摘要：勾股定理是几何学中一颗光彩熠熠的明珠，充满着魅力。它被世人称为“几何学的基石”，是人类最伟大的十个科学发现之一。它是我们全人类共同的财富，不论是古埃及人，古巴比伦，亦或是我们中国人最早发现了它，显然不是任何一个民族的私有财产。勾股定理在高等数学和其他学科中有着极为广泛的应用。总之，在勾股定理的探索上，我们走向了数学科学的殿堂。
关键词：勾股定理，应用
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Abstract：Pythagorean theorem in geometry is a gleaming pearl, full of charm. It is the world known as \"the cornerstone of geometry, \"is humanity's greatest scientific discoveries of the ten. It is our common wealth of mankind, whether ancient Egyptian, Babylonian, or we Chinese people have first discovered it, is clearly not the private property of any nation. Pythagorean theorem in higher mathematics and other disciplines has a very wide range of applications. In short, the exploration of the Pythagorean theorem, we went Mathematical Sciences.
Key words: Pythagoras Theorem，application
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to the temple of 淮阴师范学院毕业论文（设计）
目录
1 引言……………………………………………………………………4 2 内容……………………………………………………………………4 3 证明……………………………………………………………………4 3.1 赵爽弦图法………………………………………………………5 3.2 刘徽面积割补法…………………………………………………6 3.3 毕达哥拉斯面积剖分法…………………………………………7 3.4 欧几里得逻辑推理法……………………………………………8 3.5 婆什迦罗相似三角形法…………………………………………9 3.6 加菲尔德梯形面积法………………………………………… 10 4 应用………………………………………………………………… 10 4.1 中华牌345三角形…………………………………………… 11 4.2 趣味古诗词…………………………………………………… 12 4.3 蚂蚁怎么走最近……………………………………………… 14 结论 ………………………………………………………………… 15 参考文献 ………………………………………………………………16 致谢 ……………………………………………………………………17
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1 引言
勾股定理在中国称为“商高定理”，在外国又称为“毕达哥拉斯定理”。 《周髀算
经》载商高（约前十一世纪）答周公曰：“勾广三，股俢四，径隅五。”相传大禹治水是左手拿着准绳，右手拿着规矩。准绳、规矩都是测望山川高低远近的工具。人们对勾股定理的认识也很早，不过勾股知识的大发展是在西汉，而三国赵爽，刘徽方建立起了理论基础。公元前六世纪，古希腊著名哲学家毕达哥拉斯在研究了许多直角三角形后，也意识到了这一定理。
2 内容
勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。这个据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
勾股定理在《九章》中的表述是“勾股数曰：勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。”即c=
b2a2，又有a=c2b2、b=c2a2两种形式。1
3 勾股定理的证明
2 勾股定理的证明表达着不同的文化内涵，若将不同的证明思想相融合，可使古老的方法迸发出新的火花。数学史上关于勾股定理的最早证明记载于欧几里得《几何原本》，在中国古代数学中则是以算法形式呈现的。
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3.1 .赵爽弦图法；
三国时期东吴数学家赵爽，在给《周髀算经》作注释的时候突发灵感证明了勾股定理。现在的数学课本中对勾股定理的证明就是它的简化。 如图，连接HB,HD
b
a H D c E G F A
B
C
1 证明： ∵ S△HAB+ S△HCD= c2
2
111从而 a2+ b2= c2
