B、xx C、xx D、xx

xxxx【答案】C；

【解析】∵0＜x＜1，∴ x2≤x≤

1. x6、不等式2x+1＞-3的解集在数轴上表示正确的是 ( )。

【答案】Ｃ；

【解析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“＞”与“≥”、“＜”与“≤”的区别，大于号向右画，小于号向左画，有等号需画实心圆点，无等号需画空心圆圈． 7、下列说法不一定成立的是（ ）。

A、若a＞b，则a+c＞b+c B、若a+c＞b+c，则a＞b C、若a＞b，则ac＞bc D、若ac＞bc，则a＞b 【答案】C．

【解析】A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，故本选项错误；

B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误； C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，故本选项正确；

D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误．

8、下列变形中，错误的是（ ）。

A、若3a+5＞2，则3a＞2-5 B、若

2

2

2

2

22x1，则x 3311

C、若1115x1，则x＞-5 D、若x1，则x 5511【答案】B；

【解析】B错误，应改为：232x1，两边同除以，可得：x。

323mn＞ 449、若m＞n，则下列不等式正确的是（ ）。

A、m–2C、6m<6n

D、–8m＞–8n

mn＞，此选项正确； 44C、将m＞n两边都乘以6得：6m＞6n，此选项错误； D、将m＞n两边都乘以–8，得：–8m<–8n，此选项错误； 故选B． 10、已知ax<2a(a≠0)是关于x的不等式，那么它的解集是（ ）。

A、x<2 B、x＞–2 C、当a＞0时，x<2 D、当a＞0时，x<2；当a<0时，x＞2 【答案】D

【解析】因为a的符号不确定，所以要分类讨论，当a＞0时，x<2；当a<0时，x＞2，故选D.

二、填空题。

1、若a【解析】（1）若a（3）若5m–7b＞5n–7b，则m＞n．故答案是：<；>；>. 2、已知|3x12|(2xym)20，若y＜0，则m________． 【答案】＞8；

【解析】由已知可得：x＝4，y＝2x-m＝8-m＜0，所以m＞8；

3、已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a的取值范围是________． 【答案】a3 、如果不等式3x-m≤0的正整数解有且只有3个，那么m的取值范围是________． 【答案】9≤m＜12； 【解析】3x-m≤0，x≤

mm，3≤＜4，∴ 9≤m＜12 335、一个长方形的长为x米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为____________．

12

【答案】2(x＋50)≥280

【解析】∵一个长方形的长为x米，宽为50米，∴周长为2(x＋50)米，∴周长不小于280米可表示为2(x＋50)≥280，

故答案为2(x＋50)≥280.

三、解答题。

1、用适当的不等式表示下列不等关系：

（1）x减去6大于12； （2）x的2倍与5的差是负数； （3）x的3倍与4的和是非负数； （4）y的5倍与9的差不大于1； 【解析】（1）由题意可得：x–6＞12；（2）由题意可得：2x–5<0；

（3）由题意可得：3x+4≥0；（4）由题意可得：5y–9≤–1．

2、把下列不等式化为“x＞a”或“x（1）x＋6＞5；（2）3x＞2x＋2；（3）–2x＋1x2x1<. 24【解析】（1）不等式两边同时减去6，得x＋6–6＞5–6，解得x＞–1. （2）不等式两边同时减去2x，得3x–2x＞2x＋2–2x，解得x＞2.

（3）不等式两边同时减去(x＋1)，得–2x＋1–(x＋1)（4）不等式两边同时乘4，得–2(x–2)不等式两边同时减去(x＋4)，得–2x＋4–(x＋4)3、已知x＜y，比较下列各对数的大小． (1)8x-3和8y-3； (2)55x1和y1； (3) x-2和y-1． 665555xy， ∴ x1y1． 6666【解析】解：（1）∵ x＜y ∴ 8x＜8y， ∴ 8x-3＜8y-3． （2）∵ x＜y，∴  （3）∵ x＜y，∴ x-2＜y-2，而y-2＜y-1， ∴ x-2＜y-1． 4、已知-2＜a＜3，化简|a-3|-|3a+6|+4(a-1)．

【解析】解： ∵ -2＜a＜3，∴ a-3＜0．当3a+6≥0，即a≥-2时，3a+6就为非负数．

又∵ -2＜a＜3，3a+6≥0．∴ 原式＝-(a-3)-(3a+6)+4a-4＝-7

5、阅读下面解题过程，再解题．

已知a＞b，试比较–2019a＋1与–2019b＋1的大小． 解：因为a＞b，①

13

所以–2019a＞–2019b，② 故–2019a＋1＞–2019b＋1.③

问：（1）上述解题过程中，从第______步开始出现错误； （2）错误的原因是什么？ （3）请写出正确的解题过程． 【解析】（1）②；

（2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）因为a＞b，所以–2019a<–2019b，故–2019a＋1<–2019b＋1.

6、根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，则A＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题． （1）比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小； （2）比较a+b与a-b的大小； （3）比较3a+2b与2a+3b的大小．

【解析】解：（1）3a22b153a22bb2b240． ∴ 3a22b153a22bb2．

（2）a+b-(a-b)＝a+b-a+b＝2b，当b＞0时，a+b-(a-b)＝2b＞0，a+b＞a-b；

当b＝0时，a+b-(a-b)＝2b＝0，a+b=a-b； 当b＜0时，a+b-(a-b)＝2b＜0，a+b＜a-b．

（3）3a+2b-(2a+3b)＝a-b 当a＞b时，3a+2b＞2a+3b；

当a＝b时，3a+2b＝2a+3b；

当a＜b，3a+2b＜2a+3b．

14