2020届高三一轮复习专题：函数的零点问题及相关题型

对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数的零点与方程的根的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． (3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)满足：⇔在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；⇔f(a)·f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c⇔(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 零点区间的判断题型结构特征：判别零点区间

1.函数f（x）=ex + x - 2 的零点所在的一个区间是（ ） A. （-2,-1） B. （-1,0） C.（0,1） D.（1,2） 【答案】C

2.若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)两个零点分别位于区间

A.(a,b)和(b,c)内 B.(,a)和(a,b)内

C.(b,c)和(c,)内 D.(,a)和(c,)内 【答案】A

零点个数的判断题型结构特征：判别零点在区间上的个数问题 3.函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )

A．0 【答案】B

4.函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为( )

B．1

C．2

D．3

A. 1 B. 2 C.3 D.4 【答案】A

x＋1，x≤0，

5.已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是( )

log2x，x>0，

A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B

6.已知函数f(x)是R上的偶函数，且满足f(5＋x)＝f(5－x)，在[0，5]上有且只有f(1)＝0，则f(x)在[－2 015，2 015]上的零点个数为( )

A．808 【答案】C

零点存在性确定的参数范围问题题型结构特征：已知零点的个数存在性确定参数范围 2

7.函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )

x

A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2) 【答案】C

8.[2015湖南文14]若函数f（x）=| 2x-2 | - b有两个零点，则实数b的取值范围是___ 【答案】02x－a，x≤0

9.已知函数f(x)＝2有三个不同的零点，则实数a的取值范围是____

x－3ax＋a，x>0

B．806 C．805 D．804

【答案】

4a1 910已知函数f(x)满足f(x1)f(x)，且f(x)是偶函数，当x[0,1]时，f(x)x2，若在区间[1,3]内，函数

g(x)f(x)kxk有三个零点，则实数k的取值范围是（ ）

11(0,) B．(0,]

24A. 1111C．(,) D.[,]43 42【答案】C

|x|，x≤m，

11.已知函数f(x)＝2其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同

x－2mx＋4m，x＞m，

的根，求m的取值范围．

解析：作出f(x)的图象如图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，⇔要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3.

ex，x0，g(x)f(x)xa．12.已知函数f(x)若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）

lnx，x0，A．[–1，0） 【答案】：C

解答：⇔g(x)f(x)xa存在2个零点，即yf(x)与yxa有两个交点，f(x)的图象如下：

B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）

要使得yxa与f(x)有两个交点，则有a1即a1，⇔选C.

零点分布问题题型结构特征：根据零点的分布区域进行零点相关运算或不等关系的判断

1(x2).若关于x的方程f2(x)af(x)b0有三个不同的实根x1,x2,x3，f(x)x21,(x2)13.已知定义域为R的函数

求x12x22x32的值为（ ）

A. 10 B .12 C. 14 D.16 【答案】C

二次函数零点区间讨论法题型结构特征：已知二次函数的零点存在区间求参数范围

14已知a是实数，函数fx2ax22x3a，如果函数yfx在区间1,1上有零点，求a的取值范围

【答案】a>1或a35 215已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围 【答案】（1）（，5611）（2）（，12） 222|x|,x2f(x)16已知函数,函数g(x)3f(2x),则函数y2(x2)，x2f(x)g(x)的零点的个数为

A. 2 B. 3 C.4 D.5 【答案】A

17. 已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．

解析：法一：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1＜x2)，则(x1－1)(x2－1)＜0，⇔x1x2

－(x1＋x2)＋1＜0，由根与系数的关系，

得(a－2)＋(a2－1)＋1＜0， 即a2＋a－2＜0， ⇔－2＜a＜1.

18已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c⇔R)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0，1)内，则实数b的取值范围为____

【答案】,15 5719.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b⇔R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)－c＜0的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为____ 【答案】9

20.已知二次函数f(x)＝x2－ax＋3 - a的两零点均为正数的实数，则实数a的取值范围是_____ 【答案】2x＋3，x>a，21.已知函数f(x)＝2函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是

x＋6x＋3，x≤a，

( )

A．[－1,3) C．[－3,3) 【答案】A

B．[－3，－1] D．[－1,1)



22.已知函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f(x)＝

1＋14

x

5πsinx42

0≤x≤1x>1

，若关于x的方程

5[f(x)]2－(5a＋6)f(x)＋6a＝0(a⇔R)有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是( )

5

A．(0,1)⇔4



5

C．(0,1]⇔4



5

B．[0,1]⇔4



5

1，⇔{0} D.4



解析：作出f(x)＝

1＋14

x

5π

sinx0≤x≤142

x>1

的大致图象如图所示，又函数y＝f(x)是定义域为R的偶函数，

6

且关于x的方程5[f(x)]2－(5a＋6)f(x)＋6a＝0(a⇔R)有且仅有6个不同的实数根，等价于f(x)＝和f(x)＝a(a⇔R)

56

有且仅有6个不同的实数根．由图可知方程f(x)＝有4个不同的实数根，所以必须且只需方程f(x)＝a(a⇔R)

5

5

有且仅有2个不同的实数根，由图可知04

【答案】：C

23.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________． 解析：若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则方程2a＝|x－a|－1只有一解，即方程|x1－a|＝2a＋1只有一解，故2a＋1＝0，所以a＝－.

