第22章一元二次方程
22.1一元二次方程
【知识与技能】
1.知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式 ax+bx+c=0〔a≠0〕.
2.在分析、提醒实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型〔一元 二次方程〕的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加 对一元二次方程的感性认识.
【过程与方法】
通过解决实际问题，把实际问题转化为数学模型，引入一元二次方程的概 念，让学生认识一元二次方程及其相关概念，提高学生利用方程思想解决实际 问题的能力.
【情感态度】
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 【教学重点】
判定一个数是否是方程的根. 【教学难点】
由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实 际问题的根.
2
1
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一、情境导入，初步认识
问题1绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平 方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x〔x+10〕=900，整 理可得x2
+10x-900=0.〔1〕
问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2 万册.求这两年的年平均增长率.
解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万 册，那么今年年底的图书数是5〔1+x〕万册，同样，明年年底的图书数又是今年 年底的〔1+x〕倍，即5〔1+x〕·〔1+x〕=5〔1+x〕 2
万册.可列得方程52=7.2，整理可得5x2
+10x-2.2=0〔2〕
【教学说明】教师引导学生列出方程，解决问题. 二、思考探究，获取新知 思考、讨论
问题1和问题2分别归结为解方程〔1〕和〔2〕.显然，这两个方程都不是 一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里？它们有什么共同 特点呢？
共同特点： 〔1〕都是整式方程 〔2〕只含有一个未知数 〔3〕未知数的最高次数是2
【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：
2
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1+x〕〔
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ax+bx+c=0〔a、b、c是数，a≠0〕.其中ax 2
+bx+c=0〔a、b、c是数，a≠0〕.其中ax 数，bx叫做一次项系数，c叫做常数项.
例1判断以下方程是否为一元二次方程：
2
叫做二次项，a叫做二次项系 2
解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是.
【教学说明】〔1〕一元二次方程为整式方程；〔2〕类似⑤这样的方程要 化简后才能判断.
例2将方程〔8-2x〕〔5-2x〕=18化成一元二次方程的一般形式，并写出 其中的二次项系数.一次项系数及常数项.
解:2x -13x+11=0；2，-13，11.
【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正， 化分为整.
三、运用新知，深化理解
1.将以下方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、 一次项系数及常数项.
〔1〕5x-1=4x 〔2〕4x=81 〔3〕4x〔x+2〕=25 〔4〕〔3x-2〕〔x+1〕=8x-3 解：〔1〕5x-4x-1=0；5，-4，-1； 〔2〕4x-81=0；4，0，-81 3
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2
2
222
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〔3〕4x+8x-25=0；4，8，-25 〔4〕3x-7x+1=0；3，-7，1.
2.根据以下问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形 式.
〔1〕4个完全一样的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； 〔2〕一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
〔3〕把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一 段的长的平方，求较短一段的长x.
解：〔1〕4x=25；4x-25=0； 〔2〕x〔x-2〕=100；x-2x-100=0； 〔3〕x=〔1-x〕2；x2-3x+1=0.
3.假设x=2是方程ax+4x-5=0的一个根，求a的值. 解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.
3. 4
2
2
2
2
2
2
∴4a+8-5=0解得：a=-
四、师生互动，课堂小结
1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元 二次方程.
2.一元二次方程的一般形式为ax+bx+c=0〔a≠0〕，一元二次方程的项及 系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致 的.
3.在实际问题转化为数学模型〔一元二次方程〕的过程中，体会学习一元 二次方程的必要性和重要性.
2
4
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1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.1〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局. 部
22.2一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
【知识与技能】
1.会用直接开平方法解形如a(x-k) 2.灵活应用因式分解法解一元二次方程. 3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用. 【过程与方法】
创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法 进展教学.
【情感态度】
=b〔a≠0,ab≥0〕的方程.
2
5
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鼓励学生积极主动的参与“教〞与“学〞的整个过程，激发求知的欲望， 体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心.
【教学重点】
利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程. 【教学难点】
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.
一、情境导入，初步认识
问：怎样解方程(x+1)
2
=256？
解：方法1：直接开平方，得x+1=±16 所以原方程的解是x1=15,x2=-17 方法2：原方程可变形为：
〔x+1〕
2
-256=0，方程左边分解因式，得〔x+1+16〕〔x+1-16〕即〔x+17〕〔x-15〕=0 所以x+17=0或x-15=0 原方程的解x1=15,x2=-17
【教学说明】让学生说出作业中的解法，教师板书. 二、思考探究，获取新知 例1用直接开平方法解以下方程
〔1〕〔3x+1〕2
=7;〔2〕y2
+2y+1=24;〔3〕9n2
-24n+16=11.
6
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=0 ----
【教学说明】运用开平方法解形如〔x+m〕=n〔n≥0〕的方程时，最容易 2
出现的错误是漏掉负根.
例2用因式分解法解以下方程： 〔1〕5x2
-4x=0
〔2〕3x〔2x+1〕=4x+2 〔3〕〔x+5〕2
=3x+15
【教学说明】解这里的〔2〕〔3〕题时，注意整体划归的思三、运用新知，深化理解 1.用直接开平方法解以下方程 〔1〕3〔x-1〕2
-6=0 〔2〕x2
-4x+4=5 〔3〕〔x+5〕2
=25 〔4〕x2
+2x+1=4
7
想. ----
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2.用因式分解法解以下方程：
3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求 小圆形场地的半径.
解：设小圆形场地的半径为xm. 那么可列方程2πx=π〔x+5〕.
2
2
解得x1=5+52,x2=5-52〔舍去〕.
答：小圆形场地的半径为〔5+52〕m.
【教学说明】可由学生自主完成例题，分小组展示结果，教师点评. 四、师生互动，课堂小结
1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤. 2.对于形如a〔x-k〕=b〔a≠0,b≥0〕的方程，只要把〔x-k〕看作一个整 体，就可转化为x=n〔n≥0〕的形式用直接开平方法解. 8
2
2
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3.当方程出现一样因式〔单项式或多项式〕时，切不可约去一样因式，而 应用因式分解法解.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部.
2.配方法
【知识与技能】
1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程. 2.在配方法的应用过程中体会“转化〞的思想，掌握一些转化的技能. 【过程与方法】
通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法. 【情感态度】
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学生在思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加 学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
使学生掌握用配方法解一元二次方程. 【教学难点】
发现并理解配方的方法.
一、情境导入，初步 识认
问题要使一块矩形场地的长比6多宽m，并且面积为16m2
，场地的长和宽分 别是多少？
设场地的宽为xm，那么长为〔x+6〕m，根据矩形面积为16m2
,得到方程x 〔x+6〕=16,整理得到x2
+6x-16=0.
【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处有数学，激发 学生的主动性和求知欲.
二、思考探究，获取新知 探究如何解方程x2+6x-16=0？
问题1通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例 说明.
【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即〔x+m〕 ≥0〕，运用直接开平方法可求解.
问题2你会用直接开平方法解以下方程吗？ 〔1〕〔x+3〕2
=25 10
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2
=n〔n
----
〔2〕x
2
+6x+9=25
〔3〕x
2
+6x=16
〔4〕x
2
+6x-16=0
【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x
2
+6x-16=0转化
为〔x+3〕
2
=25的形式，从而求得方程的解.
解：移项得：x2+6x=16，
226 〕,使左边配成x+bx+〔b2〕2的形式，得：
两边都加上9即〔
2
x
2
+6x+9=16+9,
2
,使左边配成x+bx+〔b2〕2的形式，得：
2
左边写成完全平方形式，得：
=25,开平方,得：x+3=±5,〔降次〕 〔x+3〕 即x+3=5或x+3=-5
解一次方程得：x1=2,x2=-8.
【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个 非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
例1填空： 〔1〕x
2
2
+8x+16=〔x+4〕
2
21 1 2 〔2〕x-x+ =〔x- 〕 2
2 -x+ 4
2
+4x+1=〔2x+1〕
2
〔3〕4x
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例2列方程： 〔1〕x
2
+6x+5=0〔2〕2x+6x+2=0〔3〕〔1+x〕+2〔1+x〕-4=0
22
11
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【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳. 【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤： 〔1〕把方程化为一般形式ax+bx+c=0； 〔2〕把常数项移到方程的右边； 〔3〕方程两边同时除以二次项系数a；
〔4〕方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
〔5〕此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解. 三、运用新知，深化理解 1.用配方法解以下方程： 〔1〕2x-4x-8=0 〔2〕x-4x+2=0
21
〔3〕x- x-1=0
2
- 2
22
2
2.如果x-4x+y2+6y+z2+13=0，求〔xy〕z的值.
2
12
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【教学说明】学生解答，小组内交流，上台展示并讲解思路. 四、师生互动，课堂小结
1.用配方法解一元二次方程的步骤. 2.用配方法解一元二次方程的考前须知.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2〞中选取. 2.完成练习册中课时练习的“课时作业〞局部.
3.公式法
【知识与技能】
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念. 2.会熟练应用公式法解一元二次方程. 【过程与方法】
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通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一 步认识特殊与一般的关系.
【情感态度】
经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观 点.
【教学重点】
求根公式的推导和公式法的应用. 【教学难点】
一元二次方程求根公式的推导.
一、情境导入，初步认识
用配方法解方程：〔1〕x+3x+2=0〔2〕2x-3x+5=0 解：〔1〕x1=-1,x2=-2〔2〕无解 二、思考探究，获取新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax+bx+c=0〔a≠0〕，你能否用上面配 方法的步骤求出它们的两根？
问题ax+bx+c=0〔a≠0〕，试推导它的两个根
2
2
2
2
【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c也当成 具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.
探究一元二次方程ax+bx+c=0〔a≠0〕的根由方程的系数a,b,c而定， 因此: 14
2
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〔1〕解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax
2
+bx+c=0，当b-
2
2
4ac≥0时，将a,b,c代入式子x
b
2 4ac b
就得到方程的根，当b 2a
-4ac＜
0时,方程没有实数根.
b
2 4ac b
叫做一元二次方程ax 2a
〔2〕x
2
+bx+c=0〔a≠0〕的求根公
式.
〔3〕利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识 的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.
例1用公式法解以下方程：
2
-4x-1=0②5x+2=3x
2
①2x
③〔x-2〕〔3x-5〕=0④4x
2
-3x+1=0
解：①x1=1+
6 6
,x2=1- 2 2 1 3
②x1=2,x2=-
③x1=2,x2=
5 3
④无解
【教学说明】〔1〕对②、③要先化成一般形式；〔2〕强调确定a,b,c的 值，注意它们的符号；〔3〕先计算b
2
-4ac的值，再代入公式.
三、运用新知，深化理解 1.用公式法解以下方程：
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〔1〕x
2
+x-12=0
15
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〔2〕x-2x-
2
-2x-
2
2
1 =0 4
〔3〕x+4x+8=2x+11 〔4〕x〔x-4〕=2-8x 〔5〕x+2x=0 〔6〕x+25x+10=0 解：〔1〕x1=3,x2=-4;
22
〔2〕x1=
2,x
3 2
23
2=
2
；
〔3〕x1=1,x2=-3;
〔4〕x1=-2+6，x2=-2-6； 〔5〕x1=0,x2=-2; 〔6〕无解.
【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式. 四、师生互动，课堂小结 1.求根公式的概念及其推导过程. 2.公式法的概念.
3.应用公式法解一元二次方程.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部.
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4.一元二次方程根的判别式
【知识与技能】
1.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进展有关的推理论证； 2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值X围. 【过程与方法】
1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程； 2.向学生渗透分类讨论的数学思想；
3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力. 【情感态度】 1.体验数学的简洁美;
2.培养学生的探索、创新精神和协作精神. 【教学重点】
根的判别式的正确理解与运用. 17
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【教学难点】
含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.
一、情境导入，初步认识 用公式法解以下一元二次方程 〔1〕x+5x+6=0 〔2〕9x-6x+1=0 〔3〕x-2x+3=0 解：〔1〕x1=-2,x2=-3
1 3
〔3〕无解
【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况，回忆已有知识. 二、思考探究，获取新知
观察解题过程，可以发现:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c的 值，然后求出b-4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把b-4ac叫做一元二 次方程根的判别式，通常用符号“Δ〞来表示，即Δ=b-4ac.
我们回忆一元二次方程求根公式的推导过程发现：
2
2
2
222
〔2〕x1=x2=
【归纳结论】〔1〕当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根: 2 bb4ac
x1, 2a 18
2 bb4ac x2; 2a
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〔2〕当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x1=x2=-
b
; 〔3〕当Δ＜0时，方程没有实数根.
例1利用根的判别式判定以下方程的根的情况：
解：〔1〕有两个不相等的实数根； 〔2〕有两个相等的实数根； 〔3〕无实数根；
〔4〕有两个不相等的实数根. 例2当m为何值时，方程〔m+1〕x
2
-〔2m-3〕〔1〕有两个不相等的实数根？ 〔2〕有两个相等的实数根？ 〔3〕没有实数根？
解：〔1〕m＜
1 4
且m≠-1; 1;
〔2〕m=
4
〔3〕m＞ 1 .
4
【教学说明】注意〔1〕中的m+1≠0这一条件.
19
----
2a
x+m+1=0,
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三、运用新知，深化理解
1.方程x-4x+4=0的根的情况是〔〕 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数根 D.没有实数根
2.x+2x=m-1没有实数根，求证：x+mx=1-2m必有两个不相等的实数 根.
【答案】1.B
2.证明：∵x+2x-m+1=0没有实数根，∴4-4〔1-m〕＜0,∴m＜0.对于方程 x+mx=1-2m,即x+mx+2m-1=，0Δ=m-8m+4,∵m＜0,∴Δ＞0,∴x+mx=1-2m必有 两个不相等的实数根.
【教学说明】引导学生灵活运用知识. 四、师生互动，课堂小结
1.用判别式判定一元二次方程根的情况
〔1〕Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 〔2〕Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根. 〔3〕Δ＜0时，一元二次方程无实数根.
2.运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为0这一隐含条 件.
【教学说明】可让学生分组讨论，回忆整理，再由小组代表陈述.
2
2
2
2
2
2
2
2
20
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1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部.
*5.一元二次方程的根与系数的关系
【知识与技能】
1.引导学生在已有的一元二次方程解法的根底上，探索出一元二次方程根 与系数的关系，及其关系的运用.
2.通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察判断到发现关系的过程. 【过程与方法】
通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察分析和综合判断 的能力，激发学生发现规律的积极性，鼓励学生勇于探索的精神.
