【最新】初三数学二次函数学习知识点复习总结计划

初三数学二次函数学习知识点复习总结计划

二次函数知识点总结

微山县马坡一中 金沛勇

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念： 一般地，形如

2

y a_ b_ c（a ，b，c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。

这

里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实

数．

2. 二次函数

2

y a_ b_ c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 _ 的二次式， _ 的最高次数是 2．

⑵ a，b ，c是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：

2

y a_ 的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

a 向上 0，0 y 轴

0

_ 0 时， y 随 _ 的增大而增大； _ 0 时， y 随

_ 的增大而减小； _ 0 时， y 有最小值 0 ．

a 0 向下 0，0 y 轴

_ 0 时， y 随 _ 的增大而减小； _ 0 时， y 随

_ 的增大而增大； _ 0 时， y 有最大值 0 ．

2.

2

y a_ c 的性质：

上加下减。

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

a 向上 0，c y 轴

0

_ 0 时， y 随 _ 的增大而增大； _ 0 时， y 随

_ 的增大而减小； _ 0 时， y 有最小值 c ．

a 向下 0，c y 轴

0

_ 0 时， y 随 _ 的增大而减小； _ 0 时， y 随

_ 的增大而增大； _ 0 时， y 有最大值 c ．

3.

2

y a _ h 的性质：

左加右减。

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

a 向上 h，0 _=h

0

_ h时， y 随 _ 的增大而增大； _ h 时， y 随

_的增大而减小； _ h 时， y 有最小值 0 ．

a 向下 h，0 _=h

0

_ h时， y 随 _ 的增大而减小； _ h 时， y 随

_的增大而增大； _ h 时， y 有最大值 0 ．

4.

2

y a _ h k 的性质：

a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

a 向上 h，k _=h

0

_ h时， y 随 _ 的增大而增大； _ h 时， y 随

_的增大而减小； _ h 时， y 有最小值 k ．

a 0 向下 h，k _=h

_ h时， y 随 _ 的增大而减小； _ h 时， y 随

_的增大而增大； _ h 时， y 有最大值 k ．

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式

2

y a _ h k ，确定其顶点坐标 h，k；

⑵ 保持抛物线

2

y a_ 的形状不变，将其顶点平移到 h，k 处，具体平移方法如下：

向上(k _gt;0)【或向下 (k _lt;0)】平移 |k |个单位

y=a_2 y=a_ 2+k

向右(h_gt;0)【或左 (h_lt;0)】

平移|k|个单位

向右( h_gt;0)【或左( h_lt;0) 】

平移 |k|个单位

向右(h_gt;0)【或左 (h_lt;0)】

平移|k|个单位

向上( k_gt;0) 【或下( k_lt;0)】

平移|k |个单位

y=a( _-h)2

向上(k_gt;0)【或下 (k _lt;0)】平移 |k |个单位

y=a (_-h)2+k

2. 平移规律

在原有函数的基础上 “h值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．

概括成八个字“左加右减，上加下减” ．

方法二：

2 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位， y a_2 b_ c 变成⑴ y a_ b_ c

2

y a_ b_ c m

2

（或 y a_ b_ c m

）

⑵ y a_2 b_ c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位，2

y a(_ m) b(_ m)

c

2

（或 y a(_ m) b( _ m) c

）

四、二次函数

y a_ 2 b_ c 变成

2

y a _ h k 与

y a_ b_ c的比较

2

从解析式上看，

2

y a _ h k 与

2

y a_ b_ c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前

者，即

y a _

2 2

b 4ac b

2a 4a

，其中

2

b 4ac b

h k

， ．

2a 4a

五、二次函数

2

y a_ b_ c 图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数

2

y a_ b_ c化为顶点式

2

y a(_ h) k ，确定其开口方向、

对称轴及顶点坐标， 然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为： 顶点、 与 y 轴

的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点 2h，c 、与 _ 轴的交点

_1 ，0 ， _2 ，0 （若与 _ 轴

没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） .

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 _ 轴的交点，与 y 轴的交点 .

六、二次函数

2

y a_ b_ c的性质

1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 _

b

2a

，顶点坐标为

2

b 4ac b

， ．

2a 4a

当

_

b

2a

时， y 随 _ 的增大而减小；当

_

b

2a

时， y 随 _ 的增大而增大；当

_

b

2a

时， y有最小

值

2

4ac b

4a

．

2. 当 a 0 时，b

2a

抛物线开口向下，对称轴为 _

，顶点坐标为

2

b 4ac b

， ．当

2a 4a

_

b

2a

时， y 随

_ 的增大而增大；当

_

b

2a

时， y 随 _ 的增大而减小；当

_

b

2a

时， y 有最大值

2

4ac b

4a

．

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：

2

y a_ b_ c （ a ，b ， c 为常数，

a 0）；

2. 顶点式：

2

y a(_ h) k （ a ， h ，k 为常数， a 0）；

3. 两根式： y a(_ _1)(_ _2) （a 0 ， _1 ， _2 是抛物线与 _轴两交点的横坐标） .