21

【答案】：－

2

1|x－1|

24.函数f(x)＝2＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．

1|x－1|解析：问题可转化为y＝2与y＝－2cos πx在－4≤x≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x＝1对称，所以x＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10. 【答案】：10

1－|x＋1|，x＜125.已知函数f(x)＝2

x－4x＋2，x≥1

，则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为________．

1|x|－11|x|－1的图象，由图象可知共有2个交点，解析：由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0得，f(x)＝，作出y＝f(x)，y＝22故函数的零点个数为2.

【答案】：2

2x－1x≥226.已知函数f(x)＝

21≤x＜2

，若方程f(x)＝ax＋1恰有一个解，则实数a的取值范围是________．

1

解析：如图，当直线y＝ax＋1过点B(2,2)时，a＝，满足方程有两个解；当直线y＝ax＋1与f(x)＝2x－1

2－1＋5

(x≥2)的图象相切时，a＝，满足方程有两个解；当直线y＝ax＋1过点A(1,2)时，a＝1，满足方程恰

21－1＋50，⇔有一个解．故实数a的取值范围为. 22，1

1－1＋5

0，⇔【答案】： 22，1

27.对于函数f(x)和g(x)，设α⇔{x|f(x)＝0}，β⇔{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex1＋x－2与g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是( )

7

2， B．3D．[2,3]

－

－

－

A．[2,4] 7

C.3，3

解析：函数f(x)＝ex1＋x－2的零点为x＝1，设g(x)＝x2－ax－a＋3的零点为b，若函数f(x)＝ex1＋x－2与

g(x)＝x2－ax－a＋3互为“零点相邻函数”，则|1－b|≤1，⇔0≤b≤2.由于g(x)＝x2－ax－a＋3的图象过点(－1,4)，aa2－a·a－a＋3≤0，解得a≥2或a≤－6(舍去)，易知g(0)≥0，即⇔要使其零点在区间[0,2]上，则g≤0，即222a≤3，此时2≤a≤3，满足题意． 【答案】D

1

x0＋＜33，则这样的零点有( ) 28.设x0为函数f(x)＝sin πx的零点，且满足|x0|＋f2

A．61个 C．65个

B．63个 D．67个

11

x0＋＝sin πk＋解析：依题意，由f(x0)＝sin πx0＝0得，πx0＝kπ，k⇔Z，即x0＝k，k⇔Z.当k是奇数时，f22π1

kπ＋＝－1，|x0|＋fx0＋＝|k|－1＜33，|k|＜34，满足这样条件的奇数k共有34个；＝sin当k是偶数时，2211π1

x0＋＝sin πk＋＝sinkπ＋＝1，|x0|＋fx0＋＝|k|＋1＜33，|k|＜32，满足这样条件的偶数k共有31f2222个．综上所述，满足题意的零点共有34＋31＝65(个)，选C. 【答案】C

x，0≤x<129.设函数f(x)＝1，设函数g(x)＝f(x)－4mx－m，其中m≠0.若函数g(x)在区间(－1,1)上

－1，－11

A．m≥或m＝－1

41

C．m≥或m＝－1

5【答案】C

30.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，则函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)的零点个数是( )

A．0

B．1 1B．m≥ 41D．m≥

5

C．2 D．3

1－x1

解析：当x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，f′(x)＝－1＝，所以x⇔(0,1)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；x⇔(1，

xx＋∞)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减．因此，当x>0时，f(x)max＝f(1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f(x)是定义在R上的奇函数作出函数y＝f(x)与y＝ex的大致图象，如图，观察到函数y＝f(x)与y＝ex的图象有两个交点，所以函数g(x)＝f(x)－ex(e为自然对数的底数)有2个零点．故选C.