【情感态度】
在积极参与数学活动的同时，初步体验发现问题，总结规律的态度及养成 质疑和思考的习惯.
【教学重点】
一元二次方程根与系数之间的关系的运用. 21
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【教学难点】
一元二次方程根与系数之间的关系的运用.
一、情境导入，初步认识 1.完成以下表格
问题你发现了什么规律？
①用语言表达你发现的规律：〔两根之和为一次项系数的相反数；两根之 积为常数项〕
②设方程x1,x2，用式子表示你发现的规律.〔x1+x2=-+px+q=0的两根为x p,x1·x2=q〕
2.完成以下表格
2
问题上面发现的结论在这里成立吗？〔不成立〕 请完善规律：
①用语言表达发现的规律：〔两根之和为一次项系数与二次项系数之比的 相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比〕 22
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②设方程ax2
1,x2，用式子表示你发现的规律.〔x1+x2=-+bx+c=0的两根为x b ,x1·x2=
c 〕 a a
二、思考探究，获取新知
通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程ax2
+bx+c=0〔a≠ 0〕这一规律是否成立？试通过求根公式加以说明.
ax2
+bx+c=0的两根
2 bb4ac
2
bb4ac
2
+bx+c=0的两根
x2a
1, x2,x1+x2=- 2a
x·x
c 12= .
a
【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系， 体会知识形成的过程，加深对知识的理解.
例1不解方程，求以下方程的两根之和与两根之积： 〔1〕x2
-6x-15=0; 〔2〕3x2+7x-9=0;
〔3〕5x-1=4x
2
. 解：〔1〕x1+x2=6,x1·x2=-15;
〔2〕x1+x2=-
7,x1·x2=-3； 3
〔3〕x1+x2= 5
1 4 ,x1·x2= 4
.
【教学说明】先将方程化为一般形式，找出对应的系数. 例2方程2x2
+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k的值.
解：另一根为
3 ，k=3. 2
23
----
b, a
----
【教学说明】此题有两种解法，一种是根据根的定义，将x=-3代入方程先 求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.
例3α,β是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程，求以下代数式的值.
三、运用新知，深化理解
1.不解方程，求以下方程的两根之和与两根之积: 〔1〕x-3x=15
2 〔2〕5x-1=4x
2
-1=4x
22
〔3〕x-3x+2=10 〔4〕4x-144=0
〔5〕3x〔x-1〕=2〔x-1〕 〔6〕〔2x-1〕=〔3-x〕
2.两根均为负数的一元二次方程是〔〕
-12x+5=0 A.7x
-13x-5=0 B.6x
+21x+5=0 C.4x +15x-8=0 D.x
【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和 为负数，两根之积为正数.
2222
2
2
2
2
24
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【答案】1.〔1〕x1+x2=3,x1x2=-15 〔2〕x1+x2=0,x1x2=-1 〔3〕x1+x2=3,x1x2=-8 〔4〕x1+x2=0,x1x2=-36
5 2
〔5〕x1+x2= ,x1x2=
3 3 2 8
〔6〕x1+x2=- ,x1x2=-
3 3 2.C
【教学说明】可由学生自主完成抢答，教师点评. 四、师生互动，课堂小结
1.一元二次方程的根与系数的关系.
2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部.
25
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22.3实践与探索
【知识与技能】
使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数 学模型来建立一元二次方程.
【过程与方法】
让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会 如何寻找实际问题中的等量关系.
【情感态度】
通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能 力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.
【教学重点】
列一元二次方程解决实际问题. 【教学难点】
寻找实际问题中的等量关系.
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一、情境导入，初步认识
问题1学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便， 准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为0m， 小道的宽应是多少？
问题2某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，两 次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.
二、思考探究，获取新知
问题1【分析】问题中的等量关系很明显，即抓住种植面积为0m来列 方程，设小道的宽为xm,如何来表示种植面积？
方法一：如图，由题意得，32×20-32x-20x+x
=0
2
2
2
方法二：如图，采用平移的方法更简便.
由题意可得：〔20-x〕〔32-x〕=0 解得x1=50,x2=2
由题意可得x＜20,∴x=2
【教学说明】引导学生学会一题多解,同时要注意检验所解得的结果是否符 合实际意义.
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问题2【分析】这是增长率问题，问题中的数量关系很明了，即价56 原元经过两次降价降为31.5元，设每次降价的百分率为x，由题意得
56〔1-x〕=31.5
解得x1=0.25,x2=1.75〔舍去〕 三、运用新知，深化理解
1.青山村种的水稻2021年平均每公顷产量为7200kg,2021年平均每公顷产 量为8450kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
2.用一根长40cm的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75cm2. 〔1〕求此长方形的宽.
〔2〕能围成一个面积为101cm的长方形吗？如能，说. 法围明
〔3〕假设设围成一个长方形的面积为S〔cm〕,长方形的宽为x〔cm〕，求S 与x的函数关系式，并求出当x为何值时，S的值最大，最大面积为多少.
【答案】1.解：设年平均增长率为x， 那么有7200〔1+x〕2=8450，
解得x1=
12
24
x2=- ≈-2.08〔舍去〕.
12 即年平均增长率为8%.
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.
2.解：〔1〕设此长方形的宽为xcm，那么长为〔20-x〕cm. 根据题意，得x〔20-x〕=75 解得：x1=5,x2=15〔舍去〕. 28
1 ≈0.08,
2
2
2
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答：此长方形的宽是5cm.
〔2〕不能.由x〔20-x〕=101，即x-20x+101=0,，知Δ=20-4×101=-4＜0， 方程无解，故不能围成一个面积为101cm的长方形.
〔3〕S=x〔20-x〕=-x
2
22
2
+20x.
2
2
由S=-x+20x=-〔x-10〕 +100可知，当x=10时，S的值最大，最大面积为
2
+20x=-〔x-10〕
2
100cm.
【教学说明】注意一元二次方程根的判别式和配方法在第2题第〔2〕、 〔3〕问中的应用.
四、师生互动，课堂小结
1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答.最后要检验 根是否符合实际意义.
2.用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的 面积找相等关系列方程.
3.假设平均增长〔降低〕率为x，增长〔或降低〕前的基数是a，增长〔或降 低〕n次后的量是b，那么有：a〔1±x〕
=b〔常见n=2〕.
n
1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.3〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部.
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本章复习
【知识与技能】
掌握一元二次方程的根本概念及其解法；灵活运用一元二次方程知识解决 一些实际问题.
【过程与方法】
通过梳理本章知识，回忆解决问题中所涉及到的化归思想、建模思想的过 程，加深对本章知识的理解.
【情感态度】
在运用一元二次方程的有关知识解决具体问题的过程中，进一步体会数学 来源于生活又应用于生活，增强数学的应用意识，感受数学的应用价值，激发 学生的学习兴趣.
【教学重点】
一元二次方程的解法及应用. 【教学难点】 一元二次方程的应用.
一、知识框图，整体把握
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二、释疑解惑，加深理解 1.一元二次方程的解法
【教学说明】一般考虑选择方法的顺序：直接开平方法、因式分解法、配 方法或公式法.
2.一元二次方程根的判别式Δ=b-4ac
〔1〕当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 〔2〕当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；〔 3〕当Δ＜0时，方程无实数根.
在应用时，要根据根的情况限定Δ的取值，同时应注意二次项系数不为0 这一条件. 31
2
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3.一元二次方程y=ax+bx+c〔a≠0〕的根与系数的关系，在应用时要注意 变形.同时要明确根与系数的关系成立的两个条件：
〔1〕a≠0，〔2〕Δ≥0
4.应用一元二次方程解决实际问题，要注重分析实际问题中的等量关系， 列出方程，求出方程的解，同时要注意检验其是否符合题意.
三、典例精析，复习新知 例1用适当的方法解以下方程 〔1〕x-7x=0 〔2〕x+12x+27=0 〔3〕x〔x-2〕+x-2=0 〔4〕x+x-2=4
〔5〕4〔x+2〕=9〔2x-1〕 解：〔1〕x1=0,x2=7; 〔2〕x1=-3,x2=-9; 〔3〕x1=2,x2=-1; 〔4〕x1=2,x2=-3;
7,x 1.
〔5〕x1= 2=-
4 8
【教学说明】依据各种不同方法所对应方程的特点. 解来
例2关于x的方程ax-〔3a+1〕x+2〔a+1〕=0，有两个不相等的实数根 x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a，那a的值是〔〕. 么
A.1B.-1C.1或-1D.2
2
2
2
222
2
32
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例3〔2021·XXXX〕为了倡导节能低碳生活，某公司对集体宿舍用 电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，那么一个月的电费 为20元；假设超过a千瓦时，那么除交20元外，超过局部每千瓦时要交 某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20 元.
〔1〕求a的值；
〔2〕假设该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？
a
=35，解得a1=30,a2=50,∵a＞45， 100
a
元， 100
解：〔1〕由题意得20+〔80-a〕×
∴a=50.
50
=45，解得 100
〔2〕设5月份用电x千瓦时，依题意得20+〔x-50〕×
x=100，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时.
【教学说明】现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程 的知识来解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的根底上构建方程模型.
四、复习训练，稳固提高. 1.方程x-3x=0的解为〔〕 A.x=0 33
2
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B.x=3 C.x1=0,x2=-3 D.x1=0,x2=3
2.〔2021·XX〕用配方法解方程x+4x+1=0，配方后的方程是〔〕
A.〔x+2〕=3B.〔x-2〕=3C.〔x-2〕
2
2
2
=5D.〔x+2〕=5
22
2=3B.〔x-2〕2
=3C.〔x-2〕
3.〔2021·XXXX〕一元二次方程x2
-8x+15=0的两个根恰好分别是 等腰△ABC的底边长和腰长，那△么ABC的周长为〔〕
A.13B.11或13C.11D.12
4.〔2021·XX日照〕关于x的一元二次方程〔k-2〕2
x2+〔2k+1〕 x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值X围是〔〕
A.k＜
4 且k≠2
3
B.k≥
4 且k≠2
3
C.k＞
3 且k≠2
4
D.k≥
3 且k≠2
4
5.设α，β是一元二次方程x2
+3x-7=0的两个根，那么α2+4α+β=.
6.〔2021·XXXX〕关于x的两个方程x2
-x-2=0与
2
-x-2=0与 个解一样，那a么
=. 7.〔2021·XXXX〕设x1,x2是一元二次方程x2
+5x-3=0的两个根，且 2x1〔x22
+6x2
-3〕+a=4，那a么
=. 34
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12
有一x1xa
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8.〔2021·XXXX〕一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购置了一 批树苗，园林公司规定：如果购置树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购 买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但 每棵树苗最低售价不得少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款8800元， 请问该校共购置了多少棵树苗？
【答案】1.D2.A3.B4.C5.46.47.10
8.解：∵60棵树苗的售价为120×60=7200〔元〕，而7200＜8800，∴该 校购置的树苗超过60棵.设该校共购置了x棵树苗，由题意得x［120-0.5〔x- 60〕］=8800，解得x1=220,x2=80，当x1=220时，120-0.5×〔220-60〕=40＜ 100，∴x=220不合题意，舍去；当x=80时，120-0.5×〔80-60〕=110＞100， ∴x=80，即该校共购置了80棵树苗.
五、师生互动，课堂小结
本堂课你能完整地回忆本章所学的有关一元二次方程的知识吗？你还有哪 些困惑与疑问？
1.布置作业：从教材本章“复习题〞中选取. 2.完成练习册中“本章热点专题训练〞.
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第23章图形的相似
23.1成比例线段
1.成比例线段
【知识与技能】
1.了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例.
2.会利用比例的性质，求出未知线段的长.
【过程与方法】
培养学生灵活解题及合作探究的能力.
【情感态度】
感受数学逻辑推理的魅力.
【教学重点】
成比例线段的定义;比例的根本性质及直接运用.
【教学难点】
比例的根本性质的灵活运用，探索比例的其他性质.
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一、情境导入，初步 识认
挂上两X照片，问：
1.这两个图形有什么联？系
它们都是平面图形，它们的形状一样，大小不一样，是相似图形.
2.这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看 来起相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的 特征，本节课先学习线段的成比例.
二、思考探究，获取新知
1.两条线段的比
〔1〕回忆什么叫两个数的比，怎样度量线段的长度，怎样比拟两线段的大 小.
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么
m
，其中，线段AB、CD分别 n
叫做这两个线段比的前项和后项.
就说这两条线段的比AB∶CD=m∶n，或写成ABCD=
m
如果把 k，那么 n 表示成比值
AB
=k或AB=k·CD. CD
注意：在量线段时要选用同一个长度单位.
〔2〕做一做 37
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量出数学书的长和宽〔准0.1cm〕，并求出长和宽的比. 到确
改用m作单位，那么长为0.211m,宽为0.148m,长与宽的比为0.211∶ 0.148=211∶148.
只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变.
〔3〕求两条线段的比时要注意的问题
①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应 化先成同一单位，再求它们的比；
②两条线段的比没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
③两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.
问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？〔学生讨论〕
〔答：线段的长度比与所采用的长度单位无关〕.
2.成比例线段的定义四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的长度之 比等于另外两条线段的长度之比，如
a c
，那么这四条线段a、b、c、d叫做
b d
成比例线段，简称比例线段.
3.比例的根本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a、b、c、d a c
，那么ad=bc吗？反过来，如果说ad=bc，那么 四个数满足
d b 同伴交流.
a b
c
吗？与 d
如果
a b c
，那么ad=bc. d
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假设ad=bc(a、b、c、d都不等于0〕，那么
a c
.
b d
例1在某市城区地图〔比例尺1∶9000)上，新安大街的图上长度与光华 大街的图上长度分16cm、10cm. 是别
〔1〕新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？
〔2〕新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？
解：〔1〕1440米，900米.〔2〕8∶5,8∶5.
例2如图，
a b
c abcd
=3，求 和 d
bd
;
abcd
=4,=4.解： bd
三、运用新知，深化理解
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【教学说明】分组讨论完成并展示.
四、师生互动，课堂小结
1.注意点：〔1〕两线段的比值总是正数；〔2〕讨论线段的比时，不指明长度单位；〔3〕对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.
2.比例尺：图上长度与实际长度的比.
3.熟记成比例线段的定义.