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只

有抛物线与 _ 轴有交点，即

的这三种形式可以互化 .

2

b 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数 a

二次函数

2

y a_ b_ c中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ．

⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；

⑵ 当 a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．

总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向，开口的大小．

2. 一次项系数 b

在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．

⑴ 在a 0 的前提下，

b

当b 0时， 0

2a

，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；

b

当b 0时， 0

a 的大小决定

2a

，即抛物线的对称轴就是 y 轴；

b

当b 0时， 0

2a

，即抛物线对称轴在 y轴的右侧．

⑵ 在a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即

b

当b 0时， 0

2a

，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；

b

当b 0时， 0

2a

，即抛物线的对称轴就是 y 轴；

b

当b 0时， 0

2a

，即抛物线对称轴在 y轴的左侧．

总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定：对称轴 _

b

2a

在 y 轴左边则 ab 0，在 y 轴的右侧则 ab 0，概括的说就是

“左同右异”

总结：

3. 常数项 c

⑴ 当c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 _ 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当c 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0；

⑶ 当c 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 _ 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负．

总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．

总之，只要 a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根

据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与 _ 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 ．

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

1. 关于 _ 轴对称

2

y a_ b_ c关于 _ 轴对称后，得到的解析式是

2

y a_ b_ c；

2

y a _ h k 关于 _ 轴对称后，得到的解析式是

2

y a _ h k；

2. 关于 y 轴对称

2

y a_ b_ c关于 y 轴对称后，得到的解析式是

2

y a_ b_ c；

2

y a _ h k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是

2

y a _ h k；

3. 关于原点对称

2

y a_ b_ c关于原点对称后，得到的解析式是

2

y a_ b_ c；

2

y a _ h k 关于原点对称后，得到的解析式是

2

y a _ h k；

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°2

y a_ b_ c关于顶点对称后，得到的解析式是

2

y a_ b_ c

2

b

2a

；

2

）

y a _ h k 关于顶点对称后，得到的解析式是

2

y a _ h k ．

5. 关于点 m，n 对称

2

y a _ h k 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是

2

y a _ h 2m 2n k

根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求

抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原

抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，

然后再写出其对称抛物线的表达式．

十、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 _ 轴交点情况）：

2 2

一元二次方程 y a_ b_ c 当函数值 y 0 时的特殊情况 . a_ b_ c 0 是二次函数

图象与 _ 轴的交点个数：

① 当

2 4 0

b ac 时，图象与 _ 轴交于两点 A _1 ，0 ，B _2 ，0 (_1 _2 ) ，其中的 _1 二次

方程

2 0 0

a_ b_ c a 的两根．这两点间的距离

AB _ _

2 1

_2 是一元，

2

b 4ac

a

.

② 当 0 时，图象与 _轴只有一个交点；

③ 当 0 时，图象与 _轴没有交点 .

1_apos; 当 a 0时，图象落在 _ 轴的上方，无论 _ 为任何实数，都有 y 0；

2_apos; 当a 0 时，图象落在 _ 轴的下方，无论 _ 为任何实数，都有 y 0 ．

2. 抛物线

2

y a_ b_ c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c)；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与 _轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数

2

y a_ b_ c 中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中 a ，b ，c 的符号

判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称， 可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标，已知与 _轴的一

个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 .

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式

2 ( 0)

a_ b_ c a 本身就是所含字母 _ 的二次函数；

下面以 a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

0 抛物线与 _ 轴有

二次三项式的值可正、 一元二次方程有两个不相等实根

或

两个交点 可零、可负

0 抛物线与 _ 轴只

二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根

有一个交点

0 抛物线与 _ 轴无

二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根 .

交点

二次函数图像参考：

y=3(_+4) 2

y=2_ 2

y=3_ 2

y=3(_-2) 2

y=_ 2

y=2_ 2

y=2(_-4) 2

_ 2

y= 2

y=2(_-4) 2 -3

十

一、

函数

y=2 _2 +2

的应用

y=2 _ 2

二次函数 应 用

y=2 _2 -4

y= -

2

_

2

y= -_ 2

y=-2(_+3) 2

y=-2_ 2

y=-2_ 2

y=-2(_-3) 2

刹车距离

何时获得最大利润

最大面积是多少

二次函数考查重点与常见题型

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：

已知以 _ 为自变量的二次函数 y (m 2)_2 m2 m 2 的图像经过原点， 则 m 的值是

2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查

两个函数的图像，试题类型为选择题，如：

2 b_ 如图，如果函数 y k_ b 的图像在第一、 二、三象限内， 那么函数 1

y k_ 的图像大致是 （ ）

y y y y

1 1

0 _ o-1 _ 0 _ 0 -1 _

A B C D

3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选

拔性的综合题，如：

已知一条抛物线经过 (0,3) ，(4,6) 两点，对称轴为

5

_ ，求这条抛物线的解析式。

3

4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：

已知抛物线

2

y a_ b_ c （a≠0）与 _ 轴的两个交点的横坐标是－ 1、3，与 y 轴交点的纵坐标是－

3

2

（1）确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 .

