广水市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

广水市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若函数A．（﹣∞，2）

B．

是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（ ）

C．（0，2）

D．

的最小

2． 函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则值为（ ） A．3

B．4

C．5

D．6

3． 复数A．

=（ ） B．

C．

D．

f(x5)x2x2x2，则f(2016)（ ） 4． 已知函数f(x)ef(x)x2A．e B．e C．1 D．

21 e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．

5． 如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（ ）

A．{， } B．{，， } C．{V|≤V≤} D．{V|0＜V≤}

6． 在ABC中，若A60，B45，BC32，则AC（ ） A．43 B．23 C.

3 D．3 2第 1 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

7． 已知二次曲线A．[

，

]

+=1，则当m∈[﹣2，﹣1]时，该曲线的离心率e的取值范围是（ ） ，

]

C．[

，

]

D．[

，

]

B．[

8． 在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（ ） A．13 B．26 C．52 D．56

9． 如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ）

A． = B．∥ C． D．

10．抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（ ） A．

B．

C．

|=

，则

D．3 •

11．已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且|A．﹣1 B．1

C．﹣

D．

=（ ）

xy20y12．已知变量x,y满足约束条件x1，则的取值范围是（ ）

xxy70A．[,6] B．(,][6,) C．(,3][6,) D．[3,6]

9595二、填空题

13．已知面积为

的△ABC中，∠A=

若点D为BC边上的一点，且满足

=

，则当AD取最小时，

BD的长为 ．

14．在直角梯形ABCD,ABAD,DC//AB,ADDC1,AB2,E,F分别为AB,AC的中点，

点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上变动（如图所示）．若APEDAF，其中,R， 则2的取值范围是___________．

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精选高中模拟试卷

15．若函数f（x）=3sinx﹣4cosx，则f′（

）= ．

在

方向上的投影．

16．已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），求向量

217．如果实数x,y满足等式x2y3，那么

2y的最大值是 ． x18．已知函数f（x）=与i的夹角，则

+

+

，点O为坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N），向量=（0，1），θn是向量

+…+= ．

三、解答题

19．如图1，圆O的半径为2，AB，CE均为该圆的直径，弦CD垂直平分半径OA，垂足为F，沿直径AB将半圆ACB所在平面折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图2） （Ⅰ）求四棱锥C﹣FDEO的体积

（Ⅱ）如图2，在劣弧BC上是否存在一点P（异于B，C两点），使得PE∥平面CDO？若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．

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精选高中模拟试卷

20．某实验室一天的温度（单位：

）随时间（单位;h）的变化近似满足函数关系；

(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于

21．已知函数f（x）=1+

，则在哪段时间实验室需要降温？

（﹣2＜x≤2）．

（1）用分段函数的形式表示函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域．

22．已知函数fxa（1）求fx的定义域.

1 2x1（2）是否存在实数a，使fx是奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。 （3）在（2）的条件下，令g(x)xf(x)，求证：g(x)0

3第 4 页，共 17 页

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23．【南通中学2018届高三10月月考】设，线

在点

（Ⅱ）求证：函数（Ⅲ）若

24．（本小题满分12分）

处的切线方程为

存在极小值； ，使得不等式

成立，求实数的取值范围.

.

（Ⅰ）求实数、的值；

，函数

，其中是自然对数的底数，曲

ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，m(sinB,5sinA5sinC)，

n(5sinB6sinC,sinCsinA)垂直. （1）求sinA的值；

（2）若a22，求ABC的面积S的最大值.