4.掌握比例的根本性质，并能灵活运用.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.1〞中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部. 40
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2.平行线分线段成比例
【知识与技能】
了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内容.能应用定理证明线 段成比例等问题，并会进展有关的计算.
【过程与方法】
通过定理的推导证明与应用，培养学生探索新知识、提高分析问题和解决 问题的能力，提高学生的识图能力和发散思维能力，以及现有知识向新知识迁 移的能力.
【情感态度】
通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学 表达式的对称美.
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【教学重点】
定理的应用.
【教学难点】
定理的推导证明.
一、情境导入，初步认识
问题1翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线组成 的，如图在作业本上任意画一条直线m与相邻的三条平行线交于A、B、C三点， 得到两条线段AB、BC，量一量，你发现这两条线段的长度有什么关系？
相等即AB=BC〔由学生答复〕
.思考：再任意画一条直线n与这组平行线相交，得到两条线段DE和EF， 你发现DE与EF的长度存在什么关系？
由此，我们可以得到
AB BC
DF EF
问题2选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画m、n与它们相交，如 果m、n这两条直线平行，观察并思考这时所得的AD、DB、FE、EC这四条线段
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的长度有什么关系.如果m、n这两条直线不平行，你再观察一下，量一量，算 一算，看看它们是否存在类似关系.
归纳：
AD DB FE
. EC
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.〔简称“平行线分线 段成比例〞〕
二、思考探究，获取新知
思考：〔1〕如图，当图〔3〕中的点A与点F重合时就形成一个三角形的 特殊情况，此时，AD、DB、AE、EC这四条线段之间会有怎样的关系？
〔2〕如图，当图〔3〕中的直线m、n相交于第二条平行上某点时，是否也 有类似的成比例线段呢？
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归纳：平行于三角形一边的直线截其他两边〔或两边的延长线〕，所得的 对应线段成比例.
例1如图，l1∥l l3. 2∥
〔1〕AB=3,DE=2,EF=4,求BC；
〔2〕AC=8，DE=2，EF=3，求AB.
三、运用新知，深化理解
1.如图，l1∥l2∥l3，以下比例式中错误的选项是〔〕
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2.如图，l1∥l2∥l3，以下比例式中成立的是〔〕
【答案】1.D2.D
【教学说明】可由学生完成抢答，教师最后点拨.
四、师生互动，课堂小结
1.平行线分线段成比例定理及其推论，注意“对应〞的含义.
2.研究问题的方法：从特殊到一般，类比联想.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.1〞中选取.
2.完成?创优作业?中本课时练习的“课时作业〞局部.
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23.2相似图形
【知识与技能】
知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等.识别两个多边形是 否相似的方法.
【过程与方法】
在推出相似多边形性质时，让学生用量角器、刻度尺来测量，锻炼动手能 力.
【情感态度】
让学生感受数学知识源于生活、用于生活.
【教学重点】 46
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相似图形的定义和性质.
【教学难点】
相似图形的性质.
一、情境导入，初步认识
复习：
1.假设线段a=6cm,b=4cm,c=3.6cm,d=2.4cm,那么线段a,b,c,d会成比例吗？
2.两X相似的地图中的对应线段有什么关系？〔都成比例〕
二、思考探究，获取新知
相似的两X地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个 结论是否成立呢？同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本 第58页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果 写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流.
同学们会发现有什么关系呢？经过观察、计算得出这两个相似四边形的对 应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有 一样的结果？反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系？同学们用格点图 画相似的两个三角形，也观察、度量，它们是否也具有这种关系〔对应边成比 例，对应角相等〕？
由此可以得到两个相似多边形的特征： 47
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〔由同学答复，教师板书〕对应边成比例，对应角相等.
实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法.即如果两个 多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似.
识别两个多边形是否相似的标准有：〔边数一样〕，对应边要〔成比例〕， 对应角要〔都相等〕.〔括号内要求同学填〕
填一填：
〔1〕两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？ 两个等腰直角三角形呢？
〔2〕所有的菱形都相似吗？所有矩形呢？正方形呢？
例1矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，AB=1.5cm,BC=4.5cm，A′B′=0.8cm,B′C′ =2.4cm，这两个矩形相似吗？为什么？
例2如下图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，求∠A的度数与x的值:
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三、运用新知，深化理解
1.矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，AB=16cm,AD=10cm,′AD′=6cm,矩形A′B′C′ D′的面积为cm2，这两个矩形相似吗？为什么？2.如图，四边形ABCD与四边 形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥B′C′，根据图中的条件，求出未知的边x、y及角 α.
【答案】1.这两个矩形不相似，由矩形A′B′C′D′的面积为知A′B′=÷6=9
〔cm〕,
2.x=14,y=18,α=85°
【教学说明】教师引导学生完成，让学生演示并讲解，师生共同点评.
四、师生互动，课堂小结
1.相似多边形的性质：对应边成比例；对应角相等.
2.相似多边形的判定.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.2〞中选取. 49
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2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部.
23.3相似三角形
1.相似三角形
【知识与技能】
1.知道相似三角形的概念；
2.能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角；
3.会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似 比求出未知的边长；
4.掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边〔或两边的延长线〕 相交所构成的三角形与原三角形相似〞来判断两个三角形相似.
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【过程与方法】
在探索活动中，开展发现问题、解决问题的意识和合作交流的习惯.
【情感态度】
培养学生严谨的数学思维习惯.
【教学重点】
掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.
【教学难点】
熟练找出对应元素，在此根底上根据定义求线段长或角的度数.
一、情境导入，初步认识
复习：什么是相似形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？
二、思考探究，获取新知
1.相似三角形的有关概念：
由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这 两个多边形相似.
三角形是最简单的多边形.由此可以说什么样的两个三角形相似？
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如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形
AB
相似，如在△ABC与△A′B′C′中，∠A=A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，
AB
BC BC
AC
，那 AC
么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.“∽〞是表示相似的符号，读作“相 似于〞，这样两个三角形相似就读作“△ABC相似于△A′B′C′〞.
由于∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′，所以A与A′是对应顶点，B与B′是对应顶点， C与C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以比拟 便容易找到相似三角形中的对应角、对应边.如果记
AB AB
BC BC
AC
=k，那么 AC
这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比.相似比就是它们的对应边的比， 它有顺序关系.如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为k，即指
AB
=k，那么△A′B′C′与 AB
△ABC的相似比应是
AB
，就不是k了，应为多少呢？同学们想一想. AB
AB AB
BC BC
AC
=1， AC
如果△ABC∽△A′B′C′,相似比k=1，你会发现什么呢？
所以可得AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′，因此这两个三角形不仅形状一样，而且大小 也一样，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例.试 问：①全等的两个三角形一定相似吗？②相似的两个三角形会全等吗？
2.△ABC中，D是AB上任意一点，过D作DE∥BC,交AC边于E，那么△ADE 与△ABC是否相似？
【分析】判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例 去考虑.能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应
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边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的根本领实，推得
DE BC
AD
，所以可以判断出△ADE与△ABC相似. AB
AE AC DE
，通 BC
过度量发现
思考〔1〕你能否通过演绎推理证明你的猜测？
〔2〕假设是DE∥BC,DE与BA、CA延长线交于E、D，那么△ADE与△ABC还会 相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式.
【归纳结论】平行于三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相 交所构成的三角形与原三角形相似.
例1如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC 的长.
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解：∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=，13
∴BC=3DE=15.
三、运用新知，深化理解
1.如下图，DE∥BC.
〔1〕如果AD=2,DB=3，求DE∶BC的值；
〔2〕如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长.
2.如图，梯形ABCD中，AD∥BC,点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F， BE的延长线交CD的延长线于点G.
〔1〕求证：
GE GB AE
; BC
〔2〕假设GE=2,BF=3，求线段EF的长.
----
----
【答案】1.〔1〕DE∶BC=2∶5
35
. 〔2〕AE=6,BC=
2
GE GB
2.〔1〕证明：∵AD∥BC，∴△GED∽△GBC，∴ GE ∴ GB
AE
. BC
GE GB
AE
, BC
ED
.又∵ED=AE, BC
〔2〕设EF的长x,那么由〔1〕知 为
AE BC 又∵
GE GB
GE
GB
,∴
EF
,即 BF
2x 2 x33
,解得x1=-6〔舍去〕,x2=1,
∴EF=1.
【教学说明】第2题教师适当点拨，小组讨论后完成.
四、师生互动，课堂小结
你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑 ？问
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3〞中选取. 55
----
----
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部.
第2课时相似三角形的判定〔2)
【知识与技能】
1.掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个 三角形相似；
2.掌握相似三角形的判定定理
3：三条边对应成比例的两个三角形相似.3.能依据条件，灵活应用相似三 角形的判定定理，正确判断两个三角形相似.
【过程与方法】
在推理过程中学会灵活使用数学方法.
【情感态度】 56
----
----
培养学生严谨的数学证明习惯和对数学的兴趣.
【教学重点】
相似三角形的判定定理2、3的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2、 3并能灵活应用.
【教学难点】
相似三角形的判定定理的推导及应用.
一、情境导入，初步认识
复习：1.现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？有两种方法：(1)根据 定义；〔2〕有两个角对应相等的两个三角形相似.
1 1 AC)，那么2.如图△ABC中，D、E是AB、AC上三等分点〔即AD=
AB,AE= 3 3
△ADE与△ABC相似吗？你用的是哪一种方法？
由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量什么后可以判断它 们是否相似？
57
----
----
【教学说明】可能有一局部同学用量角器量角，有一局部同学量线段，看 看能否成比例，无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学说出是应用哪 一种方法判断出的.
二、思考探究，获取新知
同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE∽△ABC.从条件看，△
ADE与△ABC有一对对应角相等，即∠A=∠A(是公共角〕，而一个条件是AD=
1 AD 1 AE 1 AD AE AB,AE= AC, , ，
.3
即AB 3 AC 3 △ADE因AB AC 的两是 此 条边
AD、AE与△
ABC的两条边AB、AC会对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个 三角形也会相似吗？我们再做一次实验.观察教材图23.3.10，如果有一点E在 边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
1 ，将点E图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为
3
1 AC时，△ADE与△ABC相似，此时
开场在AC上移动，可以发现当AE=
3
AD
AE AB
AC
. 猜测：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并 且夹角相等，那么这两个三角形相似.
你能否用演绎推理的方法证明你的猜测？
【教学说明】引导学生证明上述猜测.
【归纳结论】相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个
----
1
3
A 由点----
三角形相似. 58
----
----
强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定 会相似.你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角 形吗？〔画顶角与底角相等的两个等腰三角形〕∠B=∠B′,
AB AB
AC
. AC
例1〔课本中例4〕判断图中△AEB与△FEC是否相似.
例2如图△ABC中，D、E是AB、AC上的点，AB=7.8，AD=3，AC=6， CE=2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，小X同学的判断理由是这:的样
解：因为AC=AE+C，E而AC=6，CE=2.1，故AE=6-2.1=3.9.由于
所以△ADE与△ABC不相似.
你同意小X同学的判断吗？请你说说理由.
解：小X同学的判断是错.的误
AD,
AE3.91,所以
AD
AE 3 AB7.82
因为
AC AB
，而∠A是公共角，∠AC6
以△ADE∽△ACB.
请同学再做一次实验，看看如果两个三角形的三边都成比例，那么这两个 三角形是否相似？
看课本69页“做一做〞.
59
----
AD
AE ，AB AC
A=∠A,所 ----
通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成 比例，那么这两个三角形相似.简单地说就是，三边成比例的两个三角形相似.
例3△ABC和△A′B′C′中，AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm′,BA′=18cm,B′C′=24cm,A′C′ =30cm，试判定它们是否相似，并说明理由.
三、运用新知，深化理解
1.如图，△ADE与△ABC相似吗？请说明理由.
2.如图，
AB AD
BC DE AC
,∠BAD=20°，求∠CAE的大小. AE
60
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----
【教学说明】引导学生自主完成，学生代表在黑板上展示，教师点评.
四、师生互动，课堂小结
1.相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
2.相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
3.根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3〞中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部.
2.相似三角形的判定
第1课时相似三角形的判定〔1〕
61
----
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【知识与技能】
会说判定两个三角形相似的方法：两个角分别相等的两个三角形相似.会用 这种方法判断两个三角形是否相似.
【过程与方法】
培养学生动手操作能力.
【情感态度】
在动手推演中感受几何的趣味性.
【教学重点】
相似三角形的判定定理1以及推导过程，并会用判定定理1来证明和计算.
【教学难点】
相似三角形的判定定理1的运用.
一、情境导入，初步认识
1.两个矩形一定会相似吗？为什么？
2.如何判断两个三角形是否相似？根据定义：对应角相等，对应边成比例.
3.如图△ABC与△A′B′C′会相似吗？为什么？是否存在判定两个三角形相似的 简便方法？本节就是探索识别两个三角形相似的方法.
62
----
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二、思考探究，获取新知
同学们观察你与你的同伴用的三角尺，及教师用的三角板，如有一个角是 30°的直角三角尺，它们的大小不一样.这些三角形是相似的，我们就从平常所 用的三角尺入手探索.
〔1〕45°角的三角尺是等腰直角三角形，它们是相似的.
〔2〕30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个 角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢？
这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应 相等，它们好似就会“相似〞.是这样吗？请同学们动手试一试：
1.画两个三角形，使它们的三个角分别相等.
画△ABC与△DEF，使∠A=∠D，∠B=∠E,∠C=∠F,在实际画图过程中，同学们画 几个角相等？为什么？
实际画图中，只画∠A=∠D,∠B=∠E,那么第三个角∠C与∠F一定会相等，这是 根据三角形内角和为180°所确定的.
2.用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？与同伴交流，是 否有一样结果.
63
----
----
3.发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角 对应相等，那么这两个三角形相似.
4.两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢？
这是由于三角形具有它特殊的性质.三角形有稳定性，而四边形有不稳定性.
于是我们得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角 形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单 地说，两角对应相等，两三角形相似.
同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否 一定会相似呢？
例1如图，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′， 判断这两个三角形是否相似.
解：相似，因为∠C=∠C′，∠A=∠A′，根据相似三角形的判定定理1可知△A′B′ C′∽A△BC.
例2在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′=50°，∠B=70°，∠B′=60°，这两个三角形 相似吗?
----
----
解：由三角形的内角和定理知∠C′=180°-∠A′-∠B′=180°-50°-60°=70°，∴∠C′= ∠B,又∵∠A=∠A′，∴A△BC∽△A′C′B′.