222 ∴ a2+ b2= c2
赵爽的证明直观性强，简洁明了，直到1150年国外相类似的证明才由印度数学家巴斯卡拉给出。
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3.2 .刘徽面积割补法；
在《九章算术》中，刘徽用出入相补法论证了勾股容方，勾股容圆。 证明：“以勾股和b+a为边长作正方形，称为大方，面积（a+b）²”；在其内部作一中方，其顶点在大方每边a,b的分点上，其边长自然为c，面积为c²；在
1中方内部作四个以a,b,c为边长的勾股形，每个面积为ab，称为朱幂。中方除
2去四个勾股形，余一个以b-a为边长的正方形，称为黄方，面积为（b-a）²，
a b c
大方有八个朱幂，一个黄幂，中方有四个朱幂，一个黄幂，因此，中方减去半个黄幂等于半个大方
11 即（b+a）²=c²-（b-a）²
22
化简得a2+ b2= c2
近代数学家们比较赵爽和刘徽的证明方法，发现二人有许多相似之处，由此推断出他们两个人有着直接的学术渊源，此后我国学者对勾股定理的证明不下二百种，但都受他们的影响。
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3.3 .毕达哥拉斯面积剖分法；
据说最早证明勾股定理的人是毕达哥拉斯，可惜原稿已失传。据说以下证明
方法是他的方法。 证明：
做八个全等的直角三角形边长分别为a,b,c，再做三个边长为a,b,c的正方形，拼成如图的两个正方形。
易得两个正方形面积相等，边长都为a+b，
11 即a²+b²+4*ab=c²+4*ab
22 整理得 a2+ b2= c2
b c a b c b c a a a a b c a a
b a b c c b b a b a b
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3.4 .欧几里得逻辑推理法；
古希腊数学家欧几里得给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明方法在他的著作《几何原本》中。这个图形有人称为新娘的轿椅，也有人称之为修士的头巾。 证明：
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点 L.
D L c E a A M B b F C K H G ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于
12a,ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， 222∴ 矩形ADLM的面积 = a
同理可证，矩形MLEB的面积 =b.
∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ c=a+ b ， 即a+ b= c
222222
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3.5 .婆什迦逻相似三角形法；
古印度数学家婆什迦罗给出了勾股定理的另一证法。
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D. B
c
D A b a C 在ΔADC和ΔACB中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AD∶AC = AC ∶AB， 即 . AC=AD*AB 同理， ΔCDB ∽ ΔACB，
从而有BC =BD*AB. ∴ 即a+ b= c .
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3.6 .加菲尔德梯形面积法；
1876年 加菲尔德 在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 如图
A c a c D b E C b B a 1 S梯形=（a+b）(a-b)
211 =2*ab+c2
22222化简得 a+ b= c
下面就结合实例来讲解勾股定理的应用．
4应用
利用勾股定理解题的一般步骤是：
第一步，根据条件的特征，构造直角三角形（是运用勾股定理解决问题的关键）; 第二步，把条件放入所构造的直角三角形中;
第三步，运用勾股定理，对所求的问题作出分析解答．
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4．1中华牌345三角形（勾股数）
例 13徒手在正方形纸片上作出24个345三角形
只有一张正方形纸片，没有任何标志，如何才能徒手的在这张正方形上显现出24个345三角形呢
解 1. 先延边长对折正方形纸片可得到四边的中点E,M,P,Q
2.再延DE,DP,BQ,BM,AQ,AE,CM,CP折叠可以得到如图所示的各条线段及三角形
P B A
C Q H F E G N M D
设正方形边长为2，则它的面积为4，△CEQ的面积为0.5，△ABE与△ADQ面积和为2，于是△AEQ的面积为
5 4-2-0.5=1.5=0.5*AQ*EF=*EF
234于是EF=， 由勾股定理得AF=，所以△AEF是345三角形