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广水市外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：∵函数

是R上的单调减函数，

∴∴故选B

【点评】本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况．

2． 【答案】B

1x

【解析】解：函数y=a﹣（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1）， ∵点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上， ∴m+n=1． 则

=（m+n）

=2+

=4，当且仅当m=n=时取等号．

故选：B．

【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．

3． 【答案】A

【解析】解：故选A．

【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．

4． 【答案】B

【解析】f(2016)f(2016)f(54031)f(1)e，故选B． 5． 【答案】D

【解析】解：根据几何体的正视图和侧视图，得；

2

当该几何体的俯视图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥，其体积最大，为×1×2=；

===，

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当该几何体的俯视图为一线段时，它的底面积为0，此时不表示几何体； 所以，该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0＜V≤}． 故选：D．

【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么，是基础题目．

6． 【答案】B 【解析】

考点：正弦定理的应用.

7． 【答案】C

【解析】解：由当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线为双曲线， 双曲线

+

=1即为

﹣

=1，

222

且a=4，b=﹣m，则c=4﹣m，

即有故选C．

，

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的范围，属于基础题．

8． 【答案】B

【解析】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10， 代入已知可得3×2a4+2×3a10=24，即a4+a10=4， 故数列的前13项之和S13==故选B

=

=26

【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体代入的思想，属中档题．

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9． 【答案】D

【解析】解：由图可知，故选D．

，但

不共线，故

，

【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．

10．【答案】A 【解析】解：由

2

，得3x﹣4x+8=0．

2

△=（﹣4）﹣4×3×8=﹣80＜0．

2

所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x无交点．

设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0 联立

2

，得3x﹣4x﹣m=0．

2

由△=（﹣4）﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，

得m=﹣．

2

所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x相切的直线方程为4x+3y﹣=0．

所以抛物线y=﹣x上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是

2=．

故选：A． 中档题．

11．【答案】B 即有|则即有

，•|2+|

|2=|

|=

【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是

【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且|

|2，

可得△OAB为等腰直角三角形，

的夹角为45°， =|

|•|

|•cos45°=1×

×

=1．

，

故选：B．

【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．

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12．【答案】A 【解析】

试题分析：作出可行域，如图ABC内部（含边界），表示点(x,y)与原点连线的斜率，易得A(,)，B(1,6)，

yx5922kOA969y92，kOB6，所以6．故选A． 5515x2

考点：简单的线性规划的非线性应用．

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：AD取最小时即AD⊥BC时，根据题意建立如图的平面直角坐标系， 根据题意，设A（0，y），C（﹣2x，0），B（x，0）（其中x＞0）， 则

=（﹣2x，﹣y），

=（x，﹣y）， ，

⇒

=

cos

=9，

=18，

∵△ABC的面积为∴∵

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22

∴﹣2x+y=9，

∵AD⊥BC， ∴S=•由故答案为：

•

=得：x=

． ⇒xy=3

， ，

【点评】本题考查了三角形的面积公式、利用平面向量来解三角形的知识．

14．【答案】1,1 【解析】

考

点：向量运算．

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【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 15．【答案】 4 ．

【解析】解：∵f′（x）=3cosx+4sinx， ∴f′（

）=3cos

+4sin

=4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了导数的运算法则，掌握求导公式是关键，属于基础题．

16．【答案】

【解析】解：∵点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4）， ∴向量∴向量

=（1+1，2﹣1）=（2，1）， 在=

17．【答案】3 【解析】

方向上的投影是

=

．

=（3+2，4+1）=（5，5）；

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考点：直线与圆的位置关系的应用. 1

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中把18．【答案】

【解析】解：点An（n，

=

∴

+． ，

+…+

=

+

）（n∈N），向量=（0，1），θn是向量

y的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题. x ．

与i的夹角，

，…，=

=， +…+

=1﹣

=

，

故答案为：

【点评】本题考查了向量的夹角、数列“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）如图1，∵弦CD垂直平分半径OA，半径为2， ∴CF=DF，OF=