【答案】C

31.已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x有两个零点，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，1) 1＋e

C.－∞，2

e

B．(0,1) 1＋e

D.0，2

e

1－ln xln xln x

解析：依题意，关于x的方程ax－1＝有两个不等的正根．记g(x)＝，则g′(x)＝，当0xxx21

g′(x)>0，g(x)在区间(0，e)上单调递增；当x>e时，g′(x)<0，g(x)在区间(e，＋∞)上单调递减，且g(e)＝，当

e

a＝1－xln x

0ax－1＝x

1

02

0

1

0

0

10

0

0

，由此解得

x0＝1，a1＝1.在坐标平面内画出直线y＝ax－1(该直线过点(0，－1)、斜率为a)与函数g(x)的大致图象，结合图象可知，要使直线y＝ax－1与函数g(x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是(0,1)，选B. 【答案】B

x21212x－1

32.已知f′(x)为函数f(x)的导函数，且f(x)＝x－f(0)x＋f′(1)e，g(x)＝f(x)－x＋x，若方程ga－x－x＝0

22

在(0，＋∞)上有且仅有一个根，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，0)⇔{1} C．(0,1]

1－－－－－

解析：⇔f(x)＝x2－f(0)x＋f′(1)ex1，⇔f(0)＝f′(1)e1，f′(x)＝x－f(0)＋f′(1)ex1，⇔f′(1)＝1－f′(1)e1＋f′(1)e11，

2x212121212xxx

⇔f′(1)＝e，⇔f(0)＝f′(1)e＝1，⇔f(x)＝x－x＋e，⇔g(x)＝f(x)－x＋x＝x－x＋e－x＋x＝e，⇔ga－x2222

－1

B．(－∞，－1] D．[1，＋∞)

xxxx

－x＝x＝g(ln x)，⇔－x＝ln x，⇔＝x＋ln x．当a>0时，只有y＝(x>0)和y＝x＋ln x的－x＝0，⇔gaaaa

2

2

2

2

图象相切时，满足题意，作出图象如图所示，由图象可知，a＝1，当a<0时，显然满足题意，⇔a＝1或a<0，故选A. 【答案】A

33.已知x1，x2是函数f(x)＝ex－|ln x|的两个零点，则( )

1

A.＜x1x2＜1 e

C．1＜x1x2＜10

－

－

B．1＜x1x2＜e D．e＜x1x2＜10

解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝ex与y＝|ln x|的图象(图略)，结合图象不难看出，在x1，x2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，＋∞)．不妨设x1⇔(0,1)，x2⇔(1，＋∞)，则有e－x1＝|ln x1|＝－ln x1⇔(e

－1,

1)，e－x2＝|ln x2|＝ln x2⇔(0，e1)，e－x2－e－x1＝ln x2＋ln x1＝ln(x1x2)⇔(－1，0)，于是有e1＜x1x2＜e0，

－－

1

即＜x1x2＜1，故选A. e【答案】A

1，x＞0，

34.已知符号函数sgn(x)＝0，x＝0，

－1，x＜0，

sgn1－x＋1sgnx－1＋1

设函数f(x)＝·f1(x)＋·f2(x)，其中f1(x)

22

＝x2＋1，f2(x)＝－2x＋4.若关于x的方程[f(x)]2－3f(x)＋m＝0恒好有6个根，则实数m的取值范围是( )

9

A．(－∞，)

49

C．[2，]

4

解析：⇔若x＞1，则f(x)＝

9

B．(－∞，]

49

D．(2，)

4

－1＋11＋10＋10＋1

·f1(x)＋·f2(x)＝－2x＋4.⇔若x＝1，则f(x)＝·f1(x)＋·f(x)＝22222

x2＋1，x＜1，x2－2x＋51＋1－1＋12

＝2.⇔若x＜1，则f(x)＝·f(x)＋·f2(x)＝x＋1.综上，f(x)＝2，x＝1，2212

－2x＋4，x＞1，

作出其图

象如图所示．若要使方程[f(x)]2－3f(x)＋m＝0恒好有6个根，令t＝f(x)，则关于t的方程t2－3t＋m＝0需有9

两个不相等的实数根，故Δ＝9－4m＞0，得m＜.数形结合知1＜f(x)＜2，所以函数g(t)＝t2－3t＋m在(1,2)

4

g1＞0，3

上有两个不同的零点，又函数g(t)图象的对称轴为t＝⇔(1,2)，所以需

2g2＞0，1－3＋m＞0，9

得2＜m＜，故选D.