55 又易得证△GHF∽△GMN∽△AEF,且 与△GHF全等的三角形有八个，与
△GMN全等的三角形有八个，与△AEF全等的三角形有八个，所以得到24个345三角形。
常言道，工欲善其事，必先利其器；事实上，人手乃是时间最灵巧的工具，而最聪明者莫过于头脑，电脑永远不及人脑。上面此题就并未用任何工具单靠人手和人脑造出了24个345三角形。
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4．2 趣味古诗词
例2[4]蒲生池中（源自《九章算术》） 蒲生池中（西江月） 今有方池一所，每边丈二无疑。 中心蒲长一根肥，出水过于二尺。 斜引蒲稍至岸，释然与岸方齐。 饶公能算更能推，蒲，深各该有几？
译文 现在有方形水池一个，每边边长1.2丈，中心长出一根香蒲，露出水面两尺，斜着引香蒲到岸边，刚好到岸边。尽管先生能够推算，请问蒲长，池水深多少？
A B C B1
解：由题意作图
设AC=x尺，由勾股定理，得
X²+6²=（x+2）² X=8
答：池水深8尺，蒲长10尺。
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例3[4]折竹抵地（源自《九章算术》） 折竹抵地（西江月） 今有竹高一丈，园中出众高强。 只因有病被虫伤，节节相连不长。 风折枯梢在地，离根三尺曾量。 枯梢折竹数明彰，激恼先生一晌。
译文：一根竹子，高度是一丈，现在被虫蛀了，每个竹节都相连不长，一阵风吹过，枯梢折断了，现在竹梢离根有三尺，问你现在竹高多少？恼怒的先生算了一晌。
A B C B 解：由题意作图
设 AC=X尺，则BC=（10-X）尺，由勾股定理，得 X²+3²=（10-X）² X=4.55 答：现在竹高4.55尺
勾股定理在中国古代数学中占有重要地位，从古代经典之作《九章算术》可以看出，起源于实际需要，它以社会生活与生产实际为研究对象，以解决实际需要为目标。
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4．3[5] 蚂蚁怎么走最近
例4 如图，一个密封的长方体盒子ABCD-EFGH,长宽高分别为27cm,9cm,15cm.E处有食物。甲蚂蚁从C处出发沿长方体表面爬行。同时乙蚂蚁从B处沿B-A-E的方向爬行，问两只蚂蚁哪知能够先吃到食物？ （假设他们爬行的速度是一样的）
解：由题意可知，甲蚂蚁并没有确定路线方向所以说可以有选择余地 但是乙蚂蚁已经确定了路线。 故甲蚂蚁可以寻求寻求到最短路线
甲蚂蚁： 将底面ABCD绕AB旋转，转到ABFE所在平面同一平面上，连接CE,则甲蚂蚁沿CE爬行路线最短。
D C A B E F A D B C E H F G
∵ AE=15cm,AB=27cm,BC=9cm, ∠EDC=90°， ∴ED=24cm, 由勾股定理得，CE=3145cm 乙蚂蚁： AB+AE=27+15=42cm 答：甲蚂蚁能够先吃到食物。
数学本身就是一种文化，一门博大精深的学问，学习他的最好方法是自己去发现她的美.
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结论
通过本文我们看到勾股定理在解题方法中的作用,但是它的重要作用并不仅限于此．运用勾股定理解题的一般方法:关键在于制造直角三角形,从待求的结论中找出制造直角三角形的规则,造出合规则的所有直角三角形．总之,勾股定理的应用多种多样,要依据问题特点决定．
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参考文献
[1] 任继愈.中国古代数学[M].北京：商务印书馆，1997（1）：66.
[2]孔凡茹 孔凡伟 熊昌雄.勾股定理的早期记载和证明[J].宜宾学院学报，2007（12）：28. [3] 王树禾.数学聊斋[M] . 科学出版社,2004(2) ：100 .
[4] 潘有发. 几个与勾股定理有关的趣味诗词古算题[J]. 中学生数学, 2007 (1) :23. [5]张彩明.蚂蚁怎样走最近[J].中学生数理化，2006（7）：45.
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致 谢
在此，衷心感谢殷建连老师对本文的指导，她倾注了大量的心血，从选题到开题报告，从写作提纲，到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循循善诱。论文的写作是枯燥艰辛而又富有挑战的。老师的谆谆诱导、同学的出谋划策及家长的支持鼓励，是我坚持完成论文的动力源泉。没有殷建连老师的辛勤栽培、孜孜教诲，就没有我论文的顺利完成。
感谢各位同学，与他们的交流使我受益颇多。最后要感谢我的家人以及我的朋友们对我的理解、支持、鼓励和帮助，正是因为有了他们，我所做的一切才更有意义；也正是因为有了他们，我才有了追求进步的勇气和信心。
时间的仓促及自身专业水平的不足，整篇论文肯定存在尚未发现的缺点和错误。恳请阅读此篇论文的老师、同学，多予指正，不胜感激！
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