【教学说明】教师注意引导学生分∠析B不一定与∠B′对应.
例3如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,试说明△ADE∽△EFC.
证明：∵DE∥BC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴∠CEF=∠A.∴△ADE∽△EFC
三、运用新知，深化理解
1.△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形.
2.△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ ADE与△ABC会相似，你怎样画这条直线?说明理由.和你的同伴交流作法是否一 样.
【答案】1.△ACD∽△CBD∽△ABC
2.有两种不同的画法
①过D点作DE∥BC,DE交AC于点E 65
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----
②以AD为一边在△ABC内部作∠ADE=∠C,另一边DE交AC于点E.
【教学说明】第2题注意分类讨论.
四、师生互动，课堂小结
这节课你学到哪些判定三角形相似的方法？还有什么疑惑？说说看.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3〞中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部.
3.相似三角形的性质
【知识与技能】
会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平 分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 66
----
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【过程与方法】
培养学生演绎推理的能力.
【情感态度】
感受数学来源于生活，来源于实践.
【教学重点】
1.相似三角形中的对应线段比值的推导；
2.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导；
3.运用相似三角形的性质解决实际问题.
【教学难点】
相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关系的 推导及运用.
一、情境导入，初步认识
复习：1.判定两个三角形相似的简便方法有哪些？
2.在△ABC与△A′B′C′中，AB=10cm,AC=6cm,BC=8cm′B,A′=5cm,A′C′=3cm,B′C′ =4cm，这两个三角形相似吗？说明理由.如果相似，它们的相似比是多少?
二、思考探究，获取新知
67
----
----
上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′,相
AC =2.
似比为
AC
相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之外，还 会得出什么结果呢？
一个三角形内有三条主要线段——高线、中线、角平分线，如果两个三角 形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢？我们先探索一下它们的对应高之 间的关系.
同学画出上述的两个三角形，作对应边BC和B′C′边上的高，用刻度尺量一
等于多少呢？与它们的相似比相等吗？得出结论：相似 AD
量AD与A′D′的长，
AD
三角形对应高的比等于相似比.我们能否用说理的方法来说明这个结论呢？
△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，且∠B=∠B′.
∴△ABD∽△A′B′D′,∴
AD AD
AB
=k AB
思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系?
【教学说明】引导学生通过演绎推理来证明.
68
----
----
归纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方.
同学们用上面类似的方法得出：相似三角形对应边上的中线的比等于相似 比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相 似比.
例1如梯形ABCD的对角线交于点O，
DC
2 ,S△DOC=4，求S△ AB 3
S△AOD.
【分析】∵DC∥AB,∴△DOC∽△BOA，由相似三角形的性质可求出S△AOB、S△AOD.
解：∵DC∥AB，∴△DOC∽△BOA，
三、运用新知，深化理解
1.如图，这是圆桌正上方的灯泡〔看作一个点〕发出的光线照射桌面后， 在地面上形成阴影〔图形〕的示意图.桌面的直径为1.2m，桌面距离地面 1为m，假设灯泡距离地面3m，那么地面上阴影局部的面积为.
69
----
AOB
、
----
【教学说明】运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决此题的关键.
2.如图,△ABC中，BC=24cm，高AD=12cm，矩形EFGH的两个顶点E、F在BC 上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，且EF∶EH=4∶3，求EF、EH的长.
2
【答案】1.0.81πm
2.HG=9.6cm;EH=7.2cm
【教学说明】充分运用矩形边长的比来建立方程，可使问题得到解决.
四、师生互动，课堂 结小
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似 比，面积比等于相似比的平方.
1.布置作业：从教材相应练习和23.3〞中选取题习“.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局. 部70
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4.相似三角形的应用
【知识与技能】
会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度.自己设计方 案测量高度,体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用.
【过程与方法】
通过利用相似解决实际问题，进一步提高学习应用数学知识的能力.
【情感态度】
让学生体会数学来源于生活，应用于生活，体验数学的功用.
【教学重点】
构建相似三角形解决实际问题.
【教学难点】 71
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把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决.
一、情境导入，初步 识认
复习
1.相似三角形有哪些性质？
2.如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF,DE⊥BF,AC∥DF.
〔1〕△DEF与△ABC相似吗？为什么？
〔2〕假设DE=1，EF=2，BC=10，那么AB等于多少？
〔〔1〕△DEF∽△ABC.〔2〕AB=5〕
二、思考探究，获取新知
第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的 长.人们从很早开场，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高 度或宽度.
例1古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔 的高度OB，先竖一根长度的木棒O′B′，比拟木棒的影长A′B′与金字塔的影
72
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AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O长′B′=1米,A′B′=2米，AB=274米， 求金字塔的高度OB.
【分析】因为太阳光是互相平行的，易得△A′O′B′∽A△OB，从而求得OB的长 度.
解：∵太阳光是平行光线即O′A′∥OA,
∴∠OAB=∠O′A′B′.又∵∠ABO=∠A′B′O′=90°,
∴△OAB∽△O′A′B′.
答：金字塔的高度OB为137米.
例2如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A， 再在河的这一这一边上选定点B和C，使AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC， 用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=120米，DC=60米，EC=50米， 求两岸间的大致距离AB.
73
----
----
解：∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=9°0,∴△ABD∽△ECD〔两角分别相等的两个三
BDEC 120 50
=100〔米〕.
CD
60
角形相似〕，∴ABEC=BDC解D,得AB=
答：两岸间的大致距离为100米.
这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进展测方的量法.
例3如图，D、E是△ABC的边AB、AC上的点，且∠ADE=∠C.求证： AD·AB=AE·AC.
【分析】把等积式化为比例式
AD
AC AE AB
,猜测△ADE与△ABC相似，从而找条件加以证明.
证明：∵∠ADE=∠C,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB〔两角分别相等的两个三角形相似〕.
AD
AE AC AB
, ∴
∴AD·AB=AE·AC.
三、运用新知，深化理解
1.如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相 邻两棵的间隔都是10m，在这岸离开岸边16m处看对岸，看到对岸的两棵树的
74
----
----
树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有一棵树，但对岸被遮 住的两棵树之间有四棵树，这段河的河宽是多少米？
【教学说明】先由实际问题建立相似的数学模型，可先证ABE∽△ACD,再 △得根据对应线段成比例可求出河宽，即线段BC的长.
2.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但 恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮 和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的 眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之 间的距离CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m〔C、D、N在一条直线上〕， 颖颖的身高BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m，你能根据以 上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度？吗
【答案】1.24m2.20.8m
【教学说明】过点A作MN的垂线段，构造相似三角形.
四、师生互动，课堂小结 75
----
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这节课你学习了哪些知识，有哪些收获？还有哪些疑问？
【教学说明】学生小组讨论，分小组陈述演示，教师归纳板书.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.3〞中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部.
23.4中位线
【知识与技能】
1.经历三角形中位线的性质定理形成过程.
2.掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单的问题.
3.通过命题的教学了解常用的辅助线的作法，并能灵活运用它们解题，进一步训练说理的能力. 76
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【过程与方法】
通过学习，进一步培养自主探究和合作交流的学习习惯.
【情感态度】
进一步了解特殊与一般的辩证唯物主义观点、转化的思想.
【教学重点】
三角形中位线的性质定理.
【教学难点】
三角形中位线的性质定理的应用.
一、情境导入，初步认识
在前面23.3节中，我们曾解决过如下的问题图如：，△ABC中，DE∥BC,那么
△ADE∽△ABC.由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点. 现在换一个角度考虑，如果点D、E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推 出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？
二、思考探究，获取新知
77
----
----
1.猜测：从画出的图形看，可以猜测：
DE∥BC,且DE=
1 BC. 2
2.证明：如图，△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，∴ AD AB
AE AC
1
.∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC〔如果一个三角形的两条边与另一个三角 2
形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似〕,∴∠ADE=∠
DE BC ABC,
∴DE∥BC且DE=
1
BC. 2
1
相似三角形的对应角相等，对应边成比例〕， 2
思考：此题还有其他的解法？吗
：如下图，在△ABC中，AD=DB，AE=EC求.证：DE∥BC,DE=
1
BC. 2
【分析】要证DE∥BC,DE=
1
BC,可延长DE到F，使EF=DE，于是此题就转化 2
为证明DF=BC，DE∥BC,故只要证明四边形BCFD为平行四边形.
还可以作如下的辅助线.
78
----
----
【归纳结论】我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并 且有三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
【教学说明】介绍中位线时，强调它与中线的区别.
例1求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
：如图，在△ABC中，AD=D，BBE=EC，AF=FC.
求证：AE、DF互相平分.
【分析】要证AE、DF互相平分，即要证四边形ADEF为平行四边形.
证明：连结DE、EF.∵AD=DB,BE=EC,
∴DE∥AC，同理可得EF∥BA.
∴四边形ADEF是平行四边形.
∴AE、DF互相平分.
例2如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点 G.求证：
GE CE
GD AD
1
. 3
【分析】有两边中点易想到连接两边中点构造三角形的中位线.
79
----
----
思考：在例2的图中取AC的中点F，假设BF与AD相交于点G′，如图，那 么我们同理可得
G D AD
么结论?
1
，即两图中的G与G′是重合的，由此我们可以得出什 3
归纳：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心 与一边中点的连线的长是对应中线长的
1. 3
三、运用新知，深化理解
80
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1.如图，在ABCD中，有E、F分别是AD、BC上的点，且DE=C，FBE和 AF的交点为M，CE和DF的交点为N.求证：MN∥AD,MN=12AD.
2.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD 的中点，且AC=BD求.证：OM=ON.
【答案】1.解：连结EF，证四边形ABFE和四边形DCFE均为平行四边形，
1
AD. 2
得FM=A，MFN=DN，∴MN∥AD,MN=
2.解：取BC的中点G，连接EG，FG，
∵BG=C，GBE=AE，∴GE=
1
AC，EG∥AC 2
∴∠ONM∠=GEF，同理GF=
1 BD， 2
∠OMN∠=GFE，∵AC=BD，
∴GE=GF∴,∠GEF=∠GFE，
∴∠ONM∠=OMN，
∴OM=ON.
【教学说明】引导学生取BC的中点，构造中位线. 81
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四、师生互动，课堂小结
1.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半.
2.三角形中位线定理的应用.
3.三角形重心的性质.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.4〞中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部.
23.5位似图形
【知识与技能】 82
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1.会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小.
2.理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画相似图形.
【过程与方法】
培养学生动手作图能力.
【情感态度】
培养学生良好的数学习惯和严谨科学的学习态度.
【教学重点】
位似的概念以及利用位似将一个图形放大或缩小.
【教学难点】
比拟放大或缩小后的图形与原图形,归纳位似放大或缩小图形的规律.
一、情境导入，初步认识
相似与轴对称、平移、旋转一样，是图形的一个根本变换.要把一个图形放 大或缩小，又要保持其形状不变.就是要画相似图形，现在我们先从画相似多边 形开场.
现在要把五边形ABCDE放大到1.5倍，即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要 与五边形ABCDE相似且相似比为1.5.
现在我们来动手做一做，同学们按以下步骤画出所需的多边形: 83
----
----
法是：
1.任取一点O.
2.以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.
3.在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、F′使OA′∶ OA=O′B∶OB=O′C∶OC=O′D∶OD=O′E∶OE=1.5.
4.连结A′B′,B′C′,C′D′,D′E′,A′E′，即得到所要画的多边形.
二、思考探究，获取新知
思考：用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多边形是否相似？
上面的两个多边形相似〔学生答复〕
你能否用演绎推理说明其中的理由？
再用量角器量它们的对应角，看看是否相等呢？也可以用平行线的性 推质出各对应角是相等的，所以五边形A′B′C′D′E′就相似于五边形ABCDE.
位似变换的定义：如上面的画法，两个多边形不仅相似，而且对应点的 顶连线相交于一点，像这样的相似叫做位似，点O叫做位似中心.放映电影时，胶 84
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片和屏幕上的画面就形成一种位似关系，它们的位似中心是放映机上的凸透镜 的光心.
利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.
位似中心也可以取在多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似 中心不同的画法.
三、运用新知，深化理解
1.如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？
2.如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍.
【教学说明】第1小题可根据位似的三要素得出对应线段平行；第2小题 可有两种情况，画出其中一种即可.
85
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3.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A1B1C1是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上.
①画出位似中心点O；
②求出△ABC与△A1B1C1的相似比；
③以点O为位似中心，再画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比等于1.5.
【答案】1.平行，因为位似的两个图形的对应边平行或在一条直线上.
2.略
3.①略②
1 2
③略
【教学说明】分小组讨论，小组抢答展示，教师点评.
四、师生互动，课堂小结
学生试述：这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.5〞中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部. 86
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23.6图形与坐标
1.用坐标确定位置
【知识与技能】
能够在图形中建立适当的坐标系来描述物体的位置，并结合具体实例了解 坐标系建立位置不同，点的坐标也随之变化；能够利用坐标找到点的位置；了 解位置确定的两种方法.
【过程与方法】
通过实践、探索、观察、分析等数学活动过程，开展学生形象思维能力和 数学应用能力.
【情感态度】
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通过小组合作学习体会到自己在小组中的作用，激发学生学习激情，培养 学生动手动脑的好习惯，树立正确的价值观.
【教学重点】
在图形中建立直角坐标系并描述物体在坐标系里的位置.
【教学难点】
建立恰当的坐标系来描述物体的位置.
一、情境导入，初步认识
教师出示教材84页，关于某中学夏令营找目的地问题
问：利用直角坐标系，你能找到目的地吗？请你在图中画出目的地的位置.
二、思考探究，获取新知
通过以上活动，我们可以发现，建立适当的直角坐标系，我们可以用坐标 来确定物体的位置，现在我们来试一试.
1.试一试
如图，是某乡镇的示意图，试在图中建立适当的平面直角坐标系，用坐标 表示各地的位置.
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思考①你是怎样建立直角坐标系的，各地的坐标是什么？
②与同学交流一下，发现什么问题？
【归纳结论】建立的直角坐标系不一样，得到各地的坐标也不一样.
我们已经知道，可以用一对有序实数对表示平面上点的位置，从而确定一 个物体的位置.在我们的生活中还有什么地方应用了这一知识点〔学生讨论后可 自由发言〕？
如：用经度和纬度来表示某次台风中心所处的位置，或表示某次强烈地震 的震中位置等.
阅读教材85页“思考〞.