422－3×2＋m＞0，

即

【答案】D

x

2＋1，x＜0

35.已知函数f(x)＝12.方程[f(x)]2－af(x)＋b＝

|2x－2x＋1|，x≥06个不同的实数解，则3a＋b的取值范围是( )

A．[6,11] C．(6,11)

B．[3,11] D．(3,11)

0(b≠0)有

解析：首先作出函数f(x)的图象(如图)，对于方程[f(x)]2－af(x)＋b＝0，可令f(x)＝t，那么方程根的个数就是f(x)＝t1与f(x)＝t2的根的个数之和，结合图象可知，要使总共有6个根，需要一个方程有4个根，另一个方程有2个根，从而可知关于t的方程t2－at＋b＝0有2个根，分别位于区间(0,1)与(1,2)内，进一步由根的分b＞0

布得出约束条件1－a＋b＜0

4－2a＋b＞0【答案】D

，画出可行域(图略)，计算出目标函数z＝3a＋b的取值范围为(3,11)．

36.已知函数f(x)＝的取值范围是________．

若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k

解析：作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示：

由图可知k⇔(0,1]． 【答案】(0,1]

2ln x－x＋2x，x＞0，

37.函数f(x)＝

4x＋1，x≤0

的零点个数是________．

解析：当x＞0时，令ln x－x2＋2x＝0，得ln x＝x2－2x，作y＝ln x和y＝x2－2x图象，

显然有两个交点． 当x≤0时，令4x＋1＝0， 1

⇔x＝－.

4

综上共有3个零点． 【答案】3

2

38.已知函数f(x)＝|x－a|－＋a，a⇔R，若方程f(x)＝1有且只有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是

x________．

222

解析：令g(x)＝|x－a|＋a，h(x)＝＋1，作出函数h(x)＝＋1的图象，易知直线y＝x与函数h(x)＝＋1的

xxx图象的两交点坐标为(－1，－1)和(2,2)，又函数g(x)＝|x－a|＋a的图象是由函数y＝|x|的图象的顶点在直线y2

＝x上移动得到的，且当函数h(x)＝＋1的图象和g(x)＝|x－a|＋a的图象相切时，切点为(2，1＋2)，(－

x1＋22

2，1－2)，切线方程为y＝－x＋22＋1或y＝－x－22＋1，又两切线与y＝x的交点分别为(，

21＋221－221－221－221＋221±22

)，(，)，故a＝，结合图象可知a的取值范围是(－∞，)⇔(，2)． 2222221－221＋22【答案】(－∞，)⇔(，2)

22

b－2

39.若方程x2＋ax＋2b＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则的取值范围是__________．

a－1解析：令f(x)＝x2＋ax＋2b，⇔方程x2＋ax＋2b＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，

f0>0，

⇔f1<0，f2>0，1【答案】4，1

40.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )

1

A. 47C．－

8

1B． 83D．－

8

b>0，

⇔a＋2b<－1，a＋b>－2.

1b－2

根据约束条件作出可行域(图略)，可知<<1.

4a－1

解析：令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x27

＋1＝x－λ只有一个根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故选C.

8【答案】：C

41.已知函数f(x)＝e|x|＋|x|.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．

解析：易知函数f(x)＝e|x|＋|x|为偶函数，故只需求函数f(x)在(0，＋∞)上的图象与直线y＝k有唯一交点时k的取值范围．当x⇔(0，＋∞)时，f(x)＝ex＋x，此时f′(x)＝ex＋1＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而当x＞0时，f(x)＝ex＋x＞f(0)＝1，所以要使函数f(x)在(0，＋∞)上的图象与直线y＝k有唯一交点，只需k＞1，故所求实数k的取值范围是(1，＋∞)． 【答案】(1，＋∞)

1

42.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若x1＜f(x1)＜x2，则关于x方程[f(x)]2－2af(x)－b

3＝0的实数根的个数不可能为( )

A．2 C．4

B．3 D．5

解析：由题意，得f′(x)＝－x2＋2ax＋b.因为x1，x2是函数f(x)的两个极值点，所以x1，x2是方程－x2＋2ax＋b＝0的两个实数根，所以由[f(x)]2－2af(x)－b＝0，可得f(x)＝x1或f(x)＝x2.由题意，知函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，又x1＜f(x1)＜x2，依题意作出简图，如图所示，结合图形可知，方程[f(x)]2－2af(x)－b＝0的实根个数不可能为5，故选D.

【答案】D

43.设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )

A．g(a)＜0＜f(b) C．0＜g(a)＜f(b) 【答案】A

x4,x44.已知λ⇔R，函数f(x)=2，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰

x4x3,xB．f(b)＜0＜g(a) D．f(b)＜g(a)＜0

有2个零点，则λ的取值范围是_________．

【答案】13或4.

x22axa,x0,45.已知a0，函数f(x)2若关于x的方程f(x)ax恰有2个互异的实数解，则

x2ax2a,x0.a的取值范围是 .

【答案】4,8

46.函数fx2lnx的图像与函数gxx4x5的图像的交点个数为

2A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B