5 ．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。

【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

c 2

例 1 （1）二次函数

y a_ b_ c 的图像如图 1，则点 M (b, ) 在（ ）

a

A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

（2）已知二次函数 y=a_2+b_+c（a≠0）的图象如图 2 所示， ?则下列结论：① a、b 同号；②当 _=1

和 _=3 时，函数值相等；③ 4a+b=0；④当 y=-2 时，_ 的值只能取 0. 其中正确的个数是（ ）

A．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键．

例 2. 已知二次函数 y=a_

2+b_+c 的图象与 _ 轴交于点 (-2 ，O)、(_

1，0) ，且 1_lt;_1_lt;2，与 y 轴的正半轴的交

点在点 (O，2) 的下方． 下列结论： ①a_lt;b_lt;0；②2a+c_gt;O；③4a+c_lt;O；④2a -b+1_gt;O，其中正确结论的个数为 ( )

A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D ．4 个

答案： D

会用待定系数法求二次函数解析式

例 3. 已知： 关于 _ 的一元二次方程 a_2+b_+c=3 的一个根为 _=-2 ，且二次函数 y=a_2+b_+c 的对称轴是直线

_=2，则抛物线的顶点坐标为 ( )

A(2 ，-3) B.(2 ，1) C(2 ，3) D ．(3 ，2)

答案： C

例 4、如图（单位： m），等腰三角形 ABC以 2 米/ 秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB与 CD重合．设

_ 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2．

（1）写出 y 与 _ 的关系式；

（2）当 _=2，3.5 时， y 分别是多少？

（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，

三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、

对称轴 .

1 5

例 5、已知抛物线 y= 2+_- _ ．

2 2

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．

（2）若该抛物线与 _ 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB的长．

【点评】本题（ 1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（ 2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．

1

2

例 6、 “已知函数 y _ b_ c

2

的图象经过点 A（c，－ 2），

求证：这个二次函数图象的对称轴是 _=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，

并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

点评： 对于第（ 1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结

论“函数图象的对称轴是 _=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，－2）”，就可以列出两个

方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（ 2）小题，只要给

出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（ 1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角

度考虑可以添

加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点

的坐标等。

[ 解答]

1

2

（1）根据 y _ b_ c

2

的图象经过点 A（c，－1 2

c

2

bc c 2,

2），图象的对称轴是 _=3，得

b

3,1

2

2

解得

b

c

3,

2.

1 2

所以所求二次函数解析式为 3 2. y _ _ 图象如图所示。

2

1 2

（2）在解析式中令 y=0，得 3 2 0

_ _ ，解得 _1 3 5,_2 3 5.

2

所以可以填“抛物线与 _ 轴的一个交点的坐标是（ 3+ 5 ,0) ”或“抛物线与 _ 轴的一个交点的坐标是

5 1 2 5

(3 5,0).令 _=3 代入解析式， 得 y , 所以抛物线 y _ 3_ 2的顶点坐标为 (3, ), 所以也可

2 2 25

以填抛物线的顶点坐标为 ) (3, 等等。

2 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；

将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例 1 已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图），其中 AF=2，

BF=1．试在 AB上求一点

P，使矩形 PNDM有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学

生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 _（元）（件）之间的关系

如下表：

_（元） 15 20 30 ?

y（件） 25 20 10 ?

若日销售量 y 是销售价 _ 的一次函数．

（1）求出日销售量 y（件）与销售价 _（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？多少元？

15k b 25,

与产品的日销售量 y此时每日销售利润是

? ?

【解析】（ 1）设此一次函数表达式为y=k_+b．则

2k b 20

解得 k=-1 ，b=40，?即一次函数表达

式为y=-_+40 ．

（2）设每件产品的销售价应定为_ 元，所获销售利润为处 5 米的地

方，桥的高度是 ( π取 3.14).

三、解答题：

15. 已知二次函数图象的对称轴是 _ 3 0, 图象经过 (1,-6), 且与 y 轴的交点为 (0,

5

2

).

(1) 求这个二次函数的解析式 ;

(2) 当 _ 为何值时 , 这个函数的函数值为 0?

(3) 当 _ 在什么范围内变化时 , 这个函数的函数值 y随 _ 的增大而增大 ?

第 15 题图

16. 某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t （秒）符合关系式

1

2

h v t gt （0_lt;t ≤2），其中重

0

2

力加速度 g 以 10 米/ 秒

2

计算．这种爆竹点燃后以 v0=20 米/ 秒的初速度上升，

（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？

（2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由 .

17. 如图，抛物线

2

y _ b_ c 经过直线 y _ 3 与坐标轴的两个交

点 A、B，此抛物线与 _ 轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点 P为抛物线上的一个动点，求使 S APC ： S ACD 5 ：4 的点 P

的坐标。