思考由此信息，你能发现其他表示该地震中心位置的方法吗？
【归纳结论】可以用“角度〔方向〕、距离〞这两个量来刻画物体的位 置.
2.方位角的研究
①教师出示问题：教材86页“小明考察环境污染问题〞.
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②让学生试着画出表示各处位置的示意图.
③根据情况教师适当点评.
④说一说：在我们现实生活中还有哪些地方用到了方位角的知识.
例1如图是一个边长为5的正方形，试建立适当的平面直角坐标系，写 出它的顶点坐标.
【分析】建立的直角坐标系不同，顶点的坐标也不一样.
【教学说明】让学生自主完成，互相交流展示，教师点评.
三、运用新知，深化理解
1.如图，矩形ABCD中，A〔-4，1〕，B〔0，1〕，C〔0，3〕，那么点D坐标 为.
2.七年级〔2〕班的同学组织到人民公园游玩，X明、王励、李华三位同学 和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个对着景区示意图在中
90
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向在中心广场的同学们说他们的位置，X明说他的坐标是〔200，-200〕，王励 说他的坐标是〔-200，-100〕，李华说他的坐标是〔-300，200〕.
〔1〕请你据此写出坐标原点的位置；
〔2〕请你写出这三个同学所在的景点.
【答案】1.〔-4,3〕
2.解：〔1〕坐标原点为中心广场.
〔2〕X明在游乐园，王励在望春亭，李华在湖心亭.
【教学说明】教师引导学生完成上述题目.
四、师生互动，课堂小结
本节课你学到了哪些知识？在现实生活中有什么作用？
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.6〞中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部.
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2.图形的交换与坐标
【知识与技能】
在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小 的变换之后，点的坐标相应发生变化.探索图形平移、轴对称、放大或缩小的变 换中，它们点的坐标变化规律.
【过程与方法】
培养学生转化思想和知识迁移能力.
【情感态度】
让学生体悟数学变化中的规律，感受数学的乐趣.
【教学重点】
图形运动与坐标变换的关系.
【教学难点】
图形运动与坐标变换的具体应用，通过比拟放大或缩小后的图形与原图形， 归纳位似放大或缩小图形的规律.
一、情境导入，初步认识
92
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思考在同一个平面直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大 或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？
二、思考探究，获取新知
现在我们带着问题来一起探究.
1.平移变换的坐标变化规律
例1如图，△AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到△A′O′B′，三个顶点 的坐标有什么变化？
【归纳结论】三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了3.
例2如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为〔-3，4〕、〔-4、3〕和〔-1， 3〕，将△ABC沿y轴向下平移3个单位得到△A′B′C′，然后再将△A′B′C′沿x轴向右 平移4个单位得到△A″B″C″，试写出现在三个顶点的坐标，看看发生了什么变化.
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【归纳结论】经过两次平移后，三角形三个顶点的横坐标都增加了4，纵 坐标都减少了3.
【思考】通过以上例1、例2的探究你发现经过平移变换，点的坐标变化 有什么特点？
【归纳结论】〔1〕左、右平移，它们的纵坐标都不变，横坐标有变化，向 右平移几个单位，横坐标就增加几个单位，向左平移几个单位，横坐标就减少 几个单位.
〔2〕上、下平移，它们的横坐标都不变，纵坐标有变化，向上平移几个单 位，纵坐标就增加几个单位，向下平移几个单位，纵坐标就减少几个单位.
2.轴对称变换的点的坐标变化规律
例3如图，△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB，关于y轴的轴对称图形 是△A″OB″，它们对应顶点的坐标有什么变化？
【归纳结论】〔1〕关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；
〔2〕关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数.3.位似变换的点的 坐标变化规律.
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例4如图，将△AOB缩小后得到△COD,
〔1〕它们的相似比是多少？
〔2〕△AOB的顶点坐标发生了什么变化？
【归纳结论】横纵坐标都变为原来的
1. 2
思考将例4中的△AOB以O为位似中心，将△AOB放大到原来的2倍得到△ A′OB′.
〔1〕△A′OB′可以画几个？
〔2〕△AOB的顶点坐标发生了什么变化?
4.概括：填充完成教材92页的表格.
三、运用新知，深化理解
1.如图，在对Rt△OAB依次进展位似、轴对称和平移变换后得到Rt△O′A′B′.
〔1〕在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；
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〔2〕设P〔x,y〕为△AOB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点 的坐标.
【教学说明】教师适当点拨，学生分组讨论.
四、师生互动，课堂小结
这节课你学到哪些知识？有哪些收获？还有哪些疑问？
1.布置作业：从教材相应练习和“习题23.6〞中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业〞局部.
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本章复习
【知识与技能】
能理清本章的知识及其联系，画出知识构造图.会运用相似三角形的判定、 性质进展有关问题的简单的说理或计算，提高解决实际问题的能力，培养应用 数学知识的意识.
【过程与方法】
能用坐标来表示物体的位置，感受点的坐标由于图形的变化而相应地发生 变化，让学生体会到数与形之间的关系.
【情感态度】
培养学生学数学爱数学的情感.
【教学重点】
相似三角形的特征，相似三角形的判定方法的应用.
【教学难点】
相似图形的判定方法的灵活应用，比例式的转换方法.
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一、知识构造框图，整体把握
二、释疑解惑，加深理解
1.相似三角形的性质：
①对应边成比例.
②对应角相等.
③对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、 边长等.
2.相似三角形的判定
〔1〕定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.
〔2〕平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相 交，所构成的三角形与原三角形相似.
〔3〕判定定理1：两角对应相等，两三角形相似.
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〔4〕判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
〔5〕判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似.
灵活应用各种判定方法，注意在应用判定定理2时，两边对应成比例，一 个角对应相等，这个角必须是这两边的夹角.在证明时，有时需要比照例式进展 变换，如把等积式化为比例式.
3.相似三角形的应用
构造相似三角形，建立数学模型，利用相似的有关知识解决实际问题.
4.图形与坐标
〔1〕用坐标确定位置.
①建立适当的直角坐标系，用坐标来确定物体的位置.
②用“角度〔方向〕、距离〞刻画物体的位置.
〔2〕图形变换与坐标
①点〔x,y〕关于x轴对称点的坐标为〔x,-y〕，关于y轴对称点的坐标为 〔-x,y〕，关于原点对称点的坐标为〔-x,-y〕.
②点〔x,y〕沿x轴向右平移a个单位的点的坐标为〔x+a,y〕，沿y轴向 上平移b个单位的点的坐标为〔x,y+b〕.
③图形以原点为位似中心缩放k倍，点〔x,y〕的对应点的坐标为〔kx,ky〕或〔-kx,-ky〕.
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三、典例精析，复习新知
1.如图，D是AC上的点，BE∥AC,BE=AD,AE分别交BD、BC于F、G，∠1=∠2.
〔1〕图中哪个三角形与△FAD全等？证明你的结论.
〔2〕求证：BF2=FG·EF.
【分析】〔1〕BE∥AC,BE=AD，易证△ADF≌△EBF.
BF
EF 〔2〕把BF2
=FG·EF化为等比式
BF
,易猜测△BFG∽△EFB.由〔2
=FG·EF化为等比式
FG
ADF≌△EBF,∴∠E=∠1,又∵∠1=∠2，∴∠2=∠E.∵∠EFB=∠BFG,∴△BFG∽△EFB，易得BF2=FG·EF.
2.：如下图，PN∥BC,AD⊥BC交PN于点E，交BC于点D. 2
〔1〕当AP∶PB=1∶2,S△ABC=18cm时，S△APN=;
〔2〕假设S△APN:S四边形PBCN=1:2,求AE:AD的值；
〔3〕假设BC=15cm,AD=10c，m且PN=ED=x求,x的值.
100
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1〕知△ ----
四、复习训练，稳固提高
1.假设如下图的两个四边形相似，那么α的度数是〔〕
A.97°B.87°C.77°D.90°
2.如图，在正方形网格中，有△ABC、△DEF、△GHP，那么以下说法正确的选项是 〔〕
A.△ABC∽△DEFB.△DEF∽△PGH
C.△ABC∽△GHP
D.△ABC∽△PGH
101
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3.假
设 ab
a
2
,那a∶b=. 么5
4.如图，AB=8，AC=6，点D在AB上，点E在AC上，且AD=2，假设△ADE与△ ABC相似，那AE=. 么
5.点A〔-2，3〕先向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到B点的 坐标为，B点关于x轴对称点的坐标为.
6.△ABC和△A′B′C′中，
AB AB
AC AC BC
，且△ABC和△A′B′C′的周长之 BC
差是4，求△ABC和△A′B′C′的周长.
7.如图，在6×8网格中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均 为小正方形的顶点.
〔1〕以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且相 似比为1∶2.
〔2〕连接〔1〕中的AA′，求四边形AA′C′C的周长〔结果保存根号〕.
102
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8.如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转而得到的，连接CC′交斜 边于点E，CC′的延长线交BB′于点F.
〔1〕证明：△ACE∽△FBE;
〔2〕设∠ABC=α,∠CAC′=β,试探索α、β满足什么关系时△ACE与△FBE全等， 并说明理由.
【答案】1.A2.D3.2∶34.
3 8
或 2 3
5.〔-4,5〕〔-4,-5〕
6.C△ABC=24,C△A′B′C′=20
7.〔1〕略〔2〕4+62
8.解：〔1〕证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴ AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′.
∴∠CAC′=∠BAB′,
∴△CAC′∽B△AB′,
∴∠ACC′=∠ABB′,
又∠AEC=∠FEB,
∴△ACE∽△FBE.
103
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〔2〕当β=2α时，△ACE≌△FBE.
在△ACC′中，∵AC=AC′,
180CAC
2 ∴∠ACC′=
180
=
2
=90°-α.
在Rt△ABC中，∠ACC′+∠BCE=90°,
即90°-α+∠BCE=9°0,∴∠BCE=α.
∵∠ABC=α,∴∠ABC=∠BCE,
∴CE=BE.
由〔1〕知△ACE∽△FBE,∴△ACE≌△FBE.
五、师生互动，课堂 结小
本节课你学到了哪些知识？有哪些收 ？获
1.布置作业：从教材本章“复习题〞中选取.
2.完成练习册中“本章热点专题训练〞.
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第24章解直角三角形
24.1测量
【知识与技能】
利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法,初步接 触直角三角形的边角关系.
【过程与方法】
使学生经历测量旗杆高度的方法探索、实际测量和计算，归纳、总结出测 量高度的不同方法.
【情感态度】
使学生经历测量过程，从而获得成功的体验，懂得数学来源于实际并用之 于实际的道理；培养学生的合作和勇于探索精神.
【教学重点】
探索测量距离的几种方法.
【教学难点】
解决实际问题时学生对数学实践活动的原理的理解和对方法的掌握.
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一、情境导入,初步认识
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知 道操场旗杆有多高.
你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题，但如果在阴天，你 一个人能测量出旗杆的高度吗？
二、思考探究，获取新知
例1教材100页“试一试〞.
如下图，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线 AB与水平线的夹角∠BAC=34°，并目高AD为1.5米.现在请你按1∶500的 比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度尺量出纸上B′C′的长度，便可 以算出旗杆的实际高度.你知道计算的方法吗？
解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AC∶A′C′=BC∶B′C′=500∶1
∴只要用刻度尺量出纸上B′C′的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD 长即为旗杆的高度.假设量得B′C′=acm,那BC=500acm=5am.故旗杆高(1.5+5a)m. 么
【教学说明】利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是造构 和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算 出实物的高或宽等.
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例2为了测出旗杆的高度，设计了如下图的三种方案，并测得图(a)中 BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m；图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m；图(c)中 BD=9m，EF=0.2；此人的臂长为0.6m.
〔1〕说明其中运用的主要知识；
〔2〕分别计算出旗杆的高度.
【分析】图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)
运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质.
【教学说明】测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似形 的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的 高度.
三、运用新知，深化理解
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1.小明同学身高1.5m，经太阳光照射，在地面的影长为2m，假设此时 测得一塔在同一地面的影长为60m，那么塔高为()
A.90mB.80m C.45mD.40m
2.如图，A、B两点被池塘隔开，在A、B外任选一点C，连结AC、BC，分 别取其三等分点M、N，量得MN=38m，那么AB的长为()
A.76mB.104m C.114mD.152m
3.在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲被风 吹到一边，花朵齐及水面，红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？
4.某同学想测旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹竿竖起时的影长 为1.5m,同一时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面 上，有一局部落在墙上，他测得落在地面上的影长为9m，留在墙上的影长为 2m，求旗杆的高度.
【答案】1.C2.C3.1.5米4.8米 108
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【教学说明】引导学生完成，在黑板上展示，教师点评.
四、师生互动，课堂小结
这节课你学到了哪些测量物体高度的方法？
【教学说明】小组讨论展示，教师归纳总结.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.1〞中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
24.2直角三角形的性质
【知识与技能】
〔1〕掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用.
〔2〕继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数 学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律.
【过程与方法】 109
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〔1〕经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法.
〔2〕培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力.
〔3〕培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想 方法.
【情感态度】
使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识.
【教学重点】
直角三角形斜边上的中线性质定理的应用.
【教学难点】
直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法.
一、情境导入，初步认识
复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？
学生答复：〔1〕在直角三角形中，两个锐角互余；
〔2〕在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方〔勾股定理〕二、思考探究，获取新知 110
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除了刚刚同学们答复的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我 们一起探索！
1.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片.
〔1〕量一量边AB的长度；
〔2〕找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线；
〔3〕量一量斜边上的中线的长度.
让学生猜测斜边上的中线与斜边长度之间的关系.
2.提出命题：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3.证明命题：
你能否用演绎推理证明这一猜测？
，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上 的中线.
求证：CD=
1 AB. 2
【分析】可“倍长中线〞,延长CD至点E，使DE=CD，易证四边形ACBE 是矩形，所以
CE=AB=2CD.
思考还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线. 111
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4.应用：
例如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°,∠A=30°.
求证：BC=
1
AB 2
【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线CD，易证 △BDC为等边三角形，所以BC=BD=
1
AB. 2
【归纳结论】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
三、运用新知，深化理解
1.如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，CD=4，那么 AB=______.
2.三角形三个角度度数比为1∶2∶3，它的最大边长是4cm，那么它的最小 边长为______cm.
3.如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE,G为垂足.
求证：〔1〕G是CE的中点；
〔2〕∠B=2∠BCE.