，

，

∴在Rt△COF中有∠COF=60°，CF=DF=∵CE为直径，∴DE⊥CD， ∴OF∥DE，DE=2OF=2， ∴

，

图2中，平面ACB⊥平面ADE，平面ACB∩平面ADE=AB， 又CF⊥AB，CF⊂平面ACB，

∴CF⊥平面ADE，则CF是四棱锥C﹣FDEO的高， ∴

．

（Ⅱ）在劣弧BC上是存在一点P（劣弧BC的中点），使得PE∥平面CDO． 证明：分别连接PE，CP，OP， ∵点P为劣弧BC弧的中点，∴

，

∵∠COF=60°，∴∠COP=60°，则△COP为等边三角形，

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∴CP∥AB，且∴CP∥DE且CP=DE，

，又∵DE∥AB且DE=，

∴四边形CDEP为平行四边形， ∴PE∥CD，

又PE⊄面CDO，CD⊂面CDO， ∴PE∥平面CDO．

【点评】本题以空间几何体的翻折为背景，考查空间几何体的体积，考查空间点、线、面的位置关系、线面平行及线面垂直等基础知识，考查空间想象能力，求解运算能力和推理论证能力，考查数形结合，化归与数学转化等思想方法，是中档题．

20．【答案】

【解析】（1）∵f（t）=10﹣∴当

≤t+

t+=

＜

，故当

t+

=

=10﹣2sin（

t+

），t∈[0，24），

时，函数取得最大值为10+2=12，

时，函数取得最小值为10﹣2=8，

故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃。

（2）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（由10﹣2sin（21．【答案】

【解析】解：（1）函数f（x）=1+（2）函数的图象如图：

=

，

t+

）＞11，求得sin（

t+

）＜﹣，即

≤

t+

＜

t+，

），

解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温。

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．

（3）函数值域为：[1，3）．

22．【答案】 【解析】

试

题解析：（1）由210得：x0

x∴fx的定义域为xx0------------------------------2分

（2）由于fx的定义域关于原点对称，要使fx是奇函数，则对于定义域xx0内任意一个x，都有

f(x)f(x)即：a解得：a11a x2x1211 2第 14 页，共 17 页

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1，使fx是奇函数------------------------------------6分 21131（3）在（2）的条件下，a，则g(x)x3f(x)xx

2221gx的定义域为xx0关于原点对称，且g(x)(x)3f(x)x3f(x)g(x)

∴存在实数a则g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称。

xx3当x0时，21即210又210，x0

x132x131∴g(x)xgx0 xx2212(21)当x0时，由对称性得：g(x)0分

综上：g(x)0成立。--------------------------------------------10分. 考点：1.函数的定义域；2.函数的奇偶性。

23．【答案】（Ⅰ）【解析】试题分析：

（Ⅰ）利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得在极小值；

；

（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存

；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）

.

试题解析： （Ⅰ）∵（Ⅱ）由（Ⅰ）得是增函数，∵

，结合函数 递减 在 极小值 ，

，∴

，由题设得，∴

，且函数

是增函数有： 递增 ） ，∴

图像在

，∴

； ，∴函数上不间断，∴

在，使得

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∴函数（Ⅲ）（*），令则

∴结合（Ⅱ）得即∴

，∴，

，，∴

在

，∴

内单调递增，

存在极小值

；

成立，即

，

，使得不等式

成立……

，使得不等式

，，

，其中，满足，

，

∴

结合（*）有24．【答案】（1）【解析】

，

，即实数的取值范围为

．

4；（2）4． 5试题分析：（1）由向量垂直知两向量的数量积为0，利用数量积的坐标运算公式可得关于sinA,sinB,sinC的等式，从而可借助正弦定理化为边的关系，最后再余弦定理求得cosA，由同角关系得sinA；（2）由于已知边及角A，因此在（1）中等式bca2226bc1中由基本不等式可求得bc10，从而由公式 SbcsinA52可得面积的最大值．

试题解析：（1）∵m(sinB,5sinA5sinC)，n(5sinB6sinC,sinCsinA)垂直， ∴mn5sinB6sinBsinC5sinC5sinA0，

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考点：向量的数量积，正弦定理，余弦定理，基本不等式．111]

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