2001年试题 一、1．limx→0cos2x−1=? x2+sin2x2nn! 2.lim=? n→∞nn∂2u3.设u=xln(xy),则2=? ∂x4∫0x21−cos2xdx=?. 5.交换积分顺序∫0dx∫x6.∫(0,1)xdx+ydy=? 7.∑n(n+1)xn的和函数为？ n=1∞(3,−4)12−x2πf(x,y)dy=? 8.设f(x)=arctanx,则f(2n+1)(0)=? 二、 1.叙述函数f(x)在[a,b]上一致连续和不一致连续的ε−δ型语言。 2.计算定积分∫0edx. 3.叙述并证明连续函数的中间值定理。 三、本题任选两题。 1.设f(x,y)处处具有连续的一阶偏导数且f(1,0)=f(−1,0).试证在单位圆上存在两点(x1,y1)和(x2,y2)满足下列两式：xify′(xi,yi)−yifx′(xi,yi)=0,i=1,2. +∞−x22.设f(x)2在[0,+∞)22上连续a且f≥0,如果f(x)f(y)f(z)≤xyf(z)+yzf(x)+zxf(y),求证：∫025f(x)dx≤a2. 23.设f(x)在(0,+∞)上连续可微，且xlim→+∞xn→+∞且f′(xn)→0. f(x)=0.求证：存在序列{xn}使得x