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第3题图第4题图
4.如图，△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=2cm,求BC的长.
【答案】
1.8 2.2
3.证明：〔1〕连接DE.∵在Rt△ADB中，DE=
1 AB，又∵BE= 2
∴DC=DE.∵DG⊥CE,∴G为CE的中点.
〔2〕∵BE=ED=DC,∴∠B=∠EDB,∠EDB=2∠BCE,∴∠B=2∠BCE.
4.6cm
【教学说明】可由学生小组讨论完成，教师归纳.
四、师生互动，课堂小结
1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
3.有斜边上的中点，要考虑构造斜边上的中线或中位线.
113
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1 AB,DC=BE, 2
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1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.2〞中选取.
2.完成练习册中本课时练习.
24.3锐角三角函数
1.锐角三角函数
第1课时锐角三角函数
【知识与技能】
1.使学生掌握锐角的四种三角函数的定义.
2.使学生掌握锐角三角函数的取值X围.
【过程与方法】
1.使学生会利用三角函数的定义，表示出直角三角形中某个锐角的三角函 数值.
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2.使学生会利用锐角三角函数的定义求三角函数值.
3.使学生学会运用参数法求三角函数值.
【情感态度】
培养学生的数形结合的思想和探索的精神.
【教学重点】
三角函数的定义及三角函数值的求法.
【教学难点】
引入参数三角函数值.
一、情境导入，初步认识
1.含30°角的直角三角形，有什么性质？
答：30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的比值为
2.上述结论与所选取的直角三角形的大小有关吗？
答：无关.
3.含45°角的直角三角形中，45°角所对的直角边与斜边的比值为多少？这个比值与所选取的直角三角形的大小有关吗？
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1 . 2
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2 答: ，无关.
2
4.一般地，在Rt△ABC中，∠A为其一个锐角，当∠A取一个固定的值时，∠ A所对的直角边和斜边的比值固定吗？
答：固定不变.如以下图
我们把这个固定的比值，称为∠A的正弦，记作sinA,当∠A看作变量时,sinA 常称为∠A的正弦函数，正弦函数是三角函数的一种，今天我们就来研究锐角三 角函数.
二、思考探究，获取新知
〔一〕锐角三角函数的定义
如图,在Rt△ABC中，∠C=90°
∠A的正弦：
sinA
A的对边BCa
斜边ABc
116
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∠A的余弦： cosA
A的邻边ACb
斜边ABc
∠A的正切：tanA
A的对边BCa
A的邻边ACb
【教学说明】这三个三角函数的书写和含义，特别是不能看成是乘法的关 系，另外角的符号也常常省略.
提问：你能按定义写出∠B的三个三角函数来吗？
(二〕锐角三角函数的取值围X
在Rt△ABC中，∠A为其一锐角，有0 (三)利用锐角三角函数定义求三角函数值 1.直接利用定义求三角函数值 例1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15， BC=8，试求出∠A的三个三角函数值. 2.直角三角形的两边的比，求三角函数值 例2，在Rt△ABC中，∠C=90°，a∶b=2∶3,求sinA、117 ----cosA. ---- 3.某锐角三角函数值，求三角函数值. 例3，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 2 ,求∠A的另外两个三角函数 3 值. 三、运用新知，深化理解 1.在平面直角坐标系中，点P的坐标为〔2,4),O为原点，OP与x轴的夹角 为α，那sinα么=______. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°,ac= 5 ,那cosA=______. 么13 1 ，那sinA=______,cosA=______. 么3 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 4.如图，在△ABC中，∠ABC=60°,AB∶BC=2∶5,求tanC的值. 118 ---- ---- 【教学说明】第4题教师适当点拨:过A点作AD⊥BC构造直角三角形. 四、师生互动，课堂小结 1.锐角三角函数的定义： ∠α的正弦：sinα= 的对边 斜边 ∠α的余弦:cosα= 的邻边 斜边 ∠α的正切：tanα= 的对边 的邻边 2.锐角三角函数的取值X围： 当∠α为锐角时，0 3.利用定义求锐角三角函数值. 1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.3中选取.〞 2.完成练习册中本课时练习. 119 ---- ---- 第2课时特殊角的三角函数值 【知识与技能】 1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值. 2.让学生经历30°、45°、60°角的三角函数值推导过程，从而掌握特殊角的 三角函数的运用方法. 【过程与方法】 学生经历30°、45°、60°角的三角函数值推导过程，开展学生的推理能力 和计算能力. 【情感态度】 通过本节课的学习了让学生体会锐角三角函数的数学美，从而培养学生的 数学应用意识. 【教学重点】 熟记30°、45°、60°角的三角函数值. 【教学难点】 根据函数值说出对应的锐角度数. 120 ---- ---- 一、情境导入，初步认识 上节课我们学习了锐角三角函数的定义. 复习如下图Rt△DEC，∠E=90°,DE=6,CD=10,求∠D的三个三角函数值. (sinD=4/5,cosD=3/5,tanD=4/3) 二、思考探究，获取新知 你能否根据锐角三角函数的定义求出30°角的三个三角函数值？ 1.探究 121 ---- ---- 3.填表 思考：(1)sinα随着α的增大而增大； 〔2〕cosα随着α的增大而减小； 122 ---- ---- 〔3〕tanα随着α的增大而增大. 例求值：sin30°ta·n30°+cos60°ta·n60° 解：原式 13123 3 2323 . 三、运用新知，深化理解 2.直线y=kx-4与y轴相交所成的锐角的正切值为 1 ，那么k的值为_______. 2 4.，如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°,AB=6,求 BC的长.(结果保存根号〕 【教师点拨】第1题的计算，注意理清运算顺序；第2题可构造直角三角 形再运用锐角三角函数的知识解决，注意两种情况；第3题先求出α的三角函 数值，再根据其值求角的度数. 四、师生互动，课堂小结 123 ---- ---- 本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？ 1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.3〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 2.用计算器求锐角三角函数值 【知识与技能】 经历用计算器由锐角求它的三角函数值，及由的三角函数值求锐 角的过程，进一步体会三角函数的意义，学会应用方法. 【过程与方法】 能用计算器进展有关三角函数值的计算. 【情感态度】 124 ---- ---- 培养学生良好的操作能力，以及实际应用思维，体会三角函数在生产、生 活中的应用价值. 【教学重点】 用计算器求任意角的三角函数值. 【教学难点】 用计算器求锐角三角函数值时要注意按键顺序. 一、情境导入，初步认识 同学们，前面我们学习了特殊角30°、45°、60°的三角函数值，但一些非 特殊角〔如17°、56°、°等〕的三角函数值又怎么求呢？这一节课我们就学 习借助计算器来完成这个任务. 二、思考探究，获取新知 拿出计算器，熟悉计算器的用法. 下面我们介绍如何利用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值求 对应的锐角. 〔1〕求锐角的三角函数值. 例1求sin63°52′41″的值.(准确到0.0001) 解：先用如下方法将角度单位状态设定为“度〞： 125 ---- ---- SHIFTMODE(SETUP)3，显示D. 再按以下顺序依次按键: 显示结0为果 .7859012. 所以sin63°52′41″≈0.79. 注意：SETUP是键MODE的第二功能，启用第二功能，需先按SHIFT键. 例2求tan19°15′的值.(准确到0.0001) 解：在角度单位状态为“度〞的情况下〔屏幕显示D〕，按以下顺序依次 按键: 显示结0为果 .349215633. 所以tan19°15′≈0.3492. 〔2〕由锐角三角函数值求锐角. 例3tanx=0.7410，求锐角x.〔准确到1′) 解：在角度单位状态为“度〞的情况下〔屏幕显示D〕，按以下顺序依次 按键: ,显示结3为果 6.53844577. 再按键°′″，显示结果为36°32′18.4″. 126 ---- ---- 所以x≈36°32′. 三、运用新知，深化理解 1.用计算器求sin28°、cos27°、tan26°的值，它们的大小关系为______. 2.tanA=0.3249,那么∠A约______. 为 3.升国旗时，某同学站在离国旗20m处行注目礼，当国旗升至顶端时，该 同学视线的仰角为42°,假设双眼离地面1.6m，求旗杆AB的高度.(准确到0.01m) 第3题图第4题图 4.如图，一名患者体内某器官后面有一肿瘤，在承受放射性治疗时，为了 最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤，肿 瘤在皮下6.3cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求∠CBA的 度数. 【答案】1.sin28° 3.19.6m 4.32°44′7″ 四、师生互动，课堂小结 127 ---- ---- 1.本节学习的数学知识：利用计算器求锐角的三角函数值或锐角的度数. 2.本节学习的数学方法：培养学生一般化意识，认识特殊和一般都是事物 属性的一个方面. 3.求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情 况：先按三角函数键.再按数字键；或先输入数字后，再按三角函数键.因此使用 计算器时一定先要弄清楚输入顺序. 1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.3〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 24.4解直角三角形 第1课时解直角三角形 【知识与技能】 1.使学生理解解直角三角形的意义； 128 ---- ---- 2.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形. 【过程与方法】 让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进 一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力. 【情感态度】 通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培 养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透 “数学建模〞的思想. 【教学重点】 用直角三角形的三个关系式解直角三角形. 【教学难点】 用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题. 一、情境导入，初步认识 前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例 题来看看大家掌握得怎样. 例在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=3,求∠A的各个三角函数值. 二、思考探究，获取新知 129 ---- ---- 把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的 实际问题了. 例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米折断倒下，树顶在 离树根12米处，大树在折断之前高多少？ 例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？ 学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程. 通过上面的例子，你们知道“解直角三角形〞的含义吗？ 学生讨论得出“解直角三角形〞的含义：在直角三角形中，由元素求 出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 【教学说明】学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素〞的内涵，至于 “元素〞的定义不作深究. 问：上面例子中，假设要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出 来吗？ 学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余. 【探索新知】 130 ---- ---- 问：上面的例子是给了两条边.那么，如果给出一个角和一条边，能不能求 出其他元素呢？ 例2如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，在炮台 A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南 方，试求敌舰与两炮台的距离〔准确到1米〕. 解：在Rt△ABC中， ∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,BCAB=tan∠CAB, ∴BC=AB·tan∠CAB =2000×tan50°≈2384〔米〕. AB =cos50°, AC ∵ ∴AC= AB2000 cos50cos50 ≈3111〔米〕. 答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米. 问：AC还可以用哪种方法求？ 学生讨论得出各种解法，分析比拟，得出：使用题目中原有的条件，可使 结果更准确. 131 ---- ---- 问：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的 题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？〔几个学生展示〕 学生讨论分析，得出结论. 问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？ 学生交流讨论归纳：解直角三角形，只有下面两种情况： 〔1〕两条边； 〔2〕一条边和一个锐角. 【教学说明】使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中 2个元素〔至少有一个是边〕就可以求出其余的3个元素.〞 三、运用新知，深化理解 1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳 应固定在距离电线杆底部多远的地方？ 2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的 北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求 灯塔Q到B处的距离.〔画出图形后计算，准确到0.1海里〕 【答案】1.6米 2.9.4海里 四、师生互动，课堂小结 132 ---- ---- 1.“解直角三角形〞是求出直角三角形的所有元素. 2.解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即 两边或一边和一锐角. 3.解直角三角形的方法. 【教学说明】让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正. 1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 第2课时俯角和仰角的问题 【知识与技能】 1.理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题. 133 ---- ---- 2.培养学生将实际问题抽象成数学模型并进展解释与应用的能力. 【过程与方法】 通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力. 【情感态度】 在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，体验从实践中来到实 践中去的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣. 【教学重点】 理解仰角和俯角的概念. 【教学难点】 能解与直角三角形有关的实际问题. 一、情境导入，初步认识 如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米 的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α =52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了.〔准确到0.1米〕 你知道小明是怎样算出的吗？ 二、思考探究，获取新知 想要解决刚刚的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念. 134 ---- ---- 【教学说明】学生观察、分析、归纳仰角、俯角的概念. 现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的. 【分析】在Rt△CDE中，一角和一边，利用解直角三角形的知识即可 求出CE的长，从而求出CB的长. 解：在Rt△CDE中，∵CE=DE·tanα=AB·tanα=10×tan52°≈12.80，∴BC=BE+CE=DA+CE≈12.80+1.50=14.3〔米〕. 答：旗杆的高度约为14.3米. 例如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从点A测得点 D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建 筑物的高.〔准确到0.1m〕 解:过点D作DE⊥AB于点E，那么∠ACB=β=43°24′,∠ADE=35° 12′,DE=BC=32.6m. 在Rt△ABC中，∵tan∠ACB= AB , BC ∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83〔m〕. 在Rt△ADE中，∵tan∠ADE= AE , DE 135 ---- ---- ∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00〔m〕. ∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8〔m〕 答：两个建筑物的高分别约为30.8m，7.8m. 【教学说明】关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后 将实际问题转化为几何问题解决. 三、运用新知，深化理解 1.如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星到达A点时， 从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°， 1s后火箭到达B点，此时测得BR的距离是6.13km，仰角为 45.°，这个火箭从A到B的平均速度是多少？〔准确到0.01km/s〕 2.如下图，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯 角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的 俯角为30°.求小华的眼睛到地面的距离.〔结果准确到0.1米，参考数据：3≈ 1.73〕 【答案】1.0.28km/s2.1.4米 四、师生互动，课堂小结 136 ---- ---- 1.这节课你学到了什么？你有何体会？ 2.这节课你还存在什么问题？ 1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 第3课时坡度问题 【知识与技能】 1.使学生掌握测量中坡角、坡度的概念； 2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题. 【过程与方法】 137 ---- ---- 经历利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题的过程，进一步培 养分析问题、解决问题的能力. 【情感态度】 渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生应用数学的意识. 【教学重点】 解决有关坡度的实际问题. 【教学难点】 解决有关坡度的实际问题. 一、情境导入，初步认识 读一读 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图，坡面的铅垂高度〔h〕和水平长度〔l〕的比叫做坡面坡度〔或坡 比〕，记作i，即i= h .坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的 l h =tanα. l 夹角叫做坡角，记作α，有i= 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. 138 ---- ---- 二、思考探究，获取新知 例1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米， 路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽.〔准确到0.1米〕 例2学校校园内有一小山坡AB,经测量，坡角 ∠ABC=3°0,斜坡AB长为12米，为方便学生行走，决定开 挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3〔即CD与BC的长度之比〕.A、D两点处 于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD. 解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°, 那么易求AC=6米，BC=63米. 在Rt△BDC中，i= DC BC 1 . 3 易得DC= 1 BC23米. 3 139 ---- ---- ∴AD=AC-DC=〔6-23〕米. 三、运用新知，深化理解 1.一坡面的坡度i=1∶3,那么坡角α为〔〕 A.15°B.20° C.30°D.45° 2.彬彬沿坡度为1∶3的坡面向上走50米，那么他离地面的高度为〔〕A.253米B.50米 C.25米D.503米 3.某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜 坡的坡比是1∶3，那么此处大坝的坡角和高分_是别 _____米. 4.如图，一束光线照在坡度为1∶3的斜坡上，被斜坡上的 平面镜反射成与地面平行的光线，那么这束光线与坡面的夹角α是 ______. 5.如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜 坡前进400m到点D处，测得点A的仰角为60°，求AB的高度. 【答案】1.C2.C3.30°2034.30°5.〔2003+200〕m 140 ---- ---- 四、师生互动，课堂小结 1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题. 2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想. 1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 本章复习 【知识与技能】 1.通过复习，使学生系统地掌握本章知识，熟练应用三角函数进展计算. 141 ---- ---- 2.了解仰角、俯角、坡度等相关概念，掌握直角三角形的边与边、角与角、 边与角的关系，能应用这些关系解决相关问题. 【过程与方法】 应用锐角三角函数的有关知识解决实际问题，进一步培养学生应用知识解 决问题的能力. 【情感态度】 通过解直角三角形的复习，体会数学在解决实际问题中的作用，激发学生 学习数学的热情. 【教学重点】 解直角三角形及其应用. 【教学难点】 解直角三角形及其应用. 一、知识构造框图，整体把握 二、释疑解惑，加深理解 142 ---- ---- 1.直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中， 2 +b=c， 22 ∠A+∠B=90°,a sinA=cosB= a , c b , c cosA=sinB= a b tanA= ,tanB= . b a 2.互余两角三角函数间的关系： 如∠A+∠B=90°,sinA=cosB， cosA=sinB,tanAtan·B=1, 3.同角三角函数间的关系： 2 2 sinA+cosA=1. 4.特殊角的三角函数 5.解直角三角形的根本类型及其解法如下表： 143 ---- ---- 解直角三角形注意： 〔1〕一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法求 解. 〔2〕解直角三角形的方法可概括为“有弦〔斜边〕用弦〔正弦、余弦〕， 无弦有切〔正切〕，宁乘毋除，取原避中〞.其意指：当或求解中有斜边时， 可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时， 那么用乘法，不用除法；既可由数据又可用中间数据来求解时，那么取原始数 据，忌用中间数据. 6.应用题解题步骤 度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几 步： 第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距 离、水平等概念的意义. 144 ---- ---- 第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当 的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形〔包括正方形〕. 第三步，选择适宜的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错. 第四步，按照题目中数的准确度进展近似计算，并按照题目要求的精 确度确定答案及注明单位. 三、典例精析，复习新知 例1〔XX呼和浩特中考〕如图，A、B两地之 间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线 A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶.AC=10千米，∠ A=30°,∠B=45°，那么隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？ 〔结果保存根号〕 例2〔XXXX中考〕2021年3月，某煤矿发生瓦斯 爆炸，该地救援队立即赶赴现场救援，救援队利用生命探 测仪在地面A、B两处探测到C处有生命迹象.A、B两点相距4米，探测 145 ---- ---- 线与地面的夹角分别是30°和45°〔如图〕，试确定生命所在点C的深度.〔精 确到0.1米，参考数据：2≈1.414,3≈1.732〕 解：过点C作CD⊥AB于点D. C设D=xm.在Rt△CBD中， ∵∠CBD=45°,∠D=90°, ∴BD=CD=xm. 在Rt△ACD中，∵tan∠CAD CDx ADx 4 , ∵∠CAD=30°,∴ 3x . 3x4 解得x=23+2≈5.5. 答：生命所在点C的深度约是5.5m. 四、复习训练，稳固提高 1.〔XXXX中考〕在Rt△ABC中，∠C=90°,假设sinA=513，那c么osA的值 是〔〕 A.5/12B.8/13C.2/3D.12/13 2.〔XXXX中考〕如图，l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距相离 等，假设等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，那s么 inα的值是〔〕146 ---- ---- 第2题图第3题图 3.〔XXXX中考〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,D是AB的中点，过 D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6,sinA=3/5,那DE=_______. 么 4.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文 明，启智求真〞的宣传牌CD,小明在山坡的坡角A处测得 宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣 传牌顶点C的仰角为45°，山坡AB的坡度i=1∶3， AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度.〔测角器的高度忽略不计，结 果准确到0.1米，参考数据:2≈1.414,3≈1.732〕 【答案】1.D2.D3.15/44.2.7米 五、师生互动，课堂小结 本节课你学到了哪些知识？还有哪些知识没有掌？握 1.布置作业：从教材本章“复习题〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 147 ---- ---- 第25章随机事件的概率 25.1在重复试验中观察不确定现象 【知识与技能】 1.理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念. 2.会用频率估计随机事件在每次试验时发生的时机的大小. 【过程与方法】 通过本节的学习，会根据经历判断一个简单事件是属于必然事件、不可能 事件还是随机事件.懂得用试验的方法分析随机事件发生的时机的大小. 【情感态度】 感受数学与现实生活的联系，积极参与对数学问题的探讨，利用数学的思 维方式解决现实问题. 【教学重点】 1.理解随机事件的特点，会判断现实生活中哪些事件是随机事件; 2.通过试验的方法来判断随机事件发生时机的大小. 【教学难点】 判断现实生活中哪些事件是随机事件. 148 ---- ---- 一、情境导入，初步认识 1.播放一段天气预报，引出一句古话“天有不测风云〞.从这句话引申出世 界上有很多事情具有偶然性.人们不能事先判断这些事情是否会发生，但是随着 对事件发生可能性的深入研究，人们发现许多偶然事件的发生也是有规律可循 的.所以天气预报也只是对未来天气的预测，但并不是一定会如此. 【教学说明】激发学生的兴趣，让学生体会数学源于生活，生活中处处有 数学. 2.分析说明以下事件能否一定发生. (1)今天不上课. (2)明天要下雨. (3)煮熟的鸭子飞了. (4)投一枚硬币,正面向上. 【教学说明】教师提出问题，引起学生的注意和思考，让学生感知事件的 发生有多种可能. 二、思考探究，获取新知 探究1掷一枚正方体骰子，请考虑以下问题： (1)掷得的点有几种可能的结果？ 149 ---- ---- (2)掷得的点数会是1吗？ (3)掷得的点数小于7吗？ (4)掷得的点数会是0吗？ 【教学说明】教师提出问题，请学生动手操作试验，感知事件发生的多种 情况，经过操作试验思考问题，让学生分析阐述自己的观点，初步感知事件发 生的情况类别. 1.从上述探究中可知，有些事件发生与否是可以事先确定的，有些事件发 生与否是不能事先确定的. 【教学说明】教师引导学生归纳总结事件发生的三种情况，增强学生对事 件发生可能性的认识. 【归纳结论】我们称那些无需通过试验就能够预先确定它们在每次试验中 都一定会发生的事件为必然事件，称那些在每次试验中都一定不会发生的事件 为不可能事件，必然事件和不可能事件统称为确定事件，无法预先确定在一次 试验中会不会发生的事件称为随机事件. 2.请同学们举生活中的实例说明必然事件、不可能事件、随机事件. 【教学说明】学生结合定义列举，并能稍作阐述，教师讲评、归纳、鼓励. 3.做一做 准备三X大小一样的图片，把每X图片都对折，剪成大小一样的两X.将这 六X小图片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两X小图片. 150 ---- ---- 问题:(1)你认为抽出的两X小图片正好能成功拼成原图的时机大吗？ (2)猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？并通过试验验证你的猜测. 【教学说明】教师提出问题，引导学生试验，学生通过试验，观察结果， 思考并得出结论，体会随机事件发生的可能性大小. 探究2问题：随机事件是否发生，没人能够预测，这就叫“随机性〞，但 是在捉摸不透的背后，是否隐藏着某种规律？ 阅读教材128~129页图表. 思考：(1)通过以上图表，你发现有什么规律？发现当试验次数比拟多的时 候，“出现正面〞的频率在0.5附近波动. (2)如果换成其他试验，是否也能发现类似的规律？试验： 与你的同伴合作，做一做抛掷两枚硬币的游戏，全班同学每人各掷20次， 一位同学抛的时候，另一位同学协助记录试验结果，聚集其他同学的记录，完 成教材表25.1.3和图25.1.2. 思考：通过试验你发现 1.在试验中，“出现两个正面〞的频率稳定在______%附近，“出现一正 一反〞的频率稳定在______%附近. 2.如果将试验中的硬币换成瓶盖.你觉得频率也会逐渐稳定吗？如果是，那 么稳定的数值会和(1)中的一致吗？ 用试验验证你的猜测. 151 ---- ---- 【归纳结论】通过前面的试验，我们可以发现，虽然每次试验的结果是随 机、无法预测的，但随着试验次数的增加，事件发生的频率会稳定在某一个数 值附近，所以我们可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的时机的大小. 三、运用新知，深化理解 1.以下事件中，属必然事件的是() A.男生的身高一定超过女生 B.方程4x=0有实数解 2 C.明天数学考试小明一定得总值分 D.两个无理数相加一定是无理数 2.以下事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ 说说你的理由. (1)掷一枚骰子，6点朝上. (2)367人中至少有2人出生日期一样. (3)小明想用长度为10cm,20cm,30cm的小木条，首尾相接，做一个三角形. (4)小明买福利彩票，中500万奖金. 3.20X卡片分别写着1,2,3,⋯,20,从中任意抽取一X，是2的倍数的机 会有多大？你能预测吗？请用重复试验的方法检验你的猜. 测 152 ---- ---- 【教学说明】上述题目较为简单，可让学生自主完成，教师再选派几名学 生作出答复即可. 【答案】 1.B 2.(1)随机事件(2)必然事件(3)不可能事件(4)随机事件 3.1/2 四、师生互动，课堂小结 本堂课你学到了哪些有关随机事件的知识？你有哪些收获和体会？说说看. 【教学说明】在学生回忆与反思本堂课的学习过程中，进一步完善认知， 师生共同归纳总结. 1.布置作业，从教材相应练习和“习题25.1〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 153 ---- ---- 第25章随机事件的概率 25.1在重复试验中观察不确定现象 【知识与技能】 1.理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念. 2.会用频率估计随机事件在每次试验时发生的时机的大小. 【过程与方法】 通过本节的学习，会根据经历判断一个简单事件是属于必然事件、不可能 事件还是随机事件.懂得用试验的方法分析随机事件发生的时机的大小. 【情感态度】 感受数学与现实生活的联系，积极参与对数学问题的探讨，利用数学的思 维方式解决现实问题. 【教学重点】 1.理解随机事件的特点，会判断现实生活中哪些事件是随机事件; 2.通过试验的方法来判断随机事件发生时机的大小. 【教学难点】 判断现实生活中哪些事件是随机事件. 1 ---- ---- 一、情境导入，初步认识 1.播放一段天气预报，引出一句古话“天有不测风云〞.从这句话引申出世 界上有很多事情具有偶然性.人们不能事先判断这些事情是否会发生，但是随着 对事件发生可能性的深入研究，人们发现许多偶然事件的发生也是有规律可循 的.所以天气预报也只是对未来天气的预测，但并不是一定会如此. 【教学说明】激发学生的兴趣，让学生体会数学源于生活，生活中处处有 数学. 2.分析说明以下事件能否一定发生. (1)今天不上课. (2)明天要下雨. (3)煮熟的鸭子飞了. (4)投一枚硬币,正面向上. 【教学说明】教师提出问题，引起学生的注意和思考，让学生感知事件的 发生有多种可能. 二、思考探究，获取新知 探究1掷一枚正方体骰子，请考虑以下问题： (1)掷得的点有几种可能的结果？ 155 ---- ---- (2)掷得的点数会是1吗？ (3)掷得的点数小于7吗？ (4)掷得的点数会是0吗？ 【教学说明】教师提出问题，请学生动手操作试验，感知事件发生的多种 情况，经过操作试验思考问题，让学生分析阐述自己的观点，初步感知事件发 生的情况类别. 1.从上述探究中可知，有些事件发生与否是可以事先确定的，有些事件发 生与否是不能事先确定的. 【教学说明】教师引导学生归纳总结事件发生的三种情况，增强学生对事 件发生可能性的认识. 【归纳结论】我们称那些无需通过试验就能够预先确定它们在每次试验中 都一定会发生的事件为必然事件，称那些在每次试验中都一定不会发生的事件 为不可能事件，必然事件和不可能事件统称为确定事件，无法预先确定在一次 试验中会不会发生的事件称为随机事件. 2.请同学们举生活中的实例说明必然事件、不可能事件、随机事件. 【教学说明】学生结合定义列举，并能稍作阐述，教师讲评、归纳、鼓励. 3.做一做 准备三X大小一样的图片，把每X图片都对折，剪成大小一样的两X.将这 六X小图片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两X小图片. 156 ---- ---- 问题:(1)你认为抽出的两X小图片正好能成功拼成原图的时机大吗？ (2)猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？并通过试验验证你的猜测. 【教学说明】教师提出问题，引导学生试验，学生通过试验，观察结果， 思考并得出结论，体会随机事件发生的可能性大小. 探究2问题：随机事件是否发生，没人能够预测，这就叫“随机性〞，但 是在捉摸不透的背后，是否隐藏着某种规律？ 阅读教材128~129页图表. 思考：(1)通过以上图表，你发现有什么规律？发现当试验次数比拟多的时 候，“出现正面〞的频率在0.5附近波动. (2)如果换成其他试验，是否也能发现类似的规律？试验： 与你的同伴合作，做一做抛掷两枚硬币的游戏，全班同学每人各掷20次， 一位同学抛的时候，另一位同学协助记录试验结果，聚集其他同学的记录，完 成教材表25.1.3和图25.1.2. 思考：通过试验你发现 1.在试验中，“出现两个正面〞的频率稳定在______%附近，“出现一正 一反〞的频率稳定在______%附近. 2.如果将试验中的硬币换成瓶盖.你觉得频率也会逐渐稳定吗？如果是，那 么稳定的数值会和(1)中的一致吗？ 用试验验证你的猜测. 157 ---- ---- 【归纳结论】通过前面的试验，我们可以发现，虽然每次试验的结果是随 机、无法预测的，但随着试验次数的增加，事件发生的频率会稳定在某一个数 值附近，所以我们可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的时机的大小. 三、运用新知，深化理解 1.以下事件中，属必然事件的是() A.男生的身高一定超过女生 B.方程4x=0有实数解 2 C.明天数学考试小明一定得总值分 D.两个无理数相加一定是无理数 2.以下事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ 说说你的理由. (1)掷一枚骰子，6点朝上. (2)367人中至少有2人出生日期一样. (3)小明想用长度为10cm,20cm,30cm的小木条，首尾相接，做一个三角形. (4)小明买福利彩票，中500万奖金. 3.20X卡片分别写着1,2,3,⋯,20,从中任意抽取一X，是2的倍数的机 会有多大？你能预测吗？请用重复试验的方法检验你的猜. 测 158 ---- ---- 【教学说明】上述题目较为简单，可让学生自主完成，教师再选派几名学 生作出答复即可. 【答案】 1.B 2.(1)随机事件(2)必然事件(3)不可能事件(4)随机事件 3.1/2 四、师生互动，课堂小结 本堂课你学到了哪些有关随机事件的知识？你有哪些收获和体会？说说看. 【教学说明】在学生回忆与反思本堂课的学习过程中，进一步完善认知， 师生共同归纳总结. 1.布置作业，从教材相应练习和“习题25.1〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 159 ---- ---- 2.频率与概率 【知识与技能】 1.了解运用列表法和树状图法理论分析随机事件的概率. 2.理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不 相等时，利用统计频率的方法估计概率. 【过程与方法】 经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验 时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发 生的概率. 【情感态度】 通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题，培养使用数学的 良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值. 【教学重点】 频率与概率的理解和应用. 【教学难点】 利用频率估计概率的理解. 160 ---- ---- 一、情境导入,初步认识 问题:要想知道一个鱼缸里有12条鱼，只要数一数就可以了，但要估计一 个鱼塘里有多少条鱼，该怎么办？ 【教学说明】先前我们学习了用分析的方法求随机事件的概率，那么这里 的问题情境中，很容易让学生想到这个事件的结果不能分析出来，而且每种结 果出现的可能性也不一定是一样的，从而引发学生的求知：对这类事件的概率 该怎样求解呢？引入课题. 二、思考探究，获取新知 问题1：怎样运用理论分析的方法求抛掷两枚硬币时出现两个正面的概率 呢？ 【分析】 列表法 树状图法 思考：理论分析与重复试验得到的结果是否是一致的？ 问题2：见课本P142问题3 学生用自制的转盘做试验，并完成课本P143表25.2.4和图25.2.3. 161 ---- ---- 拓展延伸：课本P143“思考〞 【教学说明】让学生通过试验的方法来预测随机事件的概率. 问：你能用理论分析的方法来预测两个转盘指针停在蓝色区域的概率？ 吗 归纳：P(小转盘指针停在蓝色区域)= 1 4 P(大转盘指针停在蓝色区域)= 1 4 思考1：从重复试验结果中你得出了哪些结论？ 对以上这些问题，既可以通过分析用计算的方法预测概率，也可以通过重 复试验用频率来估计概率. 思考2：是不是所有的问题都可以这样？呢 问题3：将一枚图钉随意向上抛起，求图钉落定后钉尖触地的概率. 【分析】由于图钉的形状比拟特殊，我们无法用分析的方法预测P(钉尖朝 上)与P(钉尖触地)的值，因此只能靠重复试验来帮. 助 【教学说明】让学生分成几个小组，每小组10人，每人试验50次，每个 小组数据累加起来，并作好每个小组的实验记录. 归纳：通过试验发现，当试验进720次后，所得的频率值就到展在46%上 下浮动，我们可以取46%作为这个事件发生概率的估计值，即P(钉尖触地)≈ 46%. 三、运用新知，深化理解 162 ---- ---- 1.含有4种花色的36X扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一X记下花色后再 原样放回，洗匀牌后再抽.不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25%， 那么其中扑克牌花色是红心的大约有______X. 2.一个口袋中有12个白球和假设干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下， 小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个 球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程 5次，得到的白球数与10的比值分别为：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2.根据上述数 据，小亮可估计口袋中大约有______个黑球. 3.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只， 某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放 回袋中，不断重复.下表是活动进展中的一组统计数据： (1)请估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近______; (2)假设你去摸一次，你摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是______. (3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只. 【答案】1.92.48 3.(1)0.6(2)0.60.4(3)8,12 【教学说明】可让学生自主完成，分小组展示，教师点评. 163 ---- ---- 四、师生互动，课堂小结 1.你知道什么时候用频率来估计概率吗？ 2.你会用频率估计概率来解决实际问题吗？ 【教学说明】教师先提出上述问题，让学生相互交流，再选派几名同学进 行回忆总结，师生再共同完善. 1.布置作业：从教材相应练习和“习题25.2〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 3.列举所有时机均等的结果 【知识与技能】 1 ---- ---- 理解并掌握列表法和树状图法求随机事件的概率，并利用它们解决问题， 正确认识在什么条件下使用列表法，什么条件下使用树状图法. 【过程与方法】 经历用列表法或树状图法求概率的学习，使学生明白在不同情境中分析事 件发生的多种可能性，计算其发生的概率，解决实际问题，培养学生分析问题 和解决问题的能力. 【情感态度】 通过求概率的数学活动，体验不同的数学问题采用不同的数学方法，但各 种方法之间存在一定的内在联系，体会数学在现实生活中的应用价值，培养缜 密的思维习惯和良好的学习习惯. 【教学重点】 会用列表法和树状图法求随机事件的概率. 区分什么时候用列表法，什么时候用树状图法求概率. 【教学难点】 列表法是如何列表，树状图的画法. 列表法和树状图的选取方法. 一、情境导入,初步认识 165 ---- ---- 播放视频?田忌赛马?，提出问题，引入新课. 齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一 次，共赛三次，以胜的次数多者为赢.田忌的马比齐王的马略逊色,即：田忌 的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马;田忌的中马不敌齐王的中马，但胜 过齐王的下马;田忌的下马不及齐王的下马.田忌屡败后，承受了孙膑的建议， 结果两胜一负，赢了比赛. (1)你知道孙膑给的是怎样的建议吗？ (2)假设在不知道齐王出马顺序的情况下，田忌能赢的概率是多少呢？ 【教学说明】情境激趣，在最短时间内激起学生的求知欲和探索欲. 二、思考探究，获取新知 1.树形图求概率 课本149页例4 【分析】对于第1次抛掷，可能出现的结果是正面或反面;对于第2、3次 抛掷来说也是这样.而且每次硬币出现正面或反面的概率都相等，由此，我们可 以画出树状图. 【教学说明】教师引导学生画树状图，使学生动手体会如何画树状图，指 导学生规X地应用树状图法解决概率问题. 由例4总结得：树状图从上到下，列举了所有时机均等的结果，可以帮助 我们分析问题，而且可以防止重复和遗漏，既直观又条理清楚. 166 ---- ---- 思考：有的同学认为：抛掷三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现四种结 果： (1)全是正面(2)两正一反(3)两反一正(4)全是反面 因此这四个事件出现的概率相等，你同意这种说法吗？为什么？ 答：不同意.因为由树状图可知在8种等可能结果中，全是正面的只有一种， 两正一反的有3种，两反一正的有3种，全是反面的只有1种. 应用：课本150页问题5 【分析】把两个白球分别记为白1和白2，画出树状图，从中可以看出， 一共有9种等可能结果，在“摸出两红〞、“摸出两白〞、“摸出一红一白〞 这三个事件中，“摸出两红〞的概率最小，为1/9，“摸出两白〞和“摸出一 红一白〞的概率相等，都是4/9. 【教学说明】教师引导学生画出树状图，注意第一次摸出1个球，放回搅 匀这一条件；注意分析“放回〞与“不放回〞的区别. 2.列表法求概率 课本151页问题6 【分析】这一问题可用树状图法，但不如列表的结果简明. 【教学说明】 引导学生如何列表，指导学生体会列表法对列举所有可能的结果所起的作 用，并比拟它与树状图法的优劣. 167 ---- ---- 应用：课本152页问题7. 分析：如图，画出树状图： 试一试： 请用列表法分析问题7. 思考：两种方法结论是否一致？ 答：一致. 【教学说明】教师引导学生应用树状图法求概率，详细讲解树状图各点的 操作方法,学生结合列表法，理解分析，体会树状图的用法，体验树状图的优势. 三、运用新知，深化理解 1.在一个不透明的盒子里装有用“贝贝(B)〞、“晶晶(J)〞、“欢欢(H)〞、 “迎迎(Y)〞和“妮妮(N)〞五个福娃的图片制成的五X外形完全一样的卡片.小 华设计了四种卡片获奖的方案(每个方案都是前后共抽两次，每次从盒子里抽取 一X卡片). ①第一次抽取后放黑盒子并混合均匀，先抽到“B〞，后抽到“J〞; 168 ---- ---- ②第二次抽取后放黑盒子并混合均匀，抽到“B〞和“J〞(不分先后); ③第一次抽取后不再放回盒子，先抽到“B〞，后抽到“J〞; ④第一次抽取后不再放回盒子，抽到“B〞和“J〞(不分先后); 问：(1)上述四种方案，抽中卡片的概率依次是______，______，______， ______. (2)如果让你选择其中的一种方案，你会选择哪种方案？为什么？ 【教学说明】 这是只涉及两个步骤的试验，一般情况下用列表法求解，但第③、④种方 案中涉及到“不放回〞的问题，我们选择树状图更好,学生交流合作，教师指导 分析列表或画树状图. 【答案】1.(1)1/252/251/201/10; (2)选择方案④，因为方案④获奖的可能性比其他几种方案获奖的可能性大. 四、师生互动，课堂小结 1.一次试验中可能出现的结果是有限多个，各种结果发生的可能性是相等 的.通常可用列表法和树状图法求得各种可能结果. 2.注意第二次放回与不放回的区别. 3.一次实验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果， 通常采用树状图法. 169 ---- ---- 1.布置作业：从教材相应练习和“习题25.2〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 本章复习 【知识与技能】 掌握本章重要知识点，会求事件的概率，能用概率的知识解决实际问题. 【过程与方法】 通过梳理本章知识，回忆解决生活中的概率问题，培养学生的分析问题和 解决问题的能力. 【情感态度】 在用本章知识解决具体问题的过程中，进一步增强数学的应用意识，感受 数学的应用价值，激发学习兴趣. 170 ---- ---- 【教学重点】 本章知识构造梳理及应用. 【教学难点】 利用概率知识解决实际问题. 一、知识框图，整体把握 二、释疑解感，加深理解 1.通过实例，体会随机事件与确定事件的意义，并能估计随机事件发生可 能性的大小. 2.结合具体情境了解概率的意义，会用列举法(列表和树状图法)求一些随 机事件发生的概率.P(A)=m/n(n是事件发生的所有的结果，m是满足条件的结 果). 3.对于事件发生的结果不是有限个，或每种可能的结果发生的可能性不同 的事件，我们可以通过大量重复试验时的频率估计事件发生的概率. 三、典例精析，复习新知 171 ---- ---- 例1一X圆桌旁有四个座位，A先坐在如图的座位上，B、C、D三人随机 坐在其他三个座位上，求A和B不相邻的概率. 分析:按题意，可列举出各种可能的结果，再依此计算A与B 不相邻的概率. 解:按顺时针方向依次对B、C、D进展排位，如下： 三个座位被B、C、D三人随机坐的可能性共有6种，由图可知： P(A与B不相邻)=2/6=1/3. 例2有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等份、3等份， 并且每份内均标有数字，如下图： 王扬和X菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规那么如下： ①分别转动转盘A与B; ②两个转盘停顿后，将两个指针所指的数字相加(如果指针恰好停在等分线 上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止).假设和为0，那么王扬获胜;假设和不 为0，那么X菲获胜. 问：(1)用树形图法求王扬获胜的概率. 172 ---- ---- (2)你认为这个游戏公平吗？说明理由. 解:(1)由题意可画树形图为： 这个游戏有12种等可能性的结果，其中和为0的有三种. ∴王扬获胜的概率为:3/12=1/4. (2)这个游戏不公平.∵王扬获胜的概率为1/4，X菲获胜的概率为3/4，∴游 戏对双方不公平. 例3一个口袋中放有20个球，其中红球6个，白球和黑球各假设干个，每个 球除了颜色外没有任何区别. 〔1〕小王通过大量反复试验(每次取一个球，放回搅匀后再取第二个)发现， 取出黑球的频率稳定在1/4左右，请你估计袋中黑球的个数. (2)假设小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的 球中再任意取一个球，取出红球的概率是多少？ 解：〔1〕设黑球的个数为x个，那么x/20=1/4,解得：x=5. 所以袋中黑球的个数为5个. 〔2〕小王取出的第一个球是白球，剩下19个球中有6个红球. ∴P〔红球〕=6/19. 173 ---- ---- 【教学说明】师生共同回忆本章主要知识点，教师适时给予评讲，加深学 生理解.对于例题既可学生自主完成，也可合作交流获得答案.教师适当点拨，达 到稳固所学知识的目的. 四、复习训练，稳固提高 1.“赵爽弦图〞是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形 拼成的大正方形，如图，是一“赵爽弦图〞飞镖板，其直角三角形 两直角边分别是2和4，小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖(假设投 掷的飞镖均扎在飞镖板上)，那么投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域(含边线)的 概率是〔〕 A.1/2B.1/4 C.1/5D.1/10 2.一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜 色外其余都一样. (1)求摸出1个球是白球的概率. (2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球.求两次摸出的 球恰好颜色不同的概率(要求画树状图或列表). (3)现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为57. 求n的值. 174 ---- ---- 2.〔1〕1/3 〔2〕画树状图如下： 或列表如下： ∴P=4/9. (3)由题意得1n5 3n7 , ∴n=4,经检验，n=4是所列方程的根，且符合题意. 五、师生互动，课堂小结 本堂课你对本章内容有一个全面的了解与掌握吗？你有哪些困惑与疑问？ 说说看. 175 ---- ---- 1.布置作业：从教材本章“复习题〞中选取. 2.完成练习册中本课时练习. 176 ---- 